stringtranslate.com

Статистика Ферми-Дирака

Статистика Ферми–Дирака — это тип квантовой статистики , которая применяется к физике системы , состоящей из множества невзаимодействующих, идентичных частиц , которые подчиняются принципу исключения Паули . Результатом является распределение Ферми–Дирака частиц по энергетическим состояниям . Оно названо в честь Энрико Ферми и Поля Дирака , каждый из которых вывел это распределение независимо в 1926 году. [1] [2] Статистика Ферми–Дирака является частью области статистической механики и использует принципы квантовой механики .

Статистика Ферми–Дирака применяется к идентичным и неразличимым частицам с полуцелым спином (1/2, 3/2 и т. д.), называемым фермионами , в термодинамическом равновесии . В случае пренебрежимо малого взаимодействия между частицами система может быть описана в терминах одночастичных энергетических состояний . Результатом является распределение Ферми–Дирака частиц по этим состояниям, где никакие две частицы не могут занимать одно и то же состояние, что оказывает значительное влияние на свойства системы. Статистика Ферми–Дирака чаще всего применяется к электронам , типу фермионов со спином 1/2 .

Аналогом статистики Ферми–Дирака является статистика Бозе–Эйнштейна , которая применяется к идентичным и неразличимым частицам с целым спином (0, 1, 2 и т. д.), называемым бозонами . В классической физике статистика Максвелла–Больцмана используется для описания частиц, которые идентичны и рассматриваются как различимые. Как для статистики Бозе–Эйнштейна, так и для статистики Максвелла–Больцмана, в отличие от статистики Ферми–Дирака, более одной частицы могут занимать одно и то же состояние.

Равновесные тепловые распределения для частиц с целым спином (бозоны, красные), полуцелым спином (фермионы, синие) и классических (бесспиновых) частиц (зеленые). Средняя занятость показана в зависимости от энергии относительно химического потенциала системы , где — температура системы, а — постоянная Больцмана.

История

До введения статистики Ферми-Дирака в 1926 году понимание некоторых аспектов поведения электронов было затруднено из-за, казалось бы, противоречивых явлений. Например, электронная теплоемкость металла при комнатной температуре , казалось, исходила от в 100 раз меньшего количества электронов , чем было в электрическом токе . [3] Также было трудно понять, почему токи эмиссии, генерируемые приложением сильных электрических полей к металлам при комнатной температуре, почти не зависели от температуры.

Трудность, с которой столкнулась модель Друде , электронная теория металлов того времени, была вызвана тем, что считалось, что все электроны (согласно классической статистической теории) эквивалентны. Другими словами, считалось, что каждый электрон вносит в удельную теплоту величину порядка постоянной Больцмана  k B . Эта проблема оставалась нерешенной до развития статистики Ферми–Дирака.

Статистика Ферми–Дирака была впервые опубликована в 1926 году Энрико Ферми [1] и Полем Дираком . [2] По словам Макса Борна , Паскуаль Джордан разработал в 1925 году ту же самую статистику, которую он назвал статистикой Паули , но она не была опубликована своевременно. [4] [5] [6] По словам Дирака, она была впервые изучена Ферми, и Дирак назвал ее «статистикой Ферми», а соответствующие частицы «фермионами». [7]

Статистика Ферми–Дирака была применена в 1926 году Ральфом Фаулером для описания коллапса звезды в белый карлик . [8] В 1927 году Арнольд Зоммерфельд применил ее к электронам в металлах и разработал модель свободных электронов , [9] а в 1928 году Фаулер и Лотар Нордхейм применили ее к полевой электронной эмиссии из металлов. [10] Статистика Ферми–Дирака продолжает оставаться важной частью физики.

Распределение Ферми-Дирака

Для системы идентичных фермионов, находящихся в термодинамическом равновесии, среднее число фермионов в одночастичном состоянии i задается распределением Ферми–Дирака (Ф–Д) : [11] [nb 1]

где k Bпостоянная Больцмана , T — абсолютная температура , ε i — энергия одночастичного состояния i , а μполный химический потенциал . Распределение нормируется условием

, который может быть использован для выражения в , который может принимать как положительное, так и отрицательное значение. [12]

При нулевой абсолютной температуре μ равно энергии Ферми плюс потенциальная энергия на фермион, при условии, что он находится в окрестности положительной спектральной плотности. В случае спектральной щели, например, для электронов в полупроводнике, точка симметрии μ обычно называется уровнем Ферми или — для электронов — электрохимическим потенциалом и будет расположена в середине щели. [13] [14]

Распределение Ферми-Дирака справедливо только в том случае, если число фермионов в системе достаточно велико, так что добавление еще одного фермиона в систему оказывает незначительное влияние на μ . [15] Поскольку распределение Ферми-Дирака было получено с использованием принципа исключения Паули , который позволяет максимум одному фермиону занимать каждое возможное состояние, результатом является то, что . [nb 2]

Дисперсию числа частиц в состоянии i можно рассчитать из приведенного выше выражения для : [17] [ 18]

Распределение частиц по энергии

Функция Ферми с для различных температур в диапазоне

Из распределения Ферми-Дирака частиц по состояниям можно найти распределение частиц по энергии. [nb 3] Среднее число фермионов с энергией можно найти, умножив распределение Ферми-Дирака на вырождение (т.е. число состояний с энергией ), [19]

Когда , возможно, что , поскольку существует более одного состояния, которое могут занимать фермионы с одинаковой энергией .

Когда квазиконтинуум энергий имеет связанную с ним плотность состояний (т.е. число состояний на единицу диапазона энергии на единицу объема [20] ), среднее число фермионов на единицу диапазона энергии на единицу объема равно

где называется функцией Ферми и является той же функцией , которая используется для распределения Ферми–Дирака : [21]

так что

Квантовые и классические режимы

Распределение Ферми–Дирака приближается к распределению Максвелла–Больцмана в пределе высокой температуры и низкой плотности частиц, без необходимости каких-либо специальных предположений:

Классический режим, в котором статистика Максвелла-Больцмана может быть использована в качестве приближения к статистике Ферми-Дирака, находится путем рассмотрения ситуации, которая далека от предела, налагаемого принципом неопределенности Гейзенберга для положения и импульса частицы . Например, в физике полупроводников, когда плотность состояний зоны проводимости намного выше концентрации легирования, энергетический зазор между зоной проводимости и уровнем Ферми может быть рассчитан с использованием статистики Максвелла-Больцмана. В противном случае, если концентрация легирования не является пренебрежимо малой по сравнению с плотностью состояний зоны проводимости, вместо этого для точного расчета следует использовать распределение Ферми-Дирака. Затем можно показать, что классическая ситуация преобладает, когда концентрация частиц соответствует среднему межчастичному расстоянию , которое намного больше средней длины волны де Бройля частиц: [22]

где hпостоянная Планка , а mмасса частицы .

Для случая электронов проводимости в типичном металле при T = 300  K (т.е. примерно комнатной температуре) система далека от классического режима, поскольку . Это связано с малой массой электрона и высокой концентрацией (т.е. малым ) электронов проводимости в металле. Таким образом, для электронов проводимости в типичном металле необходима статистика Ферми–Дирака. [22]

Другим примером системы, которая не находится в классическом режиме, является система, состоящая из электронов звезды, которая коллапсировала в белый карлик. Хотя температура белого карлика высока (обычно T =10 000  К на его поверхности [23] ), его высокая концентрация электронов и малая масса каждого электрона исключают возможность использования классического приближения, и снова требуется статистика Ферми-Дирака. [8]

Производные

Большой канонический ансамбль

Распределение Ферми–Дирака, которое применимо только к квантовой системе невзаимодействующих фермионов, легко выводится из большого канонического ансамбля . [24] В этом ансамбле система способна обмениваться энергией и обмениваться частицами с резервуаром (температура T и химический потенциал μ фиксируются резервуаром).

Благодаря невзаимодействующему качеству каждый доступный одночастичный уровень (с уровнем энергии ϵ ) образует отдельную термодинамическую систему в контакте с резервуаром. Другими словами, каждый одночастичный уровень является отдельным, крошечным большим каноническим ансамблем. Согласно принципу исключения Паули, существует только два возможных микросостояния для одночастичного уровня: ни одной частицы (энергия E = 0) или одна частица (энергия E = ε ). Таким образом, результирующая функция распределения для этого одночастичного уровня имеет всего два члена:

и среднее число частиц для этого одночастичного уровня подсостояния определяется как

Этот результат применим к каждому одночастичному уровню и, таким образом, дает распределение Ферми–Дирака для всего состояния системы. [24]

Также можно вывести дисперсию числа частиц (из-за тепловых флуктуаций ) (число частиц имеет простое распределение Бернулли ):

Эта величина важна в явлениях переноса, таких как соотношения Мотта для электропроводности и коэффициента термоЭДС для электронного газа [25] , где способность энергетического уровня вносить вклад в явления переноса пропорциональна .

Канонический ансамбль

Также возможно вывести статистику Ферми–Дирака в каноническом ансамбле . Рассмотрим многочастичную систему, состоящую из N идентичных фермионов, которые имеют пренебрежимо малое взаимодействие друг с другом и находятся в тепловом равновесии. [15] Поскольку взаимодействие между фермионами пренебрежимо мало, энергия состояния многочастичной системы может быть выражена как сумма одночастичных энергий:

где называется числом заполнения и представляет собой число частиц в одночастичном состоянии с энергией . Суммирование ведется по всем возможным одночастичным состояниям .

Вероятность того, что многочастичная система находится в состоянии, определяется нормализованным каноническим распределением : [26]

где , называется фактором Больцмана , а суммирование ведется по всем возможным состояниям многочастичной системы. Среднее значение для числа заполнения равно [26]

Обратите внимание, что состояние многочастичной системы можно определить с помощью заполнения частицами одночастичных состояний, т.е. указав так, что

и уравнение для становится

где суммирование ведется по всем комбинациям значений, которые подчиняются принципу исключения Паули, и = 0 или для каждого . Кроме того, каждая комбинация значений удовлетворяет ограничению, что общее число частиц равно :

Переставляя суммы,

где верхний индекс на знаке суммы указывает, что сумма не закончена и подчиняется ограничению, что общее число частиц, связанных с суммированием, равно . Обратите внимание, что все еще зависит от через ограничение, так как в одном случае и оценивается с помощью в то время как в другом случае и оценивается с помощью Чтобы упростить обозначения и четко указать, что все еще зависит от через определить

так что предыдущее выражение для можно переписать и оценить в терминах :

Для нахождения выражения для замены будет использовано следующее приближение [27] :

где

Если число частиц достаточно велико, так что изменение химического потенциала при добавлении частицы в систему очень мало, то [28] Применяем экспоненциальную функцию к обеим сторонам, заменяем и переставляем,

Подставляя вышеприведенное в уравнение для и используя предыдущее определение для замены , получаем распределение Ферми–Дирака:

Подобно распределению Максвелла–Больцмана и распределению Бозе–Эйнштейна , распределение Ферми–Дирака также может быть получено методом средних значений Дарвина–Фаулера . [29]

Микроканонический ансамбль

Результат может быть достигнут путем прямого анализа множественностей системы и использования множителей Лагранжа . [30]

Предположим, что у нас есть несколько уровней энергии, помеченных индексом i , каждый уровень имеет энергию ε i и содержит в общей сложности n i частиц. Предположим, что каждый уровень содержит g i различных подуровней, все из которых имеют одинаковую энергию и которые различимы. Например, две частицы могут иметь разные импульсы (т. е. их импульсы могут быть вдоль разных направлений), в этом случае они различимы друг от друга, но при этом они могут иметь одинаковую энергию. Значение g i , связанное с уровнем i , называется «вырождением» этого уровня энергии. Принцип исключения Паули гласит, что только один фермион может занимать любой такой подуровень.

Число способов распределения n i неразличимых частиц по g i подуровням энергетического уровня, с максимумом в одну частицу на подуровень, определяется биномиальным коэффициентом , используя его комбинаторную интерпретацию :

Например, распределение двух частиц по трем подуровням даст численность популяции 110, 101 или 011 для всех трех способов, что равно 3!/(2!1!).

Число способов, которыми может быть реализован набор чисел заполнения n i , является произведением способов, которыми может быть заселен каждый отдельный энергетический уровень:

Следуя той же процедуре, которая использовалась при выводе статистики Максвелла–Больцмана , мы хотим найти набор n i , для которого W максимизируется, при условии, что есть фиксированное число частиц и фиксированная энергия. Мы ограничиваем наше решение, используя множители Лагранжа, образующие функцию:

Используя приближение Стирлинга для факториалов, взяв производную по n i , приравняв результат к нулю и решив относительно n i , получаем числа популяции Ферми–Дирака:

Используя процесс, аналогичный описанному в статье о статистике Максвелла–Больцмана , можно термодинамически показать, что и , так что в конечном итоге вероятность того, что состояние будет занято, равна

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Распределение Фишера–Дириуэта — это тип математической функции, называемой логистической функцией или сигмоидальной функцией .
  2. ^ Обратите внимание, что также существует вероятность того, что состояние занято, поскольку не более одного фермиона может занимать одно и то же состояние одновременно и .
  3. ^ Эти распределения по энергиям, а не по состояниям, иногда также называют распределением Ферми–Дирака, но эта терминология не будет использоваться в этой статье.

Ссылки

  1. ^ Аб Ферми, Энрико (1926). «Sulla quantizzazione del gas perfetto monoatomico». Рендиконти Линчеи (на итальянском языке). 3 : 145–9., переведено как Заннони, Альберто (1999-12-14). "О квантовании идеального одноатомного газа". arXiv : cond-mat/9912229 .
  2. ^ ab Дирак, Поль AM (1926). «О теории квантовой механики». Труды Королевского общества A. 112 ( 762): 661–77. Bibcode :1926RSPSA.112..661D. doi : 10.1098/rspa.1926.0133 . JSTOR  94692.
  3. ^ (Киттель 1971, стр. 249–50)
  4. ^ "История науки: загадка встречи Бора и Гейзенберга в Копенгагене". Science-Week . 4 (20). 2000-05-19. OCLC  43626035. Архивировано из оригинала 2009-04-11 . Получено 2009-01-20 .
  5. ^ Schücking (1999). "Йордан, Паули, Политика, Брехт и переменная гравитационная постоянная". Physics Today . 52 (10): 26. Bibcode : 1999PhT....52j..26S. doi : 10.1063/1.882858 .
  6. ^ Элерс; Шюкинг (2002). «Абер Джордан, война дер Эрсте». Физический журнал (на немецком языке). 1 (11): 71–72. hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5513-D.
  7. ^ Дирак, Пол AM (1967). Принципы квантовой механики (пересмотренное 4-е изд.). Лондон: Oxford University Press. С. 210–1. ISBN 978-0-19-852011-5.
  8. ^ ab Fowler, Ralph H. (декабрь 1926 г.). «О плотной материи». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 87 (2): 114–22. Bibcode : 1926MNRAS..87..114F. doi : 10.1093/mnras/87.2.114 .
  9. ^ Зоммерфельд, Арнольд (14 октября 1927). «Zur Elektronentheorie der Metalle» [К электронной теории металлов]. Naturwissenschaften (на немецком языке). 15 (41): 824–32. Бибкод : 1927NW.....15..825S. дои : 10.1007/BF01505083. S2CID  39403393.
  10. ^ Фаулер, Ральф Х.; Нордхайм, Лотар В. (1928-05-01). «Электронная эмиссия в интенсивных электрических полях». Труды Королевского общества A. 119 ( 781): 173–81. Bibcode : 1928RSPSA.119..173F. doi : 10.1098/rspa.1928.0091 . JSTOR  95023.
  11. Рейф 1965, стр. 341.
  12. ^ Ландау, Л. Д., Лифшиц, Э. М. (2013). Статистическая физика: Том 5 (т. 5). Elsevier.
  13. ^ Блейкмор 2002, стр. 11.
  14. ^ Киттель, Чарльз ; Кремер, Герберт (1980). Тепловая физика (2-е изд.). Сан-Франциско: WH Freeman. стр. 357. ISBN 978-0-7167-1088-2.
  15. ^ аб Рейф 1965, стр. 340–342.
  16. ^ Киттель 1971, стр. 245, рис. 4 и 5.
  17. ^ Пирсолл, Томас (2020). Квантовая фотоника, 2-е издание. Graduate Texts in Physics. Springer. doi :10.1007/978-3-030-47325-9. ISBN 978-3-030-47324-2.
  18. ^ (Рейф 1965, стр. 351) Уравнение 9.7.7, где .
  19. ^ Лейтон, Роберт Б. (1959). Принципы современной физики . McGraw-Hill. стр. 340. ISBN 978-0-07-037130-9.Обратите внимание, что в уравнении (1) и соответствуют соответственно и в этой статье. См. также уравнение (32) на стр. 339.
  20. ^ Блейкмор 2002, стр. 8.
  21. Рейф 1965, стр. 389.
  22. ^ ab (Райф 1965, стр. 246–248)
  23. ^ Мукаи, Кодзи; Джим Лохнер (1997). «Спросите астрофизика». Представьте себе Вселенную в NASA . Центр космических полетов имени Годдарда в NASA. Архивировано из оригинала 18.01.2009.
  24. ^ ab Шривастава, РК; Ашок, Дж. (2005). "Глава 6". Статистическая механика . Нью-Дели : PHI Learning Pvt. Ltd. ISBN 9788120327825.
  25. ^ Катлер, М.; Мотт, Н. (1969). «Наблюдение локализации Андерсона в электронном газе». Physical Review . 181 (3): 1336. Bibcode : 1969PhRv..181.1336C. ​​doi : 10.1103/PhysRev.181.1336.
  26. ^ аб Рейф 1965, стр. 203–206.
  27. ^ См., например, Производная § Определение через разностные коэффициенты , что дает приближение
  28. ^ Рейф 1965, стр. 341–342. См. уравнение 9.3.17 и замечание относительно обоснованности приближения .
  29. ^ Мюллер-Кирстен, HJW (2013). Основы статистической физики (2-е изд.). World Scientific. ISBN 978-981-4449-53-3.
  30. ^ Блейкмор 2002, стр. 343–534.

Дальнейшее чтение