Рамка связка

Ортонормированное расслоение рамок ленты Мёбиуса является нетривиальным главным -расслоением над окружностью. ${\displaystyle {\mathcal {F_{O}}}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

В математике расслоение фрейма — это главное расслоение волокон , связанное с любым векторным расслоением . Слой над точкой — это множество всех упорядоченных базисов , или фреймов , для . Общая линейная группа действует естественным образом на посредством замены базиса , придавая расслоению фрейма структуру главного -расслоения (где k — ранг ). ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle E}$

Реперное расслоение гладкого многообразия — это расслоение, связанное с его касательным расслоением . По этой причине его иногда называют касательным реперным расслоением .

Определение и построение

Пусть будет вещественным векторным расслоением ранга над топологическим пространством . Репер в точке является упорядоченным базисом для векторного пространства . Эквивалентно, репер можно рассматривать как линейный изоморфизм ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle E_{x}}$

${\displaystyle p:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.}$

Множество всех кадров в , обозначенное , имеет естественное правое действие общей линейной группы обратимых матриц: элемент группы действует на кадр через композицию , давая новый кадр ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle p\circ g:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.}$

Это действие на является как свободным , так и транзитивным (это следует из стандартного результата линейной алгебры, что существует единственное обратимое линейное преобразование, переводящее один базис в другой). Как топологическое пространство, гомеоморфно , хотя у него отсутствует групповая структура, поскольку нет «предпочтительного фрейма». Пространство называется - торсором . ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$

Рамочное расслоение , обозначаемое как или , является несвязным объединением всех : ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(E)}$ ${\displaystyle F_{x}}$

${\displaystyle \mathrm {F} (E)=\coprod _{x\in X}F_{x}.}$

Каждая точка в является парой ( x , p ), где является точкой в ​​, а является кадром в . Существует естественная проекция , которая посылает в . Группа действует на справа, как указано выше. Это действие, очевидно, свободно, и орбиты являются просто волокнами . ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi :F(E)\to X}$ ${\displaystyle (x,p)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle \pi }$

Основная структура пучка

Рамочному расслоению можно задать естественную топологию и структуру расслоения, определяемую топологией . Пусть будет локальной тривиализацией . Тогда для каждого x ∈ U _i имеется линейный изоморфизм . Эти данные определяют биекцию ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (U_{i},\phi _{i})}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \phi _{i,x}:E_{x}\to \mathbb {R} ^{k}}$

${\displaystyle \psi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$

предоставлено

${\displaystyle \psi _{i}(x,p)=(x,\varphi _{i,x}\circ p).}$

С помощью этих биекций каждому из них можно задать топологию . Топология на является окончательной топологией, коиндуцированной отображениями включения . ${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{i})}$ ${\displaystyle U_{i}\times \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{i})\to F(E)}$

При наличии всех вышеперечисленных данных расслоение рамок становится главным расслоением волокон над структурной группой и локальными тривиализациями . Можно проверить, что функции перехода для те же, что и для . ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle (\{U_{i}\},\{\psi _{i}\})}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle E}$

Все вышесказанное работает и в гладкой категории: если — гладкое векторное расслоение над гладким многообразием , то расслоению фрейма можно придать структуру гладкого главного расслоения над . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$

Ассоциированные векторные расслоения

Векторные расслоения и их фреймовые расслоения являются ассоциированными расслоениями . Каждое из них определяет другое. Фреймовые расслоения могут быть построены из того, как указано выше, или более абстрактно, используя теорему о построении расслоений . С помощью последнего метода, является расслоением с той же базой, структурной группой, тривиализующими окрестностями и функциями перехода, что и , но с абстрактным волокном , где действие структурной группы на волокне является действием левого умножения. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$

Для любого линейного представления существует векторное расслоение ${\displaystyle \rho :\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (V,\mathbb {F} )}$

${\displaystyle \mathrm {F} (E)\times _{\rho }V}$

связанный с которым задается произведением по модулю отношение эквивалентности для всех в . Обозначим классы эквивалентности через . ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle F(E)\times V}$ ${\displaystyle (pg,v)\sim (p,\rho (g)v)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle [p,v]}$

Вектор расслоения естественно изоморфен расслоению , где — фундаментальное представление на . Изоморфизм задается формулой ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F(E)\times _{\rho }\mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

${\displaystyle [p,v]\mapsto p(v)}$

где — вектор в , а — рамка в . Можно легко проверить, что эта карта хорошо определена . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle p:\mathbb {R} ^{k}\to E_{x}}$ ${\displaystyle x}$

Любое векторное расслоение, связанное с , может быть задано приведенной выше конструкцией. Например, двойственное расслоение для задается как , где — двойственное представление фундаментального представления. Тензорные расслоения для могут быть построены аналогичным образом. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F(E)\times _{\rho ^{*}}(\mathbb {R} ^{k})^{*}}$ ${\displaystyle \rho ^{*}}$ ${\displaystyle E}$

Касательная рамка-пучок

Касательное расслоение фрейма (или просто расслоение фрейма ) гладкого многообразия — это расслоение фрейма, связанное с касательным расслоением . Расслоение фрейма часто обозначается или , а не . В физике его иногда обозначают . Если является -мерным, то касательное расслоение имеет ранг , поэтому расслоение фрейма является главным расслоением над . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle FM}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (M)}$ ${\displaystyle F(TM)}$ ${\displaystyle LM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$

Гладкие рамки

Локальные сечения расслоения фрейма называются гладкими фреймами на . Теорема о сечении для главных расслоений утверждает, что расслоение фрейма тривиально над любым открытым множеством в , в котором допускает гладкий фрейм. При наличии гладкого фрейма тривиализация задается как ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s:U\to FU}$ ${\displaystyle \psi :FU\to U\times \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \psi (p)=(x,s(x)^{-1}\circ p)}$

где — фрейм в . Отсюда следует, что многообразие параллелизуемо тогда и только тогда, когда расслоение фрейма допускает глобальное сечение. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$

Так как касательное расслоение тривиализируемо над координатными окрестностями , то и расслоение фрейма тривиализируемо. Фактически, если задана любая координатная окрестность с координатами, то координатные векторные поля ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)}$

определить гладкую рамку на . Одним из преимуществ работы с пучками рамок является то, что они позволяют работать с рамками, отличными от координатных рамок; можно выбрать рамку, адаптированную к решаемой задаче. Иногда это называют методом перемещения рамок . ${\displaystyle U}$

Форма припоя

Рамочное расслоение многообразия является особым типом главного расслоения в том смысле, что его геометрия фундаментально связана с геометрией . Эта связь может быть выражена посредством векторнозначной 1-формы на , называемой формой припоя (также известной как фундаментальная или тавтологическая 1-форма ). Пусть будет точкой многообразия и рамкой в ​​, так что ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle FM}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle p:\mathbf {R} ^{n}\to T_{x}M}$

является линейным изоморфизмом с касательным пространством в . Форма припоя является -значной 1-формой, определяемой формулой ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle FM}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta _{p}(\xi )=p^{-1}\mathrm {d} \pi (\xi )}$

где ξ — касательный вектор к в точке , а — обратный вектор отображения фрейма, а — дифференциал отображения проекции . Форма припоя горизонтальна в том смысле, что она обращается в нуль на векторах, касательных к волокнам и правоэквивариантна в том смысле, что ${\displaystyle FM}$ ${\displaystyle (x,p)}$ ${\displaystyle p^{-1}:T_{x}M\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d\pi }$ ${\displaystyle \pi :FM\to M}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle R_{g}^{*}\theta =g^{-1}\theta }$

где — правильный перевод на . Форма с этими свойствами называется базовой или тензорной формой на . Такие формы находятся в 1-1 соответствии с -значными 1-формами на , которые, в свою очередь, находятся в 1-1 соответствии с гладкими отображениями расслоений над . Рассматриваемое в этом свете — это просто тождественное отображение на . ${\displaystyle R_{g}}$ ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle FM}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM\to TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle TM}$

В качестве соглашения об именовании термин «тавтологическая одна форма» обычно резервируется для случая, когда форма имеет каноническое определение, как здесь, в то время как «форма припоя» больше подходит для тех случаев, когда форма не имеет канонического определения. Это соглашение здесь не соблюдается.

Ортонормальный рамочный пучок

Если векторное расслоение снабжено римановой метрикой расслоения , то каждое волокно является не только векторным пространством, но и пространством внутреннего произведения . Тогда можно говорить о множестве всех ортонормированных фреймов для . Ортонормированный фрейм для является упорядоченным ортонормированным базисом для , или, что то же самое, линейной изометрией ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{x}}$

${\displaystyle p:\mathbb {R} ^{k}\to E_{x}}$

где снабжено стандартной евклидовой метрикой . Ортогональная группа действует свободно и транзитивно на множестве всех ортонормированных фреймов посредством правой композиции. Другими словами, множество всех ортонормированных фреймов является правым - торсором . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (k)}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (k)}$

Ортонормированное расслоение фреймов , обозначаемое , представляет собой множество всех ортонормированных фреймов в каждой точке базового пространства . Его можно построить методом, полностью аналогичным методу обычного расслоения фреймов. Ортонормированное расслоение фреймов риманова векторного расслоения ранга является главным -расслоением над . Опять же, конструкция работает так же хорошо в гладкой категории. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {O} }(E)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (k)}$ ${\displaystyle X}$

Если векторное расслоение является ориентируемым , то можно определить ориентированное ортонормированное расслоение фреймов , обозначаемое как главное расслоение всех положительно ориентированных ортонормированных фреймов. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {SO} }(E)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (k)}$

Если является -мерным римановым многообразием , то ортонормированное расслоение репера , обозначаемое или , является ортонормированным расслоением репера , связанным с касательным расслоением (которое снабжено римановой метрикой по определению). Если является ориентируемым, то также имеется ориентированное ортонормированное расслоение репера . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {O} }(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {SO} }M}$

При заданном римановом векторном расслоении ортонормированное расслоение фрейма является главным - подрасслоением общего линейного расслоения фрейма. Другими словами, отображение включения ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (k)}$

${\displaystyle i:{\mathrm {F} }_{\mathrm {O} }(E)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(E)}$

является главным расслоением отображения . Говорят, что это редукция структурной группы из в . ${\displaystyle F_{\mathrm {O} }(E)}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(E)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (k)}$

Г-структуры

Если гладкое многообразие имеет дополнительную структуру, часто естественно рассмотреть подрасслоение полного расслоения каркаса , которое адаптировано к данной структуре. Например, если является римановым многообразием, мы видели выше, что естественно рассмотреть ортонормированное расслоение каркаса . Ортонормированное расслоение каркаса является просто сведением структурной группы к ортогональной группе . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$

В общем случае, если является гладким -многообразием и является подгруппой Ли в мы определяем G -структуру на как редукцию структурной группы к . Явно, это главное -расслоение над вместе с -эквивариантным отображением расслоения ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(M)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{G}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathrm {F} }_{G}(M)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(M)}$

над . ${\displaystyle M}$

В этом языке риманова метрика на порождает -структуру на . Ниже приведены некоторые другие примеры. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ ${\displaystyle M}$

• Каждое ориентированное многообразие имеет ориентированное расслоение фреймов, которое является просто -структурой на . ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$
• Форма объема на определяет -структуру на . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$
• -Мерное симплектическое многообразие имеет естественную -структуру. ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$
• -Мерное комплексное или почти комплексное многообразие имеет естественную -структуру. ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$

Во многих из этих случаев -структура на однозначно определяет соответствующую структуру на . Например, -структура на определяет объемную форму на . Однако в некоторых случаях, например, для симплектических и комплексных многообразий, требуется дополнительное условие интегрируемости . -структура на однозначно определяет невырожденную 2-форму на , но для того, чтобы быть симплектической, эта 2-форма также должна быть замкнутой . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Ссылки

• Кобаяси, Сёсичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , т. 1 (новое издание), Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3
• Коларж, Иван; Михор, Петер; Словак, Ян (1993), Естественные операторы в дифференциальной геометрии (PDF) , Springer-Verlag, архивировано из оригинала (PDF) 2017-03-30 , извлечено 2008-08-02
• Стернберг, С. (1983), Лекции по дифференциальной геометрии ((2-е изд.) ред.), Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4