Энтропия Цаллиса

В физике энтропия Тсаллиса является обобщением стандартной энтропии Больцмана-Гиббса . Он пропорционален математическому ожиданию q-логарифма распределения.

История

Эта концепция была введена в 1988 году Константино Цаллисом ^[1] в качестве основы для обобщения стандартной статистической механики и идентична по форме структурной α-энтропии Хаврды–Чарвата ^[2] , введенной в 1967 году в рамках теории информации .

Определение

Учитывая дискретный набор вероятностей с условием и любое действительное число, энтропия Тсаллиса определяется как ${\displaystyle \{p_{i}\}}$ ${\displaystyle \sum _{i}p_{i}=1}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle S_{q}({p_{i}})=k\cdot {\frac {1}{q-1}}\left(1-\sum _{i}p_{i}^{q}\right),}$

где — реальный параметр, иногда называемый энтропийным индексом , и положительная константа. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle k}$

В пределе при восстанавливается обычная энтропия Больцмана–Гиббса, а именно ${\displaystyle q\to 1}$

${\displaystyle S_{\text{BG}}=S_{1}(p)=-k\sum _{i}p_{i}\ln p_{i},}$

где отождествляется с постоянной Больцмана . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k_{B}}$

Для непрерывных распределений вероятностей мы определяем энтропию как

${\displaystyle S_{q}[p]={1 \over q-1}\left(1-\int (p(x))^{q}\,dx\right),}$

где – функция плотности вероятности . ${\displaystyle p(x)}$

Перекрестная энтропия

Подвеска кросс-энтропии представляет собой ожидание отрицательного q-логарифма относительно второго распределения . Так . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{q-1}}(1-{\textstyle \sum _{i}}p_{i}^{q}\cdot {\tfrac {r_{i}}{p_{i}}})}$

Используя , это можно записать . Для меньших значений все имеют тенденцию к . ${\displaystyle t=q-1}$ ${\displaystyle (1-E_{r}[p^{t}])/t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p_{i}^{t}}$ ${\displaystyle 1}$

Предел вычисляет отрицательный наклон at и восстанавливается . Таким образом, для фиксированного малого повышение этого ожидания связано с максимизацией логарифмического правдоподобия . ${\displaystyle q\to 1}$ ${\displaystyle E_{r}[p^{t}]}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle -{\textstyle \sum _{i}}r_{i}\ln p_{i}}$ ${\displaystyle t}$

Характеристики

Личности

Логарифм можно выразить через наклон, что приведет к следующей формуле стандартной энтропии: ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}p^{x}=p^{x}\ln p}$

${\displaystyle S=-\lim _{x\rightarrow 1}{\tfrac {d}{dx}}\sum _{i}p_{i}^{x}=-{\textstyle \sum _{i}}p_{i}\ln p_{i}}$

Аналогично, дискретная энтропия Тсаллиса удовлетворяет условию

${\displaystyle S_{q}=-\lim _{x\rightarrow 1}D_{q}\sum _{i}p_{i}^{x}}$

где D _q — q-производная по x .

Неаддитивность

Даны две независимые системы A и B , для которых совместная плотность вероятности удовлетворяет

${\displaystyle p(A,B)=p(A)p(B),\,}$

энтропия Цаллиса этой системы удовлетворяет

${\displaystyle S_{q}(A,B)=S_{q}(A)+S_{q}(B)+(1-q)S_{q}(A)S_{q}(B).\,}$

Из этого результата очевидно, что параметр является мерой отклонения от аддитивности. В пределе, когда q = 1, ${\displaystyle |1-q|}$

${\displaystyle S(A,B)=S(A)+S(B),\,}$

это то, что ожидается от аддитивной системы. Это свойство иногда называют «псевдоаддитивностью».

Экспоненциальные семьи

Многие распространенные распределения, такие как нормальное распределение, принадлежат к статистическим экспоненциальным семействам . Энтропию Тсаллиса для экспоненциального семейства можно записать ^[3] как

${\displaystyle H_{q}^{T}(p_{F}(x;\theta ))={\frac {1}{1-q}}\left((e^{F(q\theta )-qF(\theta )})E_{p}[e^{(q-1)k(x)}]-1\right)}$

где F — логарифмический нормализатор, а k — член, указывающий меру несущей. Для многомерного нормального члена k равен нулю, и поэтому энтропия Тсаллиса находится в замкнутой форме.

Приложения

Энтропия Тсаллиса использовалась вместе с принципом максимальной энтропии для получения распределения Тсаллиса .

В научной литературе обсуждается физическая значимость энтропии Цаллиса. ^{[4] [5] [6]} Однако, начиная с 2000 года, был выявлен все более широкий спектр природных, искусственных и социальных сложных систем , которые подтверждают предсказания и последствия, вытекающие из этой неаддитивной энтропии, такие как необширные статистические механика, ^[7] , обобщающая теорию Больцмана–Гиббса.

Среди различных экспериментальных подтверждений и приложений, имеющихся в настоящее время в литературе, особого упоминания заслуживают следующие:

1. Распределение, характеризующее движение холодных атомов в диссипативных оптических решетках , предсказанное в 2003 г. ^[8] и наблюдавшееся в 2006 г. ^[9]
2. Флуктуации магнитного поля солнечного ветра позволили рассчитать q-триплет (или триплет Цаллиса). ^[10]
3. Распределение скоростей в индуцированной диссипативной пылевой плазме . ^[11]
4. Релаксация спинового стекла . ^[12]
5. Захваченный ион взаимодействует с классическим буферным газом . ^[13]
6. Эксперименты по столкновению высоких энергий на LHC/CERN (детекторы CMS, ATLAS и ALICE) ^{[14] [15]} и RHIC/Brookhaven (детекторы STAR и PHENIX). ^[16]

Среди различных доступных теоретических результатов, проясняющих физические условия, при которых применима энтропия Тсаллиса и связанная с ней статистика, можно выбрать следующие:

1. Аномальная диффузия . ^{[17] [18]}
2. Теорема единственности . ^[19]
3. Чувствительность к начальным условиям и производство энтропии на грани хаоса. ^{[20] [21]}
4. Наборы вероятностей, которые делают неаддитивную энтропию Тсаллиса экстенсивной в термодинамическом смысле. ^[22]
5. Сильно квантово запутанные системы и термодинамика. ^[23]
6. Термостатистика задемпфированного движения взаимодействующих частиц. ^{[24] [25]}
7. Нелинейные обобщения уравнений Шрёдингера, Клейна–Гордона и Дирака . ^[26]
8. Расчет энтропии черной дыры. ^[27]

Более подробную информацию можно найти по адресу http://tsallis.cat.cbpf.br/biblio.htm.

Обобщенная энтропия

Несколько интересных физических систем ^[28] подчиняются энтропийным функционалам , более общим, чем стандартная энтропия Тсаллиса. Поэтому было введено несколько физически значимых обобщений. Двумя наиболее общими из них являются, в частности, суперстатистика , введенная К. Беком и Э.Г.Д. Коэном в 2003 году ^[29] и спектральная статистика, введенная Г.А. Цекурасом и Константино Цаллисом в 2005 году ^{. [30]} Обе эти энтропийные формы имеют Цаллис и Больцман- Статистика Гиббса как особые случаи; Было доказано, что спектральная статистика, по крайней мере, содержит суперстатистику, и предполагалось, что она также охватывает некоторые дополнительные случаи. ^{[ нужна цитата ]}

Смотрите также

• Энтропия Реньи
• Распространение Цаллиса

Рекомендации

1. Цаллис, К. (1988). «Возможное обобщение статистики Больцмана-Гиббса». Журнал статистической физики . 52 (1–2): 479–487. Бибкод : 1988JSP....52..479T. дои : 10.1007/BF01016429. hdl : 10338.dmlcz/142811 . S2CID  16385640.
2. Хаврда, Дж.; Чарват, Ф. (1967). «Количественный метод классификации процессов. Понятие структурной α-энтропии» (PDF) . Кибернетика . 3 (1): 30–35.
3. Нильсен, Ф.; Нок, Р. (2012). «Выражение в замкнутой форме для энтропии Шармы – Миттала экспоненциальных семейств». Физический журнал A: Математический и теоретический . 45 (3): 032003. arXiv : 1112.4221 . Бибкод : 2012JPhA...45c2003N. дои : 10.1088/1751-8113/45/3/032003. S2CID  8653096.
4. Чо, А. (2002). «Свежий взгляд на беспорядок или беспорядочная наука?». Наука . 297 (5585): 1268–1269. дои : 10.1126/science.297.5585.1268. PMID  12193769. S2CID  5441957.
5. Абэ, С.; Раджагопал, АК (2003). «Возвращение к беспорядку и статистике Цаллиса». Наука . 300 (5617): 249–251. дои : 10.1126/science.300.5617.249d. PMID  12690173. S2CID  39719500.
6. Прессе, С.; Гош, К.; Ли, Дж.; Дилл, К. (2013). «Неаддитивные энтропии дают распределения вероятностей со смещениями, не подтвержденными данными». Физ. Преподобный Летт . 111 (18): 180604. arXiv : 1312.1186 . Бибкод : 2013PhRvL.111r0604P. doi : 10.1103/PhysRevLett.111.180604. PMID  24237501. S2CID  2577710.
7. Цаллис, Константино (2009). Введение в неэкстенсивную статистическую механику: подход к сложному миру (онлайн-авторское издание). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-85358-1.
8. Лутц, Э. (2003). «Аномальная диффузия и статистика Тсаллиса в оптической решетке». Физический обзор А. 67 (5): 051402. arXiv : cond-mat/0210022 . Бибкод : 2003PhRvA..67e1402L. doi : 10.1103/PhysRevA.67.051402. S2CID  119403353.
9. Дуглас, П.; Бергамини, С.; Ренцони, Ф. (2006). «Настраиваемые распределения Цаллиса в диссипативных оптических решетках» (PDF) . Письма о физических отзывах . 96 (11): 110601. Бибкод : 2006PhRvL..96k0601D. doi : 10.1103/PhysRevLett.96.110601. ПМИД  16605807.
10. Бурлага, LF; - Виньяс, А.Ф. (2005). «Треугольник энтропийного индекса q неэкстенсивной статистической механики, наблюдаемый «Вояджером-1» в далекой гелиосфере». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 356 (2–4): 375. arXiv : Physics/0507212 . Бибкод : 2005PhyA..356..375B. doi :10.1016/j.physa.2005.06.065. S2CID  18823047.
11. Лю, Б.; Гори, Дж. (2008). «Супердиффузия и негауссова статистика в управляемо-диссипативной двумерной пылевой плазме». Письма о физических отзывах . 100 (5): 055003. arXiv : 0801.3991 . Бибкод : 2008PhRvL.100e5003L. doi : 10.1103/PhysRevLett.100.055003. PMID  18352381. S2CID  2022402.
12. Пикап, Р.; Цивински, Р.; Паппас, К.; Фараго, Б.; Фуке, П. (2009). «Обобщенная спин-стеклянная релаксация». Письма о физических отзывах . 102 (9): 097202. arXiv : 0902.4183 . Бибкод : 2009PhRvL.102i7202P. doi :10.1103/PhysRevLett.102.097202. PMID  19392558. S2CID  6454082.
13. Дево, Р. (2009). «Степенное распределение захваченного иона, взаимодействующего с классическим буферным газом». Письма о физических отзывах . 102 (6): 063001. arXiv : 0903.0637 . Бибкод : 2009PhRvL.102f3001D. doi :10.1103/PhysRevLett.102.063001. PMID  19257583. S2CID  15945382.
14. Хачатрян, В.; Сирунян А.; Тумасян А.; Адам, В.; Бергауэр, Т.; Драгичевич, М.; Эро, Дж.; Фабьян, К.; Фридл, М.; Фрювирт, Р.; Гете, В.М.; Хаммер, Дж.; Гензель, С.; Хох, М.; Хёрманн, Н.; Грубец, Дж.; Джейтлер, М.; Касечка, Г.; Кизенхофер, В.; Краммер, М.; Лико, Д.; Микулек, И.; Перницка, М.; Рорингер, Х.; Шефбек, Р.; Штраус, Дж.; Таурок, А.; Тайшингер, Ф.; Вальтенбергер, В.; и другие. (2010). «Распределение поперечного импульса и псевдобыстроты заряженных адронов в pp-столкновениях при √ s = 7 ТэВ». Письма о физических отзывах . 105 (2): 022002. arXiv : 1005.3299 . Бибкод : 2010PhRvL.105b2002K. doi :10.1103/PhysRevLett.105.022002. PMID  20867699. S2CID  119196941.
15. Чатрчян, С.; Хачатрян В.; Сирунян А.М.; Тумасян А.; Адам, В.; Бергауэр, Т.; Драгичевич, М.; Эро, Дж.; Фабьян, К.; Фридл, М.; Фрювирт, Р.; Гете, В.М.; Хаммер, Дж.; Гензель, С.; Хох, М.; Хёрманн, Н.; Грубец, Дж.; Джейтлер, М.; Кизенхофер, В.; Краммер, М.; Лико, Д.; Микулек, И.; Перницка, М.; Рорингер, Х.; Шефбек, Р.; Штраус, Дж.; Таурок, А.; Тайшингер, Ф.; Вагнер, П.; и другие. (2011). «Спектры поперечного импульса заряженных частиц в pp-столкновениях при $ √ s = 0,9 и 7 ТэВ». Журнал физики высоких энергий . 2011 (8): 86. arXiv : 1104.3547 . Бибкод : 2011JHEP...08..086C. doi : 10.1007/JHEP08(2011)086. S2CID  122835798.
16. Адэр, А.; Афанасьев С.; Айдала, К.; Аджитананд, Н.; Акиба, Ю.; Аль-Батайне, Х.; Александр, Дж.; Аоки, К.; Афечетч, Л.; Армендарис, Р.; Аронсон, Ш.; Асаи, Дж.; Атомсса, ET; Авербек, Р.; Авес, TC; Азмун, Б.; Бабинцев В.; Бай, М.; Баксай, Г.; Баксай, Л.; Балдиссери, А.; Бариш, КН; Барнс, PD; Бассаллек, Б.; Бэйси, AT; Бат, С.; Бацули, С.; Баублис, В.; Бауманн, К.; и другие. (2011). «Измерение нейтральных мезонов в p + p- столкновениях при √ s = 200 ГэВ и масштабирующие свойства образования адронов». Физический обзор D . 83 (5): 052004. arXiv : 1005.3674 . Бибкод : 2011PhRvD..83e2004A. doi :10.1103/PhysRevD.83.052004. S2CID  85560021.
17. Пластино, Арканзас; Пластино, А. (1995). «Нерасширенная статистическая механика и обобщенное уравнение Фоккера-Планка». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 222 (1–4): 347–354. Бибкод : 1995PhyA..222..347P. дои : 10.1016/0378-4371(95)00211-1.
18. Цаллис, К.; Букман, Д. (1996). «Аномальная диффузия в присутствии внешних сил: точные нестационарные решения и их термостатическая основа». Физический обзор E . 54 (3): 2197–2200 рандов. arXiv : cond-mat/9511007 . Бибкод : 1996PhRvE..54.2197T. doi :10.1103/PhysRevE.54.R2197. PMID  9965440. S2CID  16272548.
19. Абэ, С. (2000). «Аксиомы и теорема единственности энтропии Цаллиса». Буквы по физике А. 271 (1–2): 74–79. arXiv : cond-mat/0005538 . Бибкод : 2000PhLA..271...74A. дои : 10.1016/S0375-9601(00)00337-6. S2CID  119513564.
20. Лира, М.; Цаллис, К. (1998). «Нерасширенность и мультифрактальность в маломерных диссипативных системах». Письма о физических отзывах . 80 (1): 53–56. arXiv : cond-mat/9709226 . Бибкод : 1998PhRvL..80...53L. doi : 10.1103/PhysRevLett.80.53. S2CID  15039078.
21. Балдовин, Ф.; Робледо, А. (2004). «Неэкстенсивная идентичность Пезина: точные аналитические результаты ренормгруппы для динамики на краю хаоса логистической карты». Физический обзор E . 69 (4): 045202. arXiv : cond-mat/0304410 . Бибкод : 2004PhRvE..69d5202B. doi : 10.1103/PhysRevE.69.045202. PMID  15169059. S2CID  30277614.
22. Цаллис, К.; Гелл-Манн, М.; Сато, Ю. (2005). «Асимптотически масштабно-инвариантная заселенность фазового пространства делает энтропию Sq обширной». Труды Национальной академии наук . 102 (43): 15377–82. arXiv : cond-mat/0502274 . Бибкод : 2005PNAS..10215377T. дои : 10.1073/pnas.0503807102 . ПМК 1266086 . ПМИД  16230624. 
23. Карузо, Ф.; Цаллис, К. (2008). «Неаддитивная энтропия согласовывает закон площади в квантовых системах с классической термодинамикой». Физический обзор E . 78 (2): 021102. arXiv : cond-mat/0612032 . Бибкод : 2008PhRvE..78b1102C. doi : 10.1103/PhysRevE.78.021102. PMID  18850781. S2CID  18006627.
24. Андраде, Дж.; Да Силва, Г.; Морейра, А.; Нобре, Ф.; Курадо, Э. (2010). «Термостатистика затухающего движения взаимодействующих частиц». Письма о физических отзывах . 105 (26): 260601. arXiv : 1008.1421 . Бибкод : 2010PhRvL.105z0601A. doi : 10.1103/PhysRevLett.105.260601. PMID  21231636. S2CID  14831948.
25. Рибейро, М.; Нобре, Ф.; Курадо, ЭМ (2012). «Временная эволюция взаимодействующих вихрей при перезатухающем движении» (PDF) . Физический обзор E . 85 (2): 021146. Бибкод : 2012PhRvE..85b1146R. doi : 10.1103/PhysRevE.85.021146. PMID  22463191. S2CID  25200027.
26. Нобре, Ф.; Рего-Монтейро, М.; Цаллис, К. (2011). «Нелинейные релятивистские и квантовые уравнения с общим типом решения». Письма о физических отзывах . 106 (14): 140601. arXiv : 1104.5461 . Бибкод : 2011PhRvL.106n0601N. doi : 10.1103/PhysRevLett.106.140601. PMID  21561176. S2CID  12679518.
27. Маджи, Абхишек (2017). «Неэкстенсивная статистическая механика и энтропия черной дыры из квантовой геометрии». Буквы по физике Б. 775 : 32–36. arXiv : 1703.09355 . Бибкод : 2017PhLB..775...32M. doi :10.1016/j.physletb.2017.10.043. S2CID  119397503.
28. Гарсиа-Моралес, В.; Кришер, К. (2011). «Суперстатистика в наноразмерных электрохимических системах». Труды Национальной академии наук . 108 (49): 19535–19539. Бибкод : 2011PNAS..10819535G. дои : 10.1073/pnas.1109844108 . ПМК 3241754 . ПМИД  22106266. 
29. Бек, К.; Коэн, EGD (2003). «Суперстатистика». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 322 : 267–275. arXiv : cond-mat/0205097 . Бибкод : 2003PhyA..322..267B. дои : 10.1016/S0378-4371(03)00019-0. S2CID  261331784.
30. Цекоурас, Джорджия; Цаллис, К. (2005). «Обобщенная энтропия, возникающая в результате распределения индексов q». Физический обзор E . 71 (4): 046144. arXiv : cond-mat/0412329 . Бибкод : 2005PhRvE..71d6144T. doi : 10.1103/PhysRevE.71.046144. PMID  15903763. S2CID  16663654.

дальнейшее чтение

• Фуруичи, Сигэру; Митрой-Симеонидис, Флавия-Корина; Симеонидис, Элевтерий (2014). «О некоторых свойствах гипоэнтропии и гиподивергенции Цаллиса». Энтропия . 16 (10): 5377–5399. arXiv : 1410.4903 . Бибкод : 2014Entrp..16.5377F. дои : 10.3390/e16105377 .
• Фуруичи, Сигэру; Митрой, Флавия-Корина (2012). «Математические неравенства для некоторых расхождений». Физика А. 391 (1–2): 388–400. arXiv : 1104.5603 . Бибкод : 2012PhyA..391..388F. doi :10.1016/j.physa.2011.07.052. S2CID  92394.
• Фуруичи, Сигэру; Минкулете, Никушор; Митрой, Флавия-Корина (2012). «Некоторые неравенства относительно обобщенной энтропии». Журнал неравенств и приложений . 2012 : 226. arXiv : 1104.0360 . дои : 10.1186/1029-242X-2012-226 .

Внешние ссылки

• Статистика Цаллиса, статистическая механика неэкстенсивных систем и дальних взаимодействий