В математике фильтр или фильтр порядка — это особое подмножество частично упорядоченного множества ( посета), описывающее «большие» или «конечные» элементы. Фильтры появляются в теории порядка и решеток , а также в топологии , откуда они берут свое начало. Понятие, двойственное фильтру, — это идеал порядка .
К особым случаям фильтров относятся ультрафильтры , представляющие собой фильтры, которые нельзя увеличить, и описывающие неконструктивные методы в математической логике .
Фильтры на множествах были введены Анри Картаном в 1937 году. Николя Бурбаки в своей книге Topologie Générale популяризировал фильтры как альтернативу понятию сети Э. Х. Мура и Германа Л. Смита 1922 года ; порядковые фильтры обобщают это понятие с частного случая степенного множества при включении на произвольные частично упорядоченные множества . Тем не менее, теория фильтров степенных множеств сохраняет интерес сама по себе, отчасти для существенных приложений в топологии .
Зафиксируем частично упорядоченное множество (посет) P. Интуитивно, фильтр F — это подмножество P , члены которого являются элементами, достаточно большими, чтобы удовлетворять некоторому критерию. [1] Например, если x ∈ P , то множество элементов выше x является фильтром, называемым главным фильтром в точке x . (Если x и y — несравнимые элементы P , то ни главный фильтр в точке x , ни y не содержатся друг в друге.)
Аналогично, фильтр на множестве S содержит те подмножества, которые достаточно велики, чтобы содержать некоторую заданную вещь . Например, если S — вещественная прямая и x ∈ S , то семейство множеств, включающих x в их внутреннюю часть, является фильтром, называемым фильтром соседства в точке x . В этом случае вещь немного больше x , но она по-прежнему не содержит никакой другой конкретной точки прямой.
Вышеизложенные соображения мотивируют требование замыкания вверх в определении ниже: «достаточно большие» объекты всегда можно сделать больше.
Чтобы понять два других условия, поменяйте роли и вместо этого рассмотрите F как «схему поиска» для нахождения x . В этой интерпретации выполняется поиск в некотором пространстве X , и ожидается, что F опишет те подмножества X , которые содержат цель. Цель должна быть где-то расположена; таким образом, пустое множество ∅ никогда не может быть в F . И если два подмножества оба содержат цель, то следует «приблизить» их общую область.
Ультрафильтр описывает «идеальную схему поиска», где каждый компонент схемы дает новую информацию (либо «поиск здесь», либо «поиск в другом месте»). Компактность — это свойство, при котором «каждый поиск плодотворен», или, другими словами, «каждая схема поиска заканчивается результатом поиска».
Обычно фильтр используется для определения свойств, которым удовлетворяют «общие» элементы некоторого топологического пространства. [2] Это приложение обобщает «схему определения местоположения» для поиска точек, которые может быть трудно записать явно.
Подмножество F частично упорядоченного множества ( P , ≤) является фильтром или двойственным идеалом, если выполняются следующие условия:
Если, кроме того, F ≠ P , то говорят, что F является правильным фильтром . Авторы теории множеств и математической логики часто требуют, чтобы все фильтры были правильными; в этой статье мы избежим этого соглашения. [3] Ультрафильтр — это фильтр, не содержащийся ни в каком другом правильном фильтре.
Подмножество S из F является базой или основой для F, если верхнее множество , порожденное S (т. е. наименьшее замкнутое вверх множество, содержащее S ), является всем F. Каждый фильтр является основой для самого себя.
Более того, если B ⊆ P непусто и направлено вниз, то B порождает верхний набор F , который является фильтром (для которого B является базой) . Такие наборы называются предфильтрами , а также вышеупомянутой базой/базисом фильтра , и говорят, что F порождается или охватывается B. Предфильтр является правильным тогда и только тогда, когда он порождает правильный фильтр.
При p ∈ P множество { x : p ≤ x } является наименьшим фильтром, содержащим p , и иногда обозначается как ↑ p . Такой фильтр называется главным фильтром ; p называется главным элементом F или порождает F.
Предположим, что B и C — два предварительных фильтра на P , и для каждого c ∈ C существует b ∈ B , такой что b ≤ c . Тогда мы говорим, что B — этотоньше (илиочищает)C; аналогично,Cгрубее(илиогрубляет)B. Уточнение являетсяпредварительным порядкомна наборе предварительных фильтров. Фактически, еслиCтакже очищаетB, тоBиCназываютсяэквивалентнымижефильтр. Таким образом, переход от предварительного фильтра к фильтру является примером перехода от предупорядочения к связанному частичному порядку.
Исторически фильтры обобщались на решетках теории порядка до произвольных частичных порядков. В случае решеток нисходящее направление можно записать как замыкание при конечных встречах : для всех x , y ∈ F , имеем x ∧ y ∈ F . [4]
Линейный (ультра)фильтр — это (ультра)фильтр на решетке векторных подпространств заданного векторного пространства , упорядоченный по включению. Явно, линейный фильтр на векторном пространстве X — это семейство B векторных подпространств X , такое, что если A , B ∈ B и C — векторное подпространство X , содержащее A , то A ∩ B ∈ B и C ∈ B. [5 ]
Линейный фильтр является правильным, если он не содержит {0} . [5]
При наличии множества S множество мощности P ( S ) частично упорядочено включением множества ; фильтры на этом частично упорядоченном множестве часто просто называют «фильтрами на S », злоупотребляя терминологией . Для таких частично упорядоченных множеств нисходящее направление и восходящее замыкание сводятся к: [3]
Правильный [7] /невырожденный [8] фильтр — это фильтр, который не содержит ∅ , и эти три условия (включая невырожденность) являются оригинальным определением фильтра Анри Картаном . [9] [10] Обычно — хотя и не универсально — требуется, чтобы фильтры на множествах были правильными (независимо от позиции относительно фильтров частично упорядоченных множеств); мы снова откажемся от этого соглашения.
Предварительные фильтры на множестве являются правильными тогда и только тогда, когда они также не содержат ∅ .
Для каждого подмножества T из P ( S ) существует наименьший фильтр F, содержащий T . Как и в случае с предварительными фильтрами, говорят, что T порождает или охватывает F ; базой для F является множество U всех конечных пересечений T . Множество T называется подбазой фильтра, когда F (и, следовательно, U ) является собственным.
Правильные фильтры на множествах обладают свойством конечного пересечения .
Если S = ∅ , то S допускает только неправильный фильтр {∅} .
Фильтр называется свободным, если пересечение его членов пусто. Правильный главный фильтр не является свободным.
Поскольку пересечение любого конечного числа членов фильтра также является членом, никакой собственный фильтр на конечном множестве не является свободным, и, действительно, является главным фильтром, порожденным общим пересечением всех его членов. Но неглавный фильтр на бесконечном множестве не обязательно свободен: фильтр свободен тогда и только тогда, когда он включает фильтр Фреше (см. § Примеры).
На изображении в верхней части статьи представлен простой пример фильтров для конечного посета P ({1, 2, 3, 4}) .
Частично упорядочить ℝ → ℝ , пространство вещественнозначных функций на ℝ , поточечным сравнением. Тогда множество функций, «больших на бесконечности», является фильтром на ℝ → ℝ . Можно довольно далеко обобщить эту конструкцию, компактифицировав область и заполнив кодомен: если X — множество с выделенным подмножеством S , а Y — частично упорядоченное множество с выделенным элементом m , то { f : f | S ≥ m } является фильтром в X → Y .
Множество {{ k : k ≥ N } : N ∈ ℕ} является фильтром в P (ℕ) . В более общем смысле, если D является любым направленным множеством , то является фильтром в P ( D ) , называемым хвостовым фильтром. Аналогично любая сеть { x α } α∈Α генерирует фильтр событий {{ x β : α ≤ β} : α ∈ Α} . Хвостовой фильтр является фильтром событий для x α = α .
Фильтр Фреше на бесконечном множестве X — это Если ( X , μ) — пространство с мерой , то совокупность { A : μ( X ∖ A ) = 0} является фильтром. Если μ( X ) = ∞ , то { A : μ( X ∖ A ) < ∞} также является фильтром; фильтр Фреше — это случай, когда μ — подсчитывающая мера .
При наличии ординала a подмножество a называется клубом, если оно замкнуто в топологии порядка a , но имеет сетевой предел a . Клубы a образуют фильтр: фильтр клуба , ♣( a ) .
Предыдущая конструкция обобщается следующим образом: любой клуб C также является набором плотных подмножеств (в порядковой топологии ) a , и ♣( a ) соответствует каждому элементу C . Заменяя C на произвольный набор C̃ плотных множеств, «обычно» существует фильтр, соответствующий каждому элементу C̃ , называемый обобщенным фильтром . Для счетного C̃ лемма Расиовы –Сикорского подразумевает, что такой фильтр должен существовать; для «малого» несчетного C̃ существование такого фильтра может быть принудительно установлено с помощью аксиомы Мартина .
Пусть P обозначает множество частичных порядков ограниченной мощности , по модулю изоморфизма . Частично упорядочим P по:
Тогда подмножество неатомарных частичных порядков образует фильтр. Аналогично, если I — множество инъективных модулей над некоторым заданным коммутативным кольцом , ограниченной мощности, по модулю изоморфизма, то частичный порядок на I — это:
При любом бесконечном кардинале κ модули в I , которые не могут быть получены менее чем κ элементами, образуют фильтр.
Каждая равномерная структура на множестве X является фильтром на X × X.
Двойственное понятие к фильтру — то есть, понятие, полученное путем обращения всех ≤ и замены ∧ на ∨ — является идеалом порядка. Из-за этой двойственности любой вопрос о фильтрах может быть механически переведен в вопрос об идеалах и наоборот; в частности, простой или максимальный фильтр — это фильтр, соответствующий идеал которого является (соответственно) простым или максимальным.
Фильтр является ультрафильтром тогда и только тогда, когда соответствующий ему идеал минимален.
Для каждого фильтра F на множестве S функция множества, определенная с помощью , является конечно-аддитивной — « мерой », если этот термин трактовать довольно свободно. Более того, меры, построенные таким образом, определены всюду, если F является ультрафильтром . Поэтому утверждение можно считать в некоторой степени аналогичным утверждению, что φ выполняется «почти всюду». Такая интерпретация членства в фильтре используется (для мотивации, а не фактических доказательств ) в теории ультрапроизведений в теории моделей , разделе математической логики .
В общей топологии и анализе фильтры используются для определения сходимости способом, аналогичным роли последовательностей в метрическом пространстве . Они унифицируют концепцию предела в широком спектре произвольных топологических пространств .
Чтобы понять необходимость фильтров, начнем с эквивалентной концепции сети . Последовательность обычно индексируется натуральными числами ℕ , которые представляют собой полностью упорядоченный набор . Сети обобщают понятие последовательности, заменяя ℕ произвольным направленным набором . В определенных категориях топологических пространств, таких как пространства с первой счетностью , последовательности характеризуют большинство топологических свойств, но в общем случае это неверно. Однако сети — как и фильтры — всегда характеризуют эти топологические свойства.
Фильтры не включают в себя никаких множеств, внешних по отношению к топологическому пространству X , тогда как последовательности и сети полагаются на другие направленные множества. По этой причине совокупность всех фильтров на X всегда является множеством , тогда как совокупность всех сетей со значениями X является собственным классом .
Любая точка x в топологическом пространстве X определяет фильтр соседства или систему N x : а именно, семейство всех множеств, содержащих x в своей внутренней части . Множество N окрестностей x является базой соседства в x, если N порождает N x . Эквивалентно, S ⊆ X является окрестностью x тогда и только тогда, когда существует N ∈ N такое, что N ⊆ S .
Предварительный фильтр B сходится к точке x , что записывается как B → x , тогда и только тогда, когда B генерирует фильтр F , содержащий фильтр соседства N x — явно, для каждой окрестности U точки x существует некоторая V ∈ B такая, что V ⊆ U . Менее явно, B → x тогда и только тогда, когда B очищает N x , и любая база соседства в x может заменить N x в этом условии. Очевидно, что каждая база соседства в x сходится к x .
Фильтр F (который генерирует сам себя) сходится к x, если N x ⊆ F. Вышесказанное можно также применить в обратном порядке, чтобы охарактеризовать фильтр соседства N x : N x — это самый тонкий фильтр, более грубый, чем каждый фильтр, сходящийся к x .
Если B → x , то x называется пределом (точкой) B . Говорят, что предварительный фильтр B кластеризуется в x (или имеет x как точку кластеризации ) тогда и только тогда, когда каждый элемент B имеет непустое пересечение с каждой окрестностью x . Каждая предельная точка является точкой кластеризации, но обратное в общем случае неверно. Однако каждая точка кластеризации ультрафильтра является предельной точкой.
