Класс питча

Набор всех звуков, отстоящих друг от друга на целое число октав.

Идеальная октава

Все C от С ₁ до С ₇ включительно

В музыке класс высоты тона ( pc или pc ) — это набор всех высот , отстоящих друг от друга на целое число октав ; например, класс высоты звука C состоит из C во всех октавах. «Высотный класс C обозначает все возможные C в любой октавной позиции». ^[1] Важным для теории музыкальных множеств является то, что класс высоты звука — это «все высоты звука, связанные друг с другом октавой, энгармонической эквивалентностью или тем и другим». ^[2] Таким образом, используя научное обозначение высоты звука , класс высоты звука «C» представляет собой набор

{C _n  : n — целое число } = {..., C ₋₂ , C ₋₁ , C ₀ , C ₁ , C ₂ , C ₃ ...}.

Хотя формального верхнего или нижнего предела этой последовательности не существует, человеку слышны лишь некоторые из этих тонов. Класс высоты важен, потому что восприятие высоты звука человеком является периодическим : высоты, принадлежащие к одному и тому же классу высоты, воспринимаются как имеющие одинаковое качество или цвет, свойство, называемое « октавной эквивалентностью ».

Психологи называют качество звука его «цветностью». ^[3] Цветность — это атрибут высоты тона (в отличие от высоты тона ), точно так же, как оттенок — атрибут цвета . Класс высоты тона — это набор всех тонов, имеющих одну и ту же цветность, точно так же, как «набор всех белых вещей» — это совокупность всех белых объектов. ^[4]

В стандартном западном равнотемпераменте разные варианты написания могут относиться к одному и тому же звучащему объекту: B ♯ ₃ , C ₄ и D.₄ , все относятся к одному и тому же тону, следовательно, имеют одну и ту же цветность и, следовательно, принадлежат к одному и тому же классу тонов. Это явление называется энгармонической эквивалентностью .

Целочисленная запись

Чтобы избежать проблемы энгармонического написания, теоретики обычно представляют классы высоты звука, используя числа, начинающиеся с нуля, при этом каждое последующее большее целое число представляет класс высоты звука, который был бы на полутон выше предыдущего, если бы все они были реализованы как фактические высоты звука в одном и том же языке. октава. Поскольку высота звука, связанная с октавами, принадлежит к одному и тому же классу, при достижении октавы числа снова начинаются с нуля. Эта циклическая система называется модульной арифметикой , и, в обычном случае хроматических двенадцатитоновых гамм, нумерация классов высоты рассматривается как «по модулю 12» (в литературе по теории музыки обычно обозначается сокращением «mod 12»), то есть , каждый двенадцатый член идентичен. Можно сопоставить основную частоту звука f (измеренную в герцах ) с действительным числом p , используя уравнение

${\displaystyle p=9+12\log _{2}{\frac {f}{440{\text{ Hz}}}}.}$

Это создает линейное пространство высоты тона , в котором октавы имеют размер 12, полутона (расстояние между соседними клавишами на клавиатуре фортепиано) имеют размер 1, а средней C (C ₄ ) присваивается номер 0 (таким образом, высота звука на фортепиано равна — от 39 до +48). Действительно, преобразование высоты звука в действительные числа, определенное таким образом, составляет основу стандарта настройки MIDI , который использует действительные числа от 0 до 127 для представления высоты звука от C _-1 до G9 ₍ таким образом, среднее значение C равно 60). Чтобы представить классы высоты звука , нам нужно идентифицировать или «склеить» все высоты звука, принадлежащие одному и тому же классу высоты звука, то есть все числа p и p  + 12. В результате получается циклическая группа частных , которую музыканты называют пространством классов высоты звука , а математики называют R / 12 З.​ Точки в этом пространстве можно пометить действительными числами в диапазоне 0 ≤  x  <12. Эти числа представляют собой числовые альтернативы буквенным названиям элементарной теории музыки:

0 = С, 1 = С ♯ /Д ♭ , 2 = Д, 2,5 = Д( четверть тона диеза), 3 = D ♯ /E ♭ ,

и так далее. В этой системе классы высоты звука, представленные целыми числами, представляют собой классы двенадцатитоновой равной темперации (при условии стандартного концерта А).

Целочисленная запись.

В музыке целочисленная запись представляет собой перевод классов высоты тона или классов интервалов в целые числа . ^[5] Таким образом, если C = 0, то C ♯  = 1 ... A ♯  = 10, B = 11, причем в некоторых источниках «10» и «11» заменены на «t» и «e», ^[5] A и B в других ^[6] (например , двенадцатеричная система счисления, в которой также используются «t» и «e» или A и B для «10» и «11»). Это позволяет максимально экономно представить информацию о посттональных материалах. ^[5]

В целочисленной модели высоты звука все классы высоты звука и интервалы между классами высоты обозначаются числами от 0 до 11. Она не используется для обозначения музыки для исполнения, но является обычным аналитическим и композиционным инструментом при работе с хроматической музыкой, включая двенадцать тональная , серийная или иная атональная музыка.

Классы высоты звука можно обозначить таким способом, присвоив какой-либо ноте номер 0 и присвоив последовательные целые числа последовательным полутонам ; поэтому, если 0 — это натуральный C, 1 — это C ♯ , 2 — это D ♮ и так далее до 11, то есть B ♮ . C выше это не 12, а снова 0 (12 - 12 = 0). Таким образом, арифметика по модулю 12 используется для представления октавной эквивалентности . Одним из преимуществ этой системы является то, что она игнорирует «написание» нот (B ♯ , C ♮ и Dвсе 0) в соответствии с их диатонической функциональностью .

Недостатки

У целочисленной записи есть несколько недостатков. Во-первых, теоретики традиционно использовали одни и те же целые числа для обозначения элементов разных систем настройки. Таким образом, цифры 0, 1, 2, ... 5 используются для обозначения классов высоты звука в 6-тоновой равнотемперированной тональности. Это означает, что значение данного целого числа меняется в зависимости от базовой системы настройки: «1» может относиться к C ♯ в 12-тональной равной темперации, но D в 6-тоновой равнотемперированной.

Кроме того, одни и те же числа используются для обозначения высоты звука и интервалов . Например, число 4 служит как меткой класса высоты звука E (если C = 0), так и меткой расстояния между классами высоты звука D и F ♯ . (Во многом таким же образом термин «10 градусов» может обозначать как температуру, так и расстояние между двумя температурами.) Только одно из этих обозначений чувствительно к (произвольному) выбору шагового класса 0. Например, если кто-то делает другой выбор относительно того, какой класс шага будет помечен как 0, тогда класс шага E больше не будет обозначаться как «4». Однако расстоянию между D и F ♯ все равно будет присвоено число 4. И это, и вопрос в абзаце непосредственно выше можно рассматривать как недостатки (хотя математически элемент «4» не следует путать с функцией «+» 4").

Другие способы обозначения классов высоты тона

Описанная выше система достаточно гибка, чтобы описать любой класс высоты звука в любой системе настройки: например, можно использовать числа {0, 2,4, 4,8, 7,2, 9,6} для обозначения пятитоновой шкалы, которая равномерно делит октаву. Однако в некоторых случаях удобно использовать альтернативные системы маркировки. Например, используя только интонацию , мы можем выражать высоту звука через положительные рациональные числа.п/д, выражается ссылкой на 1 (часто пишется "1/1"), что представляет собой фиксированную высоту звука. Если a и b - два положительных рациональных числа, они принадлежат к одному и тому же классу высоты звука тогда и только тогда, когда

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=2^{n}}$

для некоторого целого числа n . Следовательно, мы можем представить классы высоты звука в этой системе с помощью соотношенийп/дгде ни p , ни q не делятся на 2, то есть как отношения нечетных целых чисел. В качестве альтернативы мы можем представить только классы высоты интонации, сократив до октавы, 1 ≤ п/д < 2.

Также очень часто классы высоты тона обозначаются со ссылкой на некоторый масштаб . Например, можно обозначить классы высоты звука n -тональной равной темперации , используя целые числа от 0 до n  - 1. Практически таким же образом можно обозначить классы высоты звука гаммы до мажор: C–D–E–F– G – A – B, с использованием цифр от 0 до 6. Эта система имеет два преимущества перед описанной выше системой непрерывной маркировки. Во-первых, это исключает любые предположения о том, что в двенадцатикратном делении октавы есть что-то естественное. Во-вторых, он избегает вселенных основного класса с громоздкими десятичными расширениями, если рассматривать их относительно 12; например, в непрерывной системе 19 классов одинаковой темперации обозначаются 0,63158..., 1,26316... и т. д. Обозначение этих классов тона {0, 1, 2, 3..., 18} упрощает арифметика, используемая при манипуляциях с наборами тонких классов.

Недостатком системы, основанной на гамме, является то, что она присваивает бесконечное количество различных названий аккордам, которые звучат одинаково. Например, в двенадцатитоновом равнотемперированном трезвучии до мажор обозначается {0, 4, 7}. В двадцатичетырёхтоновой равнотемперации это же трезвучие обозначается {0, 8, 14}. Более того, система, основанная на ладах, по-видимому, предполагает, что разные системы настройки используют шаги одного и того же размера («1»), но имеют октавы разного размера («12» в 12-тоновой равнотемперированной системе, «19» в 19-тоновой системе). равная темперация и т. д.), тогда как на самом деле все наоборот: разные системы настройки делят одну и ту же октаву на шаги разного размера.

В общем, часто бывает полезнее использовать традиционную систему целых чисел, когда работаешь в рамках одного темперамента; когда сравнивают аккорды разных темпераментов, непрерывная система может быть более полезной.

Смотрите также

• Квартира (музыка)
• Шарп (музыка)
• Округлость шага
• Интервал шага
• Ряд тонов ( список )

Рекомендации

1. Арнольд Уиттолл , Кембриджское введение в сериализм (Нью-Йорк: Cambridge University Press, 2008): 276. ISBN  978-0-521-68200-8 (pbk).
2. Дон Майкл Рэндел, изд. (2003). «Теория множеств», Гарвардский музыкальный словарь , стр.776. Гарвард. ISBN 9780674011632 . 
3. Тимочко, Дмитрий (2011). Геометрия музыки: гармония и контрапункт в расширенной общей практике , стр.30. Оксфордские исследования по теории музыки. ISBN 9780199714353 . 
4. Мюллер, Мейнард (2007). Поиск информации о музыке и движении , стр.60. ISBN 9783540740483 . «Класс высоты звука определяется как набор всех высот, имеющих одну и ту же цветность». 
5. Whittall (2008), стр.273.
6. Роберт Д. Моррис, «Обобщение вращающихся массивов», Журнал теории музыки 32, вып. 1 (весна 1988 г.): 75–132, цитирование по 83.

дальнейшее чтение

• Пурвинс, Хендрик (2005). «Профили классов высоты звука: кругообразность относительной высоты звука и тональности - эксперименты, модели, компьютерный музыкальный анализ и перспективы». Кандидат наук. Тезис. Берлин: Технический университет Берлина .
• Ран, Джон (1980). Основная атональная теория . Нью-Йорк: Лонгман; Лондон и Торонто: Prentice Hall International. ISBN 0-02-873160-3 . Перепечатано в 1987 году, Нью-Йорк: Schirmer Books; Лондон: Кольер Макмиллан. 
• Шуйер, Михель (2008). Анализ атональной музыки: теория множеств высоты звука и ее контексты . Исследования Истмана в области музыки 60. Рочестер, Нью-Йорк: University of Rochester Press. ISBN 978-1-58046-270-9 . 
• Цао, Мин (2010). Абстрактные музыкальные интервалы: теория групп для композиции и анализа . Беркли, Калифорния: Musurgia Universalis Press. ISBN 978-1430308355.