Гамильтониан (квантовая механика)

Квантовый оператор для суммы энергий системы

В квантовой механике гамильтониан системы — это оператор , соответствующий полной энергии этой системы, включая как кинетическую, так и потенциальную энергию . Его спектр , энергетический спектр системы или набор ее собственных значений энергии — это набор возможных результатов, получаемых из измерения полной энергии системы. Благодаря своей тесной связи с энергетическим спектром и эволюцией системы во времени, он имеет фундаментальное значение в большинстве формулировок квантовой теории .

Гамильтониан назван в честь Уильяма Роуэна Гамильтона , который разработал революционную переформулировку ньютоновской механики , известную как гамильтонова механика , которая была исторически важна для развития квантовой физики. Подобно векторной нотации , он обычно обозначается как , где шляпа указывает на то, что это оператор. Его также можно записать как или . ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\check {H}}}$

Введение

Гамильтониан системы представляет собой полную энергию системы, то есть сумму кинетической и потенциальной энергии всех частиц, связанных с системой. Гамильтониан принимает различные формы и может быть упрощен в некоторых случаях, принимая во внимание конкретные характеристики анализируемой системы, такие как одна или несколько частиц в системе, взаимодействие между частицами, вид потенциальной энергии, изменяющийся во времени потенциал или не зависящий от времени.

Гамильтониан Шредингера

Одна частица

По аналогии с классической механикой гамильтониан обычно выражается как сумма операторов, соответствующих кинетической и потенциальной энергии системы в виде

$${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}},}$$

где — оператор потенциальной энергии , — оператор кинетической энергии , в котором — масса частицы, точка обозначает скалярное произведение векторов, а — оператор импульса , где a — оператор del . Скалярное произведение на себя — оператор Лапласа . В трех измерениях с использованием декартовых координат оператор Лапласа равен $${\displaystyle {\hat {V}}=V=V(\mathbf {r} ,t),}$$ $${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2},}$$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \nabla ,}$$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z}^{2}}}}$$

Хотя это не техническое определение гамильтониана в классической механике , это форма, которую он чаще всего принимает. Объединение этих форм дает форму, используемую в уравнении Шредингера :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\[6pt]&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\end{aligned}}}$$

что позволяет применять гамильтониан к системам, описываемым волновой функцией . Это подход, который обычно используется во вводных курсах квантовой механики, использующих формализм волновой механики Шредингера. ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$

Можно также делать замены определенных переменных, чтобы соответствовать конкретным случаям, например, случаям, связанным с электромагнитными полями.

Ожидаемое значение

Можно показать, что математическое ожидание гамильтониана, дающего математическое ожидание энергии, всегда будет больше или равно минимальному потенциалу системы.

Рассмотрим расчет ожидаемого значения кинетической энергии:

${\displaystyle {\begin{aligned}KE&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\psi ^{*}\left({\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\right)\,dx\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\left[\psi '(x)\psi ^{*}(x)\right]_{-\infty }^{+\infty }}-\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {d\psi }{dx}}\right)\left({\frac {d\psi }{dx}}\right)^{*}\,dx\right)\\&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}\,dx\geq 0\end{aligned}}}$

Следовательно, математическое ожидание кинетической энергии всегда неотрицательно. Этот результат можно использовать для вычисления математического ожидания полной энергии, которая задается для нормализованной волновой функции как:

${\displaystyle E=KE+\langle V(x)\rangle =KE+\int _{-\infty }^{+\infty }V(x)|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)}$

что завершает доказательство. Аналогично, условие может быть обобщено на любые более высокие измерения с использованием теоремы о расходимости .

Множество частиц

Этот формализм можно распространить на частицы: ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}}$$

где — функция потенциальной энергии, которая теперь является функцией пространственной конфигурации системы и времени (конкретный набор пространственных положений в некоторый момент времени определяет конфигурацию), — оператор кинетической энергии частицы , — градиент для частицы , — лапласиан для частицы n : $${\displaystyle {\hat {V}}=V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t),}$$ $${\displaystyle {\hat {T}}_{n}={\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{n}}}\nabla _{n}^{2}}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nabla _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nabla _{n}^{2}}$ $${\displaystyle \nabla _{n}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{n}^{2}}},}$$

Объединение этих уравнений дает гамильтониан Шредингера для случая -частиц: ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\end{aligned}}}$$

Однако в задаче многих тел могут возникнуть осложнения . Поскольку потенциальная энергия зависит от пространственного расположения частиц, кинетическая энергия также будет зависеть от пространственной конфигурации для сохранения энергии. Движение, вызванное любой одной частицей, будет меняться из-за движения всех других частиц в системе. По этой причине в гамильтониане могут появляться перекрестные члены для кинетической энергии; смесь градиентов для двух частиц:

$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\nabla _{i}\cdot \nabla _{j}}$$

где обозначает массу совокупности частиц, приводящую к этой дополнительной кинетической энергии. Члены этой формы известны как члены массовой поляризации и появляются в гамильтониане многоэлектронных атомов (см. ниже). ${\displaystyle M}$

Для взаимодействующих частиц, т.е. частиц, которые взаимодействуют друг с другом и составляют многочастичную ситуацию, функция потенциальной энергии не является просто суммой отдельных потенциалов (и, конечно, не произведением, поскольку это размерно неверно). Функция потенциальной энергии может быть записана только так, как указано выше: как функция всех пространственных положений каждой частицы. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$

Для невзаимодействующих частиц, т.е. частиц, которые не взаимодействуют друг с другом и движутся независимо, потенциал системы представляет собой сумму отдельных потенциальных энергий для каждой частицы, ^[1] то есть

$${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{N}V(\mathbf {r} _{i},t)=V(\mathbf {r} _{1},t)+V(\mathbf {r} _{2},t)+\cdots +V(\mathbf {r} _{N},t)}$$

Общая форма гамильтониана в этом случае имеет вид:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{N}V_{i}\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+V_{i}\right)\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}{\hat {H}}_{i}\end{aligned}}}$$

где сумма берется по всем частицам и их соответствующим потенциалам; результатом является то, что гамильтониан системы является суммой отдельных гамильтонианов для каждой частицы. Это идеализированная ситуация — на практике частицы почти всегда находятся под влиянием некоторого потенциала, и существуют многочастичные взаимодействия. Один иллюстративный пример взаимодействия двух тел, где эта форма неприменима, — это электростатические потенциалы, обусловленные заряженными частицами, поскольку они взаимодействуют друг с другом посредством кулоновского взаимодействия (электростатической силы), как показано ниже.

Уравнение Шредингера

Гамильтониан генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если — состояние системы в момент времени , то ${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {d \over \ dt}\left|\psi (t)\right\rangle .}$$

Это уравнение — уравнение Шредингера . Оно имеет ту же форму, что и уравнение Гамильтона–Якоби , что является одной из причин, по которой его также называют гамильтонианом. Учитывая состояние в некоторый начальный момент времени ( ), мы можем решить его, чтобы получить состояние в любой последующий момент времени. В частности, если не зависит от времени, то ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .}$$

Экспоненциальный оператор в правой части уравнения Шредингера обычно определяется соответствующим степенным рядом в . Можно заметить, что взятие полиномов или степенных рядов неограниченных операторов , которые не определены везде, может не иметь математического смысла. Строго говоря, для взятия функций неограниченных операторов требуется функциональное исчисление . В случае экспоненциальной функции достаточно непрерывного или просто голоморфного функционального исчисления . Однако мы снова отметим, что для обычных вычислений формулировка физиков вполне достаточна. ${\displaystyle H}$

По свойству * -гомоморфизма функционального исчисления оператор

$${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$$

является унитарным оператором . Это оператор эволюции во времени или пропагатор замкнутой квантовой системы. Если гамильтониан не зависит от времени, образуют однопараметрическую унитарную группу (больше, чем полугруппа ); это приводит к физическому принципу детального равновесия . ${\displaystyle \{U(t)\}}$

Дираковский формализм

Однако в более общем формализме Дирака гамильтониан обычно реализуется как оператор в гильбертовом пространстве следующим образом:

Собственные векторы ( eigenkets ) , обозначаемые , обеспечивают ортонормированный базис для гильбертова пространства. Спектр разрешенных уровней энергии системы задается набором собственных значений, обозначаемых , решающих уравнение: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \left|a\right\rangle }$ ${\displaystyle \{E_{a}\}}$

$${\displaystyle H\left|a\right\rangle =E_{a}\left|a\right\rangle .}$$

Поскольку — эрмитов оператор , энергия всегда является действительным числом . ${\displaystyle H}$

С математически строгой точки зрения, необходимо соблюдать осторожность с вышеуказанными предположениями. Операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах не обязательно должны иметь собственные значения (набор собственных значений не обязательно совпадает со спектром оператора ). Однако все обычные квантово-механические вычисления могут быть выполнены с использованием физической формулировки. ^{[ необходимо разъяснение ]}

Выражения для гамильтониана

Ниже приведены выражения для гамильтониана в ряде ситуаций. ^[2] Типичные способы классификации выражений — это число частиц, число измерений и характер функции потенциальной энергии — что важно, пространственная и временная зависимость. Массы обозначаются как , а заряды — как . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$

Общие формы для одной частицы

Свободная частица

Частица не связана никакой потенциальной энергией, поэтому потенциал равен нулю, и этот гамильтониан является самым простым. Для одного измерения:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}$$

и в более высоких измерениях:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}$$

Постоянный потенциальный колодец

Для частицы в области постоянного потенциала (не зависящего от пространства или времени) в одном измерении гамильтониан имеет вид: ${\displaystyle V=V_{0}}$

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}}$$

в трех измерениях

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}}$$

Это относится к элементарной задаче « частица в ящике » и ступенчатым потенциалам .

Простой гармонический осциллятор

Для простого гармонического осциллятора в одном измерении потенциал изменяется в зависимости от положения (но не времени) согласно:

$${\displaystyle V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}$$

где угловая частота , эффективная жесткость пружины и масса осциллятора удовлетворяют: ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}}$$

поэтому гамильтониан равен:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}$$

Для трех измерений это становится

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}r^{2}}$$

где трехмерный вектор положения с использованием декартовых координат равен , его величина равна ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

$${\displaystyle r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$$

Если записать гамильтониан полностью, то он представляет собой просто сумму одномерных гамильтонианов в каждом направлении:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\\[6pt]&=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\end{aligned}}}$$

Жесткий ротор

Для жесткого ротора , т. е. системы частиц, которые могут свободно вращаться вокруг любых осей, не связанных никаким потенциалом (например, свободные молекулы с пренебрежимо малыми колебательными степенями свободы , скажем, из-за двойных или тройных химических связей ), гамильтониан имеет вид:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{xx}}}{\hat {J}}_{x}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{yy}}}{\hat {J}}_{y}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{zz}}}{\hat {J}}_{z}^{2}}$$

где , , и — компоненты момента инерции (технически диагональные элементы тензора момента инерции ), а , , и — операторы (компоненты) полного момента импульса относительно осей , , и соответственно. ${\displaystyle I_{xx}}$ ${\displaystyle I_{yy}}$ ${\displaystyle I_{zz}}$ ${\displaystyle {\hat {J}}_{x}}$ ${\displaystyle {\hat {J}}_{y}}$ ${\displaystyle {\hat {J}}_{z}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Электростатический (кулоновский) потенциал

Потенциальная энергия Кулона для двух точечных зарядов и (т.е. тех, которые не имеют независимой пространственной протяженности) в трех измерениях равна (в единицах СИ , а не в гауссовых единицах , которые часто используются в электромагнетизме ): ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$

$${\displaystyle V={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} |}}}$$

Однако это только потенциал для одного точечного заряда из-за другого. Если есть много заряженных частиц, каждый заряд имеет потенциальную энергию из-за каждого другого точечного заряда (кроме самого себя). Для зарядов потенциальная энергия заряда из-за всех других зарядов равна (см. также Электростатическая потенциальная энергия, хранящаяся в конфигурации дискретных точечных зарядов ): ^[3] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q_{j}}$

$${\displaystyle V_{j}={\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}}$$

где - электростатический потенциал заряда при . Тогда общий потенциал системы равен сумме по : ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} _{i})}$ ${\displaystyle q_{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle j}$

$${\displaystyle V={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}}$$

поэтому гамильтониан равен:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N}{\frac {1}{m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\\&=\sum _{j=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\right)\\\end{aligned}}}$$

Электрический диполь в электрическом поле

Для электрического дипольного момента, образующего заряды величиной , в однородном электростатическом поле (не зависящем от времени) , расположенном в одном месте, потенциал равен: ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

$${\displaystyle V=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} }$$

сам дипольный момент является оператором

$${\displaystyle \mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}} }$$

Поскольку частица неподвижна, поступательная кинетическая энергия диполя отсутствует, поэтому гамильтониан диполя представляет собой просто потенциальную энергию:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} =-q\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {E} }$$

Магнитный диполь в магнитном поле

Для магнитного дипольного момента в однородном магнитостатическом поле (не зависящем от времени) , расположенном в одном месте, потенциал равен: ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

$${\displaystyle V=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$$

Поскольку частица неподвижна, поступательная кинетическая энергия диполя отсутствует, поэтому гамильтониан диполя представляет собой просто потенциальную энергию:

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$$

Для частицы со спином 1 ⁄ 2 соответствующий спиновый магнитный момент равен: ^[4]

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{S}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} }$$

где - "спиновый g-фактор " (не путать с гиромагнитным отношением ), - заряд электрона, - вектор оператора спина , компонентами которого являются матрицы Паули , следовательно, ${\displaystyle g_{s}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} \cdot \mathbf {B} }$$

Заряженная частица в электромагнитном поле

Для частицы с массой и зарядом в электромагнитном поле, описываемом скалярным потенциалом и векторным потенциалом , необходимо заменить две части гамильтониана. ^[1] Канонический оператор импульса , который включает вклад поля и удовлетворяет каноническому коммутационному соотношению , должен быть квантован; ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =m{\dot {\mathbf {r} }}+q\mathbf {A} ,}$$

где - кинетический импульс . Рецепт квантования читается как ${\displaystyle m{\dot {\mathbf {r} }}}$

$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla ,}$$

поэтому соответствующий оператор кинетической энергии равен

$${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)^{2}}$$

а потенциальная энергия, обусловленная полем , определяется выражением ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\hat {V}}=q\phi .}$$

Подстановка всего этого в гамильтониан дает

$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \right)^{2}+q\phi .}$$

Вырождение собственного энергетического потенциала, симметрия и законы сохранения

Во многих системах два или более собственных энергетических состояния имеют одинаковую энергию. Простым примером этого является свободная частица, собственные энергетические состояния которой имеют волновые функции, которые являются распространяющимися плоскими волнами. Энергия каждой из этих плоских волн обратно пропорциональна квадрату ее длины волны . Волна, распространяющаяся в направлении , является другим состоянием, чем волна, распространяющаяся в направлении , но если они имеют одинаковую длину волны, то их энергии будут одинаковыми. Когда это происходит, состояния называются вырожденными . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Оказывается, вырождение происходит всякий раз, когда нетривиальный унитарный оператор коммутирует с гамильтонианом. Чтобы увидеть это, предположим, что — энергетический eigenket. Тогда — энергетический eigenket с тем же собственным значением, поскольку ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |a\rangle }$ ${\displaystyle U|a\rangle }$

$${\displaystyle UH|a\rangle =UE_{a}|a\rangle =E_{a}(U|a\rangle )=H\;(U|a\rangle ).}$$

Поскольку нетривиально, по крайней мере одна пара и должна представлять различные состояния. Следовательно, имеет по крайней мере одну пару вырожденных собственных энергетических единиц. В случае свободной частицы унитарный оператор, который создает симметрию, — это оператор вращения , который вращает волновые функции на некоторый угол, в остальном сохраняя их форму. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |a\rangle }$ ${\displaystyle U|a\rangle }$ ${\displaystyle H}$

Существование оператора симметрии подразумевает существование сохраняющейся наблюдаемой. Пусть будет эрмитовым генератором : ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle U=I-i\varepsilon G+O(\varepsilon ^{2})}$$

Легко показать, что если коммутирует с , то также коммутирует и : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle [H,G]=0}$$

Поэтому,

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\langle \psi (t)|G|\psi (t)\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi (t)|[G,H]|\psi (t)\rangle =0.}$$

При получении этого результата мы использовали уравнение Шредингера, а также его двойственное уравнение :

$${\displaystyle \langle \psi (t)|H=-i\hbar {d \over \ dt}\langle \psi (t)|.}$$

Таким образом, ожидаемое значение наблюдаемой сохраняется для любого состояния системы. В случае свободной частицы сохраняющейся величиной является момент импульса . ${\displaystyle G}$

Уравнения Гамильтона

Уравнения Гамильтона в классической гамильтоновой механике имеют прямую аналогию в квантовой механике. Предположим, что у нас есть набор базисных состояний , которые не обязательно должны быть собственными состояниями энергии. Для простоты мы предполагаем, что они дискретны и что они ортонормальны, т.е. ${\displaystyle \left\{\left|n\right\rangle \right\}}$

$${\displaystyle \langle n'|n\rangle =\delta _{nn'}}$$

Обратите внимание, что эти базисные состояния предполагаются независимыми от времени. Мы предположим, что гамильтониан также независим от времени.

Мгновенное состояние системы в момент времени , , можно разложить по следующим базисным состояниям: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle }$

$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}a_{n}(t)|n\rangle }$$

где

$${\displaystyle a_{n}(t)=\langle n|\psi (t)\rangle .}$$

Коэффициенты являются комплексными переменными. Мы можем рассматривать их как координаты, которые определяют состояние системы, подобно координатам положения и импульса, которые определяют классическую систему. Как и классические координаты, они, как правило, не постоянны во времени, и их временная зависимость порождает временную зависимость системы в целом. ${\displaystyle a_{n}(t)}$

Ожидаемое значение гамильтониана этого состояния, которое также является средней энергией, равно

$${\displaystyle \langle H(t)\rangle \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \langle \psi (t)|H|\psi (t)\rangle =\sum _{nn'}a_{n'}^{*}a_{n}\langle n'|H|n\rangle }$$

где последний шаг был получен путем расширения по базисным состояниям. ${\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle }$

Каждая из них фактически соответствует двум независимым степеням свободы, поскольку переменная имеет действительную часть и мнимую часть. Теперь мы проделываем следующий трюк: вместо использования действительной и мнимой частей в качестве независимых переменных мы используем и ее комплексно сопряженную . При таком выборе независимых переменных мы можем вычислить частную производную ${\displaystyle a_{n}(t)}$ ${\displaystyle a_{n}(t)}$ ${\displaystyle a_{n}^{*}(t)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=\sum _{n}a_{n}\langle n'|H|n\rangle =\langle n'|H|\psi \rangle }$$

Применяя уравнение Шредингера и используя ортонормальность базисных состояний, это далее сводится к

$${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=i\hbar {\frac {\partial a_{n'}}{\partial t}}}$$

Аналогично можно показать, что

$${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-i\hbar {\frac {\partial a_{n}^{*}}{\partial t}}}$$

Если мы определим переменные «сопряженного импульса» как ${\displaystyle \pi _{n}}$

$${\displaystyle \pi _{n}(t)=i\hbar a_{n}^{*}(t)}$$

тогда приведенные выше уравнения становятся

$${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial \pi _{n}}}={\frac {\partial a_{n}}{\partial t}},\quad {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-{\frac {\partial \pi _{n}}{\partial t}}}$$

что в точности соответствует форме уравнений Гамильтона, где s — обобщенные координаты, s — сопряженные импульсы, и заменяет классический гамильтониан. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \langle H\rangle }$

Смотрите также

• Гамильтонова механика
• Двухуровневая квантовая система
• Оператор (физика)
• Обозначение скобок
• Квантовое состояние
• Линейная алгебра
• Сохранение энергии
• Теория потенциала
• Проблема многих тел
• Электростатика
• Электрическое поле
• Магнитное поле
• Неравенство Либа–Тирринга

Ссылки

1. Резник, Р.; Эйсберг, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-87373-X.
2. Аткинс, П. У. (1974). Quanta: Справочник концепций . Oxford University Press. ISBN 0-19-855493-1.
3. Грант, И.С.; Филлипс, В.Р. (2008). Электромагнетизм . Серия физики Манчестера (2-е изд.). ISBN 978-0-471-92712-9.
4. Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Физика атомов и молекул . Longman. ISBN 0-582-44401-2.

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные с гамильтонианом (квантовая механика) в Викицитатнике