топология Зарисского

Топология на простых идеалах и алгебраических многообразиях

В топологии Зарисского на аффинной плоскости этот график многочлена замкнут.

В алгебраической геометрии и коммутативной алгебре топология Зарисского — это топология, определённая на геометрических объектах, называемых многообразиями . Она сильно отличается от топологий, которые обычно используются в вещественном или комплексном анализе ; в частности, она не является хаусдорфовой . ^[1] Эта топология была введена изначально Оскаром Зарисским и позднее обобщена для превращения множества простых идеалов коммутативного кольца ( называемого спектром кольца) в топологическое пространство.

Топология Зарисского позволяет использовать инструменты топологии для изучения алгебраических многообразий , даже когда лежащее в основе поле не является топологическим полем . Это одна из основных идей теории схем , которая позволяет строить общие алгебраические многообразия, склеивая аффинные многообразия способом, аналогичным тому, который используется в теории многообразий , где многообразия строятся путем склеивания карт , которые являются открытыми подмножествами действительных аффинных пространств .

Топология Зарисского алгебраического многообразия — это топология, замкнутые множества которой являются алгебраическими подмножествами многообразия. ^[1] В случае алгебраического многообразия над комплексными числами топология Зарисского, таким образом, грубее обычной топологии, поскольку каждое алгебраическое множество замкнуто для обычной топологии.

Обобщение топологии Зарисского на множество простых идеалов коммутативного кольца следует из Nullstellensatz Гильберта , который устанавливает биективное соответствие между точками аффинного многообразия, определенного над алгебраически замкнутым полем , и максимальными идеалами кольца его регулярных функций . Это предполагает определение топологии Зарисского на множестве максимальных идеалов коммутативного кольца как топологии такой, что множество максимальных идеалов замкнуто тогда и только тогда, когда оно является множеством всех максимальных идеалов, содержащих данный идеал. Другая основная идея теории схем Гротендика состоит в том, чтобы рассматривать в качестве точек не только обычные точки, соответствующие максимальным идеалам, но и все (неприводимые) алгебраические многообразия, которые соответствуют простым идеалам. Таким образом, топология Зарисского на множестве простых идеалов (спектре) коммутативного кольца — это топология, такая, что множество простых идеалов замкнуто тогда и только тогда, когда оно является множеством всех простых идеалов, содержащих фиксированный идеал.

Топология Зарисского многообразий

В классической алгебраической геометрии (то есть в той части алгебраической геометрии, в которой не используются схемы , введенные Гротендиком около 1960 года) топология Зарисского определяется на алгебраических многообразиях . ^[2] Топология Зарисского, определенная на точках многообразия, — это топология, в которой замкнутые множества являются алгебраическими подмножествами многообразия. Поскольку наиболее элементарными алгебраическими многообразиями являются аффинные и проективные многообразия , полезно сделать это определение более явным в обоих случаях. Мы предполагаем, что работаем над фиксированным, алгебраически замкнутым полем k (в классической алгебраической геометрии k обычно является полем комплексных чисел ).

Аффинные многообразия

Сначала мы определяем топологию на аффинном пространстве , образованном n -кортежами элементов k . Топология определяется указанием ее замкнутых множеств, а не открытых множеств, и они просто берутся как все алгебраические множества в То есть замкнутые множества - это те, которые имеют вид , где S - любой набор многочленов от n переменных над k . Это простая проверка, показывающая, что: ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}.}$ $${\displaystyle V(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in S\}}$$

• V ( S ) = V (( S )), где ( S ) — идеал , порожденный элементами S ;
• Для любых двух идеалов многочленов I , J имеем
  1. ${\displaystyle V(I)\cup V(J)\,=\,V(IJ);}$
  2. ${\displaystyle V(I)\cap V(J)\,=\,V(I+J).}$

Отсюда следует, что конечные объединения и произвольные пересечения множеств V ( S ) также имеют эту форму, так что эти множества образуют замкнутые множества топологии (эквивалентно, их дополнения, обозначаемые D ( S ) и называемые главными открытыми множествами , образуют саму топологию). Это топология Зарисского на ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}.}$

Если X — аффинное алгебраическое множество (неприводимое или нет), то топология Зарисского на нем определяется просто как топология подпространства, индуцированная его включением в некоторое Эквивалентно можно проверить, что: ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}.}$

• Элементы аффинного координатного кольца действуют как функции на X так же, как элементы действуют как функции на ; здесь I ( X ) — идеал всех многочленов, обращающихся в нуль на X . $${\displaystyle A(X)\,=\,k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I(X)}$$ ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$
• Для любого набора многочленов S пусть T будет набором их образов в A ( X ). Тогда подмножество X (эти обозначения не являются стандартными) равно пересечению с X множества V(S) . $${\displaystyle V'(T)=\{x\in X\mid f(x)=0,\forall f\in T\}}$$

Это устанавливает, что приведенное выше уравнение, которое, очевидно, является обобщением определения замкнутых множеств, приведенного выше, определяет топологию Зарисского на любом аффинном многообразии. ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$

Проективные разновидности

Напомним, что n -мерное проективное пространство определяется как множество классов эквивалентности ненулевых точек в путем идентификации двух точек, которые отличаются скалярным множителем в k . Элементы кольца многочленов, как правило, не являются функциями на , поскольку любая точка имеет много представителей, которые дают различные значения в многочлене; однако, для однородных многочленов условие наличия нулевого или ненулевого значения в любой заданной проективной точке хорошо определено, поскольку скалярное множитель вычитается из многочлена. Следовательно, если S - это любое множество однородных многочленов, мы можем обоснованно говорить о ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}}$ ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle V(S)=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}.}$

Для этих множеств можно установить те же факты, что и выше, за исключением того, что слово «идеал» должно быть заменено фразой « однородный идеал », так что V ( S ) для множеств S однородных многочленов определяет топологию на Поскольку выше, дополнения этих множеств обозначаются D ( S ) или, если возможна путаница, D ′ ( S ). ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}.}$

Проективная топология Зарисского определяется для проективных алгебраических множеств так же, как аффинная определяется для аффинных алгебраических множеств, путем взятия топологии подпространства. Аналогично можно показать, что эта топология определяется внутренне множествами элементов проективного координатного кольца, той же формулой, что и выше.

Характеристики

Важным свойством топологий Зарисского является то, что они имеют базу , состоящую из простых элементов, а именно D ( f ) для отдельных многочленов (или для проективных многообразий, однородных многочленов) f . То, что они образуют базу, следует из формулы для пересечения двух множеств, замкнутых по Зарисскому, приведенной выше (применим ее повторно к главным идеалам, порожденным генераторами ( S ) ). Открытые множества в этой базе называются выделенными или базисными открытыми множествами. Важность этого свойства вытекает, в частности, из его использования в определении аффинной схемы .

По теореме Гильберта о базисе и тому факту, что нётеровы кольца замкнуты относительно факторизации , каждое аффинное или проективное координатное кольцо является нётеровым. Как следствие, аффинные или проективные пространства с топологией Зарисского являются нётеровыми топологическими пространствами , что подразумевает, что любое замкнутое подмножество этих пространств компактно .

Однако, за исключением конечных алгебраических множеств, ни одно алгебраическое множество не является хаусдорфовым пространством . В старой топологической литературе «компактность» считалась включающей свойство Хаусдорфа, и это соглашение все еще соблюдается в алгебраической геометрии; поэтому компактность в современном смысле называется «квазикомпактностью» в алгебраической геометрии. Однако, поскольку каждая точка ( a ₁ , ..., a _n ) является нулевым множеством многочленов x ₁ - a ₁ , ..., x _n - a _n , точки замкнуты, и поэтому каждое многообразие удовлетворяет аксиоме T 1 .

Каждое регулярное отображение многообразий непрерывно в топологии Зарисского. Фактически, топология Зарисского является слабейшей топологией (с наименьшим количеством открытых множеств), в которой это верно и в которой точки замкнуты. Это легко проверить, заметив, что замкнутые по Зарисскому множества являются просто пересечениями обратных образов 0 полиномиальными функциями, рассматриваемыми как регулярные отображения в ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}.}$

Спектр кольца

В современной алгебраической геометрии алгебраическое многообразие часто представляется его ассоциированной схемой , которая является топологическим пространством (снабженным дополнительными структурами), локально гомеоморфным спектру кольца . ^[3] Спектр коммутативного кольца A , обозначаемый Spec A , представляет собой множество простых идеалов кольца A , снабженное топологией Зарисского , для которой замкнутыми множествами являются множества

${\displaystyle V(I)=\{P\in \operatorname {Spec} A\mid P\supseteq I\}}$

где I — идеал.

Чтобы увидеть связь с классической картиной, обратите внимание, что для любого множества S многочленов (над алгебраически замкнутым полем) из Nullstellensatz Гильберта следует , что точки V ( S ) (в старом смысле) являются в точности кортежами ( a ₁ , ..., a _n ), такими что идеал, порожденный многочленами x ₁ − a ₁ , ..., x _n − a _{n ,} содержит S ; более того, это максимальные идеалы, и согласно «слабому» Nullstellensatz идеал любого аффинного координатного кольца является максимальным тогда и только тогда, когда он имеет этот вид. Таким образом, V ( S ) «то же самое, что» максимальные идеалы, содержащие S . Нововведение Гротендика в определении Spec состояло в замене максимальных идеалов всеми простыми идеалами; в этой формулировке естественно просто обобщить это наблюдение до определения замкнутого множества в спектре кольца.

Другой способ, возможно, более похожий на оригинал, интерпретировать современное определение — это осознать, что элементы A на самом деле можно рассматривать как функции на простых идеалах A ; а именно, как функции на Spec A . Проще говоря, любой простой идеал P имеет соответствующее поле вычетов , которое является полем дробей частного A / P , и любой элемент A имеет отражение в этом поле вычетов. Более того, элементы, которые на самом деле находятся в P , — это в точности те, отражение которых исчезает в P . Так что если мы подумаем об отображении, связанном с любым элементом a из A :

${\displaystyle e_{a}\colon {\bigl (}P\in \operatorname {Spec} A{\bigr )}\mapsto \left({\frac {a\;{\bmod {P}}}{1}}\in \operatorname {Frac} (A/P)\right)}$

(«оценка a »), которая присваивает каждой точке ее отражение в поле вычетов там, как функцию от Spec A (значения которой, по общему признанию, лежат в разных полях в разных точках), то мы имеем

${\displaystyle e_{a}(P)=0\Leftrightarrow P\in V(a)}$

В более общем смысле, V ( I ) для любого идеала I является общим множеством, на котором все «функции» в I обращаются в нуль, что формально похоже на классическое определение. Фактически, они согласуются в том смысле, что когда A является кольцом многочленов над некоторым алгебраически замкнутым полем k , максимальные идеалы A (как обсуждалось в предыдущем абзаце) отождествляются с n -кортежами элементов k , их полями вычетов являются просто k , а карты «оценки» на самом деле являются оценкой многочленов в соответствующих n -кортежах. Поскольку, как показано выше, классическое определение по сути является современным определением, в котором рассматриваются только максимальные идеалы, это показывает, что интерпретация современного определения как «нулевых множеств функций» согласуется с классическим определением, где они оба имеют смысл.

Так же, как Spec заменяет аффинные многообразия, конструкция Proj заменяет проективные многообразия в современной алгебраической геометрии. Как и в классическом случае, для перехода от аффинного определения к проективному нам нужно всего лишь заменить «идеал» на «однородный идеал», хотя есть осложнение, связанное с «нерелевантным максимальным идеалом», которое обсуждается в цитируемой статье.

Примеры

Спектр ℤ

• Spec k , спектр поля k — это топологическое пространство с одним элементом.
• Spec , спектр целых чисел имеет замкнутую точку для каждого простого числа p , соответствующую максимальному идеалу , и одну незамкнутую общую точку (т.е., замыкание которой является всем пространством), соответствующую нулевому идеалу (0). Таким образом, замкнутые подмножества Spec — это в точности все пространство и конечные объединения замкнутых точек. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (p)\subseteq \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Spec k [ t ], спектр кольца многочленов над полем k : известно, что такое кольцо многочленов является областью главных идеалов , а неприводимые многочлены являются простыми элементами k [ t ]. Если k алгебраически замкнуто , например, поле комплексных чисел , то непостоянный многочлен неприводим тогда и только тогда, когда он линейный, вида t − a , для некоторого элемента a из k . Таким образом, спектр состоит из одной замкнутой точки для каждого элемента a из k и общей точки , соответствующей нулевому идеалу, а множество замкнутых точек гомеоморфно аффинной прямой k , снабженной ее топологией Зарисского. Из-за этого гомеоморфизма некоторые авторы используют термин аффинная прямая для спектра k [ t ]. Если k не алгебраически замкнуто, например, поле действительных чисел , картина становится более сложной из-за существования нелинейных неприводимых многочленов . В этом случае спектр состоит из одной замкнутой точки для каждого монического неприводимого многочлена и общей точки, соответствующей нулевому идеалу. Например, спектр состоит из замкнутых точек ( x − a ), для a в , замкнутых точек ( x ² + px + q ), где p , q находятся в и с отрицательным дискриминантом p ² − 4 q < 0, и, наконец, общей точки (0). Для любого поля замкнутые подмножества Spec k [ t ] являются конечными объединениями замкнутых точек и всего пространства. (Это следует из того факта, что k [ t ] является областью главных идеалов , а в области главных идеалов простые идеалы, содержащие идеал, являются простыми множителями разложения на простые множители генератора идеала). ${\displaystyle \mathbb {R} [t]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Дополнительные свойства

Наиболее драматичным изменением топологии от классической картины к новой является то, что точки больше не обязательно замкнуты; расширяя определение, Гротендик ввел общие точки , которые являются точками с максимальным замыканием, то есть минимальными простыми идеалами . Замкнутые точки соответствуют максимальным идеалам A. Однако спектр и проективный спектр по-прежнему являются пространствами T 0 : если даны две точки P , Q , которые являются простыми идеалами A , по крайней мере одна из них, скажем P , не содержит другую. Тогда D ( Q ) содержит P , но, конечно, не Q .

Как и в классической алгебраической геометрии, любой спектр или проективный спектр является (квази)компактным, и если рассматриваемое кольцо является нётеровым, то пространство является нётеровым топологическим пространством. Однако эти факты противоречат интуиции: мы обычно не ожидаем, что открытые множества, отличные от связных компонент , будут компактными, а для аффинных многообразий (например, евклидова пространства) мы даже не ожидаем, что само пространство будет компактным. Это один из примеров геометрической непригодности топологии Зарисского. Гротендик решил эту проблему, определив понятие правильности схемы ( на самом деле, морфизма схем), что восстанавливает интуитивную идею компактности: Proj является правильным, а Spec — нет.

Смотрите также

• Спектральное пространство

Цитаты

1. Хулек 2003, с. 19, 1.1.1..
2. Мамфорд 1999.
3. Даммит и Фут 2004.

Ссылки

• Даммит, Д.С.; Фут, Р. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Wiley. стр. 71–72. ISBN 9780471433347.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157, OCLC  13348052
• Хулек, Клаус (2003). Элементарная алгебраическая геометрия. AMS . ISBN 978-0-8218-2952-3.
• Мамфорд, Дэвид (1999) [1967]. Красная книга многообразий и схем . Заметки лекций по математике. Том 1358 (расширенный, включает Мичиганские лекции (1974) по кривым и их якобианам). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . doi :10.1007/b62130. ISBN 978-3-540-63293-1. МР  1748380.
• Тодд Роуленд. "Топология Зарисского". MathWorld .