В математике теория Делиня–Люстига — это способ построения линейных представлений конечных групп типа Ли с использованием ℓ-адических когомологий с компактным носителем , введенный Пьером Делинем и Джорджем Люстигом (1976).
Люстиг (1985) использовал эти представления, чтобы найти все представления всех конечных простых групп лиева типа.
Предположим, что G — редуктивная группа , определенная над конечным полем с отображением Фробениуса F.
Ян Г. Макдональд предположил, что должно быть отображение из характеров общего положения F -устойчивых максимальных торов в неприводимые представления (неподвижные точки F ). Для общих линейных групп это было уже известно из работы JA Green (1955). Это был главный результат, доказанный Пьером Делинем и Джорджем Люстигом ; они нашли виртуальное представление для всех характеров F -устойчивого максимального тора, которое неприводимо (с точностью до знака), когда характер находится в общем положении.
Когда максимальный тор расщепляется, эти представления были хорошо известны и задаются параболической индукцией характеров тора (расширить характер до подгруппы Бореля , затем индуцировать его до G ). Представления параболической индукции можно построить с помощью функций на пространстве, которые можно рассматривать как элементы подходящей нулевой группы когомологий. Конструкция Делиня и Люстига является обобщением параболической индукции на нерасщепляемые торы с использованием высших групп когомологий. (Параболическую индукцию можно также выполнить, заменив торы группы G подгруппами Леви группы G , и существует обобщение теории Делиня–Люстига на этот случай.)
Владимир Дринфельд доказал, что дискретные серии представлений SL 2 ( F q ) можно найти в ℓ-адических группах когомологий
аффинной кривой X, определяемой
Многочлен является определителем , используемым при построении инварианта Диксона общей линейной группы, и является инвариантом специальной линейной группы.
Конструкция Делиня и Люстига является обобщением этого фундаментального примера на другие группы. Аффинная кривая X обобщается до расслоения над «многообразием Делиня–Люстига», где T — максимальный тор G , и вместо использования только первой группы когомологий они используют чередующуюся сумму ℓ-адических групп когомологий с компактным носителем для построения виртуальных представлений.
Конструкция Делиня-Люстига формально похожа на конструкцию Германа Вейля представлений компактной группы из характеров максимального тора. Случай компактных групп проще отчасти потому, что существует только один класс сопряженности максимальных торов. Конструкция Бореля–Вейля–Ботта представлений алгебраических групп с использованием когерентных пучковых когомологий также похожа.
Для действительных полупростых групп существует аналог конструкции Делиня и Люстига, использующий функторы Цукермана для построения представлений.
Построение характеров Делиня-Люстига использует семейство вспомогательных алгебраических многообразий X T , называемых многообразиями Делиня-Люстига, построенных из редуктивной линейной алгебраической группы G, определенной над конечным полем F q .
Если B — подгруппа Бореля группы G , а T — максимальный тор группы B , то мы пишем
для группы Вейля ( нормализатор mod централизатор )
группы G относительно T , вместе с простыми корнями , соответствующими B . Если B 1 — другая подгруппа Бореля с максимальным тором T 1 , то существует канонический изоморфизм из T в T 1 , который отождествляет две группы Вейля. Таким образом, мы можем отождествить все эти группы Вейля и назвать их «группой Вейля W» группы G . Аналогично существует канонический изоморфизм между любыми двумя максимальными торами с заданным выбором положительных корней , поэтому мы можем отождествить все эти группы и назвать их «максимальным тором T» группы G .
подгруппу B 1 можно записать как сопряженную к B посредством bw для некоторых b ∈ B и w ∈ W (отождествляемых с W T , B ), где w определяется однозначно. В этом случае мы говорим, что B и B 1 находятся в относительном положении w .
Предположим, что w находится в группе Вейля группы G , и обозначим через X гладкое проективное многообразие всех подгрупп Бореля группы G. Многообразие Делиня -Люстига X ( w ) состоит из всех подгрупп Бореля B группы G, таких что B и F ( B ) находятся в относительном положении w [напомним, что F — это отображение Фробениуса ]. Другими словами, это обратный образ G -однородного пространства пар подгрупп Бореля в относительном положении w , при изогении Ланга с формулой
Например, если w = 1, то X ( w ) является 0-мерным, а его точки являются рациональными подгруппами Бореля группы G .
Пусть T ( w ) будет тором T , с рациональной структурой, для которой Фробениусом является wF . Классы сопряженности GF F -устойчивых максимальных торов группы G можно отождествить с классами F -устойчивости группы W , где мы говорим, что w ∈ W является F -сопряженным элементам вида vwF ( v ) −1 для v ∈ W . Если группа G расщепляется , так что F действует тривиально на W , это то же самое, что и обычная сопряженность, но в общем случае для нерасщепляемых групп G F может действовать на W посредством нетривиального автоморфизма диаграмм. Классы F -устойчивой сопряженности можно отождествить с элементами неабелевой группы когомологий Галуа торсоров
Зафиксируем максимальный тор T группы G и содержащую его подгруппу Бореля B , оба инвариантные относительно отображения Фробениуса F , и обозначим U унипотентный радикал группы B . Если мы выберем представителя w ′ нормализатора N ( T ), представляющего w , то мы определим X ′( w ′) как элементы G / U с F ( u )= uw ′. На него свободно действует T ( F ), и фактор-функция изоморфна X ( T ). Таким образом, для каждого символа θ группы T ( w ) F мы получаем соответствующую локальную систему F θ на X ( w ). Виртуальное представление Делиня-Люстига
G F определяется переменной суммой
l - адических компактных групп когомологий X ( w ) с коэффициентами в l -адической локальной системе F θ .
Если T — максимальный F -инвариантный тор группы G, содержащийся в подгруппе Бореля B, такой, что B и FB находятся в относительном положении w, то R θ ( w ) также обозначается как R θ T ⊂ B или как R θ T , поскольку с точностью до изоморфизма он не зависит от выбора B .
Люстиг классифицировал все неприводимые характеры группы GF , разложив такой характер на полупростой характер и унипотентный характер (другой группы) и отдельно классифицировав полупростые и унипотентные характеры.
Представления G F классифицируются с использованием классов сопряженности двойственной группы G . Редуктивная группа над конечным полем определяет корневой данный (с выбором камеры Вейля) вместе с действием элемента Фробениуса на нем. Двойственная группа G * редуктивной алгебраической группы G, определенной над конечным полем, — это группа с двойственным корневым данным (и присоединенным действием Фробениуса). Это похоже на двойственную группу Ленглендса (или L-группу), за исключением того, что здесь двойственная группа определена над конечным полем, а не над комплексными числами. Двойственная группа имеет ту же корневую систему, за исключением того, что корневые системы типов B и C меняются местами.
Локальные гипотезы Ленглендса утверждают (очень грубо), что представления алгебраической группы над локальным полем должны быть тесно связаны с классами сопряженности в двойственной группе Ленглендса. Классификацию Люстига представлений редуктивных групп над конечными полями можно рассматривать как проверку аналога этой гипотезы для конечных полей (хотя Ленглендс никогда не формулировал свою гипотезу для этого случая).
В этом разделе G будет редуктивной группой со связным центром.
Неприводимый характер называется унипотентным, если он встречается в некотором R 1 T , и называется полупростым , если его среднее значение на регулярных унипотентных элементах не равно нулю (в этом случае среднее значение равно 1 или −1). Если p является хорошим простым числом для G (это означает, что оно не делит ни один из коэффициентов корней, выраженных в виде линейных комбинаций простых корней), то неприводимый характер является полупростым тогда и только тогда, когда его порядок не делится на p .
Произвольный неприводимый характер имеет «разложение Жордана»: ему можно сопоставить полупростой характер (соответствующий некоторому полупростому элементу s двойственной группы) и унипотентное представление централизатора s . Размерность неприводимого характера является произведением размерностей его полупростой и унипотентной компонент.
Это (более или менее) сводит классификацию неприводимых характеров к задаче нахождения полупростых и унипотентных характеров.
Две пары ( T ,θ), ( T ′,θ′) максимального тора T группы G , зафиксированного F , и характера θ группы T F называются геометрически сопряженными , если они сопряжены относительно некоторого элемента группы G ( k ), где k — алгебраическое замыкание F q . Если неприводимое представление встречается как в R T θ, так и в R T ′ θ′ , то ( T ,θ), ( T ′,θ′) не обязаны быть сопряженными относительно GF , но всегда геометрически сопряжены. Например, если θ = θ′ = 1, а T и T ′ не сопряжены, то тождественное представление встречается в обоих характерах Делиня–Люстига, и соответствующие пары ( T ,1), ( T ′,1) геометрически сопряжены, но не сопряжены.
Геометрические классы сопряженности пар ( T ,θ) параметризуются геометрическими классами сопряженности полупростых элементов s группы G * F элементов дуальной группы G *, фиксируемой F. Два элемента из G * F называются геометрически сопряженными, если они сопряжены над алгебраическим замыканием конечного поля; если центр G связен, это эквивалентно сопряженности в G * F. Число геометрических классов сопряженности пар ( T ,θ) равно | Z 0 F | q l , где Z 0 — единичная компонента центра Z группы G , а l — полупростой ранг G.
В этом подразделе G будет редуктивной группой со связным центром Z. (Случай, когда центр не связен, имеет некоторые дополнительные сложности.)
Полупростые характеры группы G соответствуют геометрическим классам сопряженности пар ( T ,θ) (где T — максимальный тор, инвариантный относительно F , а θ — характер группы T F ); на самом деле среди неприводимых характеров, встречающихся в характерах Делиня–Люстига геометрического класса сопряженности, есть ровно один полупростой характер. Если центр группы G связен, то имеется | Z F | q l полупростых характеров. Если κ — геометрический класс сопряженности пар ( T ,θ), то характер соответствующего полупростого представления с точностью до знака задается формулой
а его размерность — это p ′ часть индекса централизатора элемента s двойственной группы, соответствующего ему.
Полупростые характеры (с точностью до знака) являются в точности двойственными к регулярным характерам, согласно двойственности Алвиса–Кертиса , операции двойственности над обобщенными характерами. Неприводимый характер называется регулярным, если он встречается в представлении Гельфанда–Граева G F , которое является представлением, индуцированным из некоторого «невырожденного» одномерного характера силовской p -подгруппы. Он приводим, и любой неприводимый характер G F встречается в нем не более одного раза. Если κ — геометрический класс сопряженности пар ( T ,θ), то характер соответствующего регулярного представления задается формулой
а его размерность равна p ′ части индекса централизатора элемента s соответствующей ему двойственной группы, умноженной на p ′ часть порядка централизатора.
Их можно найти из купидальных унипотентных признаков: тех, которые не могут быть получены из разложения параболически индуцированных признаков групп меньшего ранга. Унипотентные купидальные признаки были перечислены Люстигом с использованием довольно сложных аргументов. Их число зависит только от типа группы, а не от базового поля; и задается следующим образом:
Унипотентные характеры можно найти, разложив характеры, индуцированные из каспидальных, используя результаты Хоулетта и Лерера. Количество унипотентных характеров зависит только от корневой системы группы, а не от поля (или центра). Размерность унипотентных характеров можно задать универсальными полиномами в порядке основного поля, зависящего только от корневой системы; например, представление Стейнберга имеет размерность q r , где r — количество положительных корней корневой системы.
Люстиг обнаружил, что унипотентные характеры группы G F (с неприводимой группой Вейля) делятся на семейства размера 4 n ( n ≥ 0), 8, 21 или 39. Характеры каждого семейства индексируются классами сопряженности пар ( x ,σ), где x находится в одной из групп Z /2 Z n , S 3 , S 4 , S 5 соответственно, а σ является представлением его централизатора. (Семейство размера 39 встречается только для групп типа E 8 , а семейство размера 21 встречается только для групп типа F 4 .) Семейства, в свою очередь, индексируются специальными представлениями группы Вейля или, что эквивалентно, двусторонними ячейками группы Вейля. Например, группа E 8 ( F q ) имеет 46 семейств унипотентных характеров, соответствующих 46 специальным представлениям группы Вейля E 8 . Существует 23 семейства с 1 признаком, 18 семейств с 4 признаками, 4 семейства с 8 признаками и одно семейство с 39 признаками (включая 13 унипотентных куспидальных признаков).
Предположим, что q — нечетная степень простого числа, а G — алгебраическая группа SL 2 . Опишем представления Делиня–Люстига группы SL 2 ( F q ). (Теория представлений этих групп была хорошо известна задолго до теории Делиня–Люстига.)
Неприводимые представления:
Существует два класса торов, связанных с двумя элементами (или классами сопряженности) группы Вейля, обозначаемыми как T (1) (циклический порядка q − 1) и T ( w ) (циклический порядка q + 1). Нетривиальный элемент группы Вейля действует на характеры этих торов, изменяя каждый характер на его обратный. Таким образом, группа Вейля фиксирует характер тогда и только тогда, когда он имеет порядок 1 или 2. По формуле ортогональности R θ ( w ) является (с точностью до знака) неприводимым, если θ не имеет порядка 1 или 2, и суммой двух неприводимых представлений, если он имеет порядок 1 или 2.
Многообразие Делиня-Люстига X (1) для расщепленного тора является 0-мерным с q +1 точками и может быть отождествлено с точками 1-мерного проективного пространства, определенного над F q . Представления R θ (1) задаются следующим образом:
Многообразие Делиня-Люстига X ( w ) для нерасщепляемого тора является одномерным и может быть отождествлено с дополнением X (1) в одномерном проективном пространстве. Таким образом, это множество точек ( x : y ) проективного пространства, не фиксированных отображением Фробениуса ( x : y )→ ( x q : y q ), другими словами, точек с
Многообразие Дринфельда точек ( x , y ) аффинного пространства с
отображается в X ( w ) очевидным образом и свободно действует на группу корней q +1-й степени λ из 1 (которые можно отождествить с элементами нерасщепляемого тора, которые определены над F q ), причем λ переводит ( x , y ) в (λ x ,λ y ). Многообразие Делиня-Люстига является фактором многообразия Дринфельда по этому групповому действию. Представления − R θ ( w ) задаются следующим образом:
Унипотентными представлениями являются тривиальное представление и представление Стейнберга, а полупростыми представлениями являются все представления, отличные от представления Стейнберга. (В этом случае полупростые представления не соответствуют точно геометрическим классам сопряженности двойственной группы, поскольку центр G не является связным.)
Люстиг (1985) заменил ℓ-адические когомологии, используемые для определения представлений Делиня-Люстига, на ℓ-адические когомологии пересечения и ввел определенные извращенные пучки, называемые пучками характеров . Представления, определенные с использованием когомологий пересечения, связаны с теми, которые определены с использованием обычных когомологий полиномами Каждана–Люстига . F -инвариантные неприводимые пучки характеров тесно связаны с неприводимыми характерами группы G F .
