Юпана (от кечуа : yupay 'счет') [1] — счетная доска , использовавшаяся для выполнения арифметических операций , датируемая еще со времен инков . Существует очень мало документации относительно ее точной физической формы или того, как она использовалась.
Термин юпана относится к двум различным классам объектов:
Хотя они сильно отличаются друг от друга, большинство ученых, которые имели дело с юпанами- таблицами , распространили свои рассуждения и теории на юпаны-таблицы Пома де Айяла и наоборот, возможно, в попытке найти объединяющую нить или общий метод создания. Например, Nueva coronica (Новая хроника), обнаруженная в 1916 году в библиотеке Копенгагена , содержала доказательства того, что часть исследований юпаны-таблицы Пома де Айяла основывалась на предыдущих исследованиях и теориях, касающихся юпанов-таблицами. [2]
Несколько летописцев Индии вкратце описали этот счет инков и его принцип действия.
Первым был Гуаман Пома де Айяла, который около 1615 года писал:
... Они считают, используя таблицы, пронумерованные с шагом от ста тысяч до десяти тысяч, от ста до десяти и так далее, пока не придут к единице. Они ведут записи всего, что происходит в этом королевстве: праздники и воскресенья, месяцы и годы. Бухгалтеры и казначеи королевства находятся в каждом городе, поселке или туземной деревне...
— [3]
В дополнение к краткому описанию Пома де Айяла нарисовал изображение юпаны: доску из пяти строк и четырех столбцов, в каждой ячейке которой находится ряд черных и белых кругов.
Еще до появления трудов Помо де Айялы, в 1596 году, отец- иезуит Хосе де Акоста писал:
... Ну, видеть другую группу, которая использует зерна кукурузы, - это очаровательная вещь, как очень смущающий счет, который он поручит очень хорошему бухгалтеру сделать пером и чернилами, чтобы увидеть, как каждый вклад подходит для такого количества людей, беря столько-то там и добавляя столько-то здесь, с другой сотней маленьких кусочков, эти индейцы возьмут свои зерна и положат одно здесь, три там, восемь я не знаю куда; они перенесут зерно отсюда, они обменяют три там, и, в самом деле, они уйдут со своим счетом, выполненным пунктуально, не пропустив ни одной отметки, и гораздо больше они знают, как учитывать и отчитываться за то, что каждый может заплатить или дать, что мы будем знать, как дать каждому из них, как установлено пером и чернилами. Если это не изобретательность, и эти люди - звери, пусть кто хочет судить об этом, так пусть судит, ибо то, что я считаю истинным, так это то, что в том, что они применяют, они дают нам большие преимущества.
— [4]
В 1841 году отец Хуан де Веласко писал:
... эти учителя использовали что-то вроде ряда подносов, сделанных из дерева, камня или глины, с различными отделениями, в которые они клали камни разной формы, цвета и угловатости...
— [5]
Различные виды юпаны были найдены на территории Эквадора и Перу.
Самый ранний известный пример стола юпана был найден в 1869 году в Чорделеге , провинция Асуай , Эквадор . Прямоугольный стол (33x27 см; 13" x 10¾") из дерева , состоящий из 17 отделений, 14 из которых квадратные , 2 прямоугольные и одно восьмиугольное . Два края стола содержат другие квадратные отделения (12x12 см; 4¾" x 4¾"), приподнятые и расположенные бок о бок, на которые наложены две квадратные платформы (7x7 см; 2¾" x 2¾"). Эти конструкции называются «башнями». Отделения стола симметричны относительно диагонали прямоугольных отделений. Четыре стороны доски также выгравированы изображениями человеческих голов и крокодила . [2] В результате этого открытия Чарльз Винер провел систематическое исследование этих объектов в 1877 году. Винер пришел к выводу, что таблица юпанас служила для расчета налогов , которые фермеры платили империи инков. [6]
Этот стол-юпана, найденный в Карасе между 1878 и 1879 годами, отличается от стола из Чорделега тем, что материалом его изготовления является камень , а центральное восьмиугольное отделение заменено прямоугольным; башни также имеют три полки вместо двух. [2]
Ряд юпан столов, сильно отличающихся от первых, был описан Эрландом Норденшельдом в 1931 году. Эти юпаны, сделанные из камня, могут похвастаться рядом прямоугольных и квадратных отсеков. Башня имеет два прямоугольных отсека. Отсеки расположены симметрично относительно оси меньшей стороны стола. [2]
Эти юпаны, сделанные из камня, имеют 18 треугольных отсеков. С одной стороны находится прямоугольная башня с одним уровнем и тремя треугольными отсеками. В центральной части находятся четыре квадратных отсека. [2]
Этот стол-юпана, идентичный юпане из Чорделега как по материалу, так и по расположению отсеков, был найден в археологическом комплексе Чан-Чан в Перу в 1967 году. [2]
Обнаруженные в перуанской провинции Писко , это два настольных юпана из глины и кости . Первый имеет прямоугольную форму (47x32 см; 18½" x 12½"), имеет 22 квадратных (5x5 см; 2" x 2") и три прямоугольных (16x18 см; 6¼" x 7") отсека и не имеет башен. Второй юпана имеет прямоугольную форму (32x23 см; 12½" x 9") и имеет 22 квадратных отсека, два L-образных отсека и три прямоугольных отсека в центре. Отсеки расположены симметрично относительно оси длинной стороны. [2]
Обнаруженная в Северном Эквадоре Максом Уле в 1922 году, эта юпана сделана из камня, а ее отсеки нарисованы на поверхности таблички. Она имеет форму пирамиды, состоящей из 10 перекрывающихся прямоугольников: четыре на первом уровне, три на втором, два на третьем и один на четвертом. Эта юпана наиболее близка к картине Помы де Айяла в Нуэва Короника, хотя имеет на одну линию меньше и частично нарисована. [2]
C. Florio представляет исследование [7] , в котором не идентифицирует юпану в этих археологических находках, а объект, название которого было забыто и остается неизвестным. Вместо этого этот объект используется для связи с tocapu (идеограммой, уже использовавшейся доинкскими цивилизациями), называемой "llave inca" (т. е. ключом инков) с философией yanantin-masintin . Ученый обосновывает это, основываясь на отсутствии объективных доказательств, которые признают этот объект как юпану, убеждение, которое консолидировалось на протяжении многих лет без повторения или демонстрации этой гипотезы, и скрещиванием данных из документов Микчинелли и tocapu, каталогизированных Викторией де ла Хара.
Предполагая, что нужно раскрасить различные отсеки таблицы yupana (рис. A), C. Florio идентифицирует рисунок (рис. B), очень похожий на существующий tocapu (рис. C), каталогизированный Victoria de la Jara. Кроме того, в tocapu, представленном на рисунке D, также каталогизированном V. de la Jara, Florio идентифицирует стилизацию tocapu C и отправную точку для создания tocapu "llave Inca" (ключ инков). Она находит связь между table yupana и ключом инков также похожей в их связи с концепцией двойственности: структура table yupana явно двойственна, и Blas Valera в "Exsul Immeritus Blas Valera populo suo" (один из двух документов Микчинелли) описывает tocapu "ключ инков" как представляющий концепцию "противоположных сил" и "числа 2", оба из которых строго связаны с концепцией двойственности. [8]
Согласно C. Florio, настоящая yupana, используемая инками, — это Guáman Poma, но с большим количеством столбцов и строк. Yupana Poma de Ayala представляла бы собой только часть yupana, полезную для выполнения определенного расчета, который Флорио определяет как умножение (см. ниже).
В 1931 году Генри Вассен изучал юпану Пома де Айяла, впервые предложив возможное представление чисел на доске и операций сложения и умножения . Он интерпретировал белые круги как вырезанные в юпане пробелы, в которые будут вставлены семена, описанные летописцами: так, белые круги соответствуют пустым пробелам, в то время как черные круги соответствуют тем же пробелам, заполненным черным семенем. [2]
Система счисления, лежащая в основе юпаны, представляла собой позиционную систему счисления с основанием 10 (в соответствии с записями хронистов Индий).
Затем числа представлялись в вертикальной прогрессии, так что числа от 1 до 9 располагались в первом ряду снизу, во втором ряду находились десятки, в третьем — сотни и т. д.
Вассен предложил прогрессию значений семян, которая зависит от их положения в таблице: 1, 5, 15, 30 соответственно, в зависимости от того, какие семена занимают пробел в первом, втором, третьем и четвертом столбцах (см. таблицу ниже). Только максимум пять семян могли быть включены в поле, принадлежащее первому столбцу, так что максимальное значение этого поля было 5, умноженное на степень соответствующей строки. Эти семена могли быть заменены одним семенем следующего столбца, полезным во время арифметических операций. Таким образом, согласно теории Вассена, операции суммы и произведения выполнялись горизонтально.
Эта теория подверглась резкой критике из-за высокой сложности расчетов, поэтому была признана неадекватной и вскоре от нее отказались.
В следующей таблице показано число 13457, как оно будет выглядеть на юпане Вассена:
Эта первая интерпретация Poma de Ayala yupana стала отправной точкой для теорий, разработанных последующими авторами, в современной письменности. Ни один исследователь не отходил от позиционной системы нумерации до 2008 года.
Эмилио Мендисабаль был первым, кто предположил в 1976 году, что инки использовали представление, основанное на прогрессии 1, 2, 3, 5 в дополнение к десятичному представлению. [9] В той же публикации Мендисабаль указал, что ряд чисел 1, 2, 3 и 5, появляющийся на рисунке Помы де Айяла, является частью последовательности Фибоначчи , и подчеркнул важность «магии», которую число 5 содержало для цивилизаций Северного Перу , аналогичной по значению числу 8 для цивилизаций Южного Перу . [2]
В 1979 году Карлос Радикати ди Примглио подчеркнул разницу между таблицей yupana и Poma de Ayala, описав самые современные исследования и передовые теории на сегодняшний день. Он также предложил алгоритмы для вычисления четырех основных арифметических операций для Poma de Ayala yupana, согласно новой интерпретации, для которой было возможно иметь до девяти семян в каждой коробке с вертикальной прогрессией степеней десяти. [2] Радикати связал каждый пробел со значением 1.
В следующей таблице показано число 13457, как оно будет выглядеть в юпане Радикати:
В 1981 году английский инженер- текстильщик Уильям Бернс Глинн предложил позиционное решение с основанием 10 для юпаны Пома де Айяла. [10]
Глинн, как и Радикати, перенял идею Вассена о полных и пустых пробелах, а также о вертикальной прогрессии степеней числа десять, но предложил архитектуру, которая позволила пользователям юпаны значительно упростить сами арифметические операции.
Горизонтальная прогрессия значений семян в ее представлении — 1, 1, 1 для первых трех столбцов, так что в каждой строке можно разместить максимум десять семян (5 + 3 + 2 семени). Десять семян в любой строке соответствуют одному семени в строке над ней.
Последняя колонка в юпане Глинна посвящена "памяти " , месту, которое может содержать до десяти семян, прежде чем они будут перемещены в верхнюю строку. По мнению автора, это очень полезно во время арифметических операций, чтобы уменьшить вероятность ошибки.
Решение Глинна было принято в различных учебных проектах по всему миру, и даже сегодня некоторые из его вариантов используются в некоторых школах Южной Америки . [11] [12]
В следующей таблице показано число 13457, как оно будет выглядеть на юпане Глинна:
В 2001 году итальянский инженер Николино де Паскуале предложил позиционное решение в системе счисления с основанием 40 для Poma de Ayala yupana, взяв за основу теорию представления чисел Фибоначчи, уже предложенную Эмилио Мендисабалем, и развив ее для четырех операций.
Юпана де Паскуале также использует вертикальную прогрессию для представления чисел по степеням 40. Представление чисел основано на том факте, что сумма значений кружков в каждой строке равна 39, если каждый кружок принимает значение 5 в первом столбце, 3 во втором столбце, 2 в третьем и 1 в четвертом; таким образом, можно представить 39 чисел, объединенных в нейтральный элемент ( ноль или «отсутствие семян» в таблице); это формирует основу 40 символов, необходимых для системы счисления. [13]
В следующей таблице показано одно из возможных представлений числа 13457 в юпане Де Паскуале:
После публикации теория Де Паскуале вызвала большие споры среди исследователей, которые разделились на две основные группы: группа, поддерживающая теорию счисления с основанием 10, и группа, поддерживающая теорию с основанием 40. Испанские хроники, написанные о завоевании Америки, указывают, что инки использовали десятичную систему, и с 2003 года теория с основанием 10 была предложена в качестве основы для вычислений как с помощью абака, так и с помощью кипу [14]
Де Паскуале недавно предложил использовать юпану в качестве астрономического календаря, работающего на смешанной основе 36/40 [15] и предоставил свою собственную интерпретацию слова хуно из языка кечуа , переведя его как «0,1». [16] Эта интерпретация расходится со всеми летописцами Индий, особенно Доминго де Санто Томасом [1], который в 1560 году перевел хуно в чунга гуаранга (десять тысяч).
В 2008 году Чинция Флорио предложила альтернативный и революционный подход по сравнению со всеми теориями, предложенными до сих пор. Новая теория Флорио отклонилась от позиционной системы нумерации и приняла аддитивную или знаковую нотацию . [17]
Опираясь исключительно на дизайн Помы де Айяла, Флорио объяснил расположение белых и черных кругов и интерпретировал использование юпаны как доски для вычисления умножений , на которой множимое представлено в правом столбце, множитель — в двух центральных столбцах, а произведение — в левом столбце, что проиллюстрировано в следующей таблице:
Эта теория отличается от всех предыдущих в нескольких аспектах: во-первых, белые и черные круги не являются пробелами, которые можно заполнить семенем, а представляют собой семена разных цветов, представляющие соответственно десятки и единицы (это согласно летописцу Хуану де Веласко) [5] .
Во-вторых, множимое вводится в первый столбец с соблюдением знаково-значимой нотации: таким образом, семена могут быть введены в любом порядке, а число задается суммой значений этих семян.
Множитель представляется в виде суммы двух множителей, поскольку процедура получения произведения основана на распределительном свойстве умножения относительно сложения .
По словам Флорио, таблица умножения, составленная Помой де Айяла с использованием семян, представляла собой расчет: 32 х 5, где множитель 5 разлагается на 3 + 2. Последовательность чисел 1,2,3,5 была бы причинно-следственной , зависящей от выполненного расчета и не связанной с рядом Фибоначчи.
Ключ: ◦ = 10; • = 1; Представленная операция: 32 x 5 = 32 x (2 + 3) = (32 x 2) + (32 x 3) = 64 + 96 = 160
Числа, представленные в столбцах, слева направо:
Последнее число в этом вычислении (которое неверно) является основой для всех возможных критических замечаний этой интерпретации, поскольку 160, а не 151, является суммой 96 и 64. Флорио отмечает, однако, что ошибка могла быть со стороны Помы де Айялы в оригинальном рисунке, когда он спроектировал пространство как занятое черным кругом вместо белого. В этом случае замена только одного черного круга на белый в последнем столбце дает нам число 160, правильный продукт.
Юпана Помы де Айялы также не может представлять все множимые, необходимо расширить юпану по вертикали (добавляя строки), чтобы представлять числа, сумма цифр которых превышает 5. То же самое касается и множителей: чтобы представить все числа, необходимо расширить количество столбцов. Помимо предполагаемого ошибочного расчета (или ошибочного представления дизайнером), это единственная теория, которая идентифицирует в юпане Помы де Айялы математическое и последовательное сообщение (умножение), а не ряд случайных чисел, как в других интерпретациях.
В октябре 2010 года перуанский исследователь Андрес Чиринос при поддержке Испанского агентства по международному сотрудничеству в целях развития (ACEID) пересмотрел старые рисунки и описания, записанные Помой де Айяла, и, наконец, расшифровал использование юпаны: таблицы с одиннадцатью отверстиями, которую Чиринос называет «доколумбовым калькулятором», способным складывать, вычитать, делить и умножать, что вселяет в него надежду применить эту информацию для исследования того, как использовались и функционировали кипу. [18]
{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )