Цилиндрическая система координат

Цилиндрическая система координат — это трехмерная система координат , которая определяет положения точек расстоянием от выбранной опорной оси (ось L на изображении напротив) , направлением от оси относительно выбранного опорного направления (ось A) и расстоянием от выбранной опорной плоскости, перпендикулярной оси (плоскость, содержащая фиолетовую секцию) . Последнее расстояние задается как положительное или отрицательное число в зависимости от того, какая сторона опорной плоскости обращена к точке.

Начало системы — это точка, в которой все три координаты могут быть заданы как ноль. Это пересечение между плоскостью отсчета и осью. Ось по-разному называется цилиндрической или продольной осью, чтобы отличать ее от полярной оси , которая является лучом , лежащим в плоскости отсчета, начинающимся в начале координат и указывающим в направлении отсчета. Другие направления, перпендикулярные продольной оси, называются радиальными линиями .

Расстояние от оси можно назвать радиальным расстоянием или радиусом , в то время как угловую координату иногда называют угловым положением или азимутом . Радиус и азимут вместе называются полярными координатами , поскольку они соответствуют двумерной полярной системе координат в плоскости, проходящей через точку, параллельной плоскости отсчета. Третья координата может быть названа высотой или высотой ( если плоскость отсчета считается горизонтальной), продольным положением , ^[1] или осевым положением . ^[2]

Цилиндрические координаты полезны в связи с объектами и явлениями, имеющими некоторую вращательную симметрию относительно продольной оси, такими как поток воды в прямой трубе с круглым поперечным сечением, распределение тепла в металлическом цилиндре , электромагнитные поля, создаваемые электрическим током в длинном прямом проводе, аккреционные диски в астрономии и т. д.

Иногда их называют «цилиндрическими полярными координатами» ^[3] и «полярными цилиндрическими координатами» ^[4] , а иногда они используются для указания положения звезд в галактике («галактоцентрические цилиндрические полярные координаты»). ^[5]

Определение

Три координаты ( $ρ$ , $φ$ , $z$ ) точки $P$ определяются как:

Радиальное расстояние $ρ$ — это евклидово расстояние от оси $z$ до точки $P.$
Азимут $φ —$ это угол между направлением отсчета на выбранной плоскости и линией, соединяющей начало координат с проекцией точки $P$ на плоскость.
Осевая координата или высота $z$ — это знаковое расстояние от выбранной плоскости до точки $P.$

Уникальные цилиндрические координаты

Как и в полярных координатах, одна и та же точка с цилиндрическими координатами $(ρ, φ, z)$ имеет бесконечно много эквивалентных координат, а именно $(ρ, φ \pm n \times360°, z)$ и $(- ρ, φ \pm (2 n + 1)\times180°, z),$ где $n$ — любое целое число. Более того, если радиус $ρ$ равен нулю, азимут произволен.

В ситуациях, когда кому-то нужен уникальный набор координат для каждой точки, можно ограничить радиус неотрицательным значением ( $ρ \geq 0$ ), а азимут $φ$ — определенным интервалом, охватывающим 360°, например $[-180°,+180°]$ или $[0,360°]$ .

Конвенции

Обозначение цилиндрических координат не является единообразным. Стандарт ISO 31-11 рекомендует $(ρ, φ, z)$ , где $ρ$ — радиальная координата, $φ$ — азимут, а $z$ — высота. Однако радиус также часто обозначается $r$ или $s$ , азимут — $θ$ или $t$ , а третья координата — $h$ или (если цилиндрическая ось считается горизонтальной) $x$ , или любой буквой, зависящей от контекста.

В конкретных ситуациях и во многих математических иллюстрациях положительная угловая координата измеряется против часовой стрелки, если смотреть из любой точки с положительной высотой.

Преобразования систем координат

Цилиндрическая система координат — одна из многих трехмерных систем координат. Для преобразования между ними можно использовать следующие формулы.

Декартовы координаты

Для преобразования между цилиндрическими и декартовыми координатами удобно предположить, что плоскость отсчета первой является декартовой плоскостью $xy$ (с уравнением $z = 0$ ), а цилиндрическая ось является декартовой осью $z$ . Тогда координата $z$ одинакова в обеих системах, и соответствие между цилиндрическими $(ρ, φ, z)$ и декартовыми $(x, y, z)$ такими же, как для полярных координат, а именно в одном направлении и в другом. Функция арксинуса является обратной функцией синуса и, как предполагается, возвращает угол в диапазоне $[-$ $⁠$ ${\begin{aligned}x&=\rho \cos \varphi \\y&=\rho \sin \varphi \\z&=z\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi &={\begin{cases}{\text{неопределено}}&{\text{если }}x=0{\text{ и }}y=0\\\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)&{\text{если }}x\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{если }}x<0{\text{ и }}y\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{если }}x<0{\text{ и }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}π/2⁠ , + ⁠π/2⁠ ]$ = $[-90°, +90°]$ . Эти формулы дают азимут $φ$ в диапазоне $[-90°, +270°]$ .

Используя функцию арктангенса , которая также возвращает угол в диапазоне $[- ⁠ π / 2 ⁠, + ⁠ π / 2 ⁠]$ = $[-90°, +90°]$ , можно также вычислитьбезпредварительного Другие формулы см. в статье Полярная система координат . $\varphi$ $\ро$ ${\begin{aligned}\varphi &={\begin{cases}{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\\{\frac {\pi }{2}}{\frac {y}{|y|}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y\neq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}$

Многие современные языки программирования предоставляют функцию, которая вычислит правильный азимут $φ$ в диапазоне $(-π, π)$ , заданных x и y , без необходимости выполнять анализ случая, как указано выше. Например, эта функция вызывается atan2 ( y , x ) в языке программирования C и (atan y x ) в Common Lisp .

Сферические координаты

Сферические координаты (радиус $r$ , высота или наклон $θ$ , азимут $φ$ ) могут быть преобразованы в цилиндрические координаты или из них в зависимости от того, представляет ли $θ$ высоту или наклон, следующим образом:

Линейные и объемные элементы

Во многих задачах, связанных с цилиндрическими полярными координатами, полезно знать элементы линии и объема; они используются при интегрировании для решения задач, связанных с траекториями и объемами.

Элемент линии - это $\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=\mathrm {d} \rho \, {\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \ , {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\mathrm {d} z\, {\boldsymbol {\hat {z}}}.$

Элемент объема - это ${\ displaystyle \ mathrm {d} V = \ rho \, \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} z.}$

Элемент поверхности постоянного радиуса $ρ$ (вертикальный цилиндр) равен ${\ displaystyle \ mathrm {d} S_ {\ rho } = \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} z.}$

Элемент поверхности постоянного азимута $φ$ (вертикальная полуплоскость) равен ${\ displaystyle \ mathrm {d} S_ {\ varphi } = \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} z.}$

Элемент поверхности постоянной высоты $z$ (горизонтальная плоскость) равен ${\ displaystyle \ mathrm {d} S_ {z} = \ rho \, \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi .}$

Оператор del в этой системе приводит к следующим выражениям для градиента , дивергенции , ротора и Лапласа : ${\begin{aligned}\nabla f&={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\rho }\right)+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\\[8px]\nabla \times {\boldsymbol {A}}&=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\varphi }\right)-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla ^{2}f&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}$

Цилиндрические гармоники

Решения уравнения Лапласа в системе с цилиндрической симметрией называются цилиндрическими гармониками .

Кинематика

В цилиндрической системе координат положение частицы можно записать как ^[6] Скорость частицы является производной по времени от ее положения, где член происходит из формулы Пуассона . Ее ускорение равно ^[6] ${\boldsymbol {r}}=\rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+z\,{\boldsymbol {\hat {z}}}.$ ${\boldsymbol {v}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\rho }}\,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,{\dot {\varphi }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\dot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}},$ $\rho {\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}$ ${\frac {\mathrm {d} {\hat {\rho }}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\varphi }}{\hat {z}}\times {\hat {\rho }}$ ${\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}=\left({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\varphi }}^{2}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left(2{\dot {\rho }}\,{\dot {\varphi }}+\rho \,{\ddot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\ddot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}}$

Смотрите также

Ссылки

^ Крафт, К.; Волокитин, А.С. (1 января 2002 г.). "Взаимодействие резонансного электронного пучка с несколькими низшими гибридными волнами". Physics of Plasmas . 9 (6): 2786–2797. Bibcode : 2002PhPl....9.2786K. doi : 10.1063/1.1465420. ISSN 1089-7674. Архивировано из оригинала 14 апреля 2013 г. Получено 9 февраля 2013 г. ...в цилиндрических координатах $(r, θ, z)$ ... и $Z = v bz t$ — продольное положение...
^ Гройсман, Александр; Штейнберг, Виктор (1997). "Уединенные пары вихрей в вязкоупругом течении Куэтта". Physical Review Letters . 78 (8): 1460–1463. arXiv : patt-sol/9610008 . Bibcode : 1997PhRvL..78.1460G. doi : 10.1103/PhysRevLett.78.1460. S2CID 54814721. ...где $r$ , $θ$ и $z$ — цилиндрические координаты... как функции осевого положения...
^ Szymanski, JE (1989). Основы математики для инженеров-электронщиков: модели и приложения. Tutorial Guides in Electronic Engineering (№ 16). Taylor & Francis. стр. 170. ISBN 978-0-278-00068-1.
^ Нанн, Роберт Х. (1989). Промежуточная механика жидкости. Тейлор и Фрэнсис. стр. 3. ISBN 978-0-89116-647-4.
^ Спарк, Линда Шивон ; Галлахер, Джон Силл (2007). Галактики во Вселенной: Введение (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 37. ИСБН 978-0-521-85593-8.
^ ab Taylor, John R. (2005). Классическая механика . Саусалито, Калифорния: University Science Books. стр. 29.

Дальнейшее чтение

Морзе, Филип М.; Фешбах , Герман (1953). Методы теоретической физики, часть I. Нью -Йорк : McGraw-Hill . стр. 656–657. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515.
Маргенау, Генри ; Мерфи, Джордж М. (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр. 178. ISBN 9780882754239. LCCN 55010911. OCLC 3017486.
Корн, Гранино А.; Корн, Тереза М. (1961). Справочник по математике для ученых и инженеров . Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 174–175. LCCN 59014456. ASIN B0000CKZX7.
Зауэр, Роберт; Сабо, Иштван (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Нью-Йорк: Springer-Verlag . п. 95. LCCN 67025285.
Цвиллингер, Дэниел (1992). Справочник по интеграции . Бостон : Jones and Bartlett Publishers . стр. 113. ISBN 0-86720-293-9. OCLC 25710023.
Moon, P.; Spencer, DE (1988). "Circular-Cylinder Coordinates (r, ψ, z)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (исправленное 2-е изд.). New York City: Springer-Verlag. С. 12–17, Таблица 1.02. ISBN 978-0-387-18430-2.

Внешние ссылки

«Цилиндрические координаты», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Описание цилиндрических координат в MathWorld
Цилиндрические координаты Анимации, иллюстрирующие цилиндрические координаты, Франк Ваттенберг