Цилиндрическая система координат

3-мерная система координат

Цилиндрическая система координат с началом O , полярной осью A и продольной осью L. Точка — это точка с радиальным расстоянием ρ = 4 , угловой координатой φ = 130° и высотой z = 4 .

Цилиндрическая система координат — это трехмерная система координат , которая определяет положения точек по расстоянию от выбранной базовой оси (ось L на изображении напротив) , направлению от оси относительно выбранного исходного направления (ось A) и расстояние от выбранной базовой плоскости, перпендикулярной оси (плоскость, содержащая фиолетовую секцию) . Последнее расстояние задается как положительное или отрицательное число в зависимости от того, какая сторона базовой плоскости обращена к точке.

Началом системы является точка, в которой все три координаты могут быть заданы как ноль . Это пересечение базовой плоскости и оси. Ось по-разному называют цилиндрической или продольной осью, чтобы отличить ее от полярной оси , которая представляет собой луч , лежащий в базовой плоскости, начинающийся в начале координат и указывающий в исходном направлении. Другие направления, перпендикулярные продольной оси, называются радиальными линиями .

Расстояние от оси можно назвать радиальным расстоянием или радиусом , а угловую координату иногда называют угловым положением или азимутом . Радиус и азимут вместе называются полярными координатами , поскольку они соответствуют двумерной полярной системе координат в плоскости, проходящей через точку, параллельную базовой плоскости. Третью координату можно назвать высотой или высотой (если базовая плоскость считается горизонтальной), продольным положением ^[1] или осевым положением . ^[2]

Цилиндрические координаты полезны в связи с объектами и явлениями, имеющими некоторую вращательную симметрию относительно продольной оси, например, поток воды в прямой трубе круглого сечения, распределение тепла в металлическом цилиндре , электромагнитные поля, создаваемые электрическим током в длинный прямой провод, аккреционные диски в астрономии и так далее.

Их иногда называют «цилиндрическими полярными координатами» ^[3] и «полярными цилиндрическими координатами» ^[4] и иногда используют для определения положения звезд в галактике («галактоцентрические цилиндрические полярные координаты»). ^[5]

Определение

Три координаты ( ρ , φ , z ) точки P определяются как:

• Радиальное расстояние ρ — это евклидово расстояние от оси z до точки P.
• Азимут φ — это угол между опорным направлением на выбранной плоскости и линией от начала координат до проекции P на плоскость.
• Осевая координата или высота z — это расстояние со знаком от выбранной плоскости до точки P.

Уникальные цилиндрические координаты

Как и в полярных координатах, одна и та же точка с цилиндрическими координатами ( ρ , φ , z ) имеет бесконечно много эквивалентных координат, а именно ( ρ , φ ± n ×360°, z ) и (− ρ , φ ± (2 n + 1) ×180°, z ), где n — любое целое число. Более того, если радиус ρ равен нулю, азимут произволен.

В ситуациях, когда кому-то нужен уникальный набор координат для каждой точки, можно ограничить радиус неотрицательным ( ρ ≥ 0 ), а азимут φ лежать в определенном интервале , охватывающем 360 °, например [−180 °, +180°] или [0,360°] .

Конвенции

Обозначения цилиндрических координат неоднородны. Стандарт ISO 31-11 рекомендует ( ρ , φ , z ) , где ρ — радиальная координата, φ — азимут , а z — высота. Однако радиус также часто обозначается r или s , азимут — θ или t , а третья координата — h или (если цилиндрическая ось считается горизонтальной) x или любой буквой, зависящей от контекста.

Координатные поверхности цилиндрических координат ( ρ , φ , z ) . Красный цилиндр показывает точки с ρ = 2 , синяя плоскость показывает точки с z = 1 , а желтая полуплоскость показывает точки с φ = −60° . Ось Z вертикальна, а ось X выделена зеленым цветом. Три поверхности пересекаются в точке P с этими координатами (показана черной сферой); декартовы координаты P примерно (1,0, -1,732, 1,0) .

Цилиндрические координатные поверхности. Три ортогональных компонента: ρ (зеленый), φ (красный) и z (синий), каждый из которых увеличивается с постоянной скоростью. Точка находится на пересечении трех цветных поверхностей.

В конкретных ситуациях и во многих математических иллюстрациях положительная угловая координата измеряется против часовой стрелки , если смотреть из любой точки с положительной высотой.

Преобразования системы координат

Цилиндрическая система координат — одна из многих трехмерных систем координат. Для преобразования между ними можно использовать следующие формулы.

Декартовы координаты

Для преобразования цилиндрических и декартовых координат удобно предположить, что опорной плоскостью первой является декартова плоскость xy (с уравнением z = 0 ), а цилиндрической осью является декартова ось z . Тогда координата z одинакова в обеих системах, а соответствие между цилиндрическими ( ρ , φ , z ) и декартовыми ( x , y , z ) такими же, как и для полярных координат, а именно

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \varphi \\y&=\rho \sin \varphi \\z&=z\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi &={\begin{cases}{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\\\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)&{\text{if }}x\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}}$$

синуса и, как предполагается ,[-π/2, +π/2][−90°, +90°]φ[-90°, +270°]

Используя функцию арктангенса , которая также возвращает угол в диапазоне [-π/2, +π/2] = [−90°, +90°] можно также вычислить без предварительного вычисления ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &={\begin{cases}{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\\{\frac {\pi }{2}}{\frac {y}{|y|}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y\neq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Полярная система координат

Многие современные языки программирования предоставляют функцию, которая вычисляет правильный азимут φ в диапазоне (−π, π) по заданным x и y без необходимости выполнять анализ случая, как указано выше. Например, эта функция вызывается atan2 ( y , x ) на языке программирования C и (atan y x ) в Common Lisp .

Сферические координаты

Сферические координаты (радиус r , высота или наклон θ , азимут φ ) могут быть преобразованы в цилиндрические координаты или из них, в зависимости от того, представляет ли θ высоту или наклон, следующим образом:

Элементы линии и объема

Во многих задачах, связанных с цилиндрическими полярными координатами, полезно знать элементы линии и объема; они используются при интеграции для решения проблем, связанных с путями и объемами.

Линейный элемент _

$${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=\mathrm {d} \rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\mathrm {d} z\,{\boldsymbol {\hat {z}}}.}$$

Элемент объема _

$${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.}$$

Элемент поверхности на поверхности постоянного радиуса ρ (вертикальный цилиндр) равен

$${\displaystyle \mathrm {d} S_{\rho }=\rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.}$$

Элемент поверхности на поверхности постоянного азимута φ (вертикальная полуплоскость) равен

$${\displaystyle \mathrm {d} S_{\varphi }=\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} z.}$$

Элемент поверхности на поверхности постоянной высоты z (горизонтальная плоскость) равен

$${\displaystyle \mathrm {d} S_{z}=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi .}$$

Оператор del в этой системе приводит к следующим выражениям для градиента , дивергенции , ротора и лапласиана :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\rho }\right)+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\\[8px]\nabla \times {\boldsymbol {A}}&=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\varphi }\right)-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla ^{2}f&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}}$$

Цилиндрические гармоники

Решения уравнения Лапласа в системе цилиндрической симметрии называются цилиндрическими гармониками .

Кинематика

В цилиндрической системе координат положение частицы можно записать как ^[6]

$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=\rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+z\,{\boldsymbol {\hat {z}}}.}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\rho }}\,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,{\dot {\varphi }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\dot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}},}$$

^[6] ${\displaystyle \rho {\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\rho }}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\varphi }}{\hat {z}}\times {\hat {\rho }}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}=\left({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\varphi }}^{2}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left(2{\dot {\rho }}\,{\dot {\varphi }}+\rho \,{\ddot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\ddot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}}}$$

Смотрите также

• Список канонических преобразований координат
• Векторные поля в цилиндрических и сферических координатах
• Del в цилиндрических и сферических координатах

Рекомендации

1. Крафт, К.; Волокитин А.С. (1 января 2002 г.). «Резонансное взаимодействие электронного пучка с несколькими низшими гибридными волнами». Физика плазмы . 9 (6): 2786–2797. Бибкод : 2002PhPl....9.2786K. дои : 10.1063/1.1465420. ISSN  1089-7674. Архивировано из оригинала 14 апреля 2013 года . Проверено 9 февраля 2013 г. ...в цилиндрических координатах ( r , θ , z ) ... и Z = v _bz t — продольное положение...
2. Гройсман, Александр; Стейнберг, Виктор (1997). «Пары одиночных вихрей в вязкоупругом течении Куэтта». Письма о физических отзывах . 78 (8): 1460–1463. arXiv : patt-sol/9610008 . Бибкод : 1997PhRvL..78.1460G. doi : 10.1103/PhysRevLett.78.1460. S2CID  54814721. ...где r , θ и z — цилиндрические координаты... как функция осевого положения...
3. Шимански, Дж. Э. (1989). Базовая математика для инженеров-электронщиков: модели и приложения. Учебные пособия по электронной технике (№ 16). Тейлор и Фрэнсис. п. 170. ИСБН 978-0-278-00068-1.
4. Нанн, Роберт Х. (1989). Промежуточная механика жидкости. Тейлор и Фрэнсис. п. 3. ISBN 978-0-89116-647-4.
5. Спарк, Линда Шивон ; Галлахер, Джон Силл (2007). Галактики во Вселенной: Введение (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 37. ИСБН 978-0-521-85593-8.
6. Тейлор, Джон Р. (2005). Классическая механика . Саусалито, Калифорния: Университетские научные книги. п. 29.

дальнейшее чтение

• Морс, Филип М .; Фешбах, Герман (1953). Методы теоретической физики. Часть I. Нью-Йорк : МакГроу-Хилл . стр. 656–657. ISBN 0-07-043316-Х. LCCN  52011515.
• Маргенау, Генри ; Мерфи, Джордж М. (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. п. 178. ИСБН 9780882754239. LCCN  55010911. OCLC  3017486.
• Корн, Гранино А.; Корн, Тереза ​​М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 174–175. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Зауэр, Роберт; Сабо, Иштван (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Нью-Йорк: Springer-Verlag . п. 95. LCCN  67025285.
• Цвиллингер, Дэниел (1992). Справочник по интеграции . Бостон : Издательство Джонс и Бартлетт . п. 113. ИСБН 0-86720-293-9. ОСЛК  25710023.
• Мун, П.; Спенсер, Делавэр (1988). «Координаты кругового цилиндра (r, ψ, z)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 12–17, табл. 1.02. ISBN 978-0-387-18430-2.

Внешние ссылки

• «Цилиндрические координаты», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Описание цилиндрических координат в MathWorld
• Цилиндрические координаты. Анимация, иллюстрирующая цилиндрические координаты Фрэнка Ваттенберга.