Номер такси

Класс целого числа

Согласно анекдоту от Г. Х. Харди, Шриниваса Рамануджан ( на фото ) был прикован к постели, когда придумал идею номеров такси .

В математике n -ное число такси , обычно обозначаемое Ta( n ) или Taxicab( n ), определяется как наименьшее целое число, которое может быть выражено в виде суммы двух кубов положительных целых чисел n различными способами. ^[1] Самое известное число такси — 1729 = Ta(2) = 1 ³ + 12 ³ = 9 ³ + 10 ³ , также известное как число Харди-Рамануджана. ^{[2] [3]}

Название происходит от разговора, состоявшегося около  1919 года между математиками Г. Х. Харди и Шринивасой Рамануджаном . Как сказал Харди:

Я помню, как однажды я пошел навестить его [Рамануджана], когда он лежал больной в Патни . Я ехал в такси № 1729 и заметил, что число показалось мне довольно скучным, и что я надеюсь, что это не неблагоприятное предзнаменование. «Нет», — ответил он, — «это очень интересное число; это наименьшее число, которое можно выразить как сумму двух кубов двумя различными способами». ^{[4] [5]}

История и определение

Пары слагаемых числа Харди–Рамануджана Ta(2) = 1729 были впервые упомянуты Бернаром Френиклем де Бесси , который опубликовал свое наблюдение в 1657 году. Число 1729 стало известным как первое число такси в начале 20-го века благодаря истории с участием Шринивасы Рамануджана , утверждавшего, что оно является наименьшим для его конкретного примера из двух слагаемых. В 1938 году GH Hardy и EM Wright доказали, что такие числа существуют для всех положительных целых чисел n , и их доказательство легко преобразуется в программу для генерации таких чисел. Однако доказательство вообще не делает никаких заявлений о том, являются ли сгенерированные таким образом числа наименьшими возможными , и поэтому его нельзя использовать для нахождения фактического значения Ta( n ).

Номера такси после 1729 года были найдены с помощью компьютеров. Джон Лич получил Ta(3) в 1957 году. Э. Розенштиль, JA Дардис и CR Розенштиль нашли Ta(4) в 1989 году. ^[6] JA Дардис нашел Ta(5) в 1994 году, и это было подтверждено Дэвидом У. Уилсоном в 1999 году. ^{[7] [8]} Ta(6) было объявлено Уве Холлербахом в списке рассылки NMBRTHRY 9 марта 2008 года, ^[9] после статьи 2003 года Калуде и др., в которой была указана 99% вероятность того, что число на самом деле было Ta(6). ^[10] Верхние границы для Ta(7) до Ta(12) были найдены Кристианом Бойером в 2006 году. ^[11]

Ограничение слагаемых положительными числами необходимо, поскольку разрешение отрицательных чисел допускает больше (и меньших) примеров чисел, которые могут быть выражены как суммы кубов n различными способами. Понятие номера такси было введено для того, чтобы разрешить альтернативные, менее ограничительные определения такого рода. В некотором смысле спецификация двух слагаемых и степеней трех также является ограничительной; обобщенный номер такси допускает, чтобы эти значения были отличны от двух и трех соответственно.

Известные номера такси

На данный момент известны следующие 6 номеров такси:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)=&\ 2\\&=1^{3}+1^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (2)=&\ 1729\\&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (3)=&\ 87539319\\&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^{3}+414^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (4)=&\ 6963472309248\\&=2421^{3}+19083^{3}\\&=5436^{3}+18948^{3}\\&=10200^{3}+18072^{3}\\&=13322^{3}+16630^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (5)=&\ 48988659276962496\\&=38787^{3}+365757^{3}\\&=107839^{3}+362753^{3}\\&=205292^{3}+342952^{3}\\&=221424^{3}+336588^{3}\\&=231518^{3}+331954^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (6)=&\ 24153319581254312065344\\&=582162^{3}[phone]^{3}\\&=3064173^{3}[phone]^{3}\\&=8519281^{3}[phone]^{3}\\&=16218068^{3}[phone]^{3}\\&=17492496^{3}[phone]^{3}\\&=18289922^{3}[phone]^{3}\end{aligned}}}$$

Верхние границы для номеров такси

Для следующих номеров такси известны верхние границы:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (7)\leq &\ 24885189317885898975235988544\\&=2648660966^{3}[phone]^{3}\\&=2685635652^{3}[phone]^{3}\\&=2736414008^{3}[phone]^{3}\\&=2894406187^{3}[phone]^{3}\\&=2915734948^{3}[phone]^{3}\\&=2918375103^{3}[phone]^{3}\\&=2919526806^{3}[phone]^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (8)\leq &\ 50974398750539071400590819921724352\\&=299512063576^{3}[phone]^{3}\\&=336379942682^{3}[phone]^{3}\\&=341075727804^{3}[phone]^{3}\\&=347524579016^{3}[phone]^{3}\\&=367589585749^{3}[phone]^{3}\\&=370298338396^{3}[phone]^{3}\\&=370633638081^{3}[phone]^{3}\\&=370779904362^{3}[phone]^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (9)\leq &\ 136897813798023990395783317207361432493888\\&=41632176837064^{3}[phone]^{3}\\&=46756812032798^{3}[phone]^{3}\\&=47409526164756^{3}[phone]^{3}\\&=48305916483224^{3}[phone]^{3}\\&=51094952419111^{3}[phone]^{3}\\&=51471469037044^{3}[phone]^{3}\\&=51518075693259^{3}[phone]^{3}\\&=51530042142656^{3}[phone]^{3}\\&=51538406706318^{3}[phone]^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (10)\leq &\ 7335345315241855602572782233444632535674275447104\\&=15695330667573128^{3}+15137846555691028^{3}\\&=17627318136364846^{3}+12293996879974082^{3}\\&=17873391364113012^{3}+11757988429199376^{3}\\&=18211330514175448^{3}+10901351979041108^{3}\\&=19262797062004847^{3}+5726433061530961^{3}\\&=19404743826965588^{3}+3058262831974168^{3}\\&=19422314536358643^{3}+2059655218961613^{3}\\&=19426825887781312^{3}+1536982932706676^{3}\\&=19429379778270560^{3}[phone]^{3}\\&=19429979328281886^{3}[phone]^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (11)\leq &\ 2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632\\&=11410505395325664056^{3}+11005214445987377356^{3}\\&=12815060285137243042^{3}+8937735731741157614^{3}\\&=12993955521710159724^{3}+8548057588027946352^{3}\\&=13239637283805550696^{3}+7925282888762885516^{3}\\&=13600192974314732786^{3}+6716379921779399326^{3}\\&=14004053464077523769^{3}+4163116835733008647^{3}\\&=14107248762203982476^{3}+2223357078845220136^{3}\\&=14120022667932733461^{3}+1497369344185092651^{3}\\&=14123302420417013824^{3}+1117386592077753452^{3}\\&=14125159098802697120^{3}+657258405504578668^{3}\\&=14125594971660931122^{3}+284485090153030494^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (12)\leq &\ 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152\\&=33900611529512547910376^{3}+32696492119028498124676^{3}\\&=38073544107142749077782^{3}+26554012859002979271194^{3}\\&=38605041855000884540004^{3}+25396279094031028611792^{3}\\&=39334962370186291117816^{3}+23546015462514532868036^{3}\\&=40406173326689071107206^{3}+19954364747606595397546^{3}\\&=41606042841774323117699^{3}+12368620118962768690237^{3}\\&=41912636072508031936196^{3}+6605593881249149024056^{3}\\&=41950587346428151112631^{3}+4448684321573910266121^{3}\\&=41960331491058948071104^{3}+3319755565063005505892^{3}\\&=41965847682542813143520^{3}+1952714722754103222628^{3}\\&=41965889731136229476526^{3}+1933097542618122241026^{3}\\&=41967142660804626363462^{3}+845205202844653597674^{3}\end{aligned}}}$$

Номера такси без кубов

Более ограничительная задача такси требует, чтобы число такси было кубосвободным , что означает, что оно не делится ни на какой куб, кроме 1 ³ . Когда кубосвободное число такси T записывается как T = x ³ + y ³ , числа x и y должны быть взаимно простыми . Среди чисел такси Ta( n ), перечисленных выше, только Ta(1) и Ta(2) являются кубосвободными числами такси. Наименьшее кубосвободное число такси с тремя представлениями было обнаружено Полом Войтой (неопубликовано) в 1981 году, когда он был аспирантом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}15170835645&=517^{3}+2468^{3}\\&=709^{3}+2456^{3}\\&=1733^{3}+2152^{3}\end{aligned}}}$$

Наименьшее число такси без кубов с четырьмя представлениями было обнаружено Стюартом Гаскойном и независимо от него Дунканом Муром в 2003 году:

$${\displaystyle {\begin{aligned}1801049058342701083&=92227^{3}+1216500^{3}\\&=136635^{3}+1216102^{3}\\&=341995^{3}+1207602^{3}\\&=600259^{3}+1165884^{3}\end{aligned}}}$$(последовательность A080642 в OEIS ).

Смотрите также

• 1729 (число)  – число Харди-Рамануджана
• Диофантово уравнение  – Полиномиальное уравнение, решения которого ищутся в целых числах.
• Гипотеза Эйлера о сумме степеней  – Опровергнутая гипотеза в теории чисел
• Обобщенное число такси  – наименьшее число, которое можно выразить как сумму j чисел в k-й степени n способами.
• Гипотеза Била  – Математическая гипотезаPages displaying short descriptions of redirect targets
• Уравнение Якоби–Маддена  – Диофантово уравнение, приписываемое Якоби и Маддену.
• Задача Пруэ–Тэрри–Эскотта
• Пифагорова четверка  – четыре целых числа, где сумма квадратов трех равна квадрату четвертого.
• Суммы трех кубов  – Задача по теории чисел
• Суммы степеней  – Список математических контекстов, в которых суммируются экспоненциальные члены, список связанных с ними гипотез и теорем.

Примечания

1. "Номер такси". Wolfram Mathworld .
2. "Число Харди-Рамануджана". Wolfram Mathworld .
3. Грайм, Джеймс; Боули, Роджер. Харан, Брэди (ред.). 1729: Номер такси или номер Харди-Рамануджана. Numberphile.
4. Цитаты Г. Х. Харди, Мактьютора История математики Архивировано 16 июля 2012 г. на Wayback Machine
5. Сильверман, Джозеф Х. (1993). «Таксы и суммы двух кубов». Amer. Math. Monthly . 100 (4): 331–340. doi :10.2307/2324954. JSTOR  2324954.
6. Колонка «Числа» в журнале «Personal Computer World», стр. 234, ноябрь 1989 г.
7. Колонка «Числа» журнала «Personal Computer World», стр. 610, февраль 1995 г.
8. «Пятый номер такси — 48988659276962496» Дэвида У. Уилсона
9. Архив NMBRTHRY – март 2008 (#10) «Шестой номер такси — 24153319581254312065344» Уве Холлербах
10. CS Calude, E. Calude и MJ Dinneen: Какова ценность Taxicab(6)?, Журнал универсальной компьютерной науки , том 9 (2003), стр. 1196–1203
11. «Новые верхние границы для номеров такси и кэб-такси» Кристиан Бойер, Франция, 2006–2008 гг.

Ссылки

• GH Hardy и EM Wright, Введение в теорию чисел , 3-е изд., Oxford University Press, Лондон и Нью-Йорк, 1954, том 412.
• Дж. Лич, Некоторые решения диофантовых уравнений , Proc. Camb. Phil. Soc. 53, 778–780, 1957.
• E. Rosenstiel, JA Dardis и CR Rosenstiel, Четыре наименьших решения в различных положительных целых числах диофантовых уравнений = x ³ + y ³ = z ³ + w ³ = u ³ + v ³ = m ³ + n ³ , Bull. Inst. Math. Appl. , 27(1991) 155–157; MR 1125858, онлайн.
• Дэвид У. Уилсон, Пятый номер такси — 48988659276962496 , Журнал целочисленных последовательностей , том 2 (1999), онлайн. (Уилсон не знал о предыдущем открытии Ta(5) Дж. А. Дардисом в 1994 году, когда он это писал.)
• DJ Bernstein, Перечисление решений ⁠ ⁠ ${\displaystyle p(a)+q(b)=r(c)+s(d)}$ , Математика вычислений 70, 233 (2000), 389–394.
• CS Calude, E. Calude и MJ Dinneen: Какова ценность Taxicab(6)? , Журнал универсальной компьютерной науки , том 9 (2003), стр. 1196–1203

Внешние ссылки

• Сообщение 2002 года в списке рассылки по теории чисел, автор Рэндалл Л. Рэтбан
• Грайм, Джеймс; Боули, Роджер. Харан, Брэди (ред.). 1729: Номер такси или номер Харди-Рамануджана. Numberphile.
• Такси и прочая математика в Эйлере
• Сингх, Саймон . Харан, Брэди (ред.). «Номера такси в Футураме». Numberphile.