Модель Дебая

Метод в физике

Питер Дебай

В термодинамике и физике твердого тела модель Дебая — это метод, разработанный Питером Дебаем в 1912 году для оценки вклада фононов в удельную теплоемкость ( теплоемкость ) в твердом теле . ^{[1] В ней} колебания атомной решетки (тепло) рассматриваются как фононы в ящике, в отличие от фотоэлектронной модели Эйнштейна , которая рассматривает твердое тело как множество отдельных, невзаимодействующих квантовых гармонических осцилляторов . Модель Дебая правильно предсказывает низкотемпературную зависимость теплоемкости твердых тел, которая пропорциональна ^{[ нужны пояснения ]} – закону Дебая Т ³ . Подобно модели фотоэлектрона Эйнштейна, она восстанавливает закон Дюлонга – Пти при высоких температурах. Из-за упрощающих предположений его точность страдает при промежуточных температурах ^{[ необходимы пояснения ]} . ${\displaystyle T^{3}}$

Вывод

Модель Дебая представляет собой твердотельный эквивалент закона излучения черного тела Планка , который рассматривает электромагнитное излучение как фотонный газ, заключенный в вакуумном пространстве. Соответственно, модель Дебая рассматривает атомные колебания как фононы, заключенные в объеме твердого тела. Большинство шагов расчета идентичны, поскольку оба являются примерами безмассового бозе -газа с линейным законом дисперсии .

Для куба со стороной , резонирующие моды звуковых возмущений (рассматривая пока только те, которые ориентированы по одной оси), рассматриваемые как частицы в ящике , имеют длины волн , заданные как ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \lambda _{n}={2L \over n}\,,}$

где целое число. Энергия фонона определяется как ${\displaystyle n}$

${\displaystyle E_{n}\ =h\nu _{n}\,,}$

где – постоянная Планка , – частота фонона. Приближая, что частота обратно пропорциональна длине волны, ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \nu _{n}}$

${\displaystyle E_{n}=h\nu _{n}={hc_{\rm {s}} \over \lambda _{n}}={hc_{s}n \over 2L}\,,}$

где – скорость звука внутри твердого тела. В трех измерениях энергию можно обобщить до ${\displaystyle c_{s}}$

${\displaystyle E_{n}^{2}={p_{n}^{2}c_{\rm {s}}^{2}}=\left({hc_{\rm {s}} \over 2L}\right)^{2}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)\,,}$

где – величина трехмерного импульса фонона, а , , – компоненты резонансной моды вдоль каждой из трех осей . ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n_{y}}$ ${\displaystyle n_{z}}$

Приближение того, что частота обратно пропорциональна длине волны ( что дает постоянную скорость звука ) хорошо для фононов низкой энергии, но не для фононов высокой энергии, что является ограничением модели Дебая. Такое приближение приводит к неправильным результатам при промежуточных температурах, тогда как результаты точны в низком и высоком температурном пределах.

Полная энергия в ящике определяется выражением ${\displaystyle U}$

${\displaystyle U=\sum _{n}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})\,,}$

где – число фононов в ящике с энергией ; полная энергия равна сумме энергий по всем энергетическим уровням, а энергия на данном уровне находится путем умножения уровня энергии на количество фононов с этой энергией. В трех измерениях каждая комбинация мод по каждой из трех осей соответствует уровню энергии, что дает полную энергию как: ${\displaystyle {\bar {N}}(E_{n})}$ ${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle U=\sum _{n_{x}}\sum _{n_{y}}\sum _{n_{z}}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})\,.}$

Модель Дебая и закон излучения черного тела Планка различаются здесь относительно этой суммы. В отличие от электромагнитного фотонного излучения в ящике, существует конечное число энергетических состояний фононов , поскольку фонон не может иметь сколь угодно высокую частоту. Его частота ограничена средой распространения — атомной решеткой твердого тела . На следующей иллюстрации описаны поперечные фононы в кубическом твердом теле на разных частотах:

Разумно предположить, что минимальная длина волны фонона в два раза превышает расстояние между атомами, как показано в самом нижнем примере. Для атомов кубического твердого тела длина каждой оси куба равна длине атома. Тогда разделение атомов определяется выражением , а минимальная длина волны равна ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{N}}}$ ${\displaystyle L/{\sqrt[{3}]{N}}}$

${\displaystyle \lambda _{\rm {min}}={2L \over {\sqrt[{3}]{N}}}\,,}$

создание максимального номера режима : ${\displaystyle n_{max}}$

${\displaystyle n_{\rm {max}}={\sqrt[{3}]{N}}\,.}$

Это контрастирует с фотонами, для которых максимальное число мод бесконечно. Это число ограничивает верхний предел тройной суммы энергий

${\displaystyle U=\sum _{n_{x}}^{\sqrt[{3}]{N}}\sum _{n_{y}}^{\sqrt[{3}]{N}}\sum _{n_{z}}^{\sqrt[{3}]{N}}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})\,.}$

Если – функция , медленно меняющаяся по , то суммы можно аппроксимировать интегралами : ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U\approx \int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}E(n)\,{\bar {N}}\left(E(n)\right)\,dn_{x}\,dn_{y}\,dn_{z}\,.}$

Для вычисления этого интеграла необходимо также знать функцию , число фононов с энергией . Фононы подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна , и их распределение задается формулой статистики Бозе-Эйнштейна: ${\displaystyle {\bar {N}}(E)}$ ${\displaystyle E\,,}$

${\displaystyle \langle N\rangle _{BE}={1 \over e^{E/kT}-1}\,.}$

Поскольку фонон имеет три возможных состояния поляризации (одно продольное и два поперечных , которые приблизительно не влияют на его энергию), приведенную выше формулу необходимо умножить на 3:

${\displaystyle {\bar {N}}(E)={3 \over e^{E/kT}-1}\,.}$

Рассмотрение всех трех состояний поляризации вместе также означает, что должна быть определена эффективная скорость звука и использована как значение стандартной скорости звука. Определенная ниже температура Дебая пропорциональна ; точнее, , где усреднены продольные и поперечные скорости звуковых волн , взвешенные по числу состояний поляризации. Температура Дебая или эффективная скорость звука является мерой твердости кристалла. ${\displaystyle c_{\rm {eff}}}$ ${\displaystyle c_{s}.}$ ${\displaystyle T_{\rm {D}}}$ ${\displaystyle c_{\rm {eff}}}$ ${\displaystyle T_{\rm {D}}^{-3}\propto c_{\rm {eff}}^{-3}:={\frac {1}{3}}c_{\rm {long}}^{-3}+{\frac {2}{3}}c_{\rm {trans}}^{-3}}$

Подстановка в интеграл энергии дает ${\displaystyle {\bar {N}}(E)}$

${\displaystyle U=\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}E(n)\,{3 \over e^{E(n)/kT}-1}\,dn_{x}\,dn_{y}\,dn_{z}\,.}$

Эти интегралы легко вычисляются для фотонов, поскольку их частота, по крайней мере полуклассически, не связана. Этого нельзя сказать о фононах, поэтому для аппроксимации этого тройного интеграла Питер Дебай использовал сферические координаты ,

${\displaystyle \ (n_{x},n_{y},n_{z})=(n\sin \theta \cos \phi ,n\sin \theta \sin \phi ,n\cos \theta )\,,}$

и аппроксимировал куб восьмой сферой ,

${\displaystyle U\approx \int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{R}E(n)\,{3 \over e^{E(n)/kT}-1}n^{2}\sin \theta \,dn\,d\theta \,d\phi \,,}$

где радиус этой сферы. Поскольку функция энергии не зависит ни от одного из углов, уравнение можно упростить до ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \,3\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\pi /2}\sin \theta \,d\theta \,d\phi \,\int _{0}^{R}E(n)\,{\frac {1}{e^{E(n)/kT}-1}}n^{2}dn\,={\frac {3\pi }{2}}\int _{0}^{R}E(n)\,{\frac {1}{e^{E(n)/kT}-1}}n^{2}dn\,}$

Число частиц в исходном кубе и в восьмой сфере должно быть эквивалентным. Объем куба – это объемы элементарной ячейки , ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N={1 \over 8}{4 \over 3}\pi R^{3}\,,}$

такой, что радиус должен быть

${\displaystyle R={\sqrt[{3}]{6N \over \pi }}\,.}$

Замена правильного интеграла по кубу интегрированием по сфере вносит еще один источник неточности в полученную модель.

После сферической замены и подстановки в функцию интеграл энергии принимает вид ${\displaystyle E(n)\,}$

${\displaystyle U={3\pi \over 2}\int _{0}^{R}\,{hc_{s}n \over 2L}{n^{2} \over e^{hc_{\rm {s}}n/2LkT}-1}\,dn}$.

Изменение переменной интегрирования на , ${\displaystyle x={hc_{\rm {s}}n \over 2LkT}}$

${\displaystyle U={3\pi \over 2}kT\left({2LkT \over hc_{\rm {s}}}\right)^{3}\int _{0}^{hc_{\rm {s}}R/2LkT}{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx.}$

Чтобы упростить вид этого выражения, определим температуру Дебая ${\displaystyle T_{\rm {D}}}$

${\displaystyle T_{\rm {D}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {hc_{\rm {s}}R \over 2Lk}={hc_{\rm {s}} \over 2Lk}{\sqrt[{3}]{6N \over \pi }}={hc_{\rm {s}} \over 2k}{\sqrt[{3}]{{6 \over \pi }{N \over V}}}}$

где - объем кубического ящика со стороной . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

Некоторые авторы ^{[2] [3]} описывают температуру Дебая как сокращение некоторых констант и переменных, зависящих от материала. Однако она примерно равна энергии фононов моды с минимальной длиной волны, поэтому мы можем интерпретировать температуру Дебая как температуру, при которой возбуждается мода с самой высокой частотой. Кроме того, поскольку все остальные моды имеют более низкую энергию, чем высокочастотная мода, все моды возбуждаются при этой температуре. ^{[ оригинальное исследование? ]} ${\displaystyle kT_{\rm {D}}}$

Из полной энергии можно рассчитать удельную внутреннюю энергию:

${\displaystyle {\frac {U}{Nk}}=9T\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx=3TD_{3}\left({T_{\rm {D}} \over T}\right)\,,}$

где – третья функция Дебая . Дифференцирование этой функции по дает безразмерную теплоемкость: ${\displaystyle D_{3}(x)}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}=9\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}{x^{4}e^{x} \over \left(e^{x}-1\right)^{2}}\,dx\,.}$

Эти формулы учитывают модель Дебая при всех температурах. Более элементарные формулы, приведенные ниже, дают асимптотическое поведение в пределе низких и высоких температур. Основная причина точности при низких и высоких энергиях заключается, соответственно, в том, что модель Дебая дает точное дисперсионное соотношение на низких частотах и ​​соответствует точной плотности состояний при высоких температурах относительно числа колебаний на частотный интервал. ^{[ оригинальное исследование? ]} ${\displaystyle E(\nu )}$ ${\textstyle (\int g(\nu )\,d\nu \equiv 3N)}$

Вывод Дебая

Дебай вывел свое уравнение иначе и проще. Используя механику сплошной среды , он обнаружил, что число колебательных состояний с частотой меньше определенного значения асимптотически равно

${\displaystyle n\sim {1 \over 3}\nu ^{3}VF\,,}$

где - объем, а - коэффициент, который он вычислил на основе коэффициентов упругости и плотности. Объединение этой формулы с ожидаемой энергией гармонического осциллятора при температуре (уже использованной Эйнштейном в его модели) дало бы энергию ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \,,}$

если бы частоты колебаний продолжались до бесконечности. Эта форма обеспечивает поведение, правильное при низких температурах. Но Дебай понял, что для атомов N не может быть ничего, кроме колебательных состояний. Он сделал предположение, что в атомном твердом теле спектр частот колебательных состояний будет продолжать подчиняться вышеуказанному правилу вплоть до максимальной частоты, выбранной так , чтобы общее число состояний было равно ${\displaystyle T^{3}}$ ${\displaystyle 3N}$ ${\displaystyle \nu _{m}}$

${\displaystyle 3N={1 \over 3}\nu _{m}^{3}VF\,.}$

Дебай знал, что это предположение не совсем верно (более высокие частоты расположены более близко, чем предполагалось), но оно гарантирует правильное поведение при высокой температуре ( закон Дюлонга-Пти ). Тогда энергия определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\int _{0}^{\nu _{m}}\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \,,\\&=VFkT(kT/h)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\,.\end{aligned}}}$

Заменяя , ​ ${\displaystyle T_{\rm {D}}}$ ${\displaystyle h\nu _{m}/k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=9NkT(T/T_{\rm {D}})^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\,,\\&=3NkTD_{3}(T_{\rm {D}}/T)\,,\end{aligned}}}$

где функция, позже получившая название функции Дебая третьего порядка . ${\displaystyle D_{3}}$

Еще один вывод

Сначала распределение частот колебаний получено из Приложения VI к книге Террелла Л. Хилла « Введение в статистическую механику» . ^[4] Рассмотрим трехмерное изотропное упругое твердое тело с N атомами в форме прямоугольного параллелепипеда с длинами сторон . Упругая волна будет подчиняться волновому уравнению и будет плоской волной ; рассмотрим волновой вектор и определим , такой, что ${\displaystyle L_{x},L_{y},L_{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})}$ ${\displaystyle l_{x}={\frac {k_{x}}{|\mathbf {k} |}},l_{y}={\frac {k_{y}}{|\mathbf {k} |}},l_{z}={\frac {k_{z}}{|\mathbf {k} |}}}$

Решения волнового уравнения :

${\displaystyle u(x,y,z,t)=\sin(2\pi \nu t)\sin \left({\frac {2\pi l_{x}x}{\lambda }}\right)\sin \left({\frac {2\pi l_{y}y}{\lambda }}\right)\sin \left({\frac {2\pi l_{z}z}{\lambda }}\right)}$

и с граничными условиями при , ${\displaystyle u=0}$ ${\displaystyle x,y,z=0,x=L_{x},y=L_{y},z=L_{z}}$

где положительные целые числа . Подставив ( 2 ) в ( 1 ) и воспользовавшись также дисперсионным соотношением , ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$ ${\displaystyle c_{s}=\lambda \nu }$

${\displaystyle {\frac {n_{x}^{2}}{(2\nu L_{x}/c_{s})^{2}}}+{\frac {n_{y}^{2}}{(2\nu L_{y}/c_{s})^{2}}}+{\frac {n_{z}^{2}}{(2\nu L_{z}/c_{s})^{2}}}=1.}$

Вышеприведенное уравнение для фиксированной частоты описывает восьмую часть эллипса в «пространстве мод» (восьмую, потому что они положительны). Число мод с частотой меньше, таким образом, является количеством целых точек внутри эллипса, которое в пределе (т. е. для очень большого параллелепипеда) можно аппроксимировать объемом эллипса. Следовательно, число мод с частотой в диапазоне равно ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle L_{x},L_{y},L_{z}\to \infty }$ ${\displaystyle N(\nu )}$ ${\displaystyle [0,\nu ]}$

где объем параллелепипеда. Скорость волны в продольном направлении отличается от поперечного направления, и волны могут быть поляризованы в одну сторону в продольном направлении и в две стороны в поперечном направлении и могут быть определены как . ${\displaystyle V=L_{x}L_{y}L_{z}}$ ${\displaystyle {\frac {3}{c_{s}^{3}}}={\frac {1}{c_{\text{long}}^{3}}}+{\frac {2}{c_{\text{trans}}^{3}}}}$

Следуя выводам из «Первого курса термодинамики» ^[5] , определен верхний предел частоты вибрации ; поскольку в твердом теле есть атомы, существуют квантовые гармонические осцилляторы (по три для каждого направления x, y, z), колеблющиеся в диапазоне частот . можно определить с помощью ${\displaystyle \nu _{D}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 3N}$ ${\displaystyle [0,\nu _{D}]}$ ${\displaystyle \nu _{D}}$

Определив , где k — постоянная Больцмана , а h — постоянная Планка , и подставив ( 4 ) в ( 3 ), ${\displaystyle \nu _{\rm {D}}={\frac {kT_{\rm {D}}}{h}}}$

это определение более стандартно; можно найти энергетический вклад для всех генераторов , колеблющихся на определенной частоте . Квантовые гармонические осцилляторы могут иметь энергии, при которых , используя статистику Максвелла-Больцмана , количество частиц с энергией равно ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle E_{i}=(i+1/2)h\nu }$ ${\displaystyle i=0,1,2,\dotsc }$ ${\displaystyle E_{i}}$

${\displaystyle n_{i}={\frac {1}{A}}e^{-E_{i}/(kT)}={\frac {1}{A}}e^{-(i+1/2)h\nu /(kT)}.}$

Тогда вклад энергии для генераторов с частотой будет ${\displaystyle \nu }$

Отмечая, что (поскольку существуют моды, колеблющиеся с частотой ), ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }n_{i}=dN(\nu )}$ ${\displaystyle dN(\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\frac {1}{A}}e^{-1/2h\nu /(kT)}\sum _{i=0}^{\infty }e^{-ih\nu /(kT)}={\frac {1}{A}}e^{-1/2h\nu /(kT)}{\frac {1}{1-e^{-h\nu /(kT)}}}=dN(\nu ).}$

Сверху мы можем получить выражение для 1/A; подставив его в ( 6 ),

${\displaystyle {\begin{aligned}dU&=dN(\nu )e^{1/2h\nu /(kT)}(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }h\nu (i+1/2)e^{-h\nu (i+1/2)/(kT)}\\\\&=dN(\nu )(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }h\nu (i+1/2)e^{-h\nu i/(kT)}\\&=dN(\nu )h\nu \left({\frac {1}{2}}+(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }ie^{-h\nu i/(kT)}\right)\\&=dN(\nu )h\nu \left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}\right).\end{aligned}}}$

Интегрирование по ν дает

${\displaystyle U={\frac {9Nh^{4}}{k^{3}T_{\rm {D}}^{3}}}\int _{0}^{\nu _{D}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}\right)\nu ^{3}d\nu .}$

Температурные пределы

Говорят, что температура дебаевского твердого тела низкая, если , что приводит к ${\displaystyle T\ll T_{\rm {D}}}$

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 9\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{\infty }{x^{4}e^{x} \over \left(e^{x}-1\right)^{2}}\,dx.}$

Этот определенный интеграл можно вычислить точно:

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim {12\pi ^{4} \over 5}\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}.}$

В низкотемпературном пределе ограничения модели Дебая, упомянутые выше, не применяются, и она дает правильное соотношение между (фононной) теплоемкостью , температурой , коэффициентами упругости и объемом, приходящимся на атом (последние величины содержатся в температура Дебая).

Температура дебаевского твердого тела называется высокой, если . Использование if приводит к ${\displaystyle T\gg T_{\rm {D}}}$ ${\displaystyle e^{x}-1\approx x}$ ${\displaystyle |x|\ll 1}$

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 9\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}{x^{4} \over x^{2}}\,dx}$

что при интегрировании дает

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 3\,.}$

Это закон Дюлонга-Пти , и он достаточно точен, хотя и не учитывает ангармонизм , который приводит к дальнейшему росту теплоемкости . Общая теплоемкость твердого тела, если оно является проводником или полупроводником , также может содержать немаловажный вклад электронов.

Дебай против Эйнштейна

Дебай против Эйнштейна . Прогнозируемая теплоемкость в зависимости от температуры.

Модели Дебая и Эйнштейна близко соответствуют экспериментальным данным, но модель Дебая корректна при низких температурах, а модель Эйнштейна — нет. Чтобы визуализировать разницу между моделями, естественно, можно было бы построить их на одном и том же наборе осей, но это невозможно сразу, поскольку и модель Эйнштейна, и модель Дебая обеспечивают функциональную форму теплоемкости. В качестве моделей им требуются масштабы, чтобы соотнести их с реальными аналогами. Видно, что масштаб модели Эйнштейна определяется следующим образом : ${\displaystyle \epsilon /k}$

${\displaystyle C_{V}=3Nk\left({\epsilon \over kT}\right)^{2}{e^{\epsilon /kT} \over \left(e^{\epsilon /kT}-1\right)^{2}}.}$

Масштаб модели Дебая — температура Дебая. Оба обычно находятся путем подгонки моделей к экспериментальным данным. (Температуру Дебая теоретически можно рассчитать, исходя из скорости звука и размеров кристалла.) Поскольку два метода подходят к проблеме с разных направлений и с разной геометрией, масштабы Эйнштейна и Дебая не одинаковы , то есть ${\displaystyle T_{\rm {D}}}$

${\displaystyle {\epsilon \over k}\neq T_{\rm {D}}\,,}$

а это значит, что строить их на одном и том же наборе осей не имеет смысла. Это две модели одного и того же, но разного масштаба. Если определить температуру конденсации Эйнштейна как

${\displaystyle T_{\rm {E}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\epsilon \over k}\,,}$

тогда можно сказать

${\displaystyle T_{\rm {E}}\neq T_{\rm {D}}\,,}$

и для связи этих двух показателей используется соотношение . ${\displaystyle {\frac {T_{\rm {E}}}{T_{\rm {D}}}}\,}$

Твердое тело Эйнштейна состоит из одночастотных квантовых гармонических осцилляторов , . Эта частота, если бы она действительно существовала, была бы связана со скоростью звука в твердом теле. Если представить распространение звука как последовательность ударяющихся друг о друга атомов, то частота колебаний должна соответствовать минимальной длине волны, поддерживаемой атомной решеткой, , где ${\displaystyle \epsilon =\hbar \omega =h\nu }$ ${\displaystyle \lambda _{min}}$

${\displaystyle \nu ={c_{\rm {s}} \over \lambda }={c_{\rm {s}}{\sqrt[{3}]{N}} \over 2L}={c_{\rm {s}} \over 2}{\sqrt[{3}]{N \over V}}}$,

что делает температуру Эйнштейна и, следовательно, искомое соотношение ${\displaystyle T_{\rm {E}}={\epsilon \over k}={h\nu \over k}={hc_{\rm {s}} \over 2k}{\sqrt[{3}]{N \over V}}\,,}$

${\displaystyle {T_{\rm {E}} \over T_{\rm {D}}}={\sqrt[{3}]{\pi \over 6}}\ =0.805995977...}$

Используя это соотношение, обе модели можно построить на одном графике. Это кубический корень из отношения объема одного октанта трехмерной сферы к объему содержащего его куба, что является всего лишь поправочным коэффициентом, использованным Дебаем при аппроксимации приведенного выше интеграла энергии. Альтернативно, отношение двух температур можно рассматривать как отношение единственной частоты Эйнштейна, на которой колеблются все генераторы, и максимальной частоты Дебая. Тогда единственную частоту Эйнштейна можно рассматривать как среднее значение частот, доступных модели Дебая.

Таблица температур Дебая

Несмотря на то, что модель Дебая не совсем правильна, она дает хорошее приближение для низкотемпературной теплоемкости изолирующих кристаллических твердых тел, где другие вклады (например, высокоподвижные электроны проводимости) незначительны. Для металлов вклад электронов в тепло пропорционален , что при низких температурах доминирует над результатом Дебая для колебаний решетки. В этом случае можно сказать, что модель Дебая лишь аппроксимирует вклад решетки в теплоемкость. В следующей таблице приведены температуры Дебая для нескольких чистых элементов ^[2] и сапфира: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{3}}$

Соответствие модели Дебая экспериментальным данным часто феноменологически улучшается, если температура Дебая становится зависимой от температуры; Например, в ^{[6] значение для льда увеличивается примерно с 222 К [7]} до 300 К ^[8] при изменении температуры от абсолютного нуля до примерно 100 К.

Распространение на другие квазичастицы

Для других бозонных квазичастиц , например магнонов (квантованных спиновых волн) в ферромагнетиках вместо фононов (квантованных звуковых волн), можно получить аналогичные результаты. При этом на низких частотах имеют место другие дисперсионные соотношения импульса и энергии, например, для магнонов, а не для фононов (при ). Также имеется разная плотность состояний (например, ). Как следствие, в ферромагнетиках возникает магнонный вклад в теплоемкость , который при достаточно низких температурах доминирует над фононным вкладом . В металлах, напротив, основной низкотемпературный вклад в теплоемкость вносят электроны. Он фермионный и рассчитывается различными методами, начиная с модели свободных электронов Зоммерфельда . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle E(\nu )\propto k^{2}}$ ${\displaystyle E(\nu )\propto k}$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle \int g(\nu ){\rm {d}}\nu \equiv N\,}$ ${\displaystyle \Delta C_{\,{\rm {V|\,magnon}}}\,\propto T^{3/2}}$ ${\displaystyle \,\Delta C_{\,{\rm {V|\,phonon}}}\propto T^{3}}$ ${\displaystyle \propto T}$

Распространение на жидкости

Долгое время считалось, что фононная теория не способна объяснить теплоемкость жидкостей, поскольку жидкости поддерживают только продольные, но не поперечные фононы, которые в твердых телах отвечают за 2/3 теплоемкости. Однако эксперименты по рассеянию Бриллюэна на нейтронах и рентгеновских лучах , подтвердив интуицию Якова Френкеля , ^[9] показали, что поперечные фононы действительно существуют в жидкостях, хотя и ограничены частотами выше порога, называемого частотой Френкеля. Поскольку большая часть энергии содержится в этих высокочастотных модах, простой модификации модели Дебая достаточно, чтобы получить хорошее приближение к экспериментальным значениям теплоемкости простых жидкостей. ^[10] Совсем недавно было показано, что мгновенные нормальные моды, связанные с релаксацией из седловых точек в энергетическом ландшафте жидкости, которые доминируют в частотном спектре жидкостей на низких частотах, могут определять удельную теплоемкость жидкостей как функцию температуры в течение широкий ассортимент. ^[11]

Частота Дебая

Частота Дебая ( символ: или ) — это параметр модели Дебая , который относится к граничной угловой частоте волн гармонической цепочки масс, используемый для описания движения ионов в кристаллической решетке и, более конкретно, для правильного предсказывают, что теплоемкость в таких кристаллах постоянна при высоких температурах (закон Дюлонга – Пти). Эта концепция была впервые представлена ​​Питером Дебаем в 1912 году. ^[12] ${\displaystyle \omega _{\rm {Debye}}}$ ${\displaystyle \omega _{\rm {D}}}$

В этом разделе предполагаются периодические граничные условия .

Определение

Предполагая, что дисперсионное соотношение равно

${\displaystyle \omega =v_{\rm {s}}|\mathbf {k} |,}$

при скорости звука в кристалле и k волнового вектора значение дебаевской частоты будет следующим: ${\displaystyle v_{\rm {s}}}$

Для одномерной одноатомной цепочки дебаевская частота равна ^[13]

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}=v_{\rm {s}}\pi /a=v_{\rm {s}}\pi N/L=v_{\rm {s}}\pi \lambda ,}$

где — расстояние между двумя соседними атомами в цепи, когда система находится в основном энергетическом состоянии , при этом ни один из атомов не движется относительно друг друга; общее количество атомов в цепи; размер системы, то есть длина цепи; и линейная плотность чисел . Для , , и соотношение выполняется. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle L=Na}$

Для двумерной одноатомной квадратной решетки дебаевская частота равна

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {4\pi }{a^{2}}}v_{\rm {s}}^{2}={\frac {4\pi N}{A}}v_{\rm {s}}^{2}\equiv 4\pi \sigma v_{\rm {s}}^{2},}$

с — размер (площадь) поверхности и поверхностная плотность чисел . ${\displaystyle A\equiv L^{2}=Na^{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Для трехмерного одноатомного примитивного кубического кристалла дебаевская частота равна ^[14]

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{3}={\frac {6\pi ^{2}}{a^{3}}}v_{\rm {s}}^{3}={\frac {6\pi ^{2}N}{V}}v_{\rm {s}}^{3}\equiv 6\pi ^{2}\rho v_{\rm {s}}^{3},}$

в зависимости от размера системы и объемной плотности числа . ${\displaystyle V\equiv L^{3}=Na^{3}}$ ${\displaystyle \rho }$

Общая формула для частоты Дебая как функции числа измерений для (гипер)кубической решетки: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{n}=2^{n}\pi ^{n/2}\Gamma \left(1+{\tfrac {n}{2}}\right){\frac {N}{L^{n}}}v_{\rm {s}}^{n},}$

с гамма -функцией . ${\displaystyle \Gamma }$

Скорость звука в кристалле зависит, среди прочего, от массы атомов, силы их взаимодействия, давления на систему, поляризации спиновой волны (продольной или поперечной). Далее предполагается, что скорость звука одинакова для любой поляризации, хотя это ограничивает применимость результата. ^[15]

Легко доказать неточность предполагаемого дисперсионного соотношения для одномерной цепочки масс, но в модели Дебая это не оказывается проблематичным. ^{[ нужна цитата ]}

Связь с температурой Дебая

Температура Дебая , еще один параметр модели Дебая, связана с частотой Дебая соотношением ${\displaystyle \theta _{\rm {D}}}$

$${\displaystyle \theta _{\rm {D}}={\frac {\hbar }{k_{\rm {B}}}}\omega _{\rm {D}},}$$

постоянная Больцмана ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$

Вывод Дебая

Трехмерный кристалл

При выводе теплоемкости Дебая он суммирует все возможные режимы системы, учитывая различные направления и поляризации. Он предположил, что общее число мод на поляризацию равно , количество масс в системе и общее количество равно ^[15] ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3=3N,}$

с тремя поляризациями на моду. Сумма суммируется по всем модам без различения различных поляризаций, а затем подсчитывает общее количество комбинаций поляризации и мод. Дебай сделал это предположение, основываясь на предположении классической механики о том, что число мод на поляризацию в цепочке масс всегда должно быть равно числу масс в цепочке.

Левую часть можно сделать явным, чтобы показать, как она зависит от частоты Дебая, введенной сначала как граничная частота, за пределами которой не существует частот. Связав частоту среза с максимальным количеством мод, можно получить выражение для частоты среза.

Прежде всего, если предположить, что он очень велик ( ≫ 1, с размером системы в любом из трех направлений), наименьший волновой вектор в любом направлении можно аппроксимировать как: , с . Меньшие волновые векторы не могут существовать из-за периодических граничных условий . Таким образом, суммирование будет выглядеть так: ^[16] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle dk_{i}=2\pi /L}$ ${\displaystyle i=x,y,z}$

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3={\frac {3V}{(2\pi )^{3}}}\iiint d\mathbf {k} ,}$

где ; размер системы; и интеграл (как суммирование) ведется по всем возможным модам, которые считаются конечной областью (ограниченной частотой среза). ${\displaystyle \mathbf {k} \equiv (k_{x},k_{y},k_{z})}$ ${\displaystyle V\equiv L^{3}}$

Тройной интеграл можно переписать как одиночный по всем возможным значениям абсолютного значения (см. Якобиан для сферических координат ). Результат ${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle {\frac {3V}{(2\pi )^{3}}}\iiint d\mathbf {k} ={\frac {3V}{2\pi ^{2}}}\int _{0}^{k_{\rm {D}}}|\mathbf {k} |^{2}d\mathbf {k} ,}$

с абсолютным значением волнового вектора, соответствующим дебаевской частоте, т. е. . ${\displaystyle k_{\rm {D}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {D}}=\omega _{\rm {D}}/v_{\rm {s}}}$

Поскольку дисперсионное соотношение равно , его можно записать в виде интеграла по всем возможным : ${\displaystyle \omega =v_{\rm {s}}|\mathbf {k} |}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\frac {3V}{2\pi ^{2}}}\int _{0}^{k_{\rm {D}}}|\mathbf {k} |^{2}d\mathbf {k} ={\frac {3V}{2\pi ^{2}v_{\rm {s}}^{3}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}\omega ^{2}d\omega ,}$

После решения интеграла снова приравнивается найти ${\displaystyle 3N}$

${\displaystyle {\frac {V}{2\pi ^{2}v_{\rm {s}}^{3}}}\omega _{\rm {D}}^{3}=3N.}$

Его можно переставить в

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{3}={\frac {6\pi ^{2}N}{V}}v_{\rm {s}}^{3}.}$

Одномерная цепь в трехмерном пространстве

Тот же вывод можно было бы сделать и для одномерной цепочки атомов. Число мод остается неизменным, поскольку поляризаций по-прежнему три, поэтому

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3=3N.}$

Остальная часть вывода аналогична предыдущему, поэтому левая часть переписана относительно дебаевской частоты:

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3={\frac {3L}{2\pi }}\int _{-k_{\rm {D}}}^{k_{\rm {D}}}dk={\frac {3L}{\pi v_{\rm {s}}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}d\omega .}$

Последний шаг умножается на два, поскольку подынтегральное выражение в первом интеграле четное, а границы интегрирования симметричны относительно начала координат, поэтому интеграл можно переписать как от 0 до после масштабирования в 2 раза. Это также эквивалентно к утверждению, что объём одномерного шара в два раза больше его радиуса. Применив замену , наши границы теперь от 0 до , что дает нам самый правый интеграл. Мы продолжаем; ${\displaystyle k_{D}}$ ${\displaystyle k={\frac {\omega }{v_{s}}}}$ ${\displaystyle \omega _{D}=k_{D}v_{s}}$

${\displaystyle {\frac {3L}{\pi v_{\rm {s}}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}d\omega ={\frac {3L}{\pi v_{\rm {s}}}}\omega _{\rm {D}}=3N.}$

Заключение:

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi v_{\rm {s}}N}{L}}.}$

Двумерный кристалл

Тот же вывод можно было бы сделать и для двумерного кристалла. Количество мод остается неизменным, поскольку поляризаций по-прежнему три. Вывод аналогичен предыдущим двум. Начнем с того же уравнения,

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3=3N.}$

А затем левая часть переписывается и приравнивается к ${\displaystyle 3N}$

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3={\frac {3A}{(2\pi )^{2}}}\iint d\mathbf {k} ={\frac {3A}{2\pi v_{\rm {s}}^{2}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}\omega d\omega ={\frac {3A\omega _{\rm {D}}^{2}}{4\pi v_{\rm {s}}^{2}}}=3N,}$

где размер системы. ${\displaystyle A\equiv L^{2}}$

Его можно переписать как

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {4\pi N}{A}}v_{\rm {s}}^{2}.}$

Поляризационная зависимость

В действительности продольные волны часто имеют другую скорость волны, чем поперечные волны. Предположение о том, что скорости равны, упростило окончательный результат, но повторное введение различия повышает точность конечного результата.

Дисперсионное соотношение становится , где каждая соответствует одной из трех поляризаций. Однако частота среза не зависит от . Мы можем записать общее количество мод как , которое снова равно . Здесь суммирование по модам теперь зависит от . ${\displaystyle \omega _{i}=v_{s,i}|\mathbf {k} |}$ ${\displaystyle i=1,2,3}$ ${\displaystyle \omega _{\rm {D}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \sum _{i}\sum _{\rm {modes}}1}$ ${\displaystyle 3N}$ ${\displaystyle i}$

Одномерная цепь в трехмерном пространстве

Переписано суммирование по модам

${\displaystyle \sum _{i}\sum _{\rm {modes}}1=\sum _{i}{\frac {L}{\pi v_{s,i}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}d\omega _{i}=3N.}$

Результат

${\displaystyle {\frac {L\omega _{\rm {D}}}{\pi }}({\frac {1}{v_{s,1}}}+{\frac {1}{v_{s,2}}}+{\frac {1}{v_{s,3}}})=3N.}$

Таким образом находится дебаевская частота

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi N}{L}}{\frac {3}{{\frac {1}{v_{s,1}}}+{\frac {1}{v_{s,2}}}+{\frac {1}{v_{s,3}}}}}={\frac {3\pi N}{L}}{\frac {v_{s,1}v_{s,2}v_{s,3}}{v_{s,2}v_{s,3}+v_{s,1}v_{s,3}+v_{s,1}v_{s,2}}}={\frac {\pi N}{L}}v_{\mathrm {eff} }\,.}$

Рассчитанная эффективная скорость представляет собой среднее гармоническое значение скоростей для каждой поляризации. Предполагая, что две поперечные поляризации имеют одинаковую фазовую скорость и частоту, ${\displaystyle v_{\mathrm {eff} }}$

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {3\pi N}{L}}{\frac {v_{s,t}v_{s,l}}{2v_{s,l}+v_{s,t}}}.}$

Установка восстанавливает выражение, полученное ранее в предположении, что скорость одинакова для всех мод поляризации. ${\displaystyle v_{s,t}=v_{s,l}}$

Двумерный кристалл

Тот же вывод можно сделать и для двумерного кристалла, чтобы найти

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {4\pi N}{A}}{\frac {3}{{\frac {1}{v_{s,1}^{2}}}+{\frac {1}{v_{s,2}^{2}}}+{\frac {1}{v_{s,3}^{2}}}}}={\frac {12\pi N}{A}}{\frac {(v_{s,1}v_{s,2}v_{s,3})^{2}}{(v_{s,2}v_{s,3})^{2}+(v_{s,1}v_{s,3})^{2}+(v_{s,1}v_{s,2})^{2}}}={\frac {4\pi N}{A}}v_{\mathrm {eff} }^{2}\,.}$

Рассчитанная эффективная скорость представляет собой квадратный корень из среднего гармонического значения квадратов скоростей. Предполагая, что две поперечные поляризации одинаковы, ${\displaystyle v_{\mathrm {eff} }}$

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {12\pi N}{A}}{\frac {(v_{s,t}v_{s,l})^{2}}{2v_{s,l}^{2}+v_{s,t}^{2}}}.}$

Установка восстанавливает выражение, полученное ранее в предположении, что скорость одинакова для всех мод поляризации. ${\displaystyle v_{s,t}=v_{s,l}}$

Трехмерный кристалл

Тот же вывод можно сделать и для нахождения трехмерного кристалла (вывод аналогичен предыдущим выводам)

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {6\pi ^{2}N}{V}}{\frac {3}{{\frac {1}{v_{s,1}^{3}}}+{\frac {1}{v_{s,2}^{3}}}+{\frac {1}{v_{s,3}^{3}}}}}={\frac {18\pi ^{2}N}{V}}{\frac {(v_{s,1}v_{s,2}v_{s,3})^{3}}{(v_{s,2}v_{s,3})^{3}+(v_{s,1}v_{s,3})^{3}+(v_{s,1}v_{s,2})^{3}}}={\frac {6\pi ^{2}N}{V}}v_{\mathrm {eff} }^{3}\,.}$

Вычисленная эффективная скорость представляет собой кубический корень из среднего гармонического кубов скоростей. Предполагая, что две поперечные поляризации одинаковы, ${\displaystyle v_{\mathrm {eff} }}$

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{3}={\frac {18\pi ^{2}N}{V}}{\frac {(v_{s,t}v_{s,l})^{3}}{2v_{s,l}^{3}+v_{s,t}^{3}}}.}$

Установка восстанавливает выражение, полученное ранее в предположении, что скорость одинакова для всех мод поляризации. ${\displaystyle v_{s,t}=v_{s,l}}$

Вывод с учетом фактического дисперсионного соотношения

Поскольку имеют значение только дискретные точки, две разные волны могут оказывать одно и то же физическое проявление (см. Фонон ).

Эту проблему можно было бы сделать более применимой, если ослабить предположение о линейности дисперсионного уравнения. Вместо использования дисперсионного соотношения можно использовать более точное дисперсионное соотношение. В классической механике известно, что для эквидистантной цепочки масс, гармонически взаимодействующих друг с другом, дисперсионное соотношение имеет вид ^[15] ${\displaystyle \omega =v_{\rm {s}}k}$

$${\displaystyle \omega (k)=2{\sqrt {\frac {\kappa }{m}}}\left|\sin \left({\frac {ka}{2}}\right)\right|,}$$

это масса каждого атома, константа пружины гармонического осциллятора , а также расстояние между атомами в основном состоянии. После построения этого соотношения оценка Дебая длины волны отсечки, основанная на линейном предположении, остается точной, потому что для каждого волнового числа, большего (то есть для меньшего ), волновое число, которое меньше, чем может быть найдено с тем же угловым частота. Это означает, что результирующее физическое проявление моды с большим волновым числом неотличимо от моды с меньшим волновым числом. Поэтому исследование закона дисперсии можно ограничиться первой зоной Бриллюэна без потери точности и информативности. ^[17] Это возможно, поскольку система состоит из дискретизированных точек, как показано на анимированном изображении. Разделив дисперсионное уравнение на и подставив при , найдем скорость волны с равную ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \pi /a}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle \pi /a}$ ${\textstyle k\in \left[-{\frac {\pi }{a}},{\frac {\pi }{a}}\right]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \pi /a}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=\pi /a}$

$${\displaystyle v_{\rm {s}}(k=\pi /a)={\frac {2a}{\pi }}{\sqrt {\frac {\kappa }{m}}}.}$$

Просто подставив в исходное дисперсионное соотношение, мы находим ${\displaystyle k=\pi /a}$

$${\displaystyle \omega (k=\pi /a)=2{\sqrt {\frac {\kappa }{m}}}=\omega _{\rm {D}}.}$$

Объединив эти результаты, мы снова получаем тот же результат.

$${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi v_{\rm {s}}}{a}}.}$$

Однако для любой цепи большей сложности, включая двухатомные, соответствующие граничная частота и длина волны не очень точны, поскольку длина волны отсечки в два раза больше, а дисперсионное соотношение состоит из дополнительных ветвей, всего две для двухатомной цепи. цепь. Из этого результата также неясно, была ли для систем более высокой размерности точно предсказана Дебаем частота среза с учетом более точного дисперсионного соотношения.

Альтернативный вывод

Физический результат двух волн может быть одинаковым, если хотя бы одна из них имеет длину волны, более чем в два раза превышающую начальное расстояние между массами.

Для одномерной цепочки формулу для частоты Дебая можно также воспроизвести с помощью теоремы описания наложения спектров . Для этого вывода используется теорема выборки Найквиста-Шеннона , основное отличие состоит в том, что в случае одномерной цепочки дискретизация происходит не во времени, а в пространстве.

Частоту среза можно определить по длине волны среза. Из теоремы выборки мы знаем, что для длин волн, меньших или в два раза превышающих расстояние выборки, каждая мода является повторением моды с длиной волны больше , поэтому длина волны отсечки должна быть равна . Это снова приводит к рендерингу ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}=2a}$ ${\displaystyle k_{\rm {D}}={\frac {2\pi }{\lambda _{D}}}=\pi /a}$

$${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi v_{\rm {s}}}{a}}.}$$

Не имеет значения, какое соотношение дисперсии используется, поскольку будет рассчитана одна и та же частота среза.

Смотрите также

• Бозе-газ
• Газ в коробке
• Параметр Грюнайзена
• Температура Блоха – Грюнайзена
• Удельное электрическое сопротивление и проводимость # Температурная зависимость

Рекомендации

1. Дебай, Питер (1912). «Zur Theorie der spezifischen Waerme». Аннален дер Физик (на немецком языке). 39 (4): 789–839. Бибкод : 1912АнП...344..789Д. дои : 10.1002/andp.19123441404.
2. Киттель, Чарльз (2004). Введение в физику твердого тела (8-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0471415268.
3. Шредер, Дэниел В. «Введение в теплофизику» Аддисон-Уэсли, Сан-Франциско (2000). Раздел 7.5
4. Хилл, Террелл Л. (1960). Введение в статистическую механику . Ридинг, Массачусетс, США: Addison-Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 9780486652429.
5. Обераи, ММ; Шрикантия, Дж. (1974). Первый курс термодинамики . Нью-Дели, Индия: Prentice-Hall of India Private Limited. ISBN 9780876920183.
6. Паттерсон, Джеймс Д.; Бейли, Бернард К. (2007). Физика твердого тела: Введение в теорию . Спрингер. стр. 96–97. ISBN 978-3-540-34933-4.
7. Шульман, LM (2004). «Теплоемкость водяного льда в межзвездных или межпланетных условиях». Астрономия и астрофизика . 416 : 187–190. Бибкод : 2004A&A...416..187S. дои : 10.1051/0004-6361:20031746 .
8. Флубахер, П.; Ледбеттер, Эй Джей; Моррисон, Дж. А. (1960). «Теплоемкость льда при низких температурах». Журнал химической физики . 33 (6): 1751. Бибкод : 1960JChPh..33.1751F. дои : 10.1063/1.1731497.
9. В учебнике «Кинетическая теория жидкостей» (англ. 1947).
10. Болматов, Д.; Бражкин В.В.; Траченко, К. (2012). «Фононная теория термодинамики жидкости». Научные отчеты . 2 : 421. arXiv : 1202.0459 . Бибкод : 2012NatSR...2E.421B. дои : 10.1038/srep00421. ПМЦ 3359528 . ПМИД  22639729. 
11. Баджоли, М.; Закконе, А. (2021). «Объяснение теплоемкости жидкостей на основе мгновенных нормальных режимов». Физический обзор E . 104 (1): 014103. arXiv : 2101.07585 . Бибкод : 2021PhRvE.104a4103B. дои : 10.1103/PhysRevE.104.014103. ПМИД  34412350.
12. Дебай, П. (1912). «Zur Theorie der spezifischen Wärmen». Аннален дер Физик . 344 (14): 789–839. Бибкод : 1912АнП...344..789Д. дои : 10.1002/andp.19123441404. ISSN  1521-3889.
13. «Одномерное одноатомное твердое тело» (PDF) . Проверено 27 апреля 2018 г.
14. Фитцпатрик, Ричард (2006). «Удельная теплоемкость твердых тел». Ричард Фитцпатрик, Техасский университет в Остине . Проверено 27 апреля 2018 г.
15. Саймон, Стивен Х. (20 июня 2013 г.). Оксфордские основы твердого тела (первое изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780199680764. ОКЛК  859577633.
16. "Основы твердого тела Оксфорда". podcasts.ox.ac.uk . Проверено 12 января 2024 г.
17. Шривастава, врач общей практики (16 июля 2019 г.). Физика фононов. Рутледж. ISBN 978-1-351-40955-1.

дальнейшее чтение

• Справочник CRC по химии и физике , 56-е издание (1975–1976 гг.)
• Шредер, Дэниел В. Введение в теплофизику . Аддисон-Уэсли, Сан-Франциско (2000). Раздел 7.5.

Внешние ссылки

• Экспериментальное определение теплоемкости, теплопроводности и теплопроводности кварца с помощью криостата.
• Саймон, Стивен Х. (2014) Оксфордские основы твердого тела (наиболее актуальные: 1, 2 и 6)