Уравнения Книжника–Замолодчикова.

Уравнения в частных производных корреляционных функций

В математической физике уравнения Книжника –Замолодчикова , или уравнения КЗ , являются линейными дифференциальными уравнениями, удовлетворяемыми корреляционными функциями (на сфере Римана) двумерных конформных теорий поля , связанных с аффинной алгеброй Ли на фиксированном уровне. Они образуют систему комплексных дифференциальных уравнений в частных производных с регулярными особыми точками, удовлетворяемыми N -точечными функциями аффинных первичных полей , и могут быть выведены с использованием либо формализма алгебр Ли , либо формализма вертексных алгебр .

Структура части рода ноль конформной теории поля закодирована в свойствах монодромии этих уравнений. В частности, сплетение и слияние первичных полей (или их ассоциированных представлений) могут быть выведены из свойств четырехточечных функций, для которых уравнения сводятся к одному матричнозначному комплексному обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка фуксового типа.

Первоначально российские физики Вадим Книжник и Александр Замолодчиков вывели уравнения для модели SU(2) Весса–Зумино–Виттена, используя классические формулы Гаусса для коэффициентов связи гипергеометрического дифференциального уравнения .

Определение

Пусть обозначает аффинную алгебру Ли с уровнем k и дуальным числом Кокстера h . Пусть v — вектор из представления нулевой моды и связанного с ним первичного поля. Пусть — базис базовой алгебры Ли , их представление на первичном поле и η — форма Киллинга . Тогда для уравнений Книжника –Замолодчикова читаем ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}_{k}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}_{k}}$ ${\displaystyle \Phi (v,z)}$ ${\displaystyle t^{a}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle t_{i}^{a}}$ ${\displaystyle \Phi (v_{i},z)}$ ${\displaystyle i,j=1,2,\ldots ,N}$

${\displaystyle \left((k+h)\partial _{z_{i}}+\sum _{j\neq i}{\frac {\sum _{a,b}\eta _{ab}t_{i}^{a}\otimes t_{j}^{b}}{z_{i}-z_{j}}}\right)\left\langle \Phi (v_{N},z_{N})\dots \Phi (v_{1},z_{1})\right\rangle =0.}$

Неформальное происхождение

Уравнения Книжника–Замолодчикова являются результатом построения Сугавары алгебры Вирасоро из аффинной алгебры Ли. Более конкретно, они являются результатом применения тождества

${\displaystyle L_{-1}={\frac {1}{2(k+h)}}\sum _{k\in \mathbf {Z} }\sum _{a,b}\eta _{ab}J_{-k}^{a}J_{k-1}^{b}}$

к аффинному первичному полю в корреляционной функции аффинных первичных полей. В этом контексте только члены неисчезающие. Действие затем можно переписать с использованием глобальных тождеств Уорда , ${\displaystyle \Phi (v_{i},z_{i})}$ ${\displaystyle k=0,1}$ ${\displaystyle J_{-1}^{a}}$

${\displaystyle \left(\left(J_{-1}^{a}\right)_{i}+\sum _{j\neq i}{\frac {t_{j}^{a}}{z_{i}-z_{j}}}\right)\left\langle \Phi (v_{N},z_{N})\dots \Phi (v_{1},z_{1})\right\rangle =0,}$

и может быть отождествлен с оператором бесконечно малого сдвига . ${\displaystyle L_{-1}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}}$

Математическая формулировка

После рассмотрения в Tsuchiya & Kanie (1988) уравнение Книжника–Замолодчикова было сформулировано математически на языке вершинных алгебр благодаря Borcherds (1986) и Frenkel, Lepowsky & Meurman (1988). Этот подход был популяризирован среди физиков-теоретиков Goddard (1989) и среди математиков Kac (1997).

Вакуумное представление H ₀ аффинной алгебры Каца–Муди на фиксированном уровне может быть закодировано в вершинной алгебре . Вывод d действует как оператор энергии L ₀ на H ₀ , который может быть записан как прямая сумма неотрицательных целочисленных собственных пространств L ₀ , причем пространство нулевой энергии генерируется вакуумным вектором Ω. Собственное значение собственного вектора L ₀ называется его энергией. Для каждого состояния a в L существует вершинный оператор V ( a , z ), который создает a из вакуумного вектора Ω, в том смысле, что

${\displaystyle V(a,0)\Omega =a.}$

Вершинные операторы энергии 1 соответствуют генераторам аффинной алгебры

${\displaystyle X(z)=\sum X(n)z^{-n-1}}$

где X пробегает элементы базовой конечномерной простой комплексной алгебры Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Существует собственный вектор энергии 2 L ₋₂ Ω , который дает генераторы L _n алгебры Вирасоро , связанной с алгеброй Каца–Муди конструкцией Сигала–Сугавары

${\displaystyle T(z)=\sum L_{n}z^{-n-2}.}$

Если a имеет энергию α , то соответствующий вершинный оператор имеет вид

${\displaystyle V(a,z)=\sum V(a,n)z^{-n-\alpha }.}$

Вершинные операторы удовлетворяют

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}V(a,z)&=\left[L_{-1},V(a,z)\right]=V\left(L_{-1}a,z\right)\\\left[L_{0},V(a,z)\right]&=\left(z^{-1}{\frac {d}{dz}}+\alpha \right)V(a,z)\end{aligned}}}$

а также локальность и ассоциативные отношения

${\displaystyle V(a,z)V(b,w)=V(b,w)V(a,z)=V(V(a,z-w)b,w).}$

Последние два соотношения понимаются как аналитические продолжения: внутренние произведения с конечными векторами энергии трех выражений определяют одни и те же многочлены по z ^±1 , w ^±1 и ( z − w ) ⁻¹ в областях | z | < | w |, | z | > | w | и | z – w | < | w |. Все структурные соотношения алгебры Каца–Муди и Вирасоро могут быть восстановлены из этих соотношений, включая конструкцию Сигала–Сугавары.

Каждое другое интегральное представление H _i на том же уровне становится модулем для вершинной алгебры в том смысле, что для каждого a существует вершинный оператор V _i ( a , z ) на H _i такой, что

${\displaystyle V_{i}(a,z)V_{i}(b,w)=V_{i}(b,w)V_{i}(a,z)=V_{i}(V(a,z-w)b,w).}$

Наиболее общие вершинные операторы на данном уровне являются сплетающими операторами Φ( v , z ) между представлениями H _i и H _j , где v лежит в H _k . Эти операторы также можно записать как

${\displaystyle \Phi (v,z)=\sum \Phi (v,n)z^{-n-\delta }}$

но δ теперь может быть рациональными числами . Опять же, эти переплетающиеся операторы характеризуются свойствами

${\displaystyle V_{j}(a,z)\Phi (v,w)=\Phi (v,w)V_{i}(a,w)=\Phi \left(V_{k}(a,z-w)v,w\right)}$

и соотношения с L ₀ и L ₋₁ аналогичны приведенным выше.

Когда v находится в подпространстве с наименьшей энергией для L ₀ на H _k , неприводимое представление , оператор Φ( v , w ) называется первичным полем заряда k . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

При наличии цепочки из n первичных полей, начинающихся и заканчивающихся в H ₀ , их корреляционная или n -точечная функция определяется как

${\displaystyle \left\langle \Phi (v_{1},z_{1})\Phi (v_{2},z_{2})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle =\left(\Phi \left(v_{1},z_{1}\right)\Phi \left(v_{2},z_{2}\right)\cdots \Phi \left(v_{n},z_{n}\right)\Omega ,\Omega \right).}$

В физической литературе v _i часто опускают, а первичное поле записывают как Φ _i ( z _i ), понимая, что оно обозначено соответствующим неприводимым представлением . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Вывод вершинной алгебры

Если ( X _s ) является ортонормированным базисом для формы Киллинга, то уравнения Книжника–Замолодчикова могут быть выведены путем интегрирования корреляционной функции ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \sum _{s}\left\langle X_{s}(w)X_{s}(z)\Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle (w-z)^{-1}}$

сначала по переменной w вокруг малого круга с центром в точке z ; по теореме Коши результат можно выразить как сумму интегралов вокруг n малых кругов с центрами в точках z _j :

${\displaystyle {1 \over 2}(k+h)\left\langle T(z)\Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle =-\sum _{j,s}\left\langle X_{s}(z)\Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (X_{s}v_{j},z_{j})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle (z-z_{j})^{-1}.}$

Интегрирование обеих частей по переменной z по малой окружности с центром в точке z _i дает ^i- е уравнение Книжника–Замолодчикова.

Вывод алгебры Ли

Также возможно вывести уравнения Книжника–Замодчикова без явного использования вершинных алгебр. Член Φ( v _i , z _i ) может быть заменен в корреляционной функции его коммутатором с L _{r ,} где r = 0, ±1. Результат может быть выражен через производную по z _i . С другой стороны, L _r также задается формулой Сигала–Сугавары:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}&=(k+h)^{-1}\sum _{s}\left[{\frac {1}{2}}X_{s}(0)^{2}+\sum _{m>0}X_{s}(-m)X_{s}(m)\right]\\L_{\pm 1}&=(k+h)^{-1}\sum _{s}\sum _{m\geq 0}X_{s}(-m\pm 1)X_{s}(m)\end{aligned}}}$

После подстановки этих формул для L _r полученные выражения можно упростить, используя формулы коммутатора

${\displaystyle [X(m),\Phi (a,n)]=\Phi (Xa,m+n).}$

Оригинальное происхождение

Оригинальное доказательство Книжника и Замолодчикова (1984), воспроизведенное в Tsuchiya & Kanie (1988), использует комбинацию обоих вышеупомянутых методов. Сначала отметим, что для X в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \left\langle X(z)\Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle =\sum _{j}\left\langle \Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (Xv_{j},z_{j})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle (z-z_{j})^{-1}.}$

Следовательно

${\displaystyle \sum _{s}\langle X_{s}(z)\Phi (z_{1},v_{1})\cdots \Phi (X_{s}v_{i},z_{i})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\rangle =\sum _{j}\sum _{s}\langle \cdots \Phi (X_{s}v_{j},z_{j})\cdots \Phi (X_{s}v_{i},z_{i})\cdots \rangle (z-z_{j})^{-1}.}$

С другой стороны,

${\displaystyle \sum _{s}X_{s}(z)\Phi \left(X_{s}v_{i},z_{i}\right)=(z-z_{i})^{-1}\Phi \left(\sum _{s}X_{s}^{2}v_{i},z_{i}\right)+(k+g){\partial \over \partial z_{i}}\Phi (v_{i},z_{i})+O(z-z_{i})}$

так что

${\displaystyle (k+g){\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\Phi (v_{i},z_{i})=\lim _{z\to z_{i}}\left[\sum _{s}X_{s}(z)\Phi \left(X_{s}v_{i},z_{i}\right)-(z-z_{i})^{-1}\Phi \left(\sum _{s}X_{s}^{2}v_{i},z_{i}\right)\right].}$

Результат получается путем использования этого предела в предыдущем равенстве.

Представление монодромии уравнения КЗ

В конформной теории поля по вышеприведенному определению n -точечная корреляционная функция первичного поля удовлетворяет уравнению КЗ. В частности, для и неотрицательных целых чисел k существуют первичные поля 's, соответствующие представлению спина j ( ). Корреляционная функция первичных полей 's для представления принимает значения в тензорном произведении , а ее уравнение КЗ имеет вид ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle \Phi _{j}(z_{j})}$ ${\displaystyle j=0,1/2,1,3/2,\ldots ,k/2}$ ${\displaystyle \Psi (z_{1},\dots ,z_{n})}$ ${\displaystyle \Phi _{j}(z_{j})}$ ${\displaystyle (\rho ,V_{i})}$ ${\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}}$

${\displaystyle (k+2){\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\Psi =\sum _{i,j\neq i}{\frac {\Omega _{ij}}{z_{i}-z_{j}}}\Psi }$,

где как и в приведенном выше неформальном выводе. ${\displaystyle \Omega _{ij}=\sum _{a}\rho _{i}(J^{a})\otimes \rho _{j}(J_{a})}$

Эта n -точечная корреляционная функция может быть аналитически продолжена как многозначная голоморфная функция в область с для . Благодаря этому аналитическому продолжению голономия уравнения KZ может быть описана группой кос , введенной Эмилем Артином . ^[1] В общем случае, комплексная полупростая алгебра Ли и ее представления дают линейное представление группы кос ${\displaystyle X_{n}\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle z_{i}\neq z_{j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle (\rho ,V_{i})}$

${\displaystyle \theta \colon B_{n}\rightarrow V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}}$

как голономия уравнения KZ. Напротив, уравнение KZ дает линейное представление групп кос как его голономию.

Действие на аналитическом продолжении уравнения KZ называется представлением монодромии уравнения KZ . В частности, если все имеют представление спина _1/2 , то линейное представление, полученное из уравнения KZ, согласуется с представлением, построенным из теории операторной алгебры Воганом Джонсом . Известно, что представление монодромии уравнения KZ с общей полупростой алгеброй Ли согласуется с линейным представлением группы кос, заданной R-матрицей соответствующей квантовой группы . ${\displaystyle V_{1}\otimes \dots \otimes V_{n}}$ ${\displaystyle V_{i}}$

Соотношение КЗ-БПЗ

В случае, когда базовой алгеброй Ли является , уравнения KZ отображаются в уравнения BPZ с помощью разделения переменных Склянина для модели Годена . ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)}$

Приложения

• Теория представлений аффинной алгебры Ли и квантовых групп
• Группы кос
• Топология гиперплоскостных дополнений
• Теория узлов и 3-кратное сложение

Смотрите также

• Квантовые уравнения КЗ

Ссылки

1. Коно 2002
2. Рибо, Сильвен (2014-06-17). "Конформная теория поля на плоскости". arXiv : 1406.4290 [hep-th].

• Baik, Jinho; Deift, Percy; Johansson, Kurt (июнь 1999), «О распределении длины самой длинной возрастающей подпоследовательности случайных перестановок» (PDF) , J. Amer. Math. Soc. , 12 (4): 1119–78, doi : 10.1090/S0894-0347-99-00307-0 , S2CID  11355968
• Книжник, В.Г.; Замолодчиков, А.Б. (1984), "Токовая алгебра и модель Весса–Зумино в двух измерениях", Nucl. Phys. B , 247 (1): 83–103, Bibcode : 1984NuPhB.247...83K, doi : 10.1016/0550-3213(84)90374-2
• Цучия, А.; Кани, Й. (1988), Вершинные операторы в конформной теории поля на P(1) и представления монодромии группы кос , Adv. Stud. Pure Math., т. 16, стр. 297–372(Исправление в томе 19, стр. 675–682.)
• Борчердс, Ричард (1986), «Вершинные алгебры, алгебры Каца–Муди и монстр», Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 83 (10): 3068–3071, Bibcode : 1986PNAS...83.3068B, doi : 10.1073/pnas.83.10.3068 , PMC  323452 , PMID  16593694
• Френкель, Игорь ; Леповски, Джеймс ; Мейерман, Арне (1988), Вершинные операторные алгебры и монстр , Чистая и прикладная математика, т. 134, Academic Press, ISBN 0-12-267065-5
• Годдард, Питер (1989), «Мероморфная конформная теория поля», в Кац, Виктор Г. (ред.), Бесконечномерные алгебры Ли и группы , Расширенная серия по математической физике, т. 7, World Scientific, стр. 556–587, ISBN 978-981-4663-17-5
• Кац, Виктор (1997), Вершинные алгебры для начинающих , Серия университетских лекций, т. 10, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0643-2
• Этингоф, Павел И.; Френкель , Игорь ; Кириллов, Александр А. (1998), Лекции по теории представлений и уравнениям Книжника–Замолодчикова , Математические обзоры и монографии, т. 58, Американское математическое общество, ISBN 0821804960
• Френкель, Эдвард; Бен-Цви, Дэвид (2001), Вершинные алгебры и алгебраические кривые , Математические обзоры и монографии, т. 88, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2894-0
• Коно, Тоситаке (2002), Конформная теория поля и топология , Перевод математических монографий, т. 210, Американское математическое общество, ISBN 978-0821821305