В математике число гармонического делителя или число Оре — это положительное целое число , делители которого имеют гармоническое среднее число , являющееся целым числом. Первые несколько чисел делителей гармоник равны
Числа гармонических делителей были введены Эйстейном Оре , который показал, что каждое совершенное число является числом гармонического делителя, и предположил, что не существует нечетных чисел гармонических делителей, отличных от 1.
Число 6 имеет четыре делителя: 1, 2, 3 и 6. Их среднее гармоническое является целым числом: Таким образом, 6 является числом гармонического делителя. Точно так же число 140 имеет делители 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 и 140. Их гармоническое среднее равно. Поскольку 5 — целое число, 140 — число гармонического делителя.
Гармоническое среднее H ( n ) делителей любого числа n можно выразить формулой где σ i ( n ) — сумма i- х степеней делителей числа n : σ 0 — число делителей, а σ 1 представляет собой сумму делителей (Коэн, 1997). Все члены этой формулы мультипликативны , но не полностью мультипликативны . Следовательно, среднее гармоническое H ( n ) также мультипликативно. Это означает , что для любого положительного целого числа n гармоническое среднее H ( n ) может быть выражено как произведение гармонических средних простых степеней при факторизации n .
Например, у нас есть и
Для любого целого числа M , как заметил Оре, произведение среднего гармонического и среднего арифметического его делителей равно самому M , как видно из определений. Следовательно, M является гармоническим со средним гармоническим значением делителей k тогда и только тогда, когда среднее значение его делителей является произведением M с единичной долей 1/ k .
Оре показал, что каждое совершенное число является гармоническим. Чтобы убедиться в этом, заметим, что сумма делителей совершенного числа M равна ровно 2M ; следовательно, среднее значение делителей равно M (2/τ( M ) ), где τ( M ) обозначает количество делителей M . Для любого M τ( M ) нечетно тогда и только тогда, когда M является квадратным числом , иначе каждый делитель d числа M может быть соединен с другим делителем M / d . Но никакое совершенное число не может быть квадратом: это следует из известного вида четных совершенных чисел и из того факта, что нечетные совершенные числа (если они существуют) должны иметь множитель вида q α , где α ≡ 1 ( mod 4). Следовательно, для совершенного числа M τ( M ) четно, а среднее значение делителей является произведением M на единичную долю 2/τ( M ); таким образом, M является числом гармонического делителя.
Оре предположил , что не существует никаких нечетных гармонических делителей, кроме 1. Если гипотеза верна, это будет означать несуществование нечетных совершенных чисел .
У.Х. Миллс (неопубликовано; см. Маскат) показал, что любое число делителя нечетной гармоники выше 1 должно иметь коэффициент степени простого числа больше 10 7 , а Коэн показал, что любое такое число должно иметь по крайней мере три различных простых делителя. Коэн и Сорли (2010) показали, что не существует чисел нечетных гармонических делителей меньше 10 24 .
Коэн, Гото и другие, начиная с самого Оре, провели компьютерный поиск и перечислили все числа малых гармонических делителей. Из этих результатов известны списки всех чисел гармонических делителей до 2 × 10 9 , а также всех номеров гармонических делителей, для которых среднее гармоническое значение делителей не превышает 300.
