Профиль Фойгта

Распределение вероятностей

Профиль Фойгта (названный в честь Вольдемара Фойгта ) — это распределение вероятностей , заданное сверткой распределения Коши -Лоренца и распределения Гаусса . Он часто используется при анализе данных спектроскопии или дифракции .

Определение

Без потери общности мы можем рассматривать только центрированные профили, которые достигают пика в нуле. Профиль Фойгта тогда

${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }G(x';\sigma )L(x-x';\gamma )\,dx',}$

где x — смещение от центра линии, — центрированный гауссов профиль: ${\displaystyle G(x;\sigma )}$

${\displaystyle G(x;\sigma )\equiv {\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},}$

и представляет собой центрированный профиль Лоренца: ${\displaystyle L(x;\gamma )}$

${\displaystyle L(x;\gamma )\equiv {\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+x^{2})}}.}$

Определяющий интеграл можно оценить как:

${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},}$

где Re[ w ( z )] — действительная часть функции Фаддеева, вычисленная для

${\displaystyle z={\frac {x+i\gamma }{{\sqrt {2}}\,\sigma }}.}$

В предельных случаях и тогда упрощается до и соответственно. ${\displaystyle \sigma =0}$ ${\displaystyle \gamma =0}$ ${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )}$ ${\displaystyle L(x;\gamma )}$ ${\displaystyle G(x;\sigma )}$

История и применение

В спектроскопии профиль Фойгта получается в результате свертки двух механизмов уширения, один из которых сам по себе даст гауссов профиль (обычно в результате доплеровского уширения ), а другой даст лоренцев профиль. Профили Фойгта распространены во многих областях спектроскопии и дифракции . Из-за затрат на вычисление функции Фаддеева профиль Фойгта иногда аппроксимируют с помощью псевдо-профиля Фойгта.

Характеристики

Профиль Фойгта нормализован:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }V(x;\sigma ,\gamma )\,dx=1,}$

поскольку это свертка нормализованных профилей. Профиль Лоренца не имеет моментов (кроме нулевого), и поэтому функция, генерирующая моменты для распределения Коши, не определена. Из этого следует, что профиль Фойгта также не будет иметь функции, генерирующей моменты, но характеристическая функция для распределения Коши хорошо определена, как и характеристическая функция для нормального распределения . Характеристическая функция для (центрированного) профиля Фойгта тогда будет произведением двух:

${\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma )=E(e^{ixt})=e^{-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.}$

Поскольку нормальные распределения и распределения Коши являются устойчивыми распределениями , каждое из них замкнуто относительно свертки (с точностью до изменения масштаба), и отсюда следует, что распределения Фойгта также замкнуты относительно свертки.

Кумулятивная функция распределения

Используя приведенное выше определение для z , кумулятивную функцию распределения (CDF) можно найти следующим образом:

${\displaystyle F(x_{0};\mu ,\sigma )=\int _{-\infty }^{x_{0}}{\frac {\operatorname {Re} (w(z))}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,dx=\operatorname {Re} \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{z(-\infty )}^{z(x_{0})}w(z)\,dz\right).}$

Подставляя определение функции Фаддеева (масштабированной комплексной функции ошибок ), получаем неопределенный интеграл:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-z^{2}}\left[1-\operatorname {erf} (-iz)\right]\,dz,}$

которые могут быть решены для получения

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right),}$

где — гипергеометрическая функция . Для того чтобы функция стремилась к нулю, когда x стремится к отрицательной бесконечности (как это должна делать CDF), необходимо добавить константу интегрирования 1/2. Это дает для CDF Фойгта: ${\displaystyle {}_{2}F_{2}}$

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\operatorname {Re} \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right)\right].}$

Нецентрированный профиль Фойгта

Если гауссовский профиль центрирован в точке , а лоренцевский профиль центрирован в точке , то свертка центрирована в точке , а характеристическая функция имеет вид: ${\displaystyle \mu _{G}}$ ${\displaystyle \mu _{L}}$ ${\displaystyle \mu _{V}=\mu _{G}+\mu _{L}}$

${\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma ,\mu _{\mathrm {G} },\mu _{\mathrm {L} })=e^{i(\mu _{\mathrm {G} }+\mu _{\mathrm {L} })t-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.}$

Функция плотности вероятности просто смещена относительно центрированного профиля на : ${\displaystyle \mu _{V}}$

${\displaystyle V(x;\mu _{V},\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}},}$

где:

${\displaystyle z={\frac {x-\mu _{V}+i\gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}}$

Мода и медиана находятся в точке . ${\displaystyle \mu _{V}}$

Производные

Профиль Фойгта (здесь, предполагая , что , и ) и его первые две частные производные по (первый столбец) и трем параметрам , и (второй, третий и четвертый столбцы соответственно), полученные аналитически и численно. ${\displaystyle \mu _{V}=10}$ ${\displaystyle \sigma =1.3}$ ${\displaystyle \gamma =2.5}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu _{V}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Используя определение выше для и , первую и вторую производные можно выразить через функцию Фаддеева как ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x_{c}=x-\mu _{V}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x_{c};\sigma ,\gamma )&=-{\frac {\operatorname {Re} \left[z~w(z)\right]}{\sigma ^{2}{\sqrt {\pi }}}}=-{\frac {x_{c}}{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Re} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Im} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\\&={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \operatorname {Im} \left[w(z)\right]-x_{c}\cdot \operatorname {Re} \left[w(z)\right]\right)\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\left(\partial x\right)^{2}}}V(x_{c};\sigma ,\gamma )&={\frac {x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Re} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}-{\frac {2x_{c}\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Im} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {1}{\pi }}\\&=-{\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \left(2x_{c}\cdot \operatorname {Im} \left[w(z)\right]-\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \operatorname {Re} \left[w(z)\right]\right),\end{aligned}}}$

соответственно.

Часто один или несколько профилей Фойгта и/или их соответствующие производные необходимо подогнать к измеренному сигналу с помощью нелинейного метода наименьших квадратов , например, в спектроскопии . Затем для ускорения вычислений можно использовать дополнительные частные производные. Вместо аппроксимации матрицы Якоби относительно параметров , и с помощью конечных разностей можно применить соответствующие аналитические выражения. С и они задаются следующим образом: ${\displaystyle \mu _{V}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \left[w(z)\right]=\Re _{w}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left[w(z)\right]=\Im _{w}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(x_{c}\cdot \Re _{w}-\gamma \cdot \Im _{w}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \sigma }}={\frac {1}{\sigma ^{4}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-\sigma ^{2}\right)\cdot \Re _{w}-2x_{c}\gamma \cdot \Im _{w}+\gamma \sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \gamma }}=-{\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}-x_{c}\cdot \Im _{w}-\gamma \cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}}$

для исходного профиля Фойгта ; ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V'}{\partial x}}=-{\frac {\partial ^{2}V}{\left(\partial x\right)^{2}}}={\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \left(2x_{c}\cdot \Im _{w}-\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \sigma }}={\frac {3}{\sigma ^{6}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(-\gamma \sigma x_{c}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}+\left(x_{c}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{3}}-\sigma ^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Im _{w}+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \gamma }}={\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(x_{c}\cdot \left(\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}-2\gamma \cdot \Re _{w}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \Im _{w}\right)\end{aligned}}}$

для частной производной первого порядка ; и ${\displaystyle V'={\frac {\partial V}{\partial x}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V''}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V''}{\partial x}}=-{\frac {\partial ^{3}V}{\left(\partial x\right)^{3}}}=-{\frac {3}{\sigma ^{7}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(x_{c}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{3}}-\sigma ^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Im _{w}+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Re _{w}-\gamma \sigma x_{c}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial V''}{\partial \sigma }}=-{\frac {1}{\sigma ^{8}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \\&\left(\left(-3\gamma x_{c}\sigma ^{2}+\gamma x_{c}^{3}-\gamma ^{3}x_{c}\right)\cdot 4\cdot \Im _{w}+\left(\left(2x_{c}^{2}-2\gamma ^{2}-\sigma ^{2}\right)\cdot 3\sigma ^{2}+6\gamma ^{2}x_{c}^{2}-x_{c}^{4}-\gamma ^{4}\right)\cdot \Re _{w}+\left(\gamma ^{2}+5\sigma ^{2}-3x_{c}^{2}\right)\cdot \gamma \sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V''}{\partial \gamma }}=-{\frac {3}{\sigma ^{7}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Im _{w}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{3}}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Re _{w}+\left(x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-2\sigma ^{2}\right)\cdot \sigma \cdot {\frac {\sqrt {2}}{3{\sqrt {\pi }}}}\right)\end{aligned}}}$

для частной производной второго порядка . Поскольку и играют относительно схожую роль в вычислении , их соответствующие частные производные также выглядят довольно похожими с точки зрения их структуры, хотя они приводят к совершенно разным профилям производных. Действительно, частные производные по и показывают большее сходство, поскольку оба являются параметрами ширины. Все эти производные включают только простые операции (умножения и сложения), поскольку вычислительно затратны и легко получаются при вычислении . Такое повторное использование предыдущих вычислений позволяет получить вывод с минимальными затратами. Это не относится к аппроксимации градиента конечных разностей , поскольку она требует оценки для каждого градиента соответственно. ${\displaystyle V''={\frac {\partial ^{2}V}{\left(\partial x\right)^{2}}}}$ ${\displaystyle \mu _{V}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Re _{w}}$ ${\displaystyle \Im _{w}}$ ${\displaystyle w\left(z\right)}$ ${\displaystyle w\left(z\right)}$

Функции Фойгта

Функции Фойгта ^[1] U , V и H (иногда называемые функцией уширения линии ) определяются как

${\displaystyle U(x,t)+iV(x,t)={\sqrt {\frac {\pi }{4t}}}e^{z^{2}}\operatorname {erfc} (z)={\sqrt {\frac {\pi }{4t}}}w(iz),}$

${\displaystyle H(a,u)={\frac {U({\frac {u}{a}},{\frac {1}{4a^{2}}})}{{\sqrt {\pi }}\,a}},}$

где

${\displaystyle z={\frac {1-ix}{2{\sqrt {t}}}},}$

erfc — дополнительная функция ошибок , а w ( z ) — функция Фаддеева .

Отношение к профилю Фойгта

${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {H(a,u)}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},}$

с гауссовыми сигма-относительными переменными и ${\displaystyle u={\frac {x}{{\sqrt {2}}\,\sigma }}}$ ${\displaystyle a={\frac {\gamma }{{\sqrt {2}}\,\sigma }}.}$

Числовые приближения

Функция Теппера-Гарсии

Функция Теппера-Гарсии , названная в честь немецко-мексиканского астрофизика Тора Теппера-Гарсии, представляет собой комбинацию экспоненциальной функции и рациональных функций, которая аппроксимирует функцию уширения линии в широком диапазоне ее параметров. ^[2] Она получается из усеченного степенного ряда разложения точной функции уширения линии. ${\displaystyle H(a,u)}$

В наиболее вычислительно эффективной форме функция Теппера-Гарсии может быть выражена как

${\displaystyle T(a,u)=R-\left(a/{\sqrt {\pi }}P\right)~\left[R^{2}~(4P^{2}+7P+4+Q)-Q-1\right]\,,}$

где , , и . ${\displaystyle P\equiv u^{2}}$ ${\displaystyle Q\equiv 3/(2P)}$ ${\displaystyle R\equiv e^{-P}}$

Таким образом, функцию уширения линии можно рассматривать, в первом порядке, как чистую гауссову функцию плюс поправочный коэффициент, который линейно зависит от микроскопических свойств поглощающей среды (закодирован в ); однако, в результате раннего усечения в разложении ряда, ошибка в аппроксимации все еще имеет порядок , т.е. . Эта аппроксимация имеет относительную точность ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle H(a,u)\approx T(a,u)+{\mathcal {O}}(a)}$

${\displaystyle \epsilon \equiv {\frac {\vert H(a,u)-T(a,u)\vert }{H(a,u)}}\lesssim 10^{-4}}$

по всему диапазону длин волн , при условии, что . В дополнение к своей высокой точности, функция проста в реализации, а также вычислительно быстра. Она широко используется в области анализа линий поглощения квазаров. ^[3] ${\displaystyle H(a,u)}$ ${\displaystyle a\lesssim 10^{-4}}$ ${\displaystyle T(a,u)}$

Псевдо-Фойгтовское приближение

Профиль псевдо-Фойгта (или функция псевдо-Фойгта ) представляет собой аппроксимацию профиля Фойгта V ( x ), использующую линейную комбинацию гауссовой кривой G ( x ) и лоренцевской кривой L ( x ) вместо их свертки .

Функция псевдо-Фойгта часто используется для расчетов экспериментальных форм спектральных линий .

Математическое определение нормализованного псевдо-Фойгтовского профиля имеет вид

${\displaystyle V_{p}(x,f)=\eta \cdot L(x,f)+(1-\eta )\cdot G(x,f)}$с . ${\displaystyle 0<\eta <1}$

${\displaystyle \eta }$является функцией параметра полной ширины на половине высоты (FWHM).

Существует несколько возможных вариантов выбора параметра. ^{[4] [5] [6] [7]} Простая формула с точностью до 1% выглядит так: ^{[8] [9]} ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \eta =1.36603(f_{L}/f)-0.47719(f_{L}/f)^{2}+0.11116(f_{L}/f)^{3},}$

где теперь, является функцией параметров Лоренца ( ), Гаусса ( ) и общего ( ) Полная ширина на половине максимума (FWHM). Общий параметр FWHM ( ) описывается следующим образом: ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle f_{L}}$ ${\displaystyle f_{G}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f=[f_{G}^{5}+2.69269f_{G}^{4}f_{L}+2.42843f_{G}^{3}f_{L}^{2}+4.47163f_{G}^{2}f_{L}^{3}+0.07842f_{G}f_{L}^{4}+f_{L}^{5}]^{1/5}.}$

Ширина профиля Фойгта

Полная ширина на половине максимума (FWHM) профиля Фойгта может быть найдена из ширины связанных гауссовых и лоренцевских ширин. FWHM гауссова профиля равна

${\displaystyle f_{\mathrm {G} }=2\sigma {\sqrt {2\ln(2)}}.}$

Полная ширина на половине высоты лоренцевского профиля равна

${\displaystyle f_{\mathrm {L} }=2\gamma .}$

Приблизительное соотношение (с точностью около 1,2%) между ширинами профилей Фойгта, Гаусса и Лоренца следующее: ^[10]

${\displaystyle f_{\mathrm {V} }\approx f_{\mathrm {L} }/2+{\sqrt {f_{\mathrm {L} }^{2}/4+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.}$

По построению это выражение является точным для чистого гауссовского или лоренцевского распределения.

Более точное приближение с точностью 0,02% дает ^[11] (первоначально найденное Килькопфом ^[12] ).

${\displaystyle f_{\mathrm {V} }\approx 0.5346f_{\mathrm {L} }+{\sqrt {0.2166f_{\mathrm {L} }^{2}+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.}$

Опять же, это выражение является точным для чистого гауссовского или лоренцевского. В той же публикации ^[11] можно найти немного более точное (в пределах 0,012%), но значительно более сложное выражение.

Асимметричная функция псевдо-Фойгта (Мартинелли)

Функция асимметрии псевдо-Фойгта (Мартинелли) напоминает расщепленное нормальное распределение , имея различную ширину с каждой стороны пикового положения. Математически это выражается как:

${\displaystyle V_{p}(x,f)=\eta \cdot L(x,f)+(1-\eta )\cdot G(x,f)}$

где является весом лоренциана, а ширина является функцией расщепления ( для и для ). В пределе функция Мартинелли возвращается к симметричной псевдофункции Фойгта. Функция Мартинелли использовалась для моделирования упругого рассеяния на резонансных неупругих рентгеновских рассеивающих приборах. ^[13] ${\displaystyle 0<\eta <1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=f_{1}}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle f=f_{2}}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle f_{1}\rightarrow f_{2}}$

Ссылки

1. Temme, NM (2010), "Функция Фойгта", в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
2. Теппер-Гарсия, Торстен (2006). «Подгонка профиля Фойгта к линиям поглощения квазаров: аналитическое приближение к функции Фойгта-Хьертинга». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 369 (4): 2025–2035. arXiv : astro-ph/0602124 . Bibcode : 2006MNRAS.369.2025T. doi : 10.1111/j.1365-2966.2006.10450.x . S2CID  16981310.
3. Список ссылок, найденных в Системе астрофизических данных SAO/NASA (ADS): https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2006MNRAS.369.2025T/citations
4. Wertheim GK, Butler MA, West KW, Buchanan DN (1974). «Определение гауссовского и лоренцевского содержания экспериментальных форм линий». Review of Scientific Instruments . 45 (11): 1369–1371. Bibcode : 1974RScI...45.1369W. doi : 10.1063/1.1686503.
5. Санчес-Бахо, Ф.; Ф. Л. Кумбрера (август 1997 г.). «Использование функции псевдо-Фойгта в дисперсионном методе анализа уширения рентгеновских линий». Журнал прикладной кристаллографии . 30 (4): 427–430. Bibcode : 1997JApCr..30..427S. doi : 10.1107/S0021889896015464.
6. Liu Y, Lin J, Huang G, Guo Y, Duan C (2001). «Простая эмпирическая аналитическая аппроксимация профиля Фойгта». JOSA B. 18 ( 5): 666–672. Bibcode : 2001JOSAB..18..666L. doi : 10.1364/josab.18.000666.
7. Di Rocco HO, Cruzado A (2012). «Профиль Фойгта как сумма гауссовой и лоренцевской функций, когда весовой коэффициент зависит только от отношения ширин». Acta Physica Polonica A . 122 (4): 666–669. Bibcode :2012AcPPA.122..666D. doi : 10.12693/APhysPolA.122.666 . ISSN  0587-4246.
8. Ida T, Ando M, Toraya H (2000). «Расширенная псевдо-Фойгтовская функция для аппроксимации профиля Фойгта». Журнал прикладной кристаллографии . 33 (6): 1311–1316. doi :10.1107/s0021889800010219. S2CID  55372305.
9. P. Thompson, DE Cox и JB Hastings (1987). "Уточнение Ритвельдом данных синхротронного рентгеновского излучения Дебая-Шеррера из Al ₂ O ₃ ". Журнал прикладной кристаллографии . 20 (2): 79–83. Bibcode : 1987JApCr..20...79T. doi : 10.1107/S0021889887087090.
10. Whiting, EE (июнь 1968). «Эмпирическое приближение к профилю Фойгта». Журнал количественной спектроскопии и переноса излучения . 8 (6): 1379–1384. Bibcode : 1968JQSRT...8.1379W. doi : 10.1016/0022-4073(68)90081-2. ISSN  0022-4073.
11. Olivero, JJ; RL Longbothum (февраль 1977 г.). «Эмпирические подгонки к ширине линии Фойгта: краткий обзор». Журнал количественной спектроскопии и переноса излучения . 17 (2): 233–236. Bibcode :1977JQSRT..17..233O. doi :10.1016/0022-4073(77)90161-3. ISSN  0022-4073.
12. Джон Ф. Килькопф (1973), «Новое приближение функции Фойгта с приложениями к анализу профиля спектральной линии», Журнал оптического общества Америки , 63 (8): 987, Bibcode : 1973JOSA...63..987K, doi : 10.1364/JOSA.63.000987
13. Мартинелли, Л.; Бяло, И.; Хонг, Х.; Опплигер, Дж.; и др. (2024). «Разделенные статические и динамические корреляции заряда в La2−xSrxCuO4». arXiv : 2406.15062 [cond-mat.str-el].

Внешние ссылки

• http://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf, числовая библиотека C для комплексных функций ошибок, предоставляет функцию voigt(x, sigma, gamma) с точностью приблизительно 13–14 цифр.
• Оригинальная статья: Voigt, Woldemar, 1912, «Das Gesetz der Intensitätsverteilung Internalhalb der Linien eines Gasspektrums», Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 25, 603 (см. также: http://publikationen.badw.de/de/003395768)