Эволюция

Centers of curvature of a curve

Эволюта кривой (синяя парабола) является геометрическим местом всех ее центров кривизны (красная) .

Эволюта кривой (в данном случае эллипса) — это огибающая ее нормалей.

В дифференциальной геометрии кривых эволюта кривой является геометрическим местом всех ее центров кривизны . То есть, когда центр кривизны каждой точки кривой нарисован, результирующая форма будет эволютой этой кривой. Эволюта окружности, таким образом, является одной точкой в ​​ее центре. [ ^{1] Эквивалентно} , эволюта является огибающей нормалей к кривой.

Эволюта кривой, поверхности или, в более общем смысле, подмногообразия — это каустика нормального отображения. Пусть M — гладкое регулярное подмногообразие в R ⁿ . Для каждой точки p в M и каждого вектора v , базирующегося в p и перпендикулярного к M , мы связываем точку p + v . Это определяет лагранжево отображение , называемое нормальным отображением. Каустика нормального отображения — это эволюта M . ^[2]

Эволюты тесно связаны с эвольвентами : кривая является эволютой любой из своих эвольвент.

История

Аполлоний ( ок. 200 г. до н. э.) обсуждал эволюты в книге V своих «Конических сечений» . Однако иногда считается, что первым их изучил Гюйгенс (1673). Гюйгенс сформулировал свою теорию эволютов где-то около 1659 года, чтобы помочь решить проблему нахождения кривой таутохроны , которая, в свою очередь, помогла ему построить изохронный маятник. Это произошло потому, что кривая таутохроны является циклоидой , а циклоида обладает уникальным свойством, заключающимся в том, что ее эволюта также является циклоидой. Теория эволютов, по сути, позволила Гюйгенсу достичь многих результатов, которые позже были найдены с помощью исчисления. ^[3]

Эволюция параметрической кривой

Если — параметрическое представление регулярной кривой на плоскости с ее кривизной, нигде не равной 0, и ее радиусом кривизны и единичной нормалью, направленной в центр кривизны, то описывает эволюцию данной кривой. ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]}$ ${\displaystyle \rho (t)}$ ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$ $${\displaystyle {\vec {E}}(t)={\vec {c}}(t)+\rho (t){\vec {n}}(t)}$$

Для и получается и ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {\vec {E}}=(X,Y)^{\mathsf {T}}}$ $${\displaystyle X(t)=x(t)-{\frac {y'(t){\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}}$$ $${\displaystyle Y(t)=y(t)+{\frac {x'(t){\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}.}$$

Свойства эволюта

Нормаль в точке P — это касательная в центре кривизны C.

Для того чтобы вывести свойства регулярной кривой, выгодно использовать длину дуги данной кривой в качестве ее параметра, поскольку и (см. формулы Френе–Серре ). Следовательно, касательный вектор эволюты равен: Из этого уравнения получаются следующие свойства эволюты: ${\displaystyle s}$ ${\textstyle \left|{\vec {c}}'\right|=1}$ ${\textstyle {\vec {n}}'=-{\vec {c}}'/\rho }$ ${\textstyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}}$ $${\displaystyle {\vec {E}}'={\vec {c}}'+\rho '{\vec {n}}+\rho {\vec {n}}'=\rho '{\vec {n}}\ .}$$

• В точках с эволютой нерегулярно . Это означает: в точках с максимальной или минимальной кривизной ( вершины данной кривой) эволюта имеет точки возврата . (См. диаграммы эволютов параболы, эллипса, циклоиды и нефроида.) ${\displaystyle \rho '=0}$
• Для любой дуги эволюты, которая не включает в себя касп, длина дуги равна разнице между радиусами кривизны в ее конечных точках. Этот факт приводит к простому доказательству теоремы Тейта–Кнезера о вложенности соприкасающихся окружностей . ^[4]
• Нормали данной кривой в точках ненулевой кривизны являются касательными к эволюте, а нормали данной кривой в точках нулевой кривизны являются асимптотами к эволюте. Следовательно: эволюта есть огибающая нормалей данной кривой.
• На участках кривой с или кривая является эвольвентой своей эвольвенты. (На диаграмме: синяя парабола является эвольвентой красной полукубической параболы, которая на самом деле является эвольвентой синей параболы.) ${\displaystyle \rho '>0}$ ${\displaystyle \rho '<0}$

Доказательство последнего свойства:
Пусть на участке рассмотрения. Эвольвента эвольвенты может быть описана следующим образом: где - фиксированное удлинение струны (см. Эвольвента параметризованной кривой ). При и получаем Что означает: Для удлинения струны данная кривая воспроизводится. ${\displaystyle \rho '>0}$ $${\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {E}}-{\frac {{\vec {E}}'}{\left|{\vec {E}}'\right|}}\left(\int _{0}^{s}\left|{\vec {E}}'(w)\right|\mathrm {d} w+l_{0}\right),}$$ ${\displaystyle l_{0}}$
${\displaystyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;,\;{\vec {E}}'=\rho '{\vec {n}}}$ ${\displaystyle \rho '>0}$ $${\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}-{\vec {n}}\left(\int _{0}^{s}\rho '(w)\;\mathrm {d} w\;+l_{0}\right)={\vec {c}}+(\rho (0)-l_{0})\;{\vec {n}}\,.}$$ ${\displaystyle l_{0}=\rho (0)}$

• Параллельные кривые имеют одинаковую эволюту.

Доказательство: Параллельная кривая с расстоянием от заданной кривой имеет параметрическое представление и радиус кривизны (см. параллельная кривая ). Следовательно, эволюта параллельной кривой равна ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{d}={\vec {c}}+d{\vec {n}}}$ ${\displaystyle \rho _{d}=\rho -d}$ $${\displaystyle {\vec {E}}_{d}={\vec {c}}_{d}+\rho _{d}{\vec {n}}={\vec {c}}+d{\vec {n}}+(\rho -d){\vec {n}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}={\vec {E}}\;.}$$

Примеры

Эволюта параболы

Для параболы с параметрическим представлением из формул выше получаем уравнения: которые описывают полукубическую параболу ${\displaystyle (t,t^{2})}$ $${\displaystyle X=\cdots =-4t^{3}}$$ $${\displaystyle Y=\cdots ={\frac {1}{2}}+3t^{2}\,,}$$

Эволюта (красная) эллипса

Эволюция эллипса

Для эллипса с параметрическим представлением получаем: ^[5] Это уравнения несимметричной астроиды . Исключение параметра приводит к неявному представлению ${\displaystyle (a\cos t,b\sin t)}$ $${\displaystyle X=\cdots ={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t}$$ $${\displaystyle Y=\cdots ={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\sin ^{3}t\;.}$$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle (aX)^{\tfrac {2}{3}}+(bY)^{\tfrac {2}{3}}=(a^{2}-b^{2})^{\tfrac {2}{3}}\ .}$$

Циклоида (синяя), ее соприкасающаяся окружность (красная) и эволюта (зеленая).

Эволюция циклоиды

Для циклоиды с параметрическим представлением эволюта будет иметь вид: ^[6] что описывает транспонированную копию самой себя. ${\displaystyle (r(t-\sin t),r(1-\cos t))}$ $${\displaystyle X=\cdots =r(t+\sin t)}$$ $${\displaystyle Y=\cdots =r(\cos t-1)}$$

Эволюта большого нефроида (синего) — это малый нефроид (красный).

Эволюция логарифмически-эстетических кривых

Эволюта логарифмически-эстетической кривой — это еще одна логарифмически-эстетическая кривая. ^[7] Одним из примеров этого соотношения является то, что эволюта спирали Эйлера — это спираль с уравнением Чезаро . ^[8] ${\displaystyle \kappa (s)=-s^{-3}}$

Эволюции некоторых кривых

Эволюция

• параболы — полукубическая парабола (см. выше) ,
• эллипса — несимметричная астроида (см. выше) ,
• линии — идеальная точка ,
• нефроида — нефроид (в два раза меньше, см. схему) ,
• астроиды — астроида ( в два раза больше),
• кардиоиды — кардиоида ( на треть больше),
• круга - его центр ,
• дельтовидной мышцы является дельтовидная мышца (в три раза больше),
• циклоиды — конгруэнтная циклоида ,
• логарифмической спирали — это та же логарифмическая спираль,
• трактрисы — это цепная линия.

Радиальная кривая

Кривая с похожим определением является радиалом данной кривой. Для каждой точки кривой возьмите вектор из точки в центр кривизны и перенесите его так, чтобы он начинался в начале координат. Тогда геометрическое место точек в конце таких векторов называется радиалом кривой. Уравнение для радиала получается путем удаления членов x и y из уравнения эволюты. Это дает $${\displaystyle (X,Y)=\left(-y'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\;,\;x'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\right).}$$

Ссылки

1. Вайсштейн, Эрик В. «Эволюция круга». Математический мир .
2. Арнольд, ВИ; Варченко, АН; Гусейн-Заде, СМ (1985). Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов: особенности дифференцируемых отображений, т. 1. Биркхойзер . ISBN 0-8176-3187-9.
3. Йодер, Джоэлла Г. (2004). Разворачивающееся время: Христиан Гюйгенс и математизация природы . Cambridge University Press .
4. Жис, Этьен ; Табачников, Сергей ; Тиморин, Владлен (2013). «Оскулирующие кривые: вокруг теоремы Тейта-Кнезера». The Mathematical Intelligencer . 35 (1): 61–66. arXiv : 1207.5662 . doi :10.1007/s00283-012-9336-6. MR  3041992.
5. Р.Курант: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Группа 1, Springer-Verlag, 1955, с. 268.
6. Вайсштейн, Эрик В. «Циклоида Эволюта». MathWorld .
7. Йошида, Н. и Сайто, Т. (2012). «Эволюции логарифмически эстетичных плоских кривых и прорисовываемые границы сегментов кривых». Computer-Aided Design and Applications . 9 (5): 721–731. doi :10.3722/cadaps.2012.721-731.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
8. «Эволюция спирали Эйлера». Linebender вики . 11 марта 2024 г.

• Вайсштейн, Эрик В. «Эволюта». Математический мир .
• Соколов, ДД (2001) [1994], "Эволюта", Энциклопедия математики , EMS Press
• Йейтс, Р. К.: Справочник по кривым и их свойствам , Дж. У. Эдвардс (1952), «Эволюты». С. 86 и далее
• Эволюция по 2D кривым.