В математике классовая формация — это топологическая группа, действующая на модуль, удовлетворяющий определенным условиям. Классовые формации были введены Эмилем Артином и Джоном Тейтом для организации различных групп Галуа и модулей, которые появляются в теории полей классов .
Формация — это топологическая группа G вместе с топологическим G - модулем A, на котором G действует непрерывно.
Слой E / F формации — это пара открытых подгрупп E , F группы G такая , что F — подгруппа конечного индекса группы E . Он называется нормальным слоем, если F — нормальная подгруппа группы E , и циклическим слоем , если фактор-группа, кроме того, циклическая. Если E — подгруппа группы G , то A E определяется как элементы группы A , фиксированные группой E . Мы пишем
для группы когомологий Тейта H n ( E / F , AF ) всякий раз, когда E / F является нормальным слоем. (Некоторые авторы рассматривают E и F как фиксированные поля, а не подгруппы G , поэтому пишут F / E вместо E / F .) В приложениях G часто является абсолютной группой Галуа поля и, в частности, является проконечной , и открытые подгруппы, следовательно , соответствуют конечным расширениям поля, содержащимся в некотором фиксированном сепарабельном замыкании.
Формирование класса — это такое формирование, что для каждого нормального слоя E / F
На практике эти циклические группы поставляются с каноническими генераторами u E / F ∈ H 2 ( E / F ), называемыми фундаментальными классами , которые совместимы друг с другом в том смысле, что ограничение (классов когомологий) фундаментального класса является другим фундаментальным классом. Часто фундаментальные классы считаются частью структуры формации классов.
Формирование, которое удовлетворяет только условию H 1 ( E / F )=1, иногда называют полевым формированием . Например, если G — любая конечная группа, действующая на поле L и A=L × , то это полевое формирование по теореме Гильберта 90 .
Наиболее важные примеры классовых построений (расположены примерно в порядке сложности) следующие:
Легко проверить свойство формирования классов для случая конечного поля и случая архимедова локального поля, но остальные случаи сложнее. Большая часть тяжелой работы теории полей классов состоит в доказательстве того, что это действительно формирования классов. Это делается в несколько этапов, как описано в разделах ниже.
Первое неравенство теории полей классов утверждает, что
для циклических слоев E / F. Обычно это доказывается с использованием свойств отношения Эрбрана , в более точной форме
Это довольно просто доказать, поскольку частное Эрбрана легко вычислить, поскольку оно мультипликативно на коротких точных последовательностях и равно 1 для конечных модулей.
Примерно до 1950 года первое неравенство было известно как второе неравенство, и наоборот.
Второе неравенство теории полей классов утверждает, что
для всех нормальных слоев E / F .
Для локальных полей это неравенство легко следует из теоремы Гильберта 90 вместе с первым неравенством и некоторыми основными свойствами групповых когомологий.
Второе неравенство было впервые доказано для глобальных полей Вебером с использованием свойств ряда L числовых полей следующим образом. Предположим, что слой E / F соответствует расширению k ⊂ K глобальных полей. Изучая дзета-функцию Дедекинда K , можно показать, что простые числа степени 1 числа K имеют плотность Дирихле, заданную порядком полюса при s = 1, который равен 1 (когда K — рациональные числа, это по сути доказательство Эйлера того, что существует бесконечно много простых чисел, использующих полюс при s = 1 дзета-функции Римана .) Поскольку каждое простое число в k , являющееся нормой, является произведением deg( K / k )= | E / F | различных простых чисел степени 1 числа K , это показывает, что множество простых чисел k , являющихся нормами, имеет плотность 1 / | E / F |. С другой стороны, изучая ряды Дирихле L характеров группы H 0 ( E / F ), можно показать, что плотность Дирихле простых чисел k, представляющих тривиальный элемент этой группы, имеет плотность 1/| H 0 ( E / F )|. (Эта часть доказательства является обобщением доказательства Дирихле о том, что в арифметических прогрессиях бесконечно много простых чисел.) Но простое число представляет тривиальный элемент группы H 0 ( E / F ), если оно равно норме по модулю главных идеалов, поэтому это множество по крайней мере столь же плотно, как множество простых чисел, являющихся нормами. Так что
что является вторым неравенством.
В 1940 году Шевалле нашел чисто алгебраическое доказательство второго неравенства, но оно длиннее и сложнее, чем оригинальное доказательство Вебера. Примерно до 1950 года второе неравенство было известно как первое неравенство; название было изменено, поскольку алгебраическое доказательство Шевалле использовало первое неравенство.
Такаги определил поле классов как такое, где равенство выполняется во втором неравенстве. Согласно изоморфизму Артина ниже, H 0 ( E / F ) изоморфно абелианизации E / F , поэтому равенство во втором неравенстве выполняется точно для абелевых расширений, а поля классов совпадают с абелевыми расширениями.
Первое и второе неравенства можно объединить следующим образом. Для циклических слоев оба неравенства вместе доказывают, что
так
и
Теперь основная теорема о группах когомологий показывает, что поскольку H 1 ( E / F ) = 1 для всех циклических слоев, мы имеем
для всех нормальных слоев (так что, в частности, формация является полевым образованием). Это доказательство того, что H 1 ( E / F ) всегда тривиально, довольно окольное; не известно никакого «прямого» доказательства этого (что бы это ни значило) для глобальных полей. (Для локальных полей исчезновение H 1 ( E / F ) — это просто теорема Гильберта 90.)
Для циклической группы H 0 совпадает с H 2 , поэтому H 2 ( E / F ) = | E / F | для всех циклических слоев. Другая теорема групповых когомологий показывает, что поскольку H 1 ( E / F ) = 1 для всех нормальных слоев и H 2 ( E / F ) ≤ | E / F | для всех циклических слоев, мы имеем
для всех нормальных слоев. (На самом деле, равенство выполняется для всех нормальных слоев, но это требует больше работы; см. следующий раздел.)
Группы Брауэра H 2 ( E /*) формации классов определяются как прямой предел групп H 2 ( E / F ), когда F пробегает все открытые подгруппы E . Простым следствием обращения в нуль H 1 для всех слоев является то, что все группы H 2 ( E / F ) являются подгруппами группы Брауэра. В локальной теории полей классов группы Брауэра совпадают с группами Брауэра полей, но в глобальной теории полей классов группа Брауэра формации не является группой Брауэра соответствующего глобального поля (хотя они связаны).
Следующий шаг — доказать, что H 2 ( E / F ) является циклической группой порядка точно | E / F |; предыдущий раздел показывает, что она имеет не более этого порядка, поэтому достаточно найти некоторый элемент порядка | E / F | в H 2 ( E / F ).
Доказательство для произвольных расширений использует гомоморфизм из группы G на проконечное пополнение целых чисел с ядром G ∞ , или, другими словами, совместимую последовательность гомоморфизмов G на циклические группы порядка n для всех n , с ядрами G n . Эти гомоморфизмы строятся с использованием циклических циклотомических расширений полей; для конечных полей они задаются алгебраическим замыканием, для неархимедовых локальных полей они задаются максимальными неразветвленными расширениями, а для глобальных полей они немного сложнее. Поскольку эти расширения заданы явно, можно проверить, что они обладают свойством, что H 2 ( G / G n ) является циклической порядка n с каноническим генератором. Из этого следует, что для любого слоя E группа H 2 ( E / E ∩ G ∞ ) канонически изоморфна Q / Z . Идея использования корней из единицы была введена Чеботаревым в его доказательстве теоремы Чеботарева о плотности и вскоре использована Артином для доказательства его теоремы взаимности.
Для общих слоев E , F существует точная последовательность
Последние две группы в этой последовательности можно отождествить с Q / Z , и отображение между ними тогда будет умножением на | E / F |. Таким образом, первая группа канонически изоморфна Z / n Z. Поскольку H 2 ( E / F ) имеет порядок не более Z / n Z , она должна быть равна Z / n Z (и, в частности, содержится в средней группе)).
Это показывает, что вторая группа когомологий H 2 ( E / F ) любого слоя является циклической порядка | E / F |, что завершает проверку аксиом образования класса. Приложив немного больше усилий в доказательствах, мы получаем канонический генератор H 2 ( E / F ), называемый фундаментальным классом .
Из этого следует, что группа Брауэра H 2 ( E /*) (канонически) изоморфна группе Q / Z , за исключением случая архимедовых локальных полей R и C, когда она имеет порядок 2 или 1.
Теорема Тейта в групповых когомологиях выглядит следующим образом. Предположим, что A — модуль над конечной группой G , а a — элемент H 2 ( G , A ), такой, что для любой подгруппы E группы G
Тогда произведение чашек с a является изоморфизмом
Если мы применим случай n =−2 теоремы Тейта к формации классов, то обнаружим, что существует изоморфизм
для любого нормального слоя E / F . Группа H −2 ( E / F , Z ) является просто абелианизацией E / F , а группа H 0 ( E / F , A F ) является A E по модулю группы норм A F . Другими словами, у нас есть явное описание абелианизации группы Галуа E / F в терминах A E .
Взяв обратный изоморфизм, получим гомоморфизм
и взятие предела по всем открытым подгруппам F дает гомоморфизм
называется отображением Артина . Отображение Артина не обязательно сюръективно, но имеет плотный образ. По теореме о существовании ниже его ядро является связной компонентой A E (для теории полей классов), которая тривиальна для теории полей классов неархимедовых локальных полей и для полей функций, но нетривиальна для архимедовых локальных полей и числовых полей.
Основная оставшаяся теорема теории полей классов — теорема о существовании Такаги , которая утверждает, что каждая замкнутая подгруппа конечного индекса группы классов иделей является группой норм, соответствующих некоторому абелеву расширению. Классический способ доказать это — построить некоторые расширения с небольшими группами норм, сначала добавив много корней из единицы, а затем взяв расширения Куммера и расширения Артина–Шрайера . Эти расширения могут быть неабелевыми (хотя они являются расширениями абелевых групп абелевыми группами); однако, это не имеет особого значения, так как группа норм неабелева расширения Галуа совпадает с группой его максимального абелева расширения (это можно показать, используя то, что мы уже знаем о полях классов). Это дает достаточно (абелевых) расширений, чтобы показать, что существует абелево расширение, соответствующее любой подгруппе конечного индекса группы классов иделей.
Следствием этого является то, что ядро отображения Артина является связной компонентой тождества группы классов иделей, так что абелианизация группы Галуа F является проконечным пополнением группы классов иделей.
Для локальной теории полей классов также возможно построить абелевы расширения более явно, используя формальные групповые законы Любина–Тейта . Для глобальных полей абелевы расширения могут быть построены явно в некоторых случаях: например, абелевы расширения рациональных чисел могут быть построены с использованием корней из единицы, а абелевы расширения квадратичных мнимых полей могут быть построены с использованием эллиптических функций, но нахождение аналога этого для произвольных глобальных полей является нерешенной проблемой.
Группа Вейля классовой формации с фундаментальными классами u E / F ∈ H2 ( E / F , AF ) — это разновидность модифицированной группы Галуа, введенная Вейлем (1951) и используемая в различных формулировках теории полей классов, в частности в программе Ленглендса .
Если E / F — нормальный слой, то группа Вейля U слоя E / F является расширением
соответствующий фундаментальному классу u E / F в H 2 ( E / F , A F ). Группа Вейля всей формации определяется как обратный предел групп Вейля всех слоев G / F , для F открытая подгруппа G .
Отображение взаимности формации классов ( G , A ) индуцирует изоморфизм из AG в абелианизацию группы Вейля.
