Умножение

Арифметическая операция

Четыре мешка с тремя шариками в каждом дают двенадцать шариков (4 × 3 = 12).

Умножение также можно рассматривать как масштабирование . Здесь 2 умножается на 3 с использованием масштабирования, что дает в результате 6.

Анимация для умножения 2 × 3 = 6

4 × 5 = 20. Большой прямоугольник состоит из 20 квадратов, каждый размером 1 на 1 единицу.

Площадь полотна 4,5м × 2,5м = 11,25м ² ; 4 ⁠1/2⁠ × 2 ⁠1/2⁠ = 11 ⁠1/4⁠

Умножение (часто обозначается символом креста × , оператором средней точки ⋅ , сопоставлением или, на компьютерах , звездочкой * ) — одна из четырех элементарных математических операций арифметики , остальные — сложение , вычитание и деление . Результат операции умножения называется произведением .

Умножение целых чисел можно рассматривать как повторное сложение ; то есть умножение двух чисел эквивалентно сложению такого же количества копий одного из них, множимого , каково количество другого, множителя ; оба числа можно называть множителями .

${\displaystyle a\times b=\underbrace {a+\cdots +a} _{b{\text{ times}}}.}$

Например, 3, умноженное на 4, часто пишется и произносится как «3 умножить на 4», можно вычислить, сложив вместе 4 копии числа 3: ${\displaystyle 3\times 4}$

${\displaystyle 3\times 4=3+3+3+3=12.}$

Здесь 3 ( множимое ) и 4 ( множитель ) являются множителями , а 12 — произведением .

Одним из основных свойств умножения является свойство коммутативности , которое в данном случае гласит, что сложение 4 копий числа 3 дает тот же результат, что и сложение 3 копий числа 4:

${\displaystyle 4\times 3=4+4+4=12.}$

Таким образом, обозначение множителя и множимого не влияет на результат умножения. ^[1]

Систематические обобщения этого базового определения определяют умножение целых чисел (включая отрицательные числа), рациональных чисел (дроби) и действительных чисел.

Умножение можно также визуализировать как подсчет объектов, расположенных в прямоугольнике (для целых чисел) или как нахождение площади прямоугольника, стороны которого имеют некоторую заданную длину . Площадь прямоугольника не зависит от того, какая сторона измеряется первой — следствие коммутативного свойства.

Произведение двух измерений (или физических величин ) — это новый тип измерения, обычно с производной единицей . Например, умножение длин (в метрах или футах) двух сторон прямоугольника дает его площадь (в квадратных метрах или квадратных футах). Такое произведение является предметом размерного анализа .

Обратная операция умножения — деление . Например, поскольку 4, умноженное на 3, равно 12, то 12, деленное на 3, равно 4. Действительно, умножение на 3, а затем деление на 3, дает исходное число. Деление числа, отличного от 0, на само себя равно 1.

Несколько математических концепций расширяют фундаментальную идею умножения. Произведение последовательности, векторное умножение , комплексные числа и матрицы — все это примеры, где это можно увидеть. Эти более продвинутые конструкции, как правило, влияют на основные свойства по-своему, например, становясь некоммутативными в матрицах и некоторых формах векторного умножения или изменяя знак комплексных чисел.

Обозначение

В арифметике умножение часто записывается с использованием знака умножения ( × или ) между членами (то есть в инфиксной записи ). ^[2] Например, ${\displaystyle \times }$

${\displaystyle 2\times 3=6,}$(«дважды три равно шести»)

${\displaystyle 3\times 4=12,}$

${\displaystyle 2\times 3\times 5=6\times 5=30,}$

${\displaystyle 2\times 2\times 2\times 2\times 2=32.}$

Существуют и другие математические обозначения умножения:

• Чтобы уменьшить путаницу между знаком умножения × и общей переменной x , умножение также обозначается точками ^[3] , обычно точкой в ​​средней позиции (редко точкой ): . ${\displaystyle 5\cdot 2}$

Нотация с точкой в ​​середине или оператор точки , закодированный в Unicode как U+22C5 ⋅ DOT OPERATOR , теперь является стандартом в Соединенных Штатах и ​​других странах, где в качестве десятичной точки используется точка . Когда символ оператора точки недоступен, используется интерпункт  (·). В других странах, где в качестве десятичного знака используется запятая , для умножения используется либо точка, либо точка в середине. ^{[ необходима цитата ]}

Исторически в Соединенном Королевстве и Ирландии средняя точка иногда использовалась для десятичной дроби, чтобы предотвратить ее исчезновение в линейке, а точка/точка использовалась для умножения. Однако, поскольку Министерство технологий постановило использовать точку в качестве десятичной точки в 1968 году ^[4] , а стандарт Международной системы единиц (СИ) с тех пор был широко принят, это использование теперь можно найти только в более традиционных журналах, таких как The Lancet . ^[5]

• В алгебре умножение с участием переменных часто записывается как сопоставление (например, для раз или для пяти раз ), также называемое подразумеваемым умножением . ^[6] Обозначение может также использоваться для величин, которые заключены в скобки (например, , или для пяти раз два). Это неявное использование умножения может вызвать неоднозначность, когда конкатенированные переменные совпадают с именем другой переменной, когда имя переменной перед скобками можно спутать с именем функции или при правильном определении порядка операций . ^{[7] [8]} ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 5x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 5(2)}$ ${\displaystyle (5)2}$ ${\displaystyle (5)(2)}$
• В векторном умножении существует различие между символами креста и точки. Символ креста обычно обозначает взятие векторного произведения двух векторов , дающего вектор в качестве результата, тогда как точка обозначает взятие скалярного произведения двух векторов, дающего скаляр .

В программировании звёздочка (как в ) по-прежнему является наиболее распространённой нотацией. Это связано с тем, что исторически большинство компьютеров были ограничены небольшими наборами символов (такими как ASCII и EBCDIC ), в которых отсутствовал знак умножения (например, или ), в то время как звёздочка появилась на каждой клавиатуре. ^{[ необходима цитата ]} Такое использование возникло в языке программирования FORTRAN . ^[9]5*2⋅×

Числа, которые нужно умножить, обычно называются «множителями» (как в разложении на множители ). Число, которое нужно умножить, называется «множимым», а число, на которое оно умножается, — «множителем». Обычно множимое ставится первым, а множитель — вторым; ^[10] однако иногда первый множитель — это множитель, а второй — множимое. ^[1] Кроме того, поскольку результат умножения не зависит от порядка множителей, различие между «множимым» и «множителем» полезно только на самом элементарном уровне и в некоторых алгоритмах умножения , таких как длинное умножение . Поэтому в некоторых источниках термин «множимое» рассматривается как синоним «множителя». ^[11] В алгебре число, которое является множителем переменной или выражения (например, 3 в ), называется коэффициентом . ${\displaystyle 3xy^{2}}$

Результат умножения называется произведением . Когда один множитель является целым числом, произведение является кратным другому или произведению других. Таким образом, является кратным , как и . Произведение целых чисел является кратным каждому множителю; например, 15 является произведением 3 и 5 и является как кратным 3, так и кратным 5. ${\displaystyle 2\times \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 5133\times 486\times \pi }$

Определения

Произведение двух чисел или умножение двух чисел можно определить для общих частных случаев: натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел, действительных чисел, комплексных чисел и кватернионов.

Произведение двух натуральных чисел

3 на 4 равно 12.

Произведение двух натуральных чисел определяется как: ${\displaystyle r,s\in \mathbb {N} }$

$${\displaystyle r\cdot s\equiv \sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ times}}}\equiv \sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ times}}}.}$$

Произведение двух целых чисел

Целое число может быть либо нулем, либо ненулевым натуральным числом, либо минус ненулевым натуральным числом. Произведение нуля и другого целого числа всегда равно нулю. Произведение двух ненулевых целых чисел определяется произведением их положительных сумм , объединенных со знаком, полученным из следующего правила:

$${\displaystyle {\begin{array}{|c|c c|}\hline \times &+&-\\\hline +&+&-\\-&-&+\\\hline \end{array}}}$$(Это правило является следствием дистрибутивности умножения относительно сложения и не является дополнительным правилом .)

Проще говоря:

• Положительное число, умноженное на положительное число, является положительным (произведением натуральных чисел),
• Положительное число, умноженное на отрицательное число, дает отрицательное число,
• Отрицательное число, умноженное на положительное число, является отрицательным,
• Отрицательное число, умноженное на отрицательное число, дает положительное число.

Произведение двух дробей

Две дроби можно умножить, перемножив их числители и знаменатели:

$${\displaystyle {\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}},}$$

который определяется, когда . ${\displaystyle n,n'\neq 0}$

Произведение двух действительных чисел

Существует несколько эквивалентных способов формального определения действительных чисел; см. Построение действительных чисел . Определение умножения является частью всех этих определений.

Фундаментальным аспектом этих определений является то, что каждое действительное число может быть приближено с любой точностью рациональными числами . Стандартный способ выражения этого заключается в том, что каждое действительное число является наименьшей верхней границей множества рациональных чисел. В частности, каждое положительное действительное число является наименьшей верхней границей усечений его бесконечного десятичного представления ; например, является наименьшей верхней границей ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{3,\;3.1,\;3.14,\;3.141,\ldots \}.}$

Фундаментальным свойством действительных чисел является то, что рациональные приближения совместимы с арифметическими операциями , и, в частности, с умножением. Это означает, что если a и b — положительные действительные числа, такие что и тогда В частности, произведение двух положительных действительных чисел является наименьшей верхней границей почленных произведений последовательностей их десятичных представлений. ${\displaystyle a=\sup _{x\in A}x}$ ${\displaystyle b=\sup _{y\in B}y,}$ ${\displaystyle a\cdot b=\sup _{x\in A,y\in B}x\cdot y.}$

Поскольку изменение знаков преобразует наименьшие верхние границы в наибольшие нижние границы, простейший способ справиться с умножением, включающим одно или два отрицательных числа, — это использовать правило знаков, описанное выше в § Произведение двух целых чисел. Построение действительных чисел с помощью последовательностей Коши часто является предпочтительным, чтобы избежать рассмотрения четырех возможных конфигураций знаков.

Произведение двух комплексных чисел

Два комплексных числа можно умножить, используя распределительный закон и тот факт, что , следующим образом: ${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\,i\cdot c+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}}$

Комплексное число в полярных координатах

Геометрический смысл комплексного умножения можно понять, переписав комплексные числа в полярных координатах :

${\displaystyle a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }}$

Более того,

${\displaystyle c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },}$

из которого получается

${\displaystyle (a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.}$

Геометрический смысл состоит в том, что величины умножаются, а аргументы складываются.

Произведение двух кватернионов

Произведение двух кватернионов можно найти в статье о кватернионах . Обратите внимание, что в данном случае и в общем случае различны. ${\displaystyle a\cdot b}$ ${\displaystyle b\cdot a}$

Вычисление

Образованная обезьяна — жестяная игрушка 1918 года, использовалась как «калькулятор» для умножения. Например: установите ноги обезьяны на 4 и 9 и получите результат — 36 — в ее руках.

Многие распространенные методы умножения чисел с помощью карандаша и бумаги требуют таблицы умножения запомненных или проверенных произведений небольших чисел (обычно любых двух чисел от 0 до 9). Однако один метод, алгоритм крестьянского умножения , этого не делает. Пример ниже иллюстрирует «умножение в длину» («стандартный алгоритм», «умножение в начальной школе»):

 23958233× 5830——————————————— 00000000 ( = 23,958,233 × 0) 71874699 (= 23 958 233 × 30) 191665864 (= 23 958 233 × 800)+ 119791165 (= 23 958 233 × 5 000)——————————————— 139676498390 (= 139 676 498 390)

В некоторых странах, например, в Германии , указанное выше умножение изображается аналогичным образом, но исходное произведение располагается горизонтально, а вычисление начинается с первой цифры множителя: ^[12]

23958233 · 5830——————————————— 119791165 191665864 71874699 00000000——————————————— 139676498390

Умножение чисел вручную до более чем пары знаков после запятой утомительно и подвержено ошибкам. Обыкновенные логарифмы были изобретены для упрощения таких вычислений, поскольку сложение логарифмов эквивалентно умножению. Логарифмическая линейка позволяла быстро умножать числа примерно до трех знаков после запятой. Начиная с начала 20-го века механические калькуляторы , такие как Marchant , автоматизировали умножение чисел длиной до 10 цифр. Современные электронные компьютеры и калькуляторы значительно сократили необходимость умножения вручную.

Исторические алгоритмы

^{Методы умножения были описаны} в трудах древнеегипетской , греческой, ^{индийской и} китайской цивилизаций .

Кость Ишанго , датируемая примерно 18 000–20 000 гг. до н. э., может указывать на знание умножения в эпоху верхнего палеолита в Центральной Африке , но это предположение. ^{[13] [ требуется проверка ]}

египтяне

Египетский метод умножения целых чисел и дробей, который описан в математическом папирусе Райнда , заключался в последовательных сложениях и удвоениях. Например, чтобы найти произведение 13 и 21, нужно было удвоить 21 три раза, получив 2 × 21 = 42 , 4 × 21 = 2 × 42 = 84 , 8 × 21 = 2 × 84 = 168. Затем можно было найти полное произведение, добавив соответствующие члены, найденные в последовательности удвоения: ^[14]

13×21 = (1+4+8)×21 = (1×21) + (4×21) + (8×21) = 21 + 84 + 168 = 273.

Вавилоняне

Вавилоняне использовали шестидесятеричную позиционную систему счисления , аналогичную современной десятичной системе . Таким образом, вавилонское умножение было очень похоже на современное десятичное умножение. Из-за относительной сложности запоминания 60 × 60 различных произведений вавилонские математики использовали таблицы умножения . Эти таблицы состояли из списка первых двадцати кратных определенного главного числа n : n , 2 n , ..., 20 n ; за которыми следовали кратные 10 n : 30 n, 40 n и 50 n . Затем, чтобы вычислить любое шестидесятеричное произведение, скажем, 53 n , нужно было только сложить 50 n и 3 n, вычисленные по таблице. ^{[ требуется цитата ]}

китайский

38 × 76 = 2888

В математическом тексте Чжоуби Суаньцзин , датированном до 300 г. до н. э., и в Девяти главах о математическом искусстве , вычисления умножения были записаны словами, хотя ранние китайские математики использовали исчисление Рода, включающее сложение, вычитание, умножение и деление по разрядам. Китайцы уже использовали десятичную таблицу умножения к концу периода Воюющих царств . ^[15]

Современные методы

Произведение 45 и 256. Обратите внимание, что порядок цифр в 45 обратный в левом столбце. Шаг переноса умножения может быть выполнен на заключительном этапе вычисления (выделен жирным шрифтом), возвращая окончательное произведение 45 × 256 = 11520. Это вариант решеточного умножения .

Современный метод умножения, основанный на индо-арабской системе счисления, был впервые описан Брахмагуптой . Брахмагупта дал правила сложения, вычитания, умножения и деления. Генри Берчард Файн , тогда профессор математики в Принстонском университете , написал следующее:

Индейцы являются изобретателями не только самой позиционной десятичной системы, но и большинства процессов, связанных с элементарными расчетами в этой системе. Сложение и вычитание они выполняли точно так же, как и в наши дни; умножение они осуществляли многими способами, в том числе и нашими, но деление они делали громоздко. ^[16]

Эти алгоритмы десятичных арифметических чисел были введены в арабские страны Аль-Хорезми в начале IX века и популяризированы в западном мире Фибоначчи в XIII веке. ^[17]

Метод сетки

Метод умножения сетки , или метод ящика, используется в начальных школах Англии и Уэльса, а также в некоторых районах ^{[ каких? ]} Соединенных Штатов, чтобы помочь научить пониманию того, как работает умножение многозначных чисел. Примером умножения 34 на 13 будет размещение чисел в сетке следующим образом:

а затем добавьте записи.

Компьютерные алгоритмы

Классический метод умножения двух n -значных чисел требует n ^{двузначных} умножений. Были разработаны алгоритмы умножения , которые значительно сокращают время вычислений при умножении больших чисел. Методы, основанные на дискретном преобразовании Фурье, снижают вычислительную сложность до O ( n log n log log n ) . В 2016 году множитель log log n был заменен функцией, которая увеличивается гораздо медленнее, хотя все еще не является постоянной. ^[18] В марте 2019 года Дэвид Харви и Йорис ван дер Хувен представили статью, в которой представлен алгоритм умножения целых чисел со сложностью ^[19] Предполагается, что алгоритм, также основанный на быстром преобразовании Фурье, является асимптотически оптимальным. ^[20] Алгоритм не имеет практической пользы, поскольку он становится быстрее только при умножении чрезвычайно больших чисел (имеющих более 2 ^{1729 12} бит). ^[21] ${\displaystyle O(n\log n).}$

Продукты измерений

Можно осмысленно складывать или вычитать только количества одного типа, но количества разных типов можно умножать или делить без проблем. Например, четыре мешка с тремя шариками в каждом можно рассматривать как: ^[1]

[4 мешка] × [3 шарика в мешке] = 12 шариков.

Когда два измерения умножаются вместе, продукт имеет тип, зависящий от типов измерений. Общая теория дается анализом размерностей . Этот анализ обычно применяется в физике, но он также имеет приложения в финансах и других прикладных областях.

Распространенным примером в физике является тот факт, что умножение скорости на время дает расстояние . Например:

50 километров в час × 3 часа = 150 километров.

В этом случае единицы измерения часов сокращаются, и в продукте остаются только единицы измерения километров.

Другие примеры умножения с участием единиц включают:

2,5 метра × 4,5 метра = 11,25 квадратных метров

11 метров/секунд × 9 секунд = 99 метров

4,5 жителя на дом × 20 домов = 90 жителей

Продукт последовательности

Заглавная цифра «пи»

Произведение последовательности множителей можно записать с помощью символа произведения , который происходит от заглавной буквы Π (пи) в греческом алфавите (подобно тому, как символ суммы происходит от греческой буквы Σ (сигма)). ^{[22] [23]} Значение этой записи определяется следующим образом: ${\displaystyle \textstyle \prod }$ ${\displaystyle \textstyle \sum }$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{4}(i+1)=(1+1)\,(2+1)\,(3+1)\,(4+1),}$

что приводит к

${\displaystyle \prod _{i=1}^{4}(i+1)=120.}$

В такой записи переменная i представляет собой изменяющееся целое число , называемое индексом умножения, которое изменяется от нижнего значения 1, указанного в нижнем индексе, до верхнего значения 4, указанного в верхнем индексе. Произведение получается путем умножения всех множителей, полученных путем замены индекса умножения на целое число между нижним и верхним значениями (включая границы) в выражении, которое следует за оператором произведения.

В более общем смысле обозначение определяется как

${\displaystyle \prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n},}$

где m и n — целые числа или выражения, которые оцениваются как целые числа. В случае, когда m = n , значение произведения такое же, как и у одного множителя x _m ; если m > n , произведение является пустым произведением , значение которого равно 1 — независимо от выражения для множителей.

Свойства записи заглавной буквы «пи»

По определению,

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}.}$

Если все множители идентичны, произведение n множителей эквивалентно возведению в степень :

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot \ldots \cdot x=x^{n}.}$

Ассоциативность и коммутативность умножения подразумевают

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\right)}$и

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{a}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a}}$

если a — неотрицательное целое число или если все являются положительными действительными числами , и ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x^{a_{i}}=x^{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}$

если все являются неотрицательными целыми числами или если x является положительным действительным числом. ${\displaystyle a_{i}}$

Бесконечное количество продуктов

Можно также рассматривать произведения бесконечного числа членов; они называются бесконечными произведениями . Обозначительно это заключается в замене n выше на символ бесконечности ∞. Произведение такой бесконечной последовательности определяется как предел произведения первых n членов, поскольку n растет без ограничений. То есть,

${\displaystyle \prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.}$

Аналогично можно заменить m на отрицательную бесконечность и определить:

${\displaystyle \prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),}$

при условии, что оба предела существуют. ^{[ необходима цитата ]}

Возведение в степень

Когда умножение повторяется, результирующая операция известна как возведение в степень . Например, произведение трех множителей двух (2×2×2) — это «два, возведенные в третью степень», и обозначается как 2 ³ , два с верхним индексом три. В этом примере число два является основанием , а три — показателем степени . ^[24] В общем случае показатель степени (или верхний индекс) указывает, сколько раз основание появляется в выражении, так что выражение

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}=\prod _{i=1}^{n}a}$

указывает, что n копий основания a должны быть умножены вместе. Эта нотация может использоваться всякий раз, когда известно, что умножение является ассоциативным по мощности .

Характеристики

Умножение чисел от 0 до 10. Метки линий = множимое. Ось X  = множитель. Ось Y  = произведение.
Расширение этой модели на другие квадранты дает причину, по которой отрицательное число, умноженное на отрицательное число, дает положительное число.
Обратите внимание также на то, как умножение на ноль приводит к уменьшению размерности, как и умножение на сингулярную матрицу , где определитель равен 0. В этом процессе информация теряется и не может быть восстановлена.

Для действительных и комплексных чисел, к которым относятся, например, натуральные числа , целые числа и дроби , умножение имеет определенные свойства:

Свойство коммутативности

Порядок, в котором перемножаются два числа, не имеет значения: ^{[25] [26]}

${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x.}$

Ассоциативное свойство

Выражения, включающие только умножение или сложение, инвариантны относительно порядка операций : ^{[25] [26]}

${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z).}$

Распределительная собственность

Справедливо по отношению к умножению над сложением. Это тождество имеет первостепенное значение для упрощения алгебраических выражений: ^{[25] [26]}

${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z.}$

Элемент идентичности

Мультипликативное тождество равно 1; все, что умножается на 1, равно самому себе. Эта особенность 1 известна как свойство тождества : ^{[25] [26]}

${\displaystyle x\cdot 1=x.}$

Собственность 0

Любое число, умноженное на 0, равно 0. Это известно как нулевое свойство умножения: ^[25]

${\displaystyle x\cdot 0=0.}$

Отрицание

−1, умноженное на любое число, равно аддитивному обратному числу этого числа:

${\displaystyle (-1)\cdot x=(-x)}$, где ${\displaystyle (-x)+x=0.}$

−1 умножить на −1 равно 1:

${\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1.}$

Обратный элемент

Каждое число x , за исключением 0 , имеет мультипликативное обратное число , , такое, что . ^[27] ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1}$

Сохранение заказа

Умножение на положительное число сохраняет порядок :

Для a > 0 , если b > c , то ab > ac .

Умножение на отрицательное число меняет порядок на обратный:

Для a < 0 , если b > c , то ab < ac .

Комплексные числа не имеют порядка, совместимого как со сложением, так и с умножением. ^[28]

Другие математические системы, включающие операцию умножения, могут не обладать всеми этими свойствами. Например, умножение, в общем случае, не является коммутативным для матриц и кватернионов . ^[25] Теорема Гурвица показывает, что для гиперкомплексных чисел размерности 8 или больше, включая октонионы , седенионы и тригинтадуонионы , умножение, как правило, не является ассоциативным. ^[29]

Аксиомы

В книге Arithmetices principia, nova methodo exposita Джузеппе Пеано предложил аксиомы для арифметики, основанные на его аксиомах для натуральных чисел. Арифметика Пеано имеет две аксиомы для умножения:

${\displaystyle x\times 0=0}$

${\displaystyle x\times S(y)=(x\times y)+x}$

Здесь S ( y ) представляет собой преемника y ; т. е. натуральное число, которое следует за y . Различные свойства, такие как ассоциативность, могут быть доказаны из этих и других аксиом арифметики Пеано, включая индукцию . Например, S ( 0), обозначенное как 1, является мультипликативным тождеством, потому что

${\displaystyle x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x.}$

Аксиомы для целых чисел обычно определяют их как классы эквивалентности упорядоченных пар натуральных чисел. Модель основана на обработке ( x , y ) как эквивалентных x − y , когда x и y рассматриваются как целые числа. Таким образом, и (0,1), и (1,2) эквивалентны −1. Аксиома умножения для целых чисел, определяемая таким образом, имеет вид

${\displaystyle (x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p}).}$

Правило, что −1 × −1 = 1, можно вывести из

${\displaystyle (0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0).}$

Умножение распространяется аналогичным образом на рациональные числа , а затем на действительные числа . ^{[ необходима ссылка ]}

Умножение с теорией множеств

Произведение неотрицательных целых чисел можно определить с помощью теории множеств, используя кардинальные числа или аксиомы Пеано . Ниже показано, как расширить это на умножение произвольных целых чисел, а затем произвольных рациональных чисел. Произведение действительных чисел определяется в терминах произведений рациональных чисел; см. построение действительных чисел . ^[30]

Умножение в теории групп

Существует много множеств, которые при операции умножения удовлетворяют аксиомам, определяющим структуру группы . Эти аксиомы — замыкание, ассоциативность и включение единичного элемента и обратных.

Простым примером является множество ненулевых рациональных чисел . Здесь имеется тождество 1, в отличие от групп при сложении, где тождество обычно равно 0. Обратите внимание, что в случае с рациональными числами ноль должен быть исключен, поскольку при умножении он не имеет обратного: нет рационального числа, которое можно умножить на ноль, чтобы получить 1. В этом примере имеется абелева группа , но это не всегда так.

Чтобы увидеть это, рассмотрим множество обратимых квадратных матриц заданной размерности над заданным полем . Здесь легко проверить замыкание, ассоциативность и включение тождества ( тождественной матрицы ) и обратных. Однако умножение матриц не является коммутативным, что показывает, что эта группа неабелева.

Другой факт, на который стоит обратить внимание, заключается в том, что целые числа при умножении не образуют группу, даже если исключить ноль. Это легко увидеть по отсутствию обратного числа для всех элементов, кроме 1 и −1.

Умножение в теории групп обычно обозначается либо точкой, либо сопоставлением (пропуском символа операции между элементами). Так, умножение элемента a на элемент b можно обозначить как a b или ab . При ссылке на группу через указание множества и операции используется точка. Например, наш первый пример можно обозначить как . ^[31] ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} /\{0\},\,\cdot \right)}$

Умножение различных видов чисел

Числа можно считать (3 яблока), упорядочивать (3-е яблоко) или измерять (3,5 фута в высоту); по мере того, как история математики развивалась от счета на пальцах до моделирования квантовой механики, умножение было обобщено на более сложные и абстрактные типы чисел, а также на вещи, которые не являются числами (например, матрицы ) или не очень похожи на числа (например, кватернионы ).

Целые числа

${\displaystyle N\times M}$это сумма N копий M , когда N и M — положительные целые числа. Это дает количество вещей в массиве шириной N и высотой M. Обобщение на отрицательные числа можно сделать с помощью

${\displaystyle N\times (-M)=(-N)\times M=-(N\times M)}$и

${\displaystyle (-N)\times (-M)=N\times M}$

К рациональным и действительным числам применяются одни и те же правила знаков.

Рациональные числа

Обобщение дробей осуществляется путем умножения числителей и знаменателей соответственно: . Это дает площадь прямоугольника в высоту и ширину, и это то же самое, что и количество вещей в массиве, когда рациональные числа оказываются целыми числами. ^[25] ${\displaystyle {\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}}$ ${\displaystyle {\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}}$ ${\displaystyle {\frac {A}{B}}}$ ${\displaystyle {\frac {C}{D}}}$

Реальные цифры

Действительные числа и их произведения можно определить через последовательности рациональных чисел .

Комплексные числа

Рассматривая комплексные числа и как упорядоченные пары действительных чисел и , произведение равно . Это то же самое, что и для действительных чисел , когда мнимые части и равны нулю. ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$ ${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$ ${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$ ${\displaystyle z_{1}\times z_{2}}$ ${\displaystyle (a_{1}\times a_{2}-b_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{2}+a_{2}\times b_{1})}$ ${\displaystyle a_{1}\times a_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}}$

Эквивалентно, обозначая как , ^[25] ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle z_{1}\times z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}\times a_{2})+(a_{1}\times b_{2}i)+(b_{1}\times a_{2}i)+(b_{1}\times b_{2}i^{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i.}$

Альтернативно, в тригонометрической форме, если , то ^[25] ${\displaystyle z_{1}=r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1}),z_{2}=r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})}$ ${\textstyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2})).}$

Дальнейшие обобщения

См. Умножение в теории групп выше и мультипликативную группу , которая, например, включает матричное умножение. Очень общее и абстрактное понятие умножения — это как «мультипликативно обозначенная» (вторая) бинарная операция в кольце . Примером кольца, которое не является ни одной из вышеперечисленных систем счисления, является кольцо многочленов (многочлены можно складывать и умножать, но многочлены не являются числами в каком-либо обычном смысле).

Разделение

Часто деление, , то же самое, что и умножение на обратную величину, . Умножение для некоторых типов «чисел» может иметь соответствующее деление без обратных величин; в целостной области x может не иметь обратных « », но может быть определено. В кольце с делением есть обратные величины, но могут быть неоднозначными в некоммутативных кольцах, поскольку не обязательно должны быть такими же, как . ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$ ${\displaystyle x\left({\frac {1}{y}}\right)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$ ${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$ ${\displaystyle x\left({\frac {1}{y}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\frac {1}{y}}\right)x}$

Смотрите также

• Анализ размеров
• Алгоритм умножения
  • Алгоритм Карацубы для больших чисел
  • Умножение Тоома–Кука для очень больших чисел
  • Алгоритм Шёнхаге – Штрассена для огромных чисел.
• Таблица умножения
• Двоичный множитель , как умножают компьютеры
  • Алгоритм умножения Бута
  • Арифметика с плавающей точкой
  • Операция умножения-накопления
    • Слитое умножение-сложение
  • дерево Уоллеса
• Мультипликативная обратная величина , обратная величина
• Факториал
• Линейки Женайля–Люкаса
• Лунная арифметика
• кости Нейпира
• Крестьянское умножение
• Продукт (математика) , для обобщений
• Логарифмическая линейка

Ссылки

1. Devlin, Keith (январь 2011). "What Exactly is Multiplication?". Mathematical Association of America . Архивировано из оригинала 2017-05-27 . Получено 2017-05-14 . При умножении у вас есть множимое (пишется вторым) умноженное на множитель (пишется первым)
2. Khan Academy (2015-08-14), Введение в умножение | Умножение и деление | Арифметика | Khan Academy, заархивировано из оригинала 2017-03-24 , извлечено 2017-03-07
3. Khan Academy (2012-09-06), Почему мы не используем знак умножения? | Введение в алгебру | Алгебра I | Khan Academy, заархивировано из оригинала 2017-03-27 , извлечено 2017-03-07
4. "Победа по очкам". Nature . 218 (5137): 111. 1968. Bibcode : 1968Natur.218S.111.. doi : 10.1038/218111c0 .
5. "The Lancet – Руководство по форматированию для электронной подачи рукописей" (PDF) . Получено 25.04.2017 .
6. Анонсируем TI Programmable 88! (PDF) . Texas Instruments . 1982. Архивировано (PDF) из оригинала 2017-08-03 . Получено 2017-08-03 . Теперь подразумеваемое умножение распознается AOS , и функции квадратного корня, логарифмические и тригонометрические функции могут сопровождаться их аргументами, как при работе с карандашом и бумагой.(Примечание. TI-88 существовал только в качестве прототипа и никогда не был представлен публике.)
7. Петерсон, Дэйв (2019-10-14). «Порядок операций: неявное умножение?». Алгебра / PEMDAS. The Math Doctors. Архивировано из оригинала 2023-09-24 . Получено 2023-09-25 .
8. Петерсон, Дэйв (2023-08-18). «Подразумеваемое умножение 1: не так плохо, как вы думаете». Алгебра / Неоднозначность, PEMDAS. The Math Doctors. Архивировано из оригинала 2023-09-24 . Получено 2023-09-25; Петерсон, Дэйв (2023-08-25). «Подразумеваемое умножение 2: есть ли стандарт?». Алгебра, арифметика / неоднозначность, PEMDAS. The Math Doctors. Архивировано из оригинала 2023-09-24 . Получено 2023-09-25; Петерсон, Дэйв (2023-09-01). «Подразумеваемое умножение 3: вы не можете это доказать». Алгебра / PEMDAS. The Math Doctors. Архивировано из оригинала 2023-09-24 . Получено 2023-09-25 .
9. Фуллер, Уильям Р. (1977). Программирование на ФОРТРАНЕ: Дополнение к курсам исчисления. Universitext. Springer. стр. 10. doi :10.1007/978-1-4612-9938-7. ISBN 978-0-387-90283-8.
10. Рамон, Крютон. «Множитель и множитель». Crewton Ramone's House of Math. Архивировано из оригинала 2015-10-26 . Получено 2015-11-10 ..
11. Литвин, Честер (2012). Advance Brain Stimulation by Psychoconduction. Trafford. С. 2–3, 5–6. ISBN 978-1-4669-0152-0– через Поиск книг Google .
12. "Умножение". mathematische-basteleien.de . Получено 2022-03-15 .
13. Плецер, Владимир (2012-04-04). «Указывает ли кость Ишанго на знание основания 12? Интерпретация доисторического открытия, первого математического инструмента человечества». arXiv : 1204.1019 [math.HO].
14. "Крестьянское умножение". cut-the-knot.org . Получено 29.12.2021 .
15. Qiu, Jane (2014-01-07). "Древняя таблица времен, скрытая в китайских бамбуковых полосках". Nature . doi : 10.1038/nature.2014.14482 . S2CID  130132289. Архивировано из оригинала 2014-01-22 . Получено 2014-01-22 .
16. Файн, Генри Б. (1907). Система чисел в алгебре – теоретически и исторически рассмотренная (PDF) (2-е изд.). С. 90.
17. Бернхард, Адриенна. «Как современная математика возникла из потерянной исламской библиотеки». bbc.com . Получено 22.04.2022 .
18. Харви, Дэвид; ван дер Хувен, Йорис; Лесерф, Грегуар (2016). «Еще быстрее целочисленное умножение». Журнал сложности . 36 : 1–30. arXiv : 1407.3360 . дои : 10.1016/j.jco.2016.03.001. ISSN  0885-064X. S2CID  205861906.
19. Дэвид Харви, Йорис Ван дер Хувен (2019). Целочисленное умножение за время O(n log n) Архивировано 08.04.2019 на Wayback Machine
20. Хартнетт, Кевин (2019-04-11). «Математики открывают идеальный способ умножения». Журнал Quanta . Получено 25-01-2020 .
21. Кларрайх, Эрика. «Умножение достигает предела скорости». cacm.acm.org . Архивировано из оригинала 2020-10-31 . Получено 2020-01-25 .
22. Weisstein, Eric W. "Product". mathworld.wolfram.com . Получено 16.08.2020 .
23. "Обозначение суммирования и произведения". math.illinoisstate.edu . Получено 16.08.2020 .
24. Weisstein, Eric W. "Exponentiation". mathworld.wolfram.com . Получено 29.12.2021 .
25. "Умножение". Энциклопедия математики . Получено 29.12.2021 .
26. Биггс, Норман Л. (2002). Дискретная математика . Oxford University Press. стр. 25. ISBN 978-0-19-871369-2.
27. Weisstein, Eric W. "Multiplicative Inverse". Wolfram MathWorld . Получено 2022-04-19 .
28. Энджелл, Дэвид. «УПОРЯДОЧИВАНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ... НЕ*» (PDF) . UNSW Sydney, School of Mathematics and Statistics . Получено 29.12.2021 .
29. Кавагас, Рауль Э.; Карраскаль, Александр С.; Баутиста, Линкольн А.; Мария, Джон П. Ста; Уррутия, Джеки Д.; Дворяне, Бернадет (2009). «Структура подалгебры алгебры Кэли-Диксона размерности 32 (тригинтадуонион)». arXiv : 0907.2047v3 . doi : 10.48550/arXiv.0907.2047.
30. "10.2: Построение действительных чисел". Mathematics LibreTexts . 2018-04-11 . Получено 2023-06-23 .
31. Бернс, Джеральд (1977). Введение в теорию групп с приложениями . Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 9780121457501.

Дальнейшее чтение

• Boyer, Carl B. (редактор Merzbach, Uta C. ) (1991). История математики . John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Внешние ссылки

• Умножение и арифметические операции в различных системах счисления на cut-the-knot
• Современные китайские методы умножения на абаке