В геометрии система координат — это система, которая использует одно или несколько чисел или координат для однозначного определения положения точек или других геометрических элементов на многообразии , таком как евклидово пространство . [1] [2] Порядок координат имеет значение, и иногда они идентифицируются по положению в упорядоченном кортеже , а иногда по букве, как в « координате x ». В элементарной математике координаты считаются действительными числами , но могут быть комплексными числами или элементами более абстрактной системы, такой как коммутативное кольцо . Использование системы координат позволяет переводить задачи геометрии в задачи о числах и наоборот ; это основа аналитической геометрии . [3]
Простейшим примером системы координат является отождествление точек на прямой с действительными числами с помощью числовой прямой . В этой системе на заданной прямой выбирается произвольная точка О ( начало координат ). Координата точки P определяется как расстояние со знаком от O до P , где расстояние со знаком — это расстояние, принимаемое как положительное или отрицательное в зависимости от того, с какой стороны лежит линия P. Каждой точке присвоена уникальная координата, а каждое действительное число является координатой уникальной точки. [4]
Прототипическим примером системы координат является декартова система координат . В плоскости выбираются две перпендикулярные прямые, а в качестве координат точки принимаются расстояния до прямых со знаком. [5] В трех измерениях выбираются три взаимно ортогональные плоскости, а три координаты точки представляют собой расстояния со знаком до каждой из плоскостей. [6] Это можно обобщить, чтобы создать n координат для любой точки в n -мерном евклидовом пространстве.
В зависимости от направления и порядка осей координат трехмерная система может быть правосторонней или левосторонней.
Другая распространенная система координат плоскости — полярная система координат . [7] В качестве полюса выбирается точка , а в качестве полярной оси принимается луч из этой точки . Для данного угла θ через полюс проходит единственная линия, угол которой с полярной осью равен θ (измеряется против часовой стрелки от оси до линии). Тогда на этой линии существует единственная точка, расстояние от начала координат которой со знаком равно r для заданного числа r . Для данной пары координат ( r , θ ) существует одна точка, но любая точка представлена многими парами координат. Например, ( r , θ ), ( r , θ +2 π ) и (− r , θ + π ) являются полярными координатами одной и той же точки. Полюс представлен (0, θ ) для любого значения θ .
Существует два распространенных метода расширения полярной системы координат до трех измерений. В цилиндрической системе координат к полярным координатам r и θ добавляется координата z с тем же значением, что и в декартовых координатах, давая тройку ( r , θ , z ). [8] Сферические координаты идут еще дальше, преобразуя пару цилиндрических координат ( r , z ) в полярные координаты ( ρ , φ ), давая тройку ( ρ , θ , φ ). [9]
Точка на плоскости может быть представлена в однородных координатах тройкой ( x , y , z ), где x / z и y / z — декартовы координаты точки. [10] Это вводит «дополнительную» координату, поскольку для указания точки на плоскости необходимы только две, но эта система полезна тем, что она представляет любую точку на проективной плоскости без использования бесконечности . В общем, однородная система координат — это система, в которой важны только отношения координат, а не фактические значения.
Некоторые другие распространенные системы координат:
Существуют способы описания кривых без координат с использованием внутренних уравнений , в которых используются инвариантные величины, такие как кривизна и длина дуги . К ним относятся:
Системы координат часто используются для указания положения точки, но их также можно использовать для указания положения более сложных фигур, таких как линии, плоскости, круги или сферы . Например, координаты Плюкера используются для определения положения линии в пространстве. [11] При необходимости тип описываемой фигуры используется для различения типа системы координат, например термин « координаты линии» используется для любой системы координат, которая определяет положение линии.
Может оказаться, что системы координат для двух разных наборов геометрических фигур эквивалентны с точки зрения их анализа. Примером этого являются системы однородных координат точек и прямых на проективной плоскости. Две системы в таком случае называются дуалистическими . Дуалистические системы обладают тем свойством, что результаты одной системы могут быть перенесены в другую, поскольку эти результаты представляют собой лишь разные интерпретации одного и того же аналитического результата; это известно как принцип двойственности . [12]
Часто существует множество различных возможных систем координат для описания геометрических фигур. Связь между различными системами описывается преобразованиями координат , которые дают формулы координат в одной системе через координаты в другой системе. Например, на плоскости, если декартовы координаты ( x , y ) и полярные координаты ( r , θ ) имеют одно и то же начало, а полярная ось является положительной осью x , то преобразование координат из полярных в декартовы координаты задается формулой Икс знак равно р потому что θ и y знак равно р грех θ .
С каждой биекцией пространства в себя могут быть связаны два преобразования координат:
Например, в 1D , если отображение представляет собой сдвиг 3 вправо, первое перемещает начало координат от 0 до 3, так что координата каждой точки становится на 3 меньше, а второе перемещает начало координат от 0 до -3. , так что координата каждой точки станет на 3 больше.
Given a coordinate system, if one of the coordinates of a point varies while the other coordinates are held constant, then the resulting curve is called a coordinate curve. If a coordinate curve is a straight line, it is called a coordinate line. A coordinate system for which some coordinate curves are not lines is called a curvilinear coordinate system.[13]
A coordinate line with all constant coordinates equal to zero is called a coordinate axis.
In a Cartesian coordinate system, all coordinates curves are lines, and, therefore, there are as many coordinate axes as coordinates. Moreover, the coordinate axes are pairwise orthogonal.
A polar coordinate system is a curvilinear system where coordinate curves are lines or circles. However, one of the coordinate curves is reduced to a single point, the origin, which is often viewed as a circle of radius zero. Similarly, spherical and cylindrical coordinate systems have coordinate curves that are lines, circles or circles of radius zero.
Many curves can occur as coordinate curves. For example, the coordinate curves of parabolic coordinates are parabolas.
In three-dimensional space, if one coordinate is held constant and the other two are allowed to vary, then the resulting surface is called a coordinate surface. For example, the coordinate surfaces obtained by holding ρ constant in the spherical coordinate system are the spheres with center at the origin. In three-dimensional space the intersection of two coordinate surfaces is a coordinate curve. In the Cartesian coordinate system we may speak of coordinate planes.
Similarly, coordinate hypersurfaces are the (n − 1)-dimensional spaces resulting from fixing a single coordinate of an n-dimensional coordinate system.[14]
The concept of a coordinate map, or coordinate chart is central to the theory of manifolds. A coordinate map is essentially a coordinate system for a subset of a given space with the property that each point has exactly one set of coordinates. More precisely, a coordinate map is a homeomorphism from an open subset of a space X to an open subset of Rn.[15] It is often not possible to provide one consistent coordinate system for an entire space. In this case, a collection of coordinate maps are put together to form an atlas covering the space. A space equipped with such an atlas is called a manifold and additional structure can be defined on a manifold if the structure is consistent where the coordinate maps overlap. For example, a differentiable manifold is a manifold where the change of coordinates from one coordinate map to another is always a differentiable function.
In geometry and kinematics, coordinate systems are used to describe the (linear) position of points and the angular position of axes, planes, and rigid bodies.[16] In the latter case, the orientation of a second (typically referred to as "local") coordinate system, fixed to the node, is defined based on the first (typically referred to as "global" or "world" coordinate system). For instance, the orientation of a rigid body can be represented by an orientation matrix, which includes, in its three columns, the Cartesian coordinates of three points. These points are used to define the orientation of the axes of the local system; they are the tips of three unit vectors aligned with those axes.
The Earth as a whole is one of the most common geometric spaces requiring the precise measurement of location, and thus coordinate systems. Starting with the Greeks of the Hellenistic period, a variety of coordinate systems have been developed based on the types above, including:
