Понимание структуры атомного ядра является одной из центральных задач ядерной физики .
Кластерная модель описывает ядро как молекулярно-подобный набор протон-нейтронных групп (например, альфа-частиц ) с одним или несколькими валентными нейтронами, занимающими молекулярные орбитали. [1] [2] [3] [4]
Модель жидкой капли — одна из первых моделей структуры ядра , предложенная Карлом Фридрихом фон Вайцзеккером в 1935 году. [5] Она описывает ядро как полуклассическую жидкость, состоящую из нейтронов и протонов , с внутренней отталкивающей электростатической силой, пропорциональной числу протонов. Квантово-механическая природа этих частиц проявляется через принцип исключения Паули , который гласит, что никакие два нуклона одного и того же вида не могут находиться в одном и том же состоянии . Таким образом, жидкость на самом деле является тем, что известно как ферми-жидкость . В этой модели энергия связи ядра с протонами и нейтронами определяется как
где — общее число нуклонов ( массовое число ). Члены, пропорциональные и , представляют объем и поверхностную энергию капли жидкости, член, пропорциональный , представляет электростатическую энергию, член, пропорциональный , представляет принцип исключения Паули, а последний член — это член спаривания, который понижает энергию для четного числа протонов или нейтронов. Коэффициенты и сила члена спаривания могут быть оценены теоретически или подогнаны к данным. Эта простая модель воспроизводит основные особенности энергии связи ядер.
Предположение о ядре как о капле ферми-жидкости до сих пор широко используется в форме модели капель с конечным радиусом действия (FRDM) из-за возможного хорошего воспроизведения ядерной энергии связи на всей диаграмме с необходимой точностью для предсказаний неизвестных ядер. [6]
Выражение «модель оболочек» неоднозначно, поскольку относится к двум разным вещам. Ранее оно использовалось для описания существования нуклонных оболочек в соответствии с подходом, более близким к тому, что сейчас называется теорией среднего поля. В настоящее время оно относится к формализму, аналогичному формализму взаимодействия конфигураций , используемому в квантовой химии .
Систематические измерения энергии связи атомных ядер показывают систематические отклонения относительно тех, которые оцениваются по модели жидкой капли. В частности, некоторые ядра, имеющие определенные значения для числа протонов и/или нейтронов, связаны более прочно, чем предсказывает модель жидкой капли. Такие ядра называются однократно/двойно магическими . Это наблюдение привело ученых к предположению о существовании оболочечной структуры нуклонов (протонов и нейтронов) внутри ядра, подобной структуре электронов внутри атомов.
Действительно, нуклоны являются квантовыми объектами . Строго говоря, нельзя говорить об энергиях отдельных нуклонов, поскольку все они коррелируют друг с другом. Однако в качестве приближения можно представить себе среднее ядро, внутри которого нуклоны распространяются индивидуально. В силу своей квантовой природы они могут занимать только дискретные уровни энергии . Эти уровни никоим образом не распределены равномерно; некоторые интервалы энергии переполнены, а некоторые пусты, что создает разрыв в возможных энергиях. Оболочка — это такой набор уровней, отделенных от других широким пустым промежутком.
Уровни энергии находятся путем решения уравнения Шредингера для одного нуклона, движущегося в среднем потенциале, создаваемом всеми другими нуклонами. Каждый уровень может быть занят нуклоном или пустым. Некоторые уровни вмещают несколько различных квантовых состояний с одинаковой энергией; они называются вырожденными . Это происходит, в частности, если среднее ядро демонстрирует определенную симметрию , например, сферическую форму.
Концепция оболочек позволяет понять, почему некоторые ядра связаны сильнее, чем другие. Это происходит потому, что два нуклона одного и того же вида не могут находиться в одном и том же состоянии ( принцип исключения Паули ). Вернер Гейзенберг распространил принцип исключения Паули на нуклоны, введя концепцию изоспина. [7] Считается, что нуклоны состоят из двух видов частиц, нейтрона и протона, которые различаются своим внутренним свойством, связанным с их квантовым числом изоспина. Эта концепция позволяет объяснить связанное состояние дейтерия , в котором протон и нейтрон могут связывать свой спин и изоспин двумя различными способами. Таким образом, состояние ядра с самой низкой энергией — это состояние, в котором нуклоны заполняют все энергетические уровни снизу вверх до некоторого уровня. Ядра, которые демонстрируют нечетное число либо протонов, либо нейтронов, менее связаны, чем ядра с четным числом. Ядро с полными оболочками исключительно стабильно, как будет объяснено далее.
Как и в случае с электронами в модели электронной оболочки , протоны в самой внешней оболочке относительно слабо связаны с ядром, если в этой оболочке всего несколько протонов, поскольку они находятся дальше всего от центра ядра. Поэтому ядра, имеющие полную внешнюю протонную оболочку, будут связаны более прочно и будут иметь более высокую энергию связи, чем другие ядра с аналогичным общим числом протонов. Это также верно для нейтронов.
Более того, энергия, необходимая для возбуждения ядра (т. е. перемещения нуклона на более высокий, ранее незанятый уровень), в таких ядрах исключительно высока. Всякий раз, когда этот незанятый уровень является следующим после полной оболочки, единственный способ возбудить ядро — это поднять один нуклон через щель , тем самым затратив большое количество энергии. В противном случае, если самый высокий занятый энергетический уровень лежит в частично заполненной оболочке, требуется гораздо меньше энергии для подъема нуклона на более высокое состояние в той же оболочке.
Некоторая эволюция структуры оболочки, наблюдаемая в стабильных ядрах, ожидается вдали от долины стабильности . Например, наблюдения нестабильных изотопов показали смещение и даже переупорядочение уровней отдельных частиц, из которых состоит структура оболочки. [8] Иногда это наблюдается как создание острова инверсии или в уменьшении энергетических зазоров возбуждения выше традиционных магических чисел.
Для того чтобы дать точную концептуальную основу модели оболочки, выдвигаются некоторые основные гипотезы:
Общий процесс, используемый в расчетах оболочечной модели, следующий. Сначала определяется гамильтониан для ядра. Обычно, для вычислительной практичности, в этом определении учитываются только одно- и двухчастичные члены. Взаимодействие является эффективной теорией : оно содержит свободные параметры, которые должны быть подобраны с помощью экспериментальных данных.
Следующий шаг состоит в определении базиса одночастичных состояний, т. е. набора волновых функций, описывающих все возможные состояния нуклонов. В большинстве случаев этот базис получается с помощью вычисления Хартри–Фока . С этим набором одночастичных состояний строятся детерминанты Слейтера , т. е. волновые функции для Z протонных переменных или N нейтронных переменных, которые являются антисимметризованными произведениями одночастичных волновых функций (антисимметризованными, что означает, что при замене переменных для любой пары нуклонов волновая функция меняет только знак).
В принципе, число квантовых состояний, доступных для одного нуклона при конечной энергии, конечно, скажем, n . Число нуклонов в ядре должно быть меньше числа доступных состояний, в противном случае ядро не сможет удерживать все свои нуклоны. Таким образом, существует несколько способов выбрать Z (или N ) состояний среди n возможных. В комбинаторной математике число выборов Z объектов среди n — это биномиальный коэффициент CЗ
н. Если n намного больше Z (или N ), это число увеличивается примерно как n Z . На практике это число становится настолько большим, что любое вычисление невозможно для A = N + Z больше 8.
Чтобы обойти эту трудность, пространство возможных одночастичных состояний делится на ядро и валентность, по аналогии с химией (см. электрон ядра и валентный электрон ). Ядро представляет собой набор одночастичных состояний, которые считаются неактивными, в том смысле, что они являются хорошо связанными состояниями с самой низкой энергией, и что нет необходимости пересматривать их положение. Они не появляются в детерминантах Слейтера, в отличие от состояний в валентном пространстве, которое является пространством всех одночастичных состояний, не лежащих в ядре , но, возможно, подлежащих рассмотрению при выборе построения волновой функции ( Z -) N -тела. Набор всех возможных детерминант Слейтера в валентном пространстве определяет базис для состояний ( Z -) N -тела.
Последний шаг состоит в вычислении матрицы гамильтониана в этом базисе и ее диагонализации. Несмотря на уменьшение размерности базиса из-за фиксации ядра, матрицы, подлежащие диагонализации, легко достигают размерности порядка 10 9 и требуют определенных методов диагонализации.
Расчеты модели оболочки в целом дают отличное соответствие экспериментальным данным. Однако они сильно зависят от двух основных факторов:
Взаимодействие между нуклонами , которое является следствием сильных взаимодействий и связывает нуклоны внутри ядра, демонстрирует своеобразное поведение, имея конечный радиус: оно исчезает, когда расстояние между двумя нуклонами становится слишком большим; оно притягивает на среднем расстоянии и отталкивает на очень малом расстоянии. Это последнее свойство коррелирует с принципом исключения Паули , согласно которому два фермиона (нуклоны являются фермионами) не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии. Это приводит к очень большой средней длине свободного пробега, предсказанной для нуклона внутри ядра. [9]
Основная идея подхода независимых частиц заключается в том, что нуклон движется внутри определенной потенциальной ямы (которая удерживает его связанным с ядром) независимо от других нуклонов. Это равносильно замене задачи N тел ( взаимодействующих N частиц) на задачи N одного тела. Это существенное упрощение задачи является краеугольным камнем теорий среднего поля. Они также широко используются в атомной физике , где электроны движутся в среднем поле из-за центрального ядра и самого электронного облака.
Независимые модели частиц и теории среднего поля (мы увидим, что существует несколько вариантов) имеют большой успех в описании свойств ядра, начиная с эффективного взаимодействия или эффективного потенциала, поэтому являются базовой частью теории атомного ядра. Следует также отметить, что они достаточно модульны, в том смысле, что довольно легко расширить модель, чтобы ввести такие эффекты, как ядерное спаривание или коллективные движения нуклона, такие как вращение или вибрация , добавив соответствующие энергетические термины в формализм. Это подразумевает, что во многих представлениях среднее поле является лишь отправной точкой для более полного описания, которое вводит корреляции, воспроизводящие свойства, такие как коллективные возбуждения и передача нуклона. [10] [11]
Большая часть практических трудностей, встречающихся в теориях среднего поля, заключается в определении (или вычислении) потенциала самого среднего поля. Можно очень грубо различать два подхода:
В случае подходов Хартри-Фока проблема заключается не в том, чтобы найти математическую функцию, которая наилучшим образом описывает ядерный потенциал, а в том, чтобы найти функцию, которая наилучшим образом описывает взаимодействие нуклонов. Действительно, в отличие от атомной физики , где взаимодействие известно (это кулоновское взаимодействие), взаимодействие нуклонов внутри ядра аналитически неизвестно.
Для этого факта есть две основные причины. Во-первых, сильное взаимодействие действует по существу между кварками, образующими нуклоны. Взаимодействие нуклонов в вакууме является всего лишь следствием взаимодействия кварков. Хотя последнее хорошо изучено в рамках Стандартной модели при высоких энергиях, оно гораздо сложнее при низких энергиях из-за ограничения цвета и асимптотической свободы . Таким образом, пока нет фундаментальной теории, позволяющей вывести взаимодействие нуклонов из взаимодействия кварков. Более того, даже если бы эта проблема была решена, оставалась бы большая разница между идеальным (и концептуально более простым) случаем двух нуклонов, взаимодействующих в вакууме, и случаем этих нуклонов, взаимодействующих в ядерной материи. Чтобы пойти дальше, необходимо было придумать концепцию эффективного взаимодействия. Последнее в основном является математической функцией с несколькими произвольными параметрами, которые подгоняются для согласования с экспериментальными данными.
Большинство современных взаимодействий имеют нулевой радиус действия, поэтому они действуют только тогда, когда два нуклона находятся в контакте, как это было представлено Тони Скирмом . [12] В основополагающей статье [13] Доминика Вотрена и Дэвида М. Бринка было продемонстрировано, что сила Скирма, зависящая от плотности, может воспроизводить основные свойства атомных ядер. Другим часто используемым взаимодействием является сила Гоньи с конечным радиусом действия, [14]
В подходе Хартри–Фока к проблеме n тел отправной точкой является гамильтониан, содержащий n членов кинетической энергии и потенциальные члены. Как упоминалось ранее, одна из гипотез теории среднего поля заключается в том, что следует учитывать только взаимодействие двух тел. Потенциальный член гамильтониана представляет все возможные взаимодействия двух тел в наборе из n фермионов . Это первая гипотеза.
Второй шаг состоит в предположении, что волновая функция системы может быть записана как определитель Слейтера одночастичных спин-орбиталей . Это утверждение является математическим переводом модели независимых частиц. Это вторая гипотеза.
Теперь осталось определить компоненты этого детерминанта Слейтера, то есть индивидуальные волновые функции нуклонов. Для этого предполагается, что полная волновая функция (детерминант Слейтера) такова, что энергия минимальна. Это третья гипотеза.
Технически это означает, что нужно вычислить среднее значение (известного) двухчастичного гамильтониана на (неизвестном) определителе Слейтера и предположить, что его математическая вариация равна нулю. Это приводит к набору уравнений, где неизвестными являются отдельные волновые функции: уравнения Хартри–Фока. Решение этих уравнений дает волновые функции и отдельные уровни энергии нуклонов, а значит, полную энергию ядра и его волновую функцию.
Этот краткий обзор метода Хартри–Фока объясняет, почему его также называют вариационным подходом. В начале расчета полная энергия является «функцией отдельных волновых функций» (так называемым функционалом), а затем все делается для того, чтобы оптимизировать выбор этих волновых функций так, чтобы функционал имел минимум – желательно абсолютный, а не только локальный. Чтобы быть более точным, следует упомянуть, что энергия является функционалом плотности , определяемой как сумма квадратов отдельных волновых функций. Метод Хартри–Фока также используется в атомной физике и физике конденсированных сред как теория функционала плотности (DFT).
Процесс решения уравнений Хартри–Фока может быть только итеративным, поскольку они фактически являются уравнением Шредингера , в котором потенциал зависит от плотности , то есть именно от волновых функций , которые необходимо определить. Практически алгоритм начинается с набора отдельных грубо разумных волновых функций (в общем случае собственных функций гармонического осциллятора ). Они позволяют вычислить плотность, а оттуда — потенциал Хартри–Фока. После этого уравнение Шредингера решается заново и так далее. Расчет останавливается — достигается сходимость — когда разность между волновыми функциями или уровнями энергии для двух последовательных итераций становится меньше фиксированного значения. Тогда средний потенциал поля полностью определен, и уравнения Хартри–Фока становятся стандартными уравнениями Шредингера. Соответствующий гамильтониан тогда называется гамильтонианом Хартри–Фока.
Впервые появившиеся в 1970-х годах в работах Джона Дирка Валецки по квантовой адродинамике , релятивистские модели ядра были уточнены к концу 1980-х годов П. Рингом и его коллегами. Отправной точкой этих подходов является релятивистская квантовая теория поля . В этом контексте взаимодействие нуклонов происходит посредством обмена виртуальными частицами , называемыми мезонами . Идея состоит в том, чтобы на первом этапе построить лагранжиан, содержащий эти члены взаимодействия. Во-вторых, применяя принцип наименьшего действия , мы получаем набор уравнений движения. Реальные частицы (здесь нуклоны) подчиняются уравнению Дирака , в то время как виртуальные (здесь мезоны) подчиняются уравнениям Клейна–Гордона .
Ввиду непертурбативной природы сильного взаимодействия, а также поскольку точная потенциальная форма этого взаимодействия между группами нуклонов известна относительно плохо, использование такого подхода в случае атомных ядер требует радикальных приближений. Основное упрощение состоит в замене в уравнениях всех полевых членов (которые являются операторами в математическом смысле) их средним значением (которые являются функциями ). Таким образом, получается система связанных интегро-дифференциальных уравнений , которая может быть решена численно, если не аналитически.
Модель взаимодействующих бозонов (IBM) — модель в ядерной физике, в которой нуклоны представлены парами, каждый из которых действует как бозонная частица с целым спином 0, 2 или 4. Это делает возможными вычисления для более крупных ядер. Существует несколько ветвей этой модели — в одной из них (IBM-1) можно сгруппировать все типы нуклонов в пары, в других (например, IBM-2) протоны и нейтроны рассматриваются парами отдельно.
Одним из центральных моментов всей физики является симметрия . Взаимодействие нуклонов и все эффективные взаимодействия, используемые на практике, обладают определенными симметриями. Они инвариантны относительно трансляции (изменения системы отсчета таким образом, чтобы направления не менялись), вращения (поворота системы отсчета вокруг некоторой оси) или четности (изменения направления осей) в том смысле, что взаимодействие не меняется ни при одной из этих операций. Тем не менее, в подходе Хартри-Фока могут появляться решения, которые не являются инвариантными относительно такой симметрии. Тогда говорят о спонтанном нарушении симметрии .
Качественно эти спонтанные нарушения симметрии можно объяснить следующим образом: в теории среднего поля ядро описывается как набор независимых частиц. Большинство дополнительных корреляций между нуклонами, которые не входят в среднее поле, игнорируются. Однако они могут возникнуть из-за нарушения симметрии гамильтониана среднего поля, которое является лишь приблизительным. Если плотность, используемая для начала итераций процесса Хартри-Фока, нарушает определенные симметрии, конечный гамильтониан Хартри-Фока может нарушить эти симметрии, если с точки зрения полной энергии выгодно сохранять их нарушенными.
Он также может сходиться к симметричному решению. В любом случае, если окончательное решение нарушает симметрию, например, вращательную симметрию, так что ядро кажется не сферическим, а эллиптическим, все конфигурации, выведенные из этого деформированного ядра вращением, являются такими же хорошими решениями для проблемы Хартри-Фока. Тогда основное состояние ядра вырождено .
Аналогичное явление происходит с ядерным спариванием, которое нарушает закон сохранения числа барионов (см. ниже).
Наиболее распространенным расширением теории среднего поля является ядерное спаривание. Ядра с четным числом нуклонов систематически более связаны, чем с нечетным. Это подразумевает, что каждый нуклон связывается с другим, образуя пару, следовательно, система не может быть описана как независимые частицы, подверженные общему среднему полю. Когда ядро имеет четное число протонов и нейтронов, каждый из них находит себе партнера. Чтобы возбудить такую систему, нужно, по крайней мере, использовать такую энергию, чтобы разорвать пару. Наоборот, в случае нечетного числа протонов или нейтронов существует неспаренный нуклон, которому требуется меньше энергии для возбуждения.
Это явление очень похоже на явление сверхпроводимости 1-го типа в физике твердого тела. Первое теоретическое описание ядерного спаривания было предложено в конце 1950-х годов Оге Бором , Беном Моттельсоном и Дэвидом Пайнсом (что способствовало получению Нобелевской премии по физике в 1975 году Бором и Моттельсоном). [15] Оно было близко к теории БКШ Бардина, Купера и Шриффера, которая объясняет сверхпроводимость металлов. Теоретически явление спаривания, описанное теорией БКШ, сочетается с теорией среднего поля: нуклоны подвержены как потенциалу среднего поля, так и взаимодействию спаривания.
Метод Хартри–Фока–Боголюбова (HFB) представляет собой более сложный подход, [16] позволяющий рассматривать парные и средние полевые взаимодействия последовательно и на равных основаниях. HFB в настоящее время является фактическим стандартом в обработке среднего поля ядерных систем.
Особенностью методов среднего поля является расчет ядерных свойств путем явного нарушения симметрии . Расчет среднего поля самосогласованными методами (например, Хартри-Фока) нарушает вращательную симметрию, а расчет парных свойств нарушает число частиц.
Было разработано несколько методов восстановления симметрии путем проецирования на хорошие квантовые числа. [17]
Методы среднего поля (в конечном итоге рассматривающие восстановление симметрии) являются хорошим приближением для основного состояния системы, даже постулируя систему независимых частиц. Поправки более высокого порядка учитывают тот факт, что частицы взаимодействуют друг с другом посредством корреляции. Эти корреляции могут быть введены с учетом связи независимых степеней свободы частиц, низкоэнергетического коллективного возбуждения систем с четным числом протонов и нейтронов.
Таким образом, возбужденные состояния можно воспроизвести с помощью приближения случайных фаз (RPA), а также в конечном итоге последовательно вычислить поправки к основному состоянию (например, с помощью теории ядерного поля [11] ).
