В философии математики формализм — это точка зрения, согласно которой утверждения математики и логики можно рассматривать как утверждения о последствиях манипуляций со строками (буквенно-цифровыми последовательностями символов, обычно в виде уравнений) с использованием установленных правил манипуляции . Центральная идея формализма «заключается в том, что математика не является совокупностью предложений, представляющих абстрактный сектор реальности, а гораздо больше похожа на игру, не приносящую с собой большей приверженности онтологии объектов или свойств, чем лудо или шахматы ». [1] Согласно формализму, истины, выраженные в логике и математике, не касаются чисел, множеств, треугольников или каких-либо других сопутствующих предметов — фактически, они вообще ни о чем не «о». Скорее, математические утверждения представляют собой синтаксические формы, формы и расположение которых не имеют значения, пока им не будет дана интерпретация (или семантика ). В отличие от математического реализма , логицизма или интуиционизма , контуры формализма менее определены из-за широких подходов, которые можно отнести к формалистическим.
Наряду с реализмом и интуиционизмом формализм является одной из основных теорий философии математики, сложившейся в конце XIX — начале XX века. Среди формалистов самым известным защитником был Дэвид Гильберт . [2]
Ранние математические формалисты пытались «заблокировать, избежать или обойти (каким-то образом) любую онтологическую приверженность проблемной области абстрактных объектов». [1] Немецкие математики Эдуард Гейне и Карл Йоханнес Томае считаются ранними сторонниками математического формализма. [1] Формализм Гейне и Томаэ можно найти в критических замечаниях Готлоба Фреге в «Основах арифметики» .
По словам Алана Вейра, формализм Гейне и Томаэ, на который нападает Фреге, можно «описать [d] как формализм терминов или формализм игр». [1] Терминоформализм – это точка зрения, согласно которой математические выражения относятся к символам, а не к числам. Гейне выразил эту точку зрения следующим образом: «Когда дело доходит до определения, я занимаю чисто формальную позицию, заключающуюся в том, что некоторые осязаемые знаки я называю числами, так что существование этих чисел не подвергается сомнению». [3]
Томаэ характеризуется как игровой формалист, который утверждал, что «[для формалиста] арифметика представляет собой игру со знаками, которые называются пустыми. Это означает, что они не имеют другого содержания (в вычислительной игре), чем они заданы их поведением». относительно определенных правил комбинации (правил игры)». [4]
Фреге дает три критических замечания в адрес формализма Гейне и Томаэ: «что [формализм] не может объяснить применение математики; что он путает формальную теорию с метатеорией; [и] что он не может дать связного объяснения концепции бесконечной последовательности». [5] Критика Фреге формализма Гейне заключается в том, что его формализм не может объяснить бесконечные последовательности. Даммет утверждает, что более развитые теории формализма, чем теория Гейне, могли бы избежать возражений Фреге, утверждая, что они касаются абстрактных символов, а не конкретных объектов. [6] Фреге возражает против сравнения формализма с игрой, такой как шахматы. [7] Фреге утверждает, что формализм Томаэ не позволяет провести различие между игрой и теорией.
Главной фигурой формализма был Давид Гильберт , чья программа была задумана как полная и последовательная аксиоматизация всей математики. [8] Гильберт стремился показать непротиворечивость математических систем, исходя из предположения, что «финитарная арифметика» (подсистема обычной арифметики положительных целых чисел , выбранная как философски бесспорная) была непротиворечивой (т. е. никакие противоречия не могут быть выведены из система).
Способ, которым Гильберт пытался показать непротиворечивость аксиоматической системы, заключался в ее формализации с использованием определенного языка. [9] Чтобы формализовать аксиоматическую систему, вы должны сначала выбрать язык, на котором вы можете выражать и выполнять операции внутри этой системы. Этот язык должен включать в себя пять компонентов:
Приняв этот язык, Гильберт думал, что мы сможем доказать все теоремы в любой аксиоматической системе, используя не что иное, как сами аксиомы и выбранный формальный язык.
Вывод Гёделя в его теоремах о неполноте заключался в том, что невозможно доказать непротиворечивость внутри какой-либо последовательной аксиоматической системы, достаточно богатой, чтобы включать классическую арифметику. С одной стороны, вы должны использовать только формальный язык, выбранный для формализации этой аксиоматической системы; с другой стороны, невозможно доказать непротиворечивость этого языка самого по себе. [9] Первоначально Гильберт был разочарован работой Гёделя, поскольку она разрушила цель его жизни — полностью формализовать все в теории чисел. [10] Однако Гёдель не чувствовал, что он противоречит всему, что касается формалистической точки зрения Гильберта . [11] После того, как Гёдель опубликовал свою работу, стало очевидно, что теория доказательств все еще имеет какое-то применение, с той лишь разницей, что ее нельзя использовать для доказательства непротиворечивости всей теории чисел, как надеялся Гильберт . [10]
Гильберт изначально был дедуктивистом, но он считал, что определенные метаматематические методы дают внутренне значимые результаты, и был реалистом в отношении финитной арифметики. Позже он придерживался мнения, что никакой другой значимой математики, независимо от ее интерпретации, не существует.
Другие формалисты, такие как Рудольф Карнап , считали математику исследованием формальных систем аксиом . [12]
Хаскелл Карри определяет математику как «науку о формальных системах». [13] Формализм Карри не похож на формализм терминов, игровых формалистов или формализм Гильберта. Для Карри математический формализм — это формальная структура математики, а не формальная система. [13] Стюарт Шапиро описывает формализм Карри как исходящий из «исторического тезиса о том, что по мере развития отрасли математики она становится все более и более строгой в своей методологии, а конечным результатом является кодификация отрасли в формальных дедуктивных системах». [14]
Курт Гёдель указал на одно из слабых мест формализма, обратившись к вопросу непротиворечивости аксиоматических систем.
Бертран Рассел утверждал, что формализм не может объяснить, что подразумевается под лингвистическим применением чисел в таких утверждениях, как «в комнате трое мужчин». [15]
СМИ, связанные с формализмом (дедуктивным) на Викискладе?