Квадратный корень из 2

Уникальное положительное действительное число, которое при умножении само на себя дает 2

Квадратный корень из 2 (приблизительно 1,4142) — это положительное действительное число , которое при умножении на себя или возведении в квадрат равно числу 2. В математике его можно записать как или . Это алгебраическое число , и, следовательно, не трансцендентное число . Технически его следует называть главным квадратным корнем из 2, чтобы отличать его от отрицательного числа с тем же свойством. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 2^{1/2}}$

Геометрически квадратный корень из 2 равен длине диагонали квадрата со сторонами в одну единицу длины ; это следует из теоремы Пифагора . Вероятно, это было первое число, известное как иррациональное . ^[1] Дробь ⁠99/70⁠ (≈ 1,4142 857) иногда используется как хорошее рациональное приближение с достаточно малым знаменателем .

Последовательность A002193 в Онлайновой энциклопедии целочисленных последовательностей состоит из цифр в десятичном представлении квадратного корня из 2, здесь усеченного до 65 десятичных знаков: ^[2]

1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799

История

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 с аннотациями. Помимо показа квадратного корня из 2 в шестидесятеричной системе ( 1 24 51 10 ), табличка также дает пример, где одна сторона квадрата равна 30, а диагональ тогда равна 42 25 35. Шестидесятеричная цифра 30 может также обозначать 0 30 = ⁠1/2⁠ , в этом случае 0 42 25 35 приблизительно равно 0,7071065.

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 ( ок.  1800–1600 гг. до н. э.) дает приближенное значение в виде четырех шестидесятеричных цифр, 1 24 51 10 , что соответствует точности около шести десятичных цифр ^[3] и является наиболее близким возможным трехзначным шестидесятеричным представлением числа , имеющим погрешность всего лишь –0,000042%: ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}=1.41421{\overline {296}}.}$

Другое раннее приближение дано в древнеиндийских математических текстах, Сульбасутры ( ок.  800–200 гг. до н. э.), как следует: умножьте длину [стороны] на ее треть, а эту треть на ее собственную четвертую часть за вычетом тридцать четвертой части этой четверти. ^[4] То есть,

${\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}={\frac {577}{408}}=1.41421{\overline {56862745098039}}.}$

Это приближение, отклоняющееся от фактического значения примерно на +0,07%, является седьмым в последовательности все более точных приближений, основанных на последовательности чисел Пелля , которые можно вывести из разложения непрерывной дроби . Несмотря на меньший знаменатель, оно лишь немного менее точно, чем вавилонское приближение. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Пифагорейцы открыли, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или, выражаясь современным языком, что квадратный корень из двух иррационален . Мало что известно с уверенностью о времени или обстоятельствах этого открытия, но имя Гиппаса из Метапонта часто упоминается. Некоторое время пифагорейцы считали открытие того, что квадратный корень из двух иррационален, официальной тайной, и, согласно легенде, Гиппас был убит за его разглашение, хотя в традиционной исторической практике этому нет существенных доказательств. ^{[5] [6]} Квадратный корень из двух иногда называют числом Пифагора или постоянной Пифагора . ^[7]

Древнеримская архитектура

В древнеримской архитектуре Витрувий описывает использование квадратного корня из 2 прогрессии или техники ad quadratum . Она в основном заключается в геометрическом, а не арифметическом, методе удвоения квадрата, в котором диагональ исходного квадрата равна стороне полученного квадрата. Витрувий приписывает эту идею Платону . Система использовалась для строительства мостовых путем создания квадрата, касательного к углам исходного квадрата под углом 45 градусов. Пропорция также использовалась для проектирования атриумов путем присвоения им длины, равной диагонали, взятой из квадрата, стороны которого эквивалентны предполагаемой ширине атриума. ^[8]

Десятичное значение

Алгоритмы вычислений

Существует множество алгоритмов для аппроксимации в виде отношения целых чисел или в виде десятичной дроби. Наиболее распространенным алгоритмом для этого, который используется в качестве основы во многих компьютерах и калькуляторах, является вавилонский метод ^[9] для вычисления квадратных корней, пример метода Ньютона для вычисления корней произвольных функций. Он выглядит следующим образом: ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Сначала выберите предположение, ; значение предположения влияет только на то, сколько итераций требуется для достижения приближения определенной точности. Затем, используя это предположение, выполните итерацию через следующее рекурсивное вычисление: ${\displaystyle a_{0}>0}$

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(a_{n}+{\dfrac {2}{a_{n}}}\right)={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.}$

Каждая итерация улучшает приближение, примерно удваивая количество правильных цифр. Начиная с , последующие итерации дают: ${\displaystyle a_{0}=1}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}a_{1}&={\tfrac {3}{2}}&&=\mathbf {1} .5,\\a_{2}&={\tfrac {17}{12}}&&=\mathbf {1.41} 6\ldots ,\\a_{3}&={\tfrac {577}{408}}&&=\mathbf {1.41421} 5\ldots ,\\a_{4}&={\tfrac {665857}{470832}}&&=\mathbf {1.41421356237} 46\ldots ,\\&\qquad \vdots \end{alignedat}}}$

Рациональные приближения

Простое рациональное приближение ⁠99/70⁠ (≈ 1,4142 857) иногда используется. Несмотря на то, что знаменатель равен всего 70, он отличается от правильного значения менее чем на ⁠1/10,000⁠ (приблизительно)+0,72 × 10 ⁻⁴ ).

Следующие два лучших рациональных приближения — это ⁠140/99⁠ (≈ 1,414 1414...) с незначительно меньшей погрешностью (приблизительно.−0,72 × 10 ⁻⁴ ), и ⁠239/169⁠ (≈ 1,4142 012) с погрешностью приблизительно−0,12 × 10 ⁻⁴ .

_{Рациональное приближение квадратного корня из двух, полученное в результате} четырех итераций вавилонского метода после начала с 0 = 1 ( ⁠665,857/470,832⁠ ) ​​слишком большой примерно на1,6 × 10 ⁻¹² ; его квадрат ≈ 2.000 000 000 0045 .

Рекорды в вычислениях

В 1997 году команда Ясумасы Канады вычислила значение с точностью до 137 438 953 444 знаков после запятой . В феврале 2006 года рекорд по вычислению был побит с использованием домашнего компьютера. Сигэру Кондо вычислил один триллион знаков после запятой в 2010 году. ^[10] Другие математические константы , чьи десятичные разложения были вычислены с такой же высокой точностью, включают π , e и золотое сечение . ^[11] Такие вычисления предоставляют эмпирические доказательства того, являются ли эти числа нормальными . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Это таблица последних записей в вычислении цифр . ^[11] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Доказательства иррациональности

Доказательство бесконечным спуском

Одним из доказательств иррациональности числа является следующее доказательство бесконечным спуском . Это также доказательство отрицания опровержением : оно доказывает утверждение « не рационально», предполагая, что оно рационально, а затем выводя ложность. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

1. Предположим, что — рациональное число, то есть существует пара целых чисел, отношение которых равно в точности . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
2. Если два целых числа имеют общий множитель , его можно исключить с помощью алгоритма Евклида .
3. Тогда можно записать в виде несократимой дроби, такой что a и b являются взаимно простыми целыми числами (не имеющими общего множителя), что дополнительно означает, что по крайней мере одно из чисел a или b должно быть нечетным . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$
4. Отсюда следует, что и . (  ( ⁠ ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2}$ ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$а/б⁠ ) ^​​н = ⁠а ^н/б ^н⁠  ) ​​( a ² и b ² — целые числа)
5. Следовательно, a ² является четным , так как оно равно 2 b ² . ( 2 b ² обязательно является четным, так как оно в 2 раза больше другого целого числа.)
6. Отсюда следует, что a должно быть четным (так как квадраты нечетных чисел никогда не бывают четными).
7. Поскольку a четное, существует целое число k , которое удовлетворяет . ${\displaystyle a=2k}$
8. Подставим 2k из шага 7 вместо a во второе уравнение шага 4: , что эквивалентно . ${\displaystyle 2b^{2}=a^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}}$ ${\displaystyle b^{2}=2k^{2}}$
9. Так как 2k2 делится на два и, следовательно, четно, и так как ^{, то отсюда следует} , что b2 также четно, а это значит, что ^b четно . ${\displaystyle 2k^{2}=b^{2}}$
10. Согласно шагам 5 и 8, a и b оба четные, что противоречит шагу 3 (который является неприводимым). ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

Поскольку мы вывели ложь, предположение (1), что является рациональным числом, должно быть ложным. Это означает, что является не рациональным числом; то есть является иррациональным. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

На это доказательство намекнул Аристотель в своей работе Analytica Priora , §I.23. ^[12] Впервые оно появилось как полное доказательство в « Началах » Евклида , как предложение 117 книги X. Однако с начала 19 века историки согласились, что это доказательство является интерполяцией и не может быть приписано Евклиду. ^[13]

Доказательство с использованием обратных величин

Предположим от противного, что были рациональными. Тогда мы можем записать в виде несократимой дроби в наименьших членах, с взаимно простыми положительными целыми числами . Поскольку , следует, что можно выразить в виде несократимой дроби . Однако, поскольку и отличаются на целое число, следует, что знаменатели их представлений в виде несократимой дроби должны быть одинаковыми, т. е . . Это дает искомое противоречие. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}+1={\frac {q}{p}}}$ ${\displaystyle q>p}$ ${\displaystyle ({\sqrt {2}}-1)({\sqrt {2}}+1)=2-1^{2}=1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$ ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$ ${\displaystyle q=p}$

Доказательство с помощью уникальной факторизации

Как и в случае с доказательством бесконечным спуском, мы получаем . Будучи той же величиной, каждая сторона имеет то же самое разложение на простые множители по фундаментальной теореме арифметики , и, в частности, должна была бы иметь множитель 2, встречающийся одинаковое количество раз. Однако множитель 2 появляется нечетное количество раз справа, но четное количество раз слева — противоречие. ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$

Применение теоремы о рациональном корне

Иррациональность также следует из теоремы о рациональном корне , которая гласит, что рациональный корень многочлена , если он существует, должен быть частным от деления множителя свободного члена и множителя старшего коэффициента . В случае единственными возможными рациональными корнями являются и . Так как не равно или , то следует, что является иррациональным. Это приложение также вызывает теорему о целочисленном корне, более сильную версию теоремы о рациональном корне для случая, когда является моническим многочленом с целыми коэффициентами ; для такого многочлена все корни обязательно являются целыми числами (что не так, так как 2 не является полным квадратом) или иррациональными. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle p(x)=x^{2}-2}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \pm 2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \pm 2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Теорема о рациональном корне (или теорема о целочисленном корне) может быть использована для доказательства того, что любой квадратный корень любого натурального числа , не являющегося полным квадратом, является иррациональным. Для других доказательств того, что квадратный корень любого неквадратного натурального числа является иррациональным, см. Квадратичные иррациональные числа или Бесконечный спуск .

Геометрическое доказательство

Рисунок 1. Геометрическое доказательство иррациональности числа √ 2, предложенное Стэнли Тенненбаумом.

Простое доказательство приписывают Стэнли Тенненбауму , когда он был студентом в начале 1950-х годов. ^{[14] [15]} Даны два квадрата с целыми сторонами соответственно a и b , один из которых имеет вдвое большую площадь , чем другой, поместите две копии меньшего квадрата в больший, как показано на рисунке 1. Область перекрытия квадратов в середине ( ) должна быть равна сумме двух непокрытых квадратов ( ). Однако эти квадраты на диагонали имеют положительные целые стороны, которые меньше, чем исходные квадраты. Повторяя этот процесс, есть произвольно малые квадраты, один из которых вдвое больше площади другого, но оба имеют положительные целые стороны, что невозможно, поскольку положительные целые числа не могут быть меньше 1. ${\displaystyle (2b-a)^{2}}$ ${\displaystyle 2(a-b)^{2}}$

Рисунок 2. Геометрическое доказательство иррациональности числа √ 2, предложенное Томом Апостолом.

Том М. Апостол привел еще один геометрический аргумент reductio ad absurdum , показывающий, что это иррационально. ^[16] Это также пример доказательства бесконечным спуском. Он использует классическое построение циркуля и линейки , доказывая теорему методом, похожим на тот, который использовали древнегреческие геометры. Это по сути то же самое алгебраическое доказательство, что и в предыдущем абзаце, рассматриваемое геометрически другим способом. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Пусть △  ABC — прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой длиной m и катетами n, как показано на рисунке 2. По теореме Пифагора , . Предположим, что m и n — целые числа. Пусть m : n — отношение, заданное в его наименьших членах . ${\displaystyle {\frac {m}{n}}={\sqrt {2}}}$

Проведем дуги BD и CE с центром A. Соединим DE . Отсюда следует, что AB = AD , AC = AE и ∠ BAC и ∠ DAE совпадают . Следовательно, треугольники ABC и ADE равны по SAS .

Поскольку ∠ EBF — прямой угол, а ∠ BEF — половина прямого угла, △  BEF — также прямоугольный равнобедренный треугольник. Следовательно, BE = m − n влечет BF = m − n . По симметрии, DF = m − n , и △  FDC — также прямоугольный равнобедренный треугольник. Отсюда также следует, что FC = n − ( m − n ) = 2 n − m .

Следовательно, существует еще меньший прямоугольный равнобедренный треугольник с длиной гипотенузы 2 n − m и катетами m − n . Эти значения являются целыми числами, даже меньшими, чем m и n , и находятся в том же отношении, что противоречит гипотезе о том, что m : n находится в наименьшем члене. Следовательно, m и n не могут быть оба целыми числами; следовательно, является иррациональным. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Конструктивное доказательство

В то время как доказательства бесконечным спуском конструктивно верны, когда «иррациональный» определяется как «нерациональный», мы можем получить конструктивно более сильное утверждение, используя позитивное определение «иррационального» как «количественно отдельного от каждого рационального». Пусть a и b будут положительными целыми числами, такими, что 1< ⁠а/б⁠ < 3/2 (так как 1<2< 9/4 удовлетворяет этим границам). Теперь 2 b ² и a ² не могут быть равны, так как первое имеет нечетное число множителей 2, тогда как второе имеет четное число множителей 2. Таким образом, | 2 b ² − a ² | ≥ 1 . Умножая абсолютную разность | √ 2 − ⁠а/б⁠ |по b ² ( √ 2 + ⁠ а/б⁠ ) ​​в числителе и знаменателе, получаем ^[17]

${\displaystyle \left|{\sqrt {2}}-{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|2b^{2}-a^{2}|}{b^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {a}{b}}\right)}}\geq {\frac {1}{b^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {a}{b}}\right)}}\geq {\frac {1}{3b^{2}}},}$

последнее неравенство верно, поскольку предполагается, что 1< ⁠а/б⁠ < 3/2 , что дает ⁠а/б⁠ + √ 2 ≤ 3 (иначе количественная обособленность может быть установлена ​​тривиально). Это дает нижнюю границу ⁠1/3 б ²⁠ для разницы | √ 2 − ⁠а/б⁠ |, давая прямое доказательство иррациональности в ее конструктивно более сильной форме, не полагаясь назакон исключенного третьего; см.Эрретт Бишоп(1985, стр. 18). Это доказательство конструктивно демонстрирует явное несоответствие междуи любым рациональным. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Доказательство с помощью пифагорейских троек

Это доказательство использует следующее свойство примитивных пифагорейских троек :

Если a , b и c — взаимно простые положительные целые числа, такие, что a ² + b ² = c ² , то c никогда не бывает четным. ^[18]

Эту лемму можно использовать для доказательства того, что два одинаковых полных квадрата никогда не могут быть сложены для получения еще одного полного квадрата.

Предположим обратное, что рационально. Следовательно, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}={a \over b}}$

где и ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \gcd(a,b)=1}$

Возводя обе стороны в квадрат,

${\displaystyle 2={a^{2} \over b^{2}}}$

${\displaystyle 2b^{2}=a^{2}}$

${\displaystyle b^{2}+b^{2}=a^{2}}$

Здесь (b, b, a) — примитивная пифагорова тройка, и из леммы a никогда не бывает четным. Однако это противоречит уравнению 2 b ² = a ² , которое подразумевает, что a должно быть четным.

Мультипликативная обратная величина

Мультипликативная обратная величина квадратного корня из двух (т. е. квадратный корень из ⁠1/2⁠ ) ​​— широко используемая константа .

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}=\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=}$ 0,707 106 781 186 547 524 400 844 362 104 849 039 284 835 937 688 47 ... (последовательность A010503 в OEIS )

Половина , также обратная величина , является общей величиной в геометрии и тригонометрии, поскольку единичный вектор , который составляет угол 45° с осями на плоскости, имеет координаты ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\!.}$

Это число удовлетворяет

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\sqrt {\tfrac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }.}$

Характеристики

Размер угла и площадь сектора одинаковы, когда конический радиус равен √ 2. Эта диаграмма иллюстрирует круговую и гиперболическую функции, основанные на площадях секторов u .

Одним из интересных свойств является ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \!\ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1}$

с

${\displaystyle \left({\sqrt {2}}+1\right)\!\left({\sqrt {2}}-1\right)=2-1=1.}$

Это связано со свойством серебряных соотношений .

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$также может быть выражено через копии мнимой единицы i, используя только квадратный корень и арифметические операции , если символ квадратного корня интерпретируется соответствующим образом для комплексных чисел i и − i :

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}{\text{ and }}{\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$также является единственным действительным числом, отличным от 1, бесконечная тетрата которого (т.е. бесконечная экспоненциальная башня) равна его квадрату. Другими словами: если для _c > 1 , x ₁ = c и x _{n +1} = c ^{x _n} для n > 1 , предел x n при n → ∞ будет называться (если этот предел существует) f ( c ) . Тогда является единственным числом c > 1, для которого f ( c ) = c ² . Или символически: ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{~\cdot ^{~\cdot ^{~\cdot }}}}}=2.}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$появляется в формуле Вьета для π ,

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots ,}$

что связано с формулой ^[19]

${\displaystyle \pi =\lim _{m\to \infty }2^{m}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}}} _{m{\text{ square roots}}}\,.}$

Похожий по внешнему виду, но с конечным числом членов, появляется в различных тригонометрических константах : ^[20] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {3\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {11\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {7\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {3\pi }{8}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\\[6pt]\sin {\frac {3\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {\pi }{4}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}&\quad \sin {\frac {13\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {\pi }{8}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}&\quad \sin {\frac {9\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {7\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {5\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {5\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {15\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}\end{aligned}}}$

Неизвестно, является ли это нормальным числом , которое является более сильным свойством, чем иррациональность, но статистический анализ его двоичного разложения согласуется с гипотезой о том, что основание два является нормальным . ^[21] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Представления

Серия и продукт

Тождество cos  ⁠π/4⁠ = грех  ⁠π/4⁠ = ⁠1/√ 2⁠ , наряду с бесконечными представлениями произведений для синуса и косинуса , приводит к таким произведениям, как

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(4k+2)^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{36}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{100}}\right)\cdots }$

и

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}=\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\!\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\!\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\!\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\cdots }$

или эквивалентно,

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4k+1}}\right)\left(1-{\frac {1}{4k+3}}\right)=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\!\left(1+{\frac {1}{5}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{7}}\right)\cdots .}$

Число также можно выразить, взяв ряд Тейлора тригонометрической функции . Например, ряд для cos  ⁠π/4⁠ дает

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2k}}{(2k)!}}.}$

Ряд Тейлора √ 1 + x при x = 1 и использовании двойного факториала n !! дает

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(2k-3)!!}{(2k)!!}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}+\cdots =1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {5}{128}}+{\frac {7}{256}}+\cdots .}$

Сходимость этого ряда можно ускорить с помощью преобразования Эйлера , что даст

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k+1)!}{2^{3k+1}(k!)^{2}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {15}{64}}+{\frac {35}{256}}+{\frac {315}{4096}}+{\frac {693}{16384}}+\cdots .}$

Неизвестно, можно ли представить с помощью формулы типа BBP . Однако формулы типа BBP известны для π √ 2 и √ 2 ln (1+ √ 2 ) . ^[22] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 

Число может быть представлено бесконечным рядом египетских дробей со знаменателями, определяемыми 2 ^{n -ными}  членами рекуррентного соотношения типа Фибоначчи a ( n ) = 34 a ( n −1) − a ( n −2), a (0) = 0, a (1) = 6. ^[23]

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{a(2^{n})}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{204}}+{\frac {1}{235416}}+\dots \right)}$

Продолженная дробь

Квадратный корень из 2 и приближения с помощью подходящих дробей цепных дробей

Квадратный корень из двух имеет следующее представление в виде непрерывной дроби :

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}.}$

Конвергенты ⁠​ п/д⁠ образованные путем усечения этого представления, образуют последовательность дробей, которые приближают квадратный корень из двух с возрастающей точностью и которые описываются числами Пелля (т.е. p ² − 2 q ² = ±1 ). Первые подходящие дроби: ⁠1/1⁠ , ⁠3/2⁠ , ⁠7/5⁠ , ⁠17/12⁠ , ⁠41/29⁠ , ⁠99/70⁠ , ⁠239/169⁠ , ⁠577/408⁠ и сходящееся следующее ⁠п/д⁠ есть ⁠п + 2 д/п + д⁠ . Конвергентный ⁠п/д⁠ отличается отпочти точно ⁠ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$1/2 √ 2 q ²⁠ , что следует из:

${\displaystyle \left|{\sqrt {2}}-{\frac {p}{q}}\right|={\frac {|2q^{2}-p^{2}|}{q^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right)}}={\frac {1}{q^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right)}}\thickapprox {\frac {1}{2{\sqrt {2}}q^{2}}}}$

Вложенный квадрат

Следующие вложенные квадратные выражения сходятся к : ${\textstyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}&={\tfrac {3}{2}}-2\left({\tfrac {1}{4}}-\left({\tfrac {1}{4}}-{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}-\cdots {\bigr )}^{2}\right)^{2}\right)^{2}\\[10mu]&={\tfrac {3}{2}}-4\left({\tfrac {1}{8}}+\left({\tfrac {1}{8}}+{\bigl (}{\tfrac {1}{8}}+\cdots {\bigr )}^{2}\right)^{2}\right)^{2}.\end{aligned}}}$

Приложения

Размер бумаги

Форматы бумаги серии А

В 1786 году немецкий профессор физики Георг Кристоф Лихтенберг ^[24] обнаружил, что любой лист бумаги, длинный край которого в разы длиннее короткого края, можно сложить пополам и выровнять по его короткой стороне, чтобы получить лист с точно такими же пропорциями, как у оригинала. Это отношение длин более длинной стороны к более короткой гарантирует, что разрезание листа пополам вдоль линии приведет к тому, что меньшие листы будут иметь такое же (приблизительное) соотношение, как и исходный лист. Когда Германия стандартизировала размеры бумаги в начале 20-го века, они использовали соотношение Лихтенберга для создания серии размеров бумаги «A» . ^[24] Сегодня (приблизительное) соотношение сторон размеров бумаги по ISO 216 (A4, A0 и т. д.) составляет 1: . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Доказательство:
Пусть длина сторон листа бумаги меньше, а длина сторон больше. ${\displaystyle S=}$ ${\displaystyle L=}$

${\displaystyle R={\frac {L}{S}}={\sqrt {2}}}$в соответствии с требованиями ISO 216.

Пусть будет аналогичным отношением пополам листа, тогда ${\displaystyle R'={\frac {L'}{S'}}}$

${\displaystyle R'={\frac {S}{L/2}}={\frac {2S}{L}}={\frac {2}{(L/S)}}={\frac {2}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}=R}$.

Физические науки

В физических науках есть несколько интересных свойств, связанных с квадратным корнем из 2 :

• Квадратный корень из двух — это соотношение частот тритонового интервала в двенадцатитоновой равномерно темперированной музыке.
• Квадратный корень из двух определяет соотношение диафрагменных чисел в фотографических объективах, что, в свою очередь, означает, что отношение площадей между двумя последовательными диафрагмами равно 2.
• Небесная широта (склонение) Солнца в астрономические моменты пересечения четвертных суток планеты равна наклону оси планеты, деленному на . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Расстояния между вершинами двойного единичного куба являются квадратными корнями первых шести натуральных чисел , включая квадратный корень из 2 (√7 невозможно из-за теоремы Лежандра о трех квадратах ).

• В мозге есть решетчатые клетки, обнаруженные в 2005 году группой под руководством Мэй-Бритт и Эдварда Мозера. «Решеточные клетки были обнаружены в корковой области, расположенной прямо рядом с гиппокампом [...] На одном конце этой корковой области размер ячеек маленький, а на другом — очень большой. Однако увеличение размера ячеек не оставлено на волю случая, а увеличивается на квадратный корень из двух от одной области к другой». ^[25]

Смотрите также

• Список математических констант
• Квадратный корень из 3 , √ 3
• Квадратный корень из 5 , √ 5
• Константа Гельфонда–Шнайдера , 2 ^{√ 2}
• Серебряное отношение , 1 + √ 2

Примечания

1. Фаулер, Дэвид Х. (2001), «История открытия несоизмеримости, пересмотренная», Neusis (10): 45–61, MR  1891736
2. "A002193 - OEIS". oeis.org . Получено 2020-08-10 .
3. Фаулер и Робсон, стр. 368.
   Фотография, иллюстрация и описание корневой(2) таблички из Йельской вавилонской коллекции. Архивировано 13 августа 2012 г. на Wayback Machine.
   Фотографии высокого разрешения, описания и анализ корневой(2) таблички (YBC 7289) из Йельской вавилонской коллекции.
4. Хендерсон.
5. "Опасное соотношение". nrich.maths.org . Получено 2023-09-18 .
6. Фон Фриц, Курт (1945). «Открытие несоизмеримости Гиппасом из Метапонта». Annals of Mathematics . 46 (2): 242–264. doi :10.2307/1969021. ISSN  0003-486X. JSTOR  1969021.
7. Конвей, Джон Х.; Гай , Ричард К. (1996), Книга чисел , Коперник, стр. 25
8. Уильямс, Ким ; Оствальд, Майкл (2015). Архитектура и математика от античности до будущего: Том I: античность до 1500-х годов . Биркхойзер. стр. 204. ISBN 9783319001371.
9. Хотя термин «вавилонский метод» широко используется в современном употреблении, нет прямых доказательств того, как вавилоняне вычисляли приближение, показанное на табличке YBC 7289. Фаулер и Робсон предлагают обоснованные и подробные предположения. Фаулер и Робсон, стр. 376. Флэннери, стр. 32, 158. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
   
10. "Константы и записи вычислений". Numbers.computation.free.fr. 2010-08-12. Архивировано из оригинала 2012-03-01 . Получено 2012-09-07 .
11. "Records set by y-cruncher". Архивировано из оригинала 2022-04-07 . Получено 2022-04-07 .
12. Все, что говорит Аристотель, когда пишет о доказательствах от противного , это то, что «диагональ квадрата несоизмерима со стороной, потому что нечетные числа равны четным, если предполагается, что они соизмеримы».
13. Издание греческого текста «Начал », опубликованное Э. Ф. Августом в Берлине в 1826–1829 годах, уже относит это доказательство в Приложение. То же самое происходит и с изданием Й. Л. Гейберга (1883–1888).
14. Proof 8‴ Архивировано 22.04.2016 на Wayback Machine
15. Янофски, Н. (2016). «Парадоксы, противоречия и пределы науки». Архивировано из оригинала 2016-06-30.
16. Том М. Апостол (ноябрь 2000 г.), «Иррациональность квадратного корня из двух — геометрическое доказательство», The American Mathematical Monthly , 107 (9): 841–842, doi : 10.2307/2695741, JSTOR  2695741
17. См. Кац, Карин Усади; Кац, Михаил Г. (2011), «Значение в классической математике: противоречит ли оно интуиционизму?», Intellectica , 56 (2): 223–302 (см. особенно раздел 2.3, сноску 15), arXiv : 1110.5456 , Bibcode : 2011arXiv1110.5456U
18. Серпинский, Вацлав (2003), Треугольники Пифагора , Дувр, стр. 4–6, ISBN 978-0-486-43278-6
19. Курант, Ричард; Роббинс, Герберт (1941), Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам , Лондон: Oxford University Press, стр. 124
20. Джулиан ДА Вайсман Син и косинус в сурдах Архивировано 2009-05-06 в Wayback Machine
21. Добро и правитель (1967).
22. Бейли, Дэвид Х. (13 февраля 2011 г.). "Сборник формул типа BBP для математических констант" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2011-06-10 . Получено 2010-04-30 .
23. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A082405 (a(n) = 34*a(n-1) - a(n-2); a(0)=0, a(1)=6)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 05.09.2016 .
24. Хьюстон, Кит (2016). Книга: исследование от корки до корки самого могущественного объекта нашего времени . WW Norton & Company. стр. 324. ISBN 978-0393244809.
25. Норденген, Кая (2016). Книга: Hjernen er sternen . 2016 Кагге Форлаг АС. п. 81. ИСБН 978-82-489-2018-2.

Ссылки

• Апостол, Том М. (2000), «Иррациональность квадратного корня из двух – Геометрическое доказательство», American Mathematical Monthly , 107 (9): 841–842, doi :10.2307/2695741, JSTOR  2695741.
• Аристотель (2007), Analytica priora , eBooks@Adelaide
• Бишоп, Эрретт (1985), Шизофрения в современной математике. Эрретт Бишоп: размышления о нем и его исследованиях (Сан-Диего, Калифорния, 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
• Фланнери, Дэвид (2005), Квадратный корень из двух , Springer-Verlag, ISBN 0-387-20220-X.
• Фаулер, Дэвид ; Робсон, Элеанор (1998), «Приближения квадратного корня в старой вавилонской математике: YBC 7289 в контексте», Historia Mathematica , 25 (4): 366–378, doi : 10.1006/hmat.1998.2209.
• Good, IJ ; Gover, TN (1967), «Обобщенный серийный тест и двоичное расширение », Журнал Королевского статистического общества, Серия A , 130 (1): 102–107, doi : 10.2307/2344040, JSTOR  2344040 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.
• Хендерсон, Дэвид В. (2000), «Квадратные корни в сутрах Шульбы», в Горини, Кэтрин А. (ред.), Геометрия в действии: статьи по прикладной геометрии, Cambridge University Press, стр. 39–45, ISBN 978-0-88385-164-7.

Внешние ссылки

• Гурдон, X.; Себах, П. (2001), «Константа Пифагора: », Числа, константы и вычисления ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.
• Квадратный корень из двух до 5 миллионов цифр Джерри Боннелла и Роберта Дж. Немирова . Май 1994 г.
• Квадратный корень из 2 иррационален, сборник доказательств
• Грайм, Джеймс; Боули, Роджер. "Квадратный корень 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} из двух". Numberphile . Брэди Харан .
• Поисковая система √2 2 миллиарда цифр для поиска √ 2 , π и e