Додекаэдр

Многогранник с 12 гранями

В геометрии додекаэдр (от древнегреческого δωδεκάεδρον ( dōdekáedron ) ; от δώδεκα ( dṓdeka )  «двенадцать» и ἕδρα ( hédra )  «основание, сиденье, грань») или дуодекаэдр ^[1] — это любой многогранник с двенадцатью плоскими гранями. Наиболее известным додекаэдром является правильный додекаэдр с правильными пятиугольниками в качестве граней, который является Платоновым телом . Существуют также три правильных звездчатых додекаэдра , которые построены как звёздчатые формы выпуклой формы. Все они имеют икосаэдрическую симметрию порядка 120.

Некоторые додекаэдры имеют ту же комбинаторную структуру, что и правильный додекаэдр (с точки зрения графа, образованного его вершинами и ребрами), но их пятиугольные грани не являются правильными: пиритоэдр, распространенная кристаллическая форма пирита , имеет пиритоэдрическую симметрию , в то время как тетраэдроид имеет тетраэдрическую симметрию .

Ромбический додекаэдр можно рассматривать как предельный случай пиритоэдра, и он имеет октаэдрическую симметрию . Удлиненные додекаэдрические и трапециевидно-ромбические додекаэдрические вариации, наряду с ромбическими додекаэдрами, являются заполняющими пространство . Существует множество других додекаэдров.

Хотя правильный додекаэдр имеет много общих черт с другими Платоновыми телами, его уникальным свойством является то, что можно начать с угла поверхности и провести через фигуру бесконечное количество прямых линий, которые вернутся в исходную точку, не пересекая никаких других углов. ^[2]

Правильный додекаэдр

Выпуклый правильный додекаэдр является одним из пяти правильных Платоновых тел и может быть представлен символом Шлефли {5, 3}.

Двойственный многогранник — это правильный икосаэдр {3, 5}, имеющий пять равносторонних треугольников вокруг каждой вершины.

Выпуклый правильный додекаэдр также имеет три звездчатые формы , все из которых являются правильными звездчатыми додекаэдрами. Они образуют три из четырех многогранников Кеплера–Пуансо . Это малый звездчатый додекаэдр {5/2, 5}, большой додекаэдр {5, 5/2} и большой звездчатый додекаэдр {5/2, 3}. Малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр являются двойственными друг другу; большой звездчатый додекаэдр является двойственным большому икосаэдру {3, 5/2}. Все эти правильные звездчатые додекаэдры имеют правильные пятиугольные или пентаграммные грани. Выпуклый правильный додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр являются различными реализациями одного и того же абстрактного правильного многогранника ; малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр являются различными реализациями другого абстрактного правильного многогранника.

Другие пентагональные додекаэдры

В кристаллографии два важных додекаэдра могут встречаться как кристаллические формы в некоторых классах симметрии кубической кристаллической системы , которые топологически эквивалентны правильному додекаэдру, но менее симметричны: пиритоэдр с пиритоэдрической симметрией и тетраэдроид с тетраэдрической симметрией :

Пиритоэдр

Пиритоэдр — это додекаэдр с пиритоэдрической (T _h ) симметрией. Как и правильный додекаэдр , он имеет двенадцать идентичных пятиугольных граней, по три из которых встречаются в каждой из 20 вершин (см. рисунок). [ ^3] Однако пятиугольники не ограничены тем, чтобы быть правильными, и лежащее в основе атомное расположение не имеет истинной оси симметрии пятого порядка. Его 30 ребер разделены на два набора, содержащие 24 и 6 ребер одинаковой длины. Единственными осями вращательной симметрии являются три взаимно перпендикулярные оси второго порядка и четыре оси третьего порядка.

Хотя правильные додекаэдры не существуют в кристаллах, форма пиритоэдра встречается в кристаллах минерала пирита , и она может быть вдохновением для открытия правильной формы Платоновых тел . Настоящий правильный додекаэдр может встречаться как форма для квазикристаллов (таких как квазикристалл гольмия-магния-цинка ) с икосаэдрической симметрией , которая включает истинные оси вращения пятого порядка.

Двойные позиции в моделях кристаллов пирита

Кристаллический пирит

Название кристаллического пирита происходит от одной из двух распространенных кристаллических форм, демонстрируемых пиритом (другая — куб ). В пиритоэдрическом пирите грани имеют индекс Миллера (210), что означает, что двугранный угол равен 2·arctan(2) ≈ 126,87°, а каждая пятиугольная грань имеет один угол приблизительно 121,6° между двумя углами приблизительно 106,6° и противолежащими двумя углами приблизительно 102,6°. Следующие формулы показывают измерения для грани идеального кристалла (который редко встречается в природе).

${\displaystyle {\text{Height}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\cdot {\text{Long side}}}$

${\displaystyle {\text{Width}}={\frac {4}{3}}\cdot {\text{Long side}}}$

${\displaystyle {\text{Short sides}}={\sqrt {\frac {7}{12}}}\cdot {\text{Long side}}}$

Декартовы координаты

Восемь вершин куба имеют координаты (±1, ±1, ±1).

Координаты 12 дополнительных вершин равны ( 0, ±(1 + h ), ±(1 − h ² ) ) , ( ±(1 + h ), ±(1 − h ² ), 0 ) и ( ±(1 − h ² ), 0, ±(1 + h ) ) .

h — высота клиновидной « крыши» над гранями этого куба с длиной ребра 2.

Важным случаем является h = ⁠1/2⁠ (четверть длины ребра куба) для идеального природного пирита (также пиритоэдра в структуре Уэйра–Фелана ).

Еще один — h = ⁠1/φ⁠ = 0,618... для правильного додекаэдра . См. раздел Геометрическая свобода для других случаев.

Два пиритоэдра с поменявшимися ненулевыми координатами находятся в двойственных положениях друг к другу, как додекаэдры в соединении двух додекаэдров .

Геометрическая свобода

Пиритоэдр имеет геометрическую степень свободы с предельными случаями кубической выпуклой оболочки на одном пределе коллинеарных ребер и ромбического додекаэдра в качестве другого предела, когда 6 ребер вырождаются до длины ноль. Правильный додекаэдр представляет собой особый промежуточный случай, где все ребра и углы равны.

Можно обойти эти предельные случаи, создавая вогнутые или невыпуклые пиритоэдры. Эндододекаэдр вогнутый и равносторонний; он может замостить пространство выпуклым правильным додекаэдром. Продолжая оттуда в этом направлении, мы проходим через вырожденный случай, когда двенадцать вершин совпадают в центре, и далее к правильному большому звездчатому додекаэдру , где все ребра и углы снова равны, а грани искажены в правильные пентаграммы . С другой стороны, за ромбическим додекаэдром, мы получаем невыпуклый равносторонний додекаэдр с самопересекающимися равносторонними пятиугольными гранями в форме рыбы.

Тетартоидный

Тетартоид (также тетрагональный пентагональный додекаэдр , пентагон-тритетраэдр и тетраэдрический пентагон додекаэдр ) — это додекаэдр с хиральной тетраэдрической симметрией (T). Как и правильный додекаэдр , он имеет двенадцать одинаковых пятиугольных граней, по три из которых встречаются в каждой из 20 вершин. Однако пятиугольники не являются правильными, и фигура не имеет осей симметрии пятого порядка.

Хотя правильные додекаэдры не существуют в кристаллах, тетратоидная форма существует. Название тетратоид происходит от греческого корня, означающего «одна четвертая», поскольку он имеет одну четвертую часть полной октаэдрической симметрии и половину пиритоэдрической симметрии. ^[4] Минерал кобальтит может иметь эту форму симметрии. ^[5]

Абстракции, разделяющие топологию и симметрию твердого тела, могут быть созданы из куба и тетраэдра. В кубе каждая грань делится пополам наклонным ребром. В тетраэдре каждое ребро делится на три части, и каждая из новых вершин соединяется с центром грани. (В нотации многогранника Конвея это гироскопический тетраэдр.)

Декартовы координаты

Следующие точки являются вершинами тетраэдрического пятиугольника с тетраэдрической симметрией :

( а , б , в ); (− а , − б , в ); (− ⁠н/д ₁⁠ , − ⁠н/д ₁⁠ , ⁠н/д ₁⁠ ); (− с , − а , б ); (− ⁠н/д ₂⁠ , ⁠н/д ₂⁠ , ⁠н/д ₂⁠ ),

при следующих условиях: ^[6]

0 ≤ а ≤ б ≤ в ,

n = а ² с − bc ² ,

d ₁ знак равно а ² - ab + b ² + ac - 2 bc ,

d ₂ знак равно а ² + ab + b ² - ac - 2 bc ,

й ₁ д ₂ ≠ 0 .

Геометрическая свобода

Правильный додекаэдр — это тетратоид с симметрией, превышающей требуемую. Триакистетраэдр — это вырожденный случай с 12 ребрами нулевой длины. (В терминах цветов, использованных выше, это означает, что белые вершины и зеленые ребра поглощаются зелеными вершинами.)

Двойной треугольный гиробиантикупол

Форма с более низкой симметрией правильного додекаэдра может быть построена как двойственная многограннику, построенному из двух треугольных антикуполов, соединенных основанием к основанию, называемая треугольным гиробиантикуполом. Она имеет симметрию D _3d , порядок 12. Она имеет 2 набора из 3 одинаковых пятиугольников сверху и снизу, соединенных 6 пятиугольниками по сторонам, которые чередуются вверх и вниз. Эта форма имеет шестиугольное поперечное сечение, и идентичные копии могут быть соединены как частичные шестиугольные соты, но все вершины не будут совпадать.

Ромбический додекаэдр

Ромбический додекаэдр

Ромбический додекаэдр — это зоноэдр с двенадцатью ромбическими гранями и октаэдрической симметрией. Он дуален квазиправильному кубооктаэдру ( архимедову телу ) и встречается в природе в виде кристаллической формы. Ромбический додекаэдр упаковывается вместе, чтобы заполнить пространство.

Ромбический додекаэдр можно рассматривать как вырожденный пиритоэдр, в котором 6 особых ребер были сокращены до нулевой длины, что сводит пятиугольники к ромбическим граням.

Ромбический додекаэдр имеет несколько звездчатых форм , первая из которых также является параллелоэдрическим заполнителем пространства .

Другой важный ромбический додекаэдр, додекаэдр Билински , имеет двенадцать граней, конгруэнтных граням ромбического триаконтаэдра , то есть диагонали находятся в соотношении золотого сечения . Он также является зоноэдром и был описан Билински в 1960 году. ^[7] Эта фигура является еще одним заполнителем пространства и может также встречаться в непериодических заполнениях пространства вместе с ромбическим триаконтаэдром, ромбическим икосаэдром и ромбическими гексаэдрами. ^[8]

Другие додекаэдры

Существует 6 384 634 топологически различных выпуклых додекаэдров, исключая зеркальные отображения — число вершин варьируется от 8 до 20. ^[9] (Два многогранника являются «топологически различными», если они имеют внутренне различное расположение граней и вершин, так что невозможно преобразовать один в другой, просто изменив длины ребер или углы между ребрами или гранями.)

Топологически различные додекаэдры (исключая пентагональные и ромбические формы)

• Однородные многогранники:
  • Десятиугольная призма – 10 квадратов, 2 десятиугольника, симметрия D _10h , порядок 40.
  • Пятиугольная антипризма – 10 равносторонних треугольников, 2 пятиугольника, симметрия D _{5d , порядок 20}
• Джонсон солид (обычная поверхность):
  • Пятиугольный купол – 5 треугольников, 5 квадратов, 1 пятиугольник, 1 десятиугольник, симметрия C 5v , порядок 10
  • Плосконосый двуклиновидный – 12 треугольников, D 2d , порядок 8
  • Удлиненная квадратная дипирамида – 8 треугольников и 4 квадрата, симметрия D _{4h , порядок 16}
  • Метабиуменьшённый икосаэдр – 10 треугольников и 2 пятиугольника, симметрия C _{2v , порядок 4}
• Конгруэнтный неправильный гранный: ( грань-транзитивный )
  • Шестиугольная бипирамида – 12 равнобедренных треугольников , двойственных шестиугольной призме , симметрия D _{6h , порядок 24}
  • Шестиугольный трапецоэдр – 12 воздушных змеев , двойственный шестиугольной антипризме , симметрия D _{6d , порядок 24}
  • Триакистетраэдр – 12 равнобедренных треугольников, двойственных усеченному тетраэдру , симметрия T _{d , порядок 24}
• Другие, менее регулярные:
  • Одиннадцатиугольная пирамида – 11 равнобедренных треугольников и 1 правильный одиннадцатиугольник , C _11v , порядок 11
  • Трапециевидно-ромбический додекаэдр – 6 ромбов, 6 трапеций – двойственных треугольному ортобикуполу , симметрия D _{3h , порядок 12}
  • Ромбо-гексагональный додекаэдр или удлиненный додекаэдр – 8 ромбов и 4 равносторонних шестиугольника , симметрия D _{4h , порядок 16}
  • Усеченный пятиугольный трапецоэдр , D 5d , порядок 20, топологически эквивалентен правильному додекаэдру

Практическое использование

Арманд Шпиц использовал додекаэдр в качестве эквивалента «шара» для своего проектора планетария Digital Dome ^[10] , основываясь на предложении Альберта Эйнштейна .

Правильные додекаэдры иногда используются в качестве игральных костей, тогда они известны как d12, особенно в таких играх, как Dungeons and Dragons .

Смотрите также

• 120-ячейковый – правильный полихорон (4D-политоп), поверхность которого состоит из 120 додекаэдрических ячеек
• Braarudosphaera bigelowii - кокколитофор в форме додекаэдра( одноклеточная водоросль -фитопланктон ).
• Пентакисдодекаэдр
• Римский додекаэдр
• Плосконосый додекаэдр
• Усеченный додекаэдр

Ссылки

1. 1908 Словарь английского языка двадцатого века Чемберса, 1913 Пересмотренный несокращенный словарь Вебстера
2. Athreya, Jayadev S.; Aulicino, David; Hooper, W. Patrick (27 мая 2020 г.). «Platonic Solids and High Genus Covers of Lattice Surfaces». Experimental Mathematics . 31 (3): 847–877. arXiv : 1811.04131 . doi :10.1080/10586458.2020.1712564. S2CID  119318080.
3. Crystal Habit. Galleries.com. Получено 2016-12-02.
4. Датч, Стив. 48 особых кристаллических форм, архив 2013-09-18 в Wayback Machine . Естественные и прикладные науки, Университет Висконсина-Грин-Бей , США
5. Crystal Habit. Galleries.com. Получено 2016-12-02.
6. Тетартоид. Demonstrations.wolfram.com. Получено 2016-12-02.
7. Хафнер, И. и Зитко, Т. Введение в золотые ромбические многогранники. Факультет электротехники, Университет Любляны , Словения.
8. Лорд, EA; Ранганатан, S.; Кулкарни, UD (2000). «Мозаики, покрытия, кластеры и квазикристаллы». Curr. Sci . 78 : 64–72.
9. Подсчет многогранников. Numericana.com (31.12.2001). Получено 02.12.2016.
10. Лей, Вилли (февраль 1965 г.). «Предшественники планетария». Для информации. Galaxy Science Fiction . С. 87–98.

Внешние ссылки

• Четвертое тело Платона и «Пиритоэдр» , Пол Стивенсон, 1993, The Mathematical Gazette, т. 77, № 479 (июль 1993 г.), стр. 220–226 [1]
• Звездчатая форма Пиритоэдра VRML-модели и анимации Пиритоэдра и его звездчатых форм
• Клитцинг, Ричард. «Трехмерные выпуклые однородные многогранники o3o5x – doe».
• Редактируемая печатная развертка додекаэдра с интерактивным 3D-просмотром
• Однородные многогранники
• Многогранники оригами – Модели, созданные с помощью модульного оригами
• Виртуальная реальность Многогранники Энциклопедия многогранников
• К. Дж. М. Маклин, Геометрический анализ пяти Платоновых тел и других полуправильных многогранников
• 3D визуализация додекаэдра
• Stella: Polyhedron Navigator: программное обеспечение, использованное для создания некоторых изображений на этой странице.
• Как сделать додекаэдр из куба из пенопласта