Частота среза

Граница частотной характеристики

Передаточная функция амплитуды полосового фильтра с нижней частотой среза 3 дБ f ₁ и верхней частотой среза 3 дБ f ₂

График Боде (логарифмический график частотной характеристики ) любого фильтра нижних частот первого порядка с нормализованной частотой среза при = 1 и полосой пропускания единичного усиления (0 дБ). ${\displaystyle \omega }$

В физике и электротехнике частота среза , угловая частота или частота сбоя — это граница частотной характеристики системы , при которой энергия, проходящая через систему, начинает уменьшаться ( ослабляться или отражаться), а не проходить через нее.

Обычно в электронных системах, таких как фильтры и каналы связи , частота среза применяется к краю характеристики нижних , верхних , полосовых или полосно-заграждающих характеристик – частота, характеризующая границу между полосой пропускания и полосой задерживания . Иногда это считается точкой в ​​отклике фильтра, где пересекаются полоса перехода и полоса пропускания, например, как это определяется точкой половинной мощности (частота, для которой выходной сигнал схемы составляет примерно -3,01  дБ от номинальной полосы пропускания). ценить). Альтернативно, угловая частота полосы задерживания может быть задана как точка, где встречаются переходная полоса и полоса задерживания: частота, для которой затухание больше, чем требуемое затухание в полосе задерживания, которое, например, может составлять 30 дБ или 100 дБ.

В случае волновода или антенны граничные частоты соответствуют нижней и верхней граничным длинам волн .

Электроника

В электронике частота среза или угловая частота — это частота , выше или ниже которой выходная мощность схемы , такой как линия , усилитель или электронный фильтр , упала до заданной пропорции мощности в полосе пропускания . Чаще всего эта пропорция составляет половину мощности полосы пропускания, также называемую точкой 3  дБ , поскольку падение на 3 дБ соответствует примерно половине мощности. В качестве коэффициента напряжения это падение напряжения в полосе пропускания. ^[1] Другие соотношения, помимо точки 3 дБ, также могут иметь значение, например, см. § Фильтры Чебышева ниже. Вдали от частоты среза в полосе перехода скорость нарастания затухания ( спада ) с логарифмом частоты асимптотически равна константе. Для сети первого порядка спад составляет –20 дБ на декаду (приблизительно –6 дБ на октаву ). ${\textstyle {\sqrt {1/2}}\ \approx \ 0.707}$

Пример однополюсной передаточной функции

Передаточная функция для простейшего фильтра нижних частот ,

$${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\alpha s}},}$$

полюсs = −1/ αj' ωсамолет это

$${\displaystyle \left|H(j\omega )\right|=\left|{\frac {1}{1+\alpha j\omega }}\right|={\sqrt {\frac {1}{1+\alpha ^{2}\omega ^{2}}}}.}$$

На отсечке

$${\displaystyle \left|H(j\omega _{\mathrm {c} })\right|={\frac {1}{\sqrt {2}}}={\sqrt {\frac {1}{1+\alpha ^{2}\omega _{\mathrm {c} }^{2}}}}.}$$

Следовательно, частота среза определяется выражением

$${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\alpha }}.}$$

Где s — переменная s-плоскости , ω — угловая частота , а j — мнимая единица измерения .

Фильтры Чебышева

Иногда другие соотношения более удобны, чем точка 3 дБ. Например, в случае фильтра Чебышева частоту среза обычно определяют как точку после последнего пика частотной характеристики, в которой уровень упал до расчетного значения неравномерности полосы пропускания. Величина пульсаций в этом классе фильтров может быть установлена ​​разработчиком на любое желаемое значение, следовательно, используемый коэффициент может быть любым значением. ^[2]

Радиосвязь

В радиосвязи небесная связь представляет собой метод, при котором радиоволны передаются под углом в небо и отражаются обратно на Землю слоями заряженных частиц в ионосфере . В этом контексте термин « частота среза» относится к максимальной полезной частоте , частоте, выше которой радиоволна не может отражаться от ионосферы под углом падения, необходимым для передачи между двумя указанными точками за счет отражения от слоя.

Волноводы

Частота среза электромагнитного волновода — это наименьшая частота, при которой в нем распространяется мода. В волоконной оптике чаще всего рассматривают длину волны отсечки — максимальную длину волны , которая будет распространяться в оптическом волокне или волноводе . Частота среза находится с помощью характеристического уравнения уравнения Гельмгольца для электромагнитных волн, которое получается из уравнения электромагнитных волн путем установки продольного волнового числа равным нулю и определения частоты. Таким образом, любая возбуждающая частота ниже частоты среза будет затухать, а не распространяться. Следующий вывод предполагает стены без потерь. Значение c, скорость света , следует принять за групповую скорость света в любом материале, заполняющем волновод.

Для прямоугольного волновода частота среза равна

$${\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}}},}$$

${\displaystyle m,n\geq 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle m,n\geq 0}$ ${\displaystyle m=n=0}$ ${\displaystyle m,n\geq 1}$

Частота среза моды TM ₀₁ (следующая по величине после доминирующей моды TE ₁₁ ) в волноводе круглого сечения (поперечно-магнитная мода без угловой зависимости и с наименьшей радиальной зависимостью) определяется выражением

$${\displaystyle \omega _{c}=c{\frac {\chi _{01}}{r}}=c{\frac {2.4048}{r}},}$$

функции Бесселя ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \chi _{01}}$ ${\displaystyle J_{0}(r)}$

Частота среза доминирующего режима TE ₁₁ определяется выражением ^[3]

$${\displaystyle \omega _{c}=c{\frac {\chi _{11}}{r}}=c{\frac {1.8412}{r}}}$$

Однако частоту среза доминирующей моды можно уменьшить, установив перегородку внутри волновода круглого сечения. ^[4] Для одномодового оптического волокна длина волны среза — это длина волны, при которой нормированная частота примерно равна 2,405.

Математический анализ

Отправной точкой является волновое уравнение (которое получено из уравнений Максвелла ),

$${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)\psi (\mathbf {r} ,t)=0,}$$

уравнением Гельмгольца,

$${\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi (x,y,z)e^{i\omega t}.}$$

$${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\psi (x,y,z)=0.}$$

z ${\displaystyle \psi }$

«Продольную» производную в лапласиане можно дополнительно уменьшить, рассматривая только функции вида

$${\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi (x,y)e^{i\left(\omega t-k_{z}z\right)},}$$

волновое число ${\displaystyle k_{z}}$

$${\displaystyle \left(\nabla _{T}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\psi (x,y,z)=0,}$$

$${\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi _{0}e^{i\left(\omega t-k_{z}z-k_{x}x-k_{y}y\right)}.}$$

$${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}$$

ab

$${\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{a}},}$$

$${\displaystyle k_{y}={\frac {m\pi }{b}},}$$

nm

$${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}+k_{z}^{2},}$$

закон дисперсии ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle k_{z}}$

$${\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}}}}$$

затухает

Смотрите также

• Полная ширина на половине максимума
• Фильтр верхних частот
• Эффект Миллера
• Пространственная граничная частота (в оптических системах)
• Постоянная времени

Рекомендации

1. Ван Валкенбург, Мэн (1974). Сетевой анализ (3-е изд.). стр. 383–384. ISBN 0-13-611095-9. Проверено 22 июня 2008 г.
2. Матаи, Янг, Джонс Микроволновые фильтры, сети согласования импедансов и структуры связи , стр. 85-86, McGraw-Hill 1964.
3. Хантер, IC (2001). Теория и конструкция СВЧ-фильтров. Институт инженеров-электриков. Лондон: Институт инженеров-электриков. п. 214. ИСБН 978-0-86341-253-0. OCLC  505848355.
4. Моди, Анудж Ю.; Баланис, Константин А. (01 марта 2016 г.). «Перегородка PEC-PMC внутри волновода круглого сечения для снижения частоты среза». Письма IEEE о микроволновых и беспроводных компонентах . 26 (3): 171–173. дои : 10.1109/LMWC.2016.2524529. ISSN  1531-1309. S2CID  9594124.

•  Эта статья включает общедоступные материалы из Федерального стандарта 1037C. Управление общего обслуживания . Архивировано из оригинала 22 января 2022 г. (в поддержку MIL-STD-188 ).

Внешние ссылки

• Расчет центральной частоты со средним геометрическим и сравнением со среднеарифметическим решением
• Преобразование частоты среза fc и постоянной времени τ
• Математическое определение функций Бесселя и информация о них.