Факторпространство (топология)

Построение топологического пространства

Иллюстрация построения топологической сферы как фактор-пространства диска путем склейки в одну точку точек (отмечены синим цветом) границы диска.

В топологии и смежных областях математики фактор -пространство топологического пространства при заданном отношении эквивалентности — это новое топологическое пространство, построенное путем наделения фактор-множества исходного топологического пространства фактор- топологией , то есть тончайшей топологией , которая делает непрерывна каноническая проекция (функция, отображающая точки на их классы эквивалентности ). Другими словами, подмножество факторпространства открыто тогда и только тогда, когда его прообраз при каноническом отображении проекции открыт в исходном топологическом пространстве.

Интуитивно говоря, точки каждого класса эквивалентности идентифицируются или «склеиваются» для формирования нового топологического пространства. Например, идентификация точек сферы , принадлежащих одному и тому же диаметру , создает проективную плоскость как факторпространство.

Определение

Пусть - топологическое пространство , и пусть - отношение эквивалентности на Фактормножество - это множество классов эквивалентности элементов. Класс эквивалентности обозначается ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y=X/{\sim }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle [x].}$

Конструкция определяет каноническую сюръекцию. Как обсуждается ниже, это фактор-отображение, обычно называемое канонической фактор-картой или канонической картой проекции, связанное с ${\displaystyle Y}$ ${\textstyle q:X\ni x\mapsto [x]\in Y.}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X/{\sim }.}$

Факторпространство под ним — это множество , снабженное фактортопологией , открытыми множествами которого являются те подмножества , прообраз которых открыт . Другими словами, подмножество открыто в фактортопологии тогда и только тогда, когда оно открыто в. Аналогично, подмножество закрыто тогда и только тогда, когда оно замкнуто в ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle Y}$ ${\textstyle U\subseteq Y}$ ${\displaystyle q^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\textstyle \{x\in X:[x]\in U\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle \{x\in X:[x]\in S\}}$ ${\displaystyle X.}$

Фактортопология - это окончательная топология фактормножества по отношению к отображению ${\displaystyle x\mapsto [x].}$

Коэффициентная карта

Карта является фактор-картой (иногда называемой идентификационной картой ^[1] ), если она сюръективна и снабжена конечной топологией , индуцированной Последнее условие допускает две более элементарные формулировки: подмножество открыто (закрыто) тогда и только тогда, когда открыт (соответственно закрыт). Всякое фактор-отображение является непрерывным, но не всякое непрерывное отображение является фактор-отображением. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle V\subseteq Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$

Насыщенные наборы

Подмножество называется насыщенным (относительно ) , если оно имеет форму для некоторого множества , которое истинно тогда и только тогда, когда Присваивание устанавливает взаимно-однозначное соответствие (обратное ) между подмножествами и насыщенными подмножествами With В этой терминологии сюръекция является фактор-отображением тогда и только тогда, когда для каждого насыщенного подмножества открыто в тогда и только тогда, когда открыто в. В частности, открытые подмножества, которые не являются насыщенными , не влияют на то, является ли функция фактор-отображением ( или, действительно, непрерывна: функция непрерывна тогда и только тогда, когда для каждой насыщенной такой, которая открыта в , множество открыто в ). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S=f^{-1}(T)}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(S))=S.}$ ${\displaystyle T\mapsto f^{-1}(T)}$ ${\displaystyle S\mapsto f(S)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y=f(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(S)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\textstyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle f(S)}$ ${\textstyle f(X)}$ ${\displaystyle S}$ ${\textstyle X}$

Действительно, если является топологией на и является любым отображением, то множество всех , которые являются насыщенными подмножествами форм, является топологией на. Если это также топологическое пространство, то является фактор-отображением (соответственно, непрерывным ) тогда и только тогда, когда то же самое верно для ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \tau _{f}}$ ${\displaystyle U\in \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:(X,\tau )\to Y}$ ${\displaystyle f:\left(X,\tau _{f}\right)\to Y.}$

Факторпространство характеристик волокон

Для заданного отношения эквивалентности обозначим класс эквивалентности точки через и через обозначим множество классов эквивалентности. Карта , которая отправляет точки в их классы эквивалентности (то есть определяется для каждого ), называется канонической картой . Это сюръективное отображение и для всех тогда и только тогда, когда , следовательно, для всех . В частности, это показывает, что множество классов эквивалентности является в точности множеством слоев канонического отображения. Если это топологическое пространство, то дающее фактор-топологию, индуцированную волей. превратить его в факторпространство и превратить в факторкарту. С точностью до гомеоморфизма эта конструкция является представителем всех факторпространств; точный смысл этого теперь объяснен. ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle [x]:=\{z\in X:z\sim x\}}$ ${\displaystyle X/{\sim }:=\{[x]:x\in X\}}$ ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle q(x):=[x]}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle a,b\in X,}$ ${\displaystyle a\,\sim \,b}$ ${\displaystyle q(a)=q(b);}$ ${\displaystyle q(x)=q^{-1}(q(x))}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$

Позвольте быть сюръекцией между топологическими пространствами (еще не предполагается, что они непрерывны или фактор-отображения) и объявите для всех, что тогда и только тогда, когда Тогда является отношением эквивалентности на таком, что для каждого , из которого следует, что (определяется ) является одноэлементным множеством ; обозначают уникальный элемент в ( так что по определению ). Задание определяет биекцию между слоями и точками в Определите карту , как указано выше (с помощью ), и задайте фактор-топологию, индуцированную (которая создает фактор-карту). Эти карты связаны: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle a,b\in X}$ ${\displaystyle a\,\sim \,b}$ ${\displaystyle f(a)=f(b).}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle [x]=f^{-1}(f(x)),}$ ${\displaystyle f([x])}$ ${\displaystyle f([x])=\{\,f(z)\,:z\in [x]\}}$ ${\displaystyle f([x])}$ ${\displaystyle {\hat {f}}([x])}$ ${\displaystyle f([x])=\{\,{\hat {f}}([x])\,\}}$ ${\displaystyle [x]\mapsto {\hat {f}}([x])}$ ${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle q(x):=[x]}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle f={\hat {f}}\circ q\quad {\text{ and }}\quad q={\hat {f}}^{-1}\circ f.}$$

гомеоморфизмом ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$

Связанные определения

Анаследственно факторкарта — это сюръективное отображение,обладающее свойством, что для каждого подмножестваограничениетакже является факторкартой. Существуют фактор-отображения, которые не являются наследственно фактор-отображенными. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle T\subseteq Y,}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T}$

Примеры

• Склеивание . Топологи говорят о склеивании точек. Если — топологическое пространство, то склейка точек и in означает рассмотрение фактор-пространства, полученного из отношения эквивалентности тогда и только тогда, когда или (или ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle a=x,b=y}$ ${\displaystyle a=y,b=x}$
• Рассмотрим единичный квадрат и отношение эквивалентности ~, порожденное требованием эквивалентности всех граничных точек, таким образом отождествляя все граничные точки с одним классом эквивалентности. Тогда гомеоморфна сфере _ _ ${\displaystyle I^{2}=[0,1]\times [0,1]}$ ${\displaystyle I^{2}/\sim }$ ${\displaystyle S^{2}.}$

Например, гомеоморфна окружности ${\displaystyle [0,1]/\{0,1\}}$ ${\displaystyle S^{1}.}$

• Примыкающее пространство . В более общем смысле, предположим, что это пространство иподпространство . Можно отнести все точкиэквивалентностии оставить точки внеэквивалентными только самим себе. Полученное факторпространство обозначается.Тогда 2-сфера гомеоморфна замкнутому кругу , граница которого отождествляется с одной точкой: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X/A.}$ ${\displaystyle D^{2}/\partial {D^{2}}.}$
• Рассмотрим набор действительных чисел с обычной топологией и напишем тогда и только тогда, когда — целое число . Тогда фактор-пространство гомеоморфно единичному кругу посредством гомеоморфизма, который переводит класс эквивалентности в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x-y}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \exp(2\pi ix).}$
• Обобщением предыдущего примера является следующее: Предположим, что топологическая группа действует непрерывно в пространстве. Можно сформировать отношение эквивалентности, утверждая, что точки эквивалентны тогда и только тогда, когда они лежат на одной и той же орбите . Факторпространство по этому отношению называется пространством орбит , обозначаемым в предыдущем примере как воздействующее на сдвиг. Пространство орбит гомеоморфно ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/G.}$ ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{1}.}$
  • Примечание . Обозначения несколько двусмысленны. Если понимать группу, действующую посредством сложения, то частное — это круг. Однако, если рассматривать его как топологическое подпространство (которое идентифицируется как одна точка), то частное (которое можно отождествить с множеством ) представляет собой счетный бесконечный букет кругов , соединенных в одной точке. ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{\mathbb {Z} \}\cup \{\,\{r\}:r\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \{\mathbb {Z} \}\cup (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$
• Следующий пример показывает, что, вообще говоря, неверно , что если - фактор-отображение, то каждая сходящаяся последовательность (соответственно каждая сходящаяся сеть ) в имеет подъем (с помощью ) до сходящейся последовательности (или сходящейся сети ) в Let и Let и пусть быть фактор-отображением так, что и для каждого Отображение , определенное посредством, корректно определено (потому что ) и является гомеоморфизмом . Пусть и пусть будут любые последовательности (или, в более общем смысле, любые сети) со значением в такие, что в Тогда последовательность ${\displaystyle q:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X=[0,1]}$ ${\displaystyle \,\sim ~=~\{\,\{0,1\}\,\}~\cup ~\left\{\{x\}:x\in (0,1)\,\right\}.}$ ${\displaystyle Y:=X/{\sim }}$ ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle q(x):=[x],}$ ${\displaystyle q(0)=q(1)=\{0,1\}}$ ${\displaystyle q(x)=\{x\}}$ ${\displaystyle x\in (0,1).}$ ${\displaystyle h:X/{\sim }\to S^{1}\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle h([x]):=e^{2\pi ix}}$ ${\displaystyle e^{2\pi i(0)}=1=e^{2\pi i(1)}}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle a_{\bullet }:=\left(a_{i}\right)_{i\in I}{\text{ and }}b_{\bullet }:=\left(b_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle a_{\bullet }\to 0{\text{ and }}b_{\bullet }\to 1}$ ${\displaystyle X=[0,1].}$
  $${\displaystyle y_{1}:=q\left(a_{1}\right),y_{2}:=q\left(b_{1}\right),y_{3}:=q\left(a_{2}\right),y_{4}:=q\left(b_{2}\right),\ldots }$$
  сходится к в , но не существует никакого сходящегося поднятия этой последовательности фактор-отображением (т. е. не существует последовательности , которая одновременно сходится к некоторым и удовлетворяет для каждого ). Этот контрпример можно обобщить на сети , если обозначить любое направленное множество и превратить в сеть, объявив, что для любого выполняется тогда и только тогда, когда и (1) , и (2), если тогда -индексированная сеть определяется равенством и равенством не имеет подъема (по ) до сходящейся -индексированной сети в ${\displaystyle [0]=[1]}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y_{i}=q\left(s_{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle (A,\leq )}$ ${\displaystyle I:=A\times \{1,2\}}$ ${\displaystyle (a,m),(b,n)\in I,}$ ${\displaystyle (m,a)\;\leq \;(n,b)}$ ${\displaystyle a\leq b,}$ ${\displaystyle a=b{\text{ then }}m\leq n;}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle y_{(a,m)}}$ ${\displaystyle a_{i}{\text{ if }}m=1}$ ${\displaystyle b_{i}{\text{ if }}m=2}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X=[0,1].}$

Характеристики

Факторотображения среди сюръективных отображений характеризуются следующим свойством: если — любое топологическое пространство и — любая функция, то оно непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно. ${\displaystyle q:X\to Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f:Y\to Z}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ q}$

Характеристическое свойство фактортопологии

Фактор-пространство вместе с фактор-отображением характеризуется следующим универсальным свойством : если это непрерывное отображение такое, что подразумевается для всех , то существует единственное непрерывное отображение такое, что Другими словами, следующая диаграмма коммутирует: ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle g:X\to Z}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle g(a)=g(b)}$ ${\displaystyle a,b\in X,}$ ${\displaystyle f:X/{\sim }\to Z}$ ${\displaystyle g=f\circ q.}$

Говорят, что для выражения этого сводится к фактору , то есть факторизуется через факторпространство. Таким образом, непрерывные отображения, определенные на , являются в точности теми отображениями, которые возникают из непрерывных отображений, определенных с учетом отношения эквивалентности (в том смысле, что они отправляют эквивалентные элементы в один и тот же образ). Этот критерий широко используется при изучении факторпространств. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle X}$

Учитывая непрерывную сюръекцию, полезно иметь критерии, по которым можно определить, является ли она фактор-отображением. Два достаточных критерия – быть открытым или закрытым . Обратите внимание, что эти условия являются лишь достаточными , но не необходимыми . Легко построить примеры фактор-отображений, которые не являются ни открытыми, ни закрытыми. Для топологических групп факторкарта открыта. ${\displaystyle q:X\to Y}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

Совместимость с другими топологическими понятиями.

Разделение

• В общем, факторпространства плохо себя ведут по отношению к аксиомам разделения. Свойства разделения не обязательно должны быть унаследованы и могут иметь свойства разделения, не присущие им. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle X/{\sim }}$является пространством T1 тогда и только тогда, когда каждый класс эквивалентности замкнут в ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X.}$
• Если фактор-отображение открыто , то оно является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда ~ — замкнутое подмножество пространства произведений . ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle X\times X.}$

Связность

• Если пространство связно или путь связан , то таковы и все его факторпространства.
• Факторпространство односвязного или сжимаемого пространства не обязательно должно обладать этими свойствами.

Компактность

• Если пространство компактно, то компактны и все его факторпространства.
• Факторпространство локально компактного пространства не обязательно должно быть локально компактным.

Измерение

• Топологическая размерность факторпространства может быть больше (или меньше), чем размерность исходного пространства; Кривые, заполняющие пространство, служат такими примерами.

Смотрите также

Топология

• Пространство покрытия  - тип непрерывной карты в топологии.
• Дизъюнктное объединение (топология)  - пространство, образованное путем оснащения дизъюнктного объединения основных множеств естественной топологией, называемой топологией непересекающегося объединения.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Окончательная топология  - лучшая топология, делающая некоторые функции непрерывными.
• Картографический конус (топология)  - топологическая конструкция.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Пространство продукта  - Топология декартовых произведений топологических пространств.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Подпространство (топология)  – унаследованная топологияPages displaying short descriptions of redirect targets
• Топологическое пространство  - Математическое пространство с понятием близости.

Алгебра

• Категория фактора
• Факторная группа  - группа, полученная путем агрегирования аналогичных элементов более крупной группы.
• Факторпространство (линейная алгебра)  - векторное пространство, состоящее из аффинных подмножеств.
• Конус отображения (гомологическая алгебра)  - инструмент в гомологической алгебре.

Примечания

1. Браун 2006, с. 103.

Рекомендации

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. ОСЛК  18588129.
• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Том. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. ОСЛК  246032063.
• Браун, Рональд (2006), Топология и группоиды, Booksurge, ISBN 1-4196-2722-8
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. ОСЛК  10277303.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. ОСЛК  395340485.
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том. 27. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. ОСЛК  338047.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. ОСЛК  42683260.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. ОСЛК  115240.
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли . ISBN 0-486-43479-6.