Дифференциал (математика)

Математическое понятие бесконечно малой разницы

В математике дифференциал относится к нескольким связанным понятиям [ ^1] , полученным из первых дней исчисления и поставленным на строгую основу, таким как бесконечно малые разности и производные функций. ^[2]

Этот термин используется в различных областях математики, таких как исчисление , дифференциальная геометрия , алгебраическая геометрия и алгебраическая топология .

Введение

Термин «дифференциал» нестрого используется в исчислении для обозначения бесконечно малого («бесконечно малого») изменения некоторой изменяющейся величины . Например, если x — переменная , то изменение значения x часто обозначается Δ x (произносится как «дельта x »). Дифференциал dx представляет собой бесконечно малое изменение переменной x . Идея бесконечно малых или бесконечно медленных изменений интуитивно чрезвычайно полезна, и существует множество способов сделать это понятие математически точным.

Используя исчисление, можно математически связать бесконечно малые изменения различных переменных друг с другом с помощью производных . Если y является функцией x , то дифференциал dy от y связан с dx формулой

$${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx,}$$

производнуюx_yxyxx ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,}$

Основные понятия

• В исчислении дифференциал представляет собой изменение линеаризации функции .
  • Полный дифференциал является его обобщением для функций многих переменных.
• В традиционных подходах к исчислению дифференциалы (например, dx , dy , dt и т. д.) интерпретируются как бесконечно малые . Существует несколько методов строгого определения бесконечно малых чисел, но достаточно сказать, что бесконечно малое число по абсолютной величине меньше любого положительного действительного числа, точно так же, как бесконечно большое число больше любого действительного числа.
• Дифференциал — ^это другое название матрицы Якоби частных производных функции от Rn до Rm (особенно, если эту матрицу рассматривать как ^{линейное} отображение ).
• В более общем смысле, дифференциал или прямое продвижение относится к производной отображения между гладкими многообразиями и операциями прямого продвижения, которые оно определяет. Дифференциал также используется для определения двойственной концепции отката .
• Стохастическое исчисление дает понятие стохастического дифференциала и связанного с ним исчисления случайных процессов .
• Интегратор в интеграле Стилтьеса представляется как дифференциал функции. Формально дифференциал, стоящий под интегралом, ведет себя точно так же, как дифференциал: таким образом, формулы интегрирования путем подстановки и интегрирования по частям для интеграла Стилтьеса соответствуют соответственно цепному правилу и правилу произведения для дифференциала.

История и использование

Бесконечно малые величины сыграли значительную роль в развитии исчисления. Архимед использовал их, хотя и не считал аргументы, касающиеся бесконечно малых, строгими. ^[3] Исаак Ньютон называл их флюксиями . Однако именно Готфрид Лейбниц ввел термин «дифференциалы» для бесконечно малых величин и ввел для них обозначения, которые используются до сих пор.

В обозначениях Лейбница , если x — переменная величина, то dx обозначает бесконечно малое изменение переменной x . Таким образом, если y является функцией x , то производную y по x часто обозначают dy / dx , которая в противном случае обозначалась бы ( в обозначениях Ньютона или Лагранжа ) ẏ или y ' . Использование дифференциалов в такой форме вызвало много критики, например, в знаменитой брошюре епископа Беркли « Аналитик» . Тем не менее, это обозначение осталось популярным, поскольку оно убедительно наводит на мысль о том, что производная y в точке x представляет собой его мгновенную скорость изменения ( наклон касательной линии графика ), которую можно получить, взяв предел отношения Δ y / Δ x , поскольку Δ x становится сколь угодно малым. Дифференциалы также совместимы с анализом размерностей , где дифференциал, такой как dx , имеет те же размерности, что и переменная x .

Исчисление превратилось в отдельную ветвь математики в 17 веке нашей эры, хотя его предшественники уходили еще в древность. Доклады, например, Ньютона, Лейбница, отличались нестрогими определениями таких понятий, как дифференциал, беглый и «бесконечно малый». Хотя многие аргументы в «Аналитике » епископа Беркли 1734 года носят богословский характер, современные математики признают обоснованность его аргумента против « призраков ушедших величин »; однако современные подходы не имеют таких же технических проблем. Несмотря на отсутствие строгости, в 17 и 18 веках был достигнут огромный прогресс. В 19 веке Коши и другие постепенно разработали эпсилон , дельта- подход к непрерывности, пределам и производным, дав прочную концептуальную основу для исчисления.

В 20 веке несколько новых концепций, например, исчисления многих переменных, дифференциальной геометрии, казалось, отражали смысл старых терминов, особенно дифференциальных ; и дифференциальный, и бесконечно малый используются в новом, более строгом значении.

Дифференциалы также используются в обозначениях интегралов , поскольку интеграл можно рассматривать как бесконечную сумму бесконечно малых величин: площадь под графиком получается путем разделения графика на бесконечно тонкие полоски и суммирования их площадей. В таком выражении, как

$${\displaystyle \int f(x)\,dx,}$$

длинный sfxdx

Подходы

Существует несколько подходов к математической точности понятия дифференциалов.

1. Дифференциалы как линейные отображения . Этот подход лежит в основе определения производной и внешней производной в дифференциальной геометрии . ^[4]
2. Дифференциалы как нильпотентные элементы коммутативных колец . Этот подход популярен в алгебраической геометрии. ^[5]
3. Дифференциалы в гладких моделях теории множеств. Этот подход известен как синтетическая дифференциальная геометрия или гладкий бесконечно малый анализ и тесно связан с алгебро-геометрическим подходом, за исключением того, что идеи теории топоса используются для сокрытия механизмов, с помощью которых вводятся нильпотентные бесконечно малые. ^[6]
4. Дифференциалы как бесконечно малые в гипердействительных системах счисления , которые являются расширениями действительных чисел и содержат обратимые бесконечно малые и бесконечно большие числа. Это подход нестандартного анализа, впервые предложенный Абрахамом Робинсоном . ^[7]

Эти подходы сильно отличаются друг от друга, но их объединяет идея количественного подхода , т. е. утверждения не только о том, что дифференциал бесконечно мал, но и о том, насколько он мал.

Дифференциалы как линейные карты

Существует простой способ точного определения дифференциалов, впервые использованный на действительной линии, рассматривая их как линейные карты . Его можно использовать в гильбертовом пространстве , банаховом пространстве или, в более общем смысле, в топологическом векторном пространстве . Случай с реальной линией объяснить проще всего. Этот тип дифференциала также известен как ковариантный вектор или вектор котангенса , в зависимости от контекста. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Дифференциалы как линейные отображения на R

Предположим , является действительной функцией на . Мы можем интерпретировать переменную как функцию, а не как число, а именно как карту тождества на действительной линии, которая принимает действительное число в себя: . Тогда представляет собой совокупность with , значение которой at равно . Дифференциал (который, конечно, зависит от ) является тогда функцией, значение которой в (обычно обозначаемое ) является не числом, а линейным отображением от до . Поскольку линейная карта от до задается матрицей , по сути это то же самое, что и число, но изменение точки зрения позволяет нам думать о бесконечно малом и сравнивать его со стандартным бесконечно малым , что опять же просто тождественная карта от до ( матрица с записью ). Карта идентичности обладает тем свойством, что если она очень мала, то и очень мала, что позволяет нам считать ее бесконечно малой. Дифференциал обладает тем же свойством, поскольку он просто кратен , а это кратное по определению является производной . Таким образом, мы получаем, что , и, следовательно , . Таким образом, мы восстанавливаем идею об отношении дифференциалов и . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x(p)=p}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(x(p))=f(p)}$ ${\displaystyle \operatorname {d} f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle df_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle df_{p}}$ ${\displaystyle dx_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle dx_{p}(\varepsilon )}$ ${\displaystyle df_{p}}$ ${\displaystyle dx_{p}}$ ${\displaystyle f'(p)}$ ${\displaystyle df_{p}=f'(p)\,dx_{p}}$ ${\displaystyle df=f'\,dx}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle dx}$

Это было бы просто трюком, если бы не тот факт, что:

1. он отражает идею производной at как наилучшего линейного приближения к at ; ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$
2. у него много обобщений.

Дифференциалы как линейные отображения на R ⁿ

Если функция от до , то мы говорим, что она дифференцируема ^[8] при , если существует линейное отображение от до такое , что для любого существует окрестность такой, что для , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle df_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x\in N}$

$${\displaystyle \left|f(x)-f(p)-df_{p}(x-p)\right|<\varepsilon \left|x-p\right|.}$$

Теперь мы можем использовать тот же трюк, что и в одномерном случае, и думать о выражении как о композиции со стандартными координатами (так что это -й компонент ). Тогда дифференциалы в точке образуют базис векторного пространства линейных отображений от до и, следовательно, если дифференцируемо в точке , мы можем записать как линейную комбинацию этих базисных элементов: ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{j}(p)}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(dx_{1}\right)_{p},\left(dx_{2}\right)_{p},\ldots ,\left(dx_{n}\right)_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \operatorname {d} f_{p}}$

$${\displaystyle df_{p}=\sum _{j=1}^{n}D_{j}f(p)\,(dx_{j})_{p}.}$$

Коэффициенты (по определению) являются частными производными от at по . Следовательно, если дифференцируемо на всех , мы можем написать более кратко: ${\displaystyle D_{j}f(p)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \operatorname {d} f={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\,dx_{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}.}$$

В одномерном случае это становится

$${\displaystyle df={\frac {df}{dx}}dx}$$

Эта идея непосредственно обобщается на функции от до . Кроме того, оно имеет то решающее преимущество перед другими определениями производной, что оно инвариантно относительно изменений координат. Это означает, что ту же идею можно использовать для определения дифференциала гладких отображений между гладкими многообразиями . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

Кроме того: обратите внимание, что существование всех частных производных at является необходимым условием существования дифференциала at . Однако это не является достаточным условием . Контрпримеры см. в разделе «Производная Гато» . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Дифференциалы как линейные отображения векторного пространства

Та же процедура работает с векторным пространством с достаточной дополнительной структурой, чтобы обоснованно говорить о непрерывности. Наиболее конкретным случаем является гильбертово пространство, также известное как полное пространство внутреннего продукта , где внутренний продукт и связанная с ним норма определяют подходящее понятие расстояния. Та же процедура работает для банахова пространства, также известного как полное нормированное векторное пространство . Однако в более общем топологическом векторном пространстве некоторые детали более абстрактны, поскольку здесь нет понятия расстояния.

В важном случае конечной размерности любое пространство внутреннего произведения является гильбертовым пространством, любое нормированное векторное пространство является банаховым пространством, а любое топологическое векторное пространство является полным. В результате вы можете определить систему координат на произвольной основе и использовать тот же метод, что и для . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Дифференциалы как ростки функций

Этот подход работает на любом дифференцируемом многообразии . Если

1. U и V — открытые множества, содержащие p
2. ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$является непрерывным
3. ${\displaystyle g\colon V\to \mathbb {R} }$является непрерывным

тогда f эквивалентно g в точке p , обозначенной , тогда и только тогда, когда существует открытое пространство , содержащее p такое, что для каждого x в W . Росток f в точке p , обозначаемый , представляет собой набор всех действительных непрерывных функций, эквивалентных f в точке p ; если f гладкая в точке p , то является гладким ростком. Если ${\displaystyle f\sim _{p}g}$ ${\displaystyle W\subseteq U\cap V}$ ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ ${\displaystyle [f]_{p}}$ ${\displaystyle [f]_{p}}$

1. ${\displaystyle U_{1}}$, и являются открытыми множествами, содержащими p ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$
2. ${\displaystyle f_{1}\colon U_{1}\to \mathbb {R} }$, , и – гладкие функции ${\displaystyle f_{2}\colon U_{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g_{1}\colon V_{1}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g_{2}\colon V_{2}\to \mathbb {R} }$
3. ${\displaystyle f_{1}\sim _{p}g_{1}}$
4. ${\displaystyle f_{2}\sim _{p}g_{2}}$
5. r - действительное число

затем

1. ${\displaystyle r*f_{1}\sim _{p}r*g_{1}}$
2. ${\displaystyle f_{1}+f_{2}\colon U_{1}\cap U_{2}\to \mathbb {R} \sim _{p}g_{1}+g_{2}\colon V_{1}\cap V_{2}\to \mathbb {R} }$
3. ${\displaystyle f_{1}*f_{2}\colon U_{1}\cap U_{2}\to \mathbb {R} \sim _{p}g_{1}*g_{2}\colon V_{1}\cap V_{2}\to \mathbb {R} }$

Это показывает, что ростки в точке p образуют алгебру .

Определим как множество всех гладких ростков, исчезающих в точке p , и как произведение идеалов . Тогда дифференциал в точке p (кокасательный вектор в точке p ) является элементом . Дифференциал гладкой функции f в точке p , обозначенный , равен . ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}{\mathcal {I}}_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}/{\mathcal {I}}_{p}^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f_{p}}$ ${\displaystyle [f-f(p)]_{p}/{\mathcal {I}}_{p}^{2}}$

Аналогичный подход заключается в определении дифференциальной эквивалентности первого порядка через производные в произвольном участке координат. Тогда дифференциал f в точке p — это набор всех функций, дифференциально эквивалентных функции в точке p . ${\displaystyle f-f(p)}$

Алгебраическая геометрия

В алгебраической геометрии дифференциалы и другие бесконечно малые понятия обрабатываются очень явно, признавая, что координатное кольцо или структурный пучок пространства могут содержать нильпотентные элементы . Простейший пример — кольцо двойственных чисел R [ ε ], где ε2 = ⁰ .

Это может быть мотивировано алгебро-геометрической точкой зрения на производную функции f от R до R в точке p . Для этого сначала заметим, что f  − f ( p ) принадлежит идеалу I p _{функций} на R , которые обращаются в нуль в точке p . Если производная f обращается в нуль в точке p , то f  − f ( p ) принадлежит квадрату I _p ² этого идеала. Следовательно, производная f в точке p может быть зафиксирована классом эквивалентности [ f  − f ( p )] в фактор-пространстве I _p / I _p ² , а также 1-струей f ( которая кодирует ее значение и ее первую производную) — класс эквивалентности f в пространстве всех функций по модулю I _p ² . Алгебраические геометры рассматривают этот класс эквивалентности как ограничение f на утолщенную версию точки p , координатное кольцо которой - это не R (которое является фактор-пространством функций на R по модулю I _p ), а R [ ε ], которое является фактор-пространством функции на R по модулю I _p ² . Такая утолщенная точка является простым примером схемы . ^[5]

Понятия алгебраической геометрии

Дифференциалы также важны в алгебраической геометрии , и здесь есть несколько важных понятий.

• Абелевы дифференциалы обычно означают дифференциальные одноформы на алгебраической кривой или римановой поверхности .
• Квадратичные дифференциалы (которые ведут себя как «квадраты» абелевых дифференциалов) также важны в теории римановых поверхностей.
• Дифференциалы Кэлера дают общее понятие дифференциала в алгебраической геометрии.

Синтетическая дифференциальная геометрия

Пятым подходом к бесконечно малым является метод синтетической дифференциальной геометрии ^[9] или гладкий анализ бесконечно малых . ^[10] Это тесно связано с алгебро-геометрическим подходом, за исключением того, что бесконечно малые числа более неявны и интуитивны. Основная идея этого подхода состоит в замене категории множеств другой категорией плавно меняющихся множеств — топосом . В этой категории можно определить действительные числа, гладкие функции и т. д., но действительные числа автоматически содержат нильпотентные бесконечно малые, поэтому их не нужно вводить вручную, как в алгебро-геометрическом подходе. Однако логика этой новой категории не идентична знакомой логике категории множеств: в частности, не выполняется закон исключенного третьего . Это означает, что теоретико-множественные математические аргументы распространяются на гладкий бесконечно малый анализ только в том случае, если они конструктивны (например, не используют доказательство от противного ). Некоторые ^{[ кто? ]} рассматривают этот недостаток как положительный момент, поскольку он заставляет искать конструктивные аргументы везде, где они доступны.

Нестандартный анализ

Последний подход к бесконечно малым снова предполагает расширение действительных чисел, но менее радикальным способом. В нестандартном подходе анализа нет нильпотентных бесконечно малых чисел, а есть только обратимые, которые можно рассматривать как обратные бесконечно большим числам. ^[7] Такие расширения действительных чисел могут быть построены явно с использованием классов эквивалентности последовательностей действительных чисел , так что, например, последовательность (1, 1/2, 1/3, ..., 1/ n , . ..) представляет собой бесконечно малое. Логика первого порядка этого нового набора гипердействительных чисел такая же, как логика для обычных действительных чисел, но аксиома полноты (которая включает логику второго порядка ) не выполняется. Тем не менее, этого достаточно, чтобы разработать элементарный и вполне интуитивный подход к исчислению с использованием бесконечно малых, см. принцип переноса .

Дифференциальная геометрия

Понятие дифференциала мотивирует несколько концепций дифференциальной геометрии (и дифференциальной топологии ).

• Дифференциал (Pushforward) отображения между многообразиями.
• Дифференциальные формы обеспечивают основу, позволяющую умножать и дифференцировать дифференциалы.
• Внешняя производная — это понятие дифференцирования дифференциальных форм, которое обобщает дифференциал функции (которая является дифференциальной 1-формой ).
• Пулбэк — это, в частности, геометрическое название цепного правила для составления отображения между многообразиями с дифференциальной формой на целевом многообразии.
• Ковариантные производные или дифференциалы дают общее понятие дифференцирования векторных полей и тензорных полей на многообразии или, в более общем плане, секциях векторного расслоения : см. Соединение (векторное расслоение) . В конечном итоге это приводит к общей концепции соединения .

Другие значения

Термин «дифференциал» также был принят в гомологической алгебре и алгебраической топологии из-за роли, которую внешняя производная играет в когомологиях де Рама: в коцепном комплексе отображения (или кограничные операторы ) d _i часто называют дифференциалами. Двойственно граничные операторы в цепном комплексе иногда называют кодифференциалами . ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet }),}$

Свойства дифференциала также мотивируют алгебраические понятия дифференцирования и дифференциальной алгебры .

Смотрите также

• Дифференциальное уравнение
• Дифференциальная форма
• Дифференциал функции

Примечания

Цитаты

1. «Дифференциал». Вольфрам Математический мир . Проверено 24 февраля 2022 г. Слово «дифференциал» имеет несколько связанных значений в математике. В наиболее распространенном контексте это означает «связанный с деривативами». Так, например, часть исчисления, связанная с получением производных (т. е. дифференцированием), известна как дифференциальное исчисление.
   Слово «дифференциал» имеет также более техническое значение в теории дифференциальных k-форм как так называемая одноформа.
2. «Дифференциал - Определение дифференциала в американском английском согласно Оксфордским словарям» . Оксфордские словари — английский язык . Архивировано из оригинала 3 января 2014 года . Проверено 13 апреля 2018 г.
3. Бойер 1991.
4. Дорогая 1994.
5. Эйзенбуд и Харрис 1998.
6. См. Kock 2006 и Moerdijk & Reyes 1991.
7. См. Робинсон 1996 и Кейслер 1986.
8. См., например, Апостол 1967.
9. См. Кок 2006 и Ловер 1968.
10. См. Мурдейк и Рейес 1991 и Белл 1998.

Рекомендации

• Апостол, Том М. (1967), Исчисление (2-е изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1.
• Белл , Джон Л. (1998), Приглашение к сглаживанию бесконечно малого анализа (PDF).
• Бойер, Карл Б. (1991), «Архимед Сиракузский», История математики (2-е изд.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8.
• Дарлинг, RWR (1994), Дифференциальные формы и связи , Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-46800-8.
• Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (1998), Геометрия схем , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98637-1
• Кейслер, Х. Джером (1986), Элементарное исчисление: бесконечно малый подход (2-е изд.).
• Кок, Андерс (2006), Синтетическая дифференциальная геометрия (PDF) (2-е изд.), Cambridge University Press.
• Ловер, Ф.В. (1968), Очерк синтетической дифференциальной геометрии (PDF) (опубликовано в 1998 г.).
• Мурдейк, И .; Рейес, GE (1991), Модели для гладкого бесконечно малого анализа , Springer-Verlag.
• Робинсон, Абрахам (1996), Нестандартный анализ , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3.
• Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциалы». Математический мир .