подгруппа Бореля

В теории алгебраических групп подгруппа Бореля алгебраической группы G — это максимальная замкнутая по Зарисскому и связная разрешимая алгебраическая подгруппа . Например, в общей линейной группе GL _n ( nxn обратимых матриц) подгруппа обратимых верхних треугольных матриц является подгруппой Бореля.

Для групп, реализованных над алгебраически замкнутыми полями , существует единственный класс сопряженности подгрупп Бореля.

Подгруппы Бореля являются одним из двух ключевых компонентов в понимании структуры простых (в более общем смысле, редуктивных ) алгебраических групп в теории групп с парой ( B , N ) Жака Титса . Здесь группа B является подгруппой Бореля, а N — нормализатором максимального тора, содержащегося в B.

Понятие было введено Арманом Борелем , сыгравшим ведущую роль в развитии теории алгебраических групп.

Параболические подгруппы

Подгруппы между подгруппой Бореля B и охватывающей группой G называются параболическими подгруппами . Параболические подгруппы P также характеризуются, среди алгебраических подгрупп, условием, что G / P является полным многообразием . Работая над алгебраически замкнутыми полями, подгруппы Бореля оказываются минимальными параболическими подгруппами в этом смысле. Таким образом, B является подгруппой Бореля, когда однородное пространство G / B является полным многообразием, которое «настолько велико, насколько это возможно».

Для простой алгебраической группы G множество классов сопряженности параболических подгрупп находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех подмножеств узлов соответствующей диаграммы Дынкина ; подгруппа Бореля соответствует пустому множеству, а сама группа G соответствует множеству всех узлов. (В общем случае каждый узел диаграммы Дынкина определяет простой отрицательный корень и, таким образом, одномерную «корневую группу» группы G. Подмножество узлов, таким образом, дает параболическую подгруппу, порожденную B и соответствующими отрицательными корневыми группами. Более того, любая параболическая подгруппа сопряжена с такой параболической подгруппой.) Соответствующие подгруппы группы Вейля группы G также называются параболическими подгруппами, см. Параболическая подгруппа группы отражений .

Пример

Пусть . Подгруппа Бореля группы — это множество верхних треугольных матриц ${\displaystyle G=GL_{4}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \left\{A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:\det(A)\neq 0\right\}}$

и максимальные собственные параболические подгруппы, содержащиеся в , являются ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}\right\}}$

Также максимальный тор в есть ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&0\\0&a_{22}&0&0\\0&0&a_{33}&0\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdot a_{44}\neq 0\right\}}$

Это изоморфно алгебраическому тору . ^[1] ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{4}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [x^{\pm 1},y^{\pm 1},z^{\pm 1},w^{\pm 1}])}$

алгебра Ли

Для частного случая алгебры Ли с подалгеброй Картана , заданной порядком , подалгебра Бореля является прямой суммой и весовых пространств с положительным весом. Подалгебра Ли , содержащая подалгебру Бореля, называется параболической алгеброй Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Смотрите также

• Гиперболическая группа
• Подгруппа Картана
• Подгруппа Mirabolic

Ссылки

• А. Борель (2001). Очерки истории групп Ли и алгебраических групп . Providence RI: AMS. ISBN 0-8218-0288-7.
• J. Humphreys (1972). Линейные алгебраические группы . Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-90108-6.
• Милн, Дж. С. (2017), Алгебраические группы: теория групповых схем конечного типа над полем , Cambridge University Press , doi : 10.1017/9781316711736, ISBN 978-1107167483, г-н  3729270
• Гэри Зейтц (1991). «Алгебраические группы». В B. Hartley; et al. (ред.). Конечные и локально конечные группы . стр. 45–70.

Специфический

1. Брион, Мишель. «Лекции по геометрии флаговых многообразий» (PDF) .

Внешние ссылки

• Попов, В.Л. (2001) [1994], "Параболическая подгруппа", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Платонов, В. П. (2001) [1994], "Подгруппа Бореля", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС