Частное (универсальная алгебра)

Результат разбиения элементов алгебраической структуры с использованием отношения конгруэнтности

В математике фактор- алгебра является результатом разбиения элементов алгебраической структуры с использованием отношения конгруэнтности . Фактор-алгебры также называются фактор-алгебрами . Здесь отношение конгруэнтности должно быть отношением эквивалентности , которое дополнительно совместимо со всеми операциями алгебры в формальном смысле, описанном ниже. Его классы эквивалентности разбивают элементы заданной алгебраической структуры. Фактор-алгебра имеет эти классы в качестве своих элементов, а условия совместимости используются для придания классам алгебраической структуры. ^[1]

Идея фактор-алгебры абстрагирует в одно общее понятие фактор-структуру фактор-колец теории колец , фактор-групп теории групп , фактор-пространств линейной алгебры и фактор-модулей теории представлений в общую структуру.

Совместимое отношение

Пусть A — множество элементов алгебры , а E — отношение эквивалентности на множестве A . Говорят, что отношение E совместимо с (или имеет свойство подстановки относительно) n -арной операции f , если для влечет для любого с . Отношение эквивалентности, совместимое со всеми операциями алгебры , называется конгруэнцией относительно этой алгебры. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle (a_{i},\;b_{i})\in E}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle (f(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),f(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}))\in E}$ ${\displaystyle a_{i},\;b_{i}\in A}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

Фактор-алгебры и гомоморфизмы

Любое отношение эквивалентности E в множестве A разбивает это множество на классы эквивалентности . Множество этих классов эквивалентности обычно называется множеством фактор-множества и обозначается A / E . Для алгебры просто определить операции , индуцированные на элементах A / E , если E является конгруэнцией. В частности, для любой операции арности в (где верхний индекс просто обозначает, что это операция в , а нижний индекс перечисляет функции в и их арности) определим как , где обозначает класс эквивалентности , порожденный E (" x  modulo  E "). ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f_{i}^{\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f_{i}^{{\mathcal {A}}/E}:(A/E)^{n_{i}}\to A/E}$ ${\displaystyle f_{i}^{{\mathcal {A}}/E}([a_{1}]_{E},\ldots ,[a_{n_{i}}]_{E})=[f_{i}^{\mathcal {A}}(a_{1},\ldots ,a_{n_{i}})]_{E}}$ ${\displaystyle [x]_{E}\in A/E}$ ${\displaystyle x\in A}$

Для алгебры , заданной конгруэнтностью E на , алгебра называется фактор-алгеброй (или фактор-алгеброй ) по модулю E . Существует естественный гомоморфизм из в , отображающий каждый элемент в его класс эквивалентности. Фактически, каждый гомоморфизм h определяет отношение конгруэнтности через ядро ​​гомоморфизма . ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(A,(f_{i}^{\mathcal {A}})_{i\in I})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/E=(A/E,(f_{i}^{{\mathcal {A}}/E})_{i\in I})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/E}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {ker} } \,h=\{(a,a')\in A^{2}\,|\,h(a)=h(a')\}\subseteq A^{2}}$

Для данной алгебры гомоморфизм h таким образом определяет две алгебры, гомоморфные , образ h( ) и Эти две алгебры изоморфны , результат, известный как теорема о гомоморфном образе или как первая теорема об изоморфизме для универсальной алгебры. Формально, пусть будет сюръективным гомоморфизмом. Тогда существует единственный изоморфизм g из на такой, что g, составленный с естественным гомоморфизмом, индуцированным , равен h . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/\mathop {\mathrm {ker} } \,h}$ ${\displaystyle h:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/\mathop {\mathrm {ker} } \,h}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {ker} } \,h}$

Решетка конгруэнтности

Для каждой алгебры на множестве A тождественное отношение на A и являются тривиальными конгруэнциями. Алгебра без других конгруэнций называется простой . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\times A}$

Пусть будет множеством конгруэнций на алгебре . Поскольку конгруэнции замкнуты относительно пересечения, мы можем определить операцию встречи : просто взяв пересечение конгруэнций . ${\displaystyle \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \wedge :\mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\times \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\to \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle E_{1}\wedge E_{2}=E_{1}\cap E_{2}}$

С другой стороны, конгруэнции не замкнуты относительно объединения. Однако мы можем определить замыкание любого бинарного отношения E относительно фиксированной алгебры так, чтобы оно было конгруэнцией, следующим образом: . Обратите внимание, что замыкание бинарного отношения является конгруэнцией и, таким образом, зависит от операций в , а не только от множества носителей. Теперь определим как . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \langle E\rangle _{\mathcal {A}}=\bigcap \{F\in \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\mid E\subseteq F\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \vee :\mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\times \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\to \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle E_{1}\vee E_{2}=\langle E_{1}\cup E_{2}\rangle _{\mathcal {A}}}$

Для каждой алгебры с двумя операциями, определенными выше, образуется решетка , называемая решеткой конгруэнтности . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle (\mathrm {Con} ({\mathcal {A}}),\wedge ,\vee )}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Условия Мальцева

Если две конгруэнции переставляются (коммутируют) с композицией отношений в качестве операции, т. е . , то их соединение (в решетке конгруэнций) равно их композиции: . Алгебра называется конгруэнц-перестановочной , если каждая пара ее конгруэнций переставляется; аналогично многообразие называется конгруэнц-перестановочным, если все его члены являются конгруэнц-перестановочными алгебрами. ${\displaystyle \alpha \circ \beta =\beta \circ \alpha }$ ${\displaystyle \alpha \circ \beta =\alpha \vee \beta }$

В 1954 году Анатолий Мальцев установил следующую характеристику конгруэнц-перестановочных многообразий: многообразие конгруэнц-перестановочно тогда и только тогда, когда существует тернарный терм q ( x , y , z ) такой, что q ( x , y , y ) ≈ x ≈ q ( y , y , x ) ; это называется термом Мальцева, а многообразия с этим свойством называются многообразиями Мальцева. Характеризация Мальцева объясняет большое количество подобных результатов в группах (возьмем q = xy ⁻¹ z ), кольцах, квазигруппах (возьмем q = (x / (y \ y))(y \ z)) , дополняемых решетках , алгебрах Гейтинга и т. д. Более того, каждая конгруэнц-перестановочная алгебра конгруэнц-модулярна, т. е. ее решетка конгруэнций также является модулярной решеткой ; однако обратное неверно.

После результата Мальцева другие исследователи нашли характеристики, основанные на условиях, похожих на те, что нашел Мальцев, но для других видов свойств. В 1967 году Бьярни Йонссон нашел условия для многообразий, имеющих решетки конгруэнтности, которые являются дистрибутивными ^[2] (таким образом, называемые конгруэнтно-дистрибутивными многообразиями), в то время как в 1969 году Алан Дэй сделал то же самое для многообразий, имеющих решетки конгруэнтности, которые являются модулярными. ^[3] В общем случае такие условия называются условиями Мальцева.

Это направление исследований привело к созданию алгоритма Пиксли–Вилле для генерации условий Мальцева, связанных с тождествами конгруэнтности. ^[4]

Смотрите также

• Кольцо-частное
• Проблема конгруэнтной решетки
• Решетка подгрупп

Примечания

1. А. Г. Курош, Лекции по общей алгебре, Перевод с русского издания (Москва, 1960), Челси, Нью-Йорк, 1963.
2. Йоннсон, Бьярни (1967). «Алгебры, решетки конгруэнтности которых являются дистрибутивными». Mathematica Scandinavica . 21 : 110. doi : 10.7146/math.scand.a-10850 .
3. Дэй, Алан (1969). «Характеристика модулярности для конгруэнтных решеток алгебр». Канадский математический бюллетень . 12 (2): 167–173. doi : 10.4153/CMB-1969-016-6 . S2CID  120602601.
4. Кит Кирнс; Эмиль В. Кисс (2013). Форма конгруэнтных решеток . Американское математическое общество. стр. 4. ISBN 978-0-8218-8323-5.

Ссылки

• Клаус Денеке; Шелли Л. Висмат (2009). Универсальная алгебра и коалгебра. World Scientific. стр. 14–17. ISBN 978-981-283-745-5.
• Purna Chandra Biswal (2005). Дискретная математика и теория графов. PHI Learning Pvt. Ltd. стр. 215. ISBN 978-81-203-2721-4.
• Клиффорд Бергман (2011). Универсальная алгебра: основы и избранные темы . CRC Press. стр. 122–124, 137 (многообразия Мальцева). ISBN 978-1-4398-5129-6.