Полугруппа с инволюцией

В математике , в частности в абстрактной алгебре , полугруппа с инволюцией или *-полугруппа — это полугруппа , снабженная инволютивным антиавтоморфизмом , который, грубо говоря, приближает ее к группе, поскольку эта инволюция, рассматриваемая как унарный оператор , проявляет некоторые фундаментальные свойства операции взятия обратного в группе:

• Уникальность
• Двойное применение «самоустраняется».
• Тот же закон взаимодействия с бинарной операцией, что и в случае групповой инверсии.

Таким образом, неудивительно, что любая группа является полугруппой с инволюцией. Однако существуют значительные естественные примеры полугрупп с инволюцией, которые не являются группами.

Примером из линейной алгебры является мультипликативный моноид действительных квадратных матриц порядка  n (называемый полным линейным моноидом ). Отображение , которое отправляет матрицу в ее транспонирование, является инволюцией, поскольку транспонирование хорошо определено для любой матрицы и подчиняется закону (AB) T = B T A T , который ^имеет ту же ^форму взаимодействия ^с умножением, что и взятие обратных в общей линейной группе (которая является подгруппой полного линейного моноида). Однако для произвольной матрицы AA ^T не равно единичному элементу (а именно диагональной матрице ). Другой пример, пришедший из формальной теории языка , является свободная полугруппа , порожденная непустым множеством ( алфавитом ), с конкатенацией строк в качестве бинарной операции, и инволюцией, являющейся отображением, которое меняет линейный порядок букв в строке на обратный. Третий пример, из базовой теории множеств , является множеством всех бинарных отношений между множеством и самим собой, причем инволюция является обратным отношением , а умножение задается обычной композицией отношений .

Полугруппы с инволюцией впервые были явно названы в статье Виктора Вагнера 1953 года (на русском языке) в результате его попытки связать теорию полугрупп с теорией полукуч . ^[1]

Формальное определение

Пусть S — полугруппа с ее бинарной операцией, записанной мультипликативно. Инволюция в S — это унарная операция * на S (или преобразование * : S → S , x ↦ x *), удовлетворяющая следующим условиям:

1. Для всех x в S , ( x *)* = x .
2. Для всех x , y из S имеем ( xy )* = y * x *.

Полугруппа S с инволюцией * называется полугруппой с инволюцией.

Полугруппы, удовлетворяющие только первой из этих аксиом, принадлежат к более широкому классу U-полугрупп .

В некоторых приложениях вторая из этих аксиом была названа антидистрибутивной . ^[2] Относительно естественной философии этой аксиомы, Х. С. М. Коксетер заметил, что она «становится ясной, когда мы думаем о [x] и [y] как об операциях надевания носков и обуви соответственно». ^[3]

Примеры

1. Если S — коммутативная полугруппа, то тождественное отображение S является инволюцией.
2. Если S — группа , то отображение инверсии * : S → S , определенное как x * = x ^−1, является инволюцией. Более того, на абелевой группе как это отображение, так и отображение из предыдущего примера являются инволюциями, удовлетворяющими аксиомам полугруппы с инволюцией. ^[4]
3. Если S — инверсная полугруппа , то отображение инверсии является инволюцией, которая оставляет идемпотенты инвариантными . Как отмечено в предыдущем примере, отображение инверсии не обязательно является единственным отображением с этим свойством в инверсной полугруппе. Могут быть и другие инволюции, которые оставляют все идемпотенты инвариантными; например, отображение тождества на коммутативной регулярной, следовательно, инверсной, полугруппе, в частности, абелевой группе. Регулярная полугруппа является инверсной полугруппой тогда и только тогда, когда она допускает инволюцию, при которой каждый идемпотент является инвариантом. ^[5]
4. В основе каждой C*-алгебры лежит *-полугруппа. Важным примером является алгебра M _n ( C ) матриц n -на- n над C , с сопряженным транспонированием в качестве инволюции.
5. Если X — множество, то множество всех бинарных отношений на X — это *-полугруппа, где * задаётся обратным отношением , а умножение задаётся обычной композицией отношений . Это пример *-полугруппы, которая не является регулярной полугруппой.
6. Если X — множество, то множество всех конечных последовательностей (или строк ) элементов X образует свободный моноид относительно операции конкатенации последовательностей с обращением последовательности в качестве инволюции.
7. Прямоугольная полоса на декартовом произведении множества A с самим собой, т. е. с элементами из A × A , с полугрупповым произведением, определяемым как ( a , b )( c , d ) = ( a , d ), с инволюцией, являющейся заменой порядка элементов пары ( a , b )* = ( b , a ). Эта полугруппа также является регулярной полугруппой , как и все полосы. ^[6]

Основные понятия и свойства

Элемент x полугруппы с инволюцией иногда называют эрмитовым (по аналогии с эрмитовой матрицей ), когда он остается инвариантным при инволюции, что означает x * = x . Элементы вида xx * или x * x всегда эрмитовы, и поэтому являются всеми степенями эрмитова элемента. Как отмечено в разделе примеров, полугруппа S является инверсной полугруппой тогда и только тогда, когда S является регулярной полугруппой и допускает инволюцию, такую, что каждый идемпотент является эрмитовым. ^[7]

Некоторые основные понятия могут быть определены на *-полугруппах способом, который параллелен понятиям, вытекающим из регулярного элемента в полугруппе . Частичная изометрия — это элемент s такой, что ss * s = s ; множество частичных изометрий полугруппы S обычно сокращается как PI( S ). ^[8] Проекция — это идемпотентный элемент e , который также является эрмитовым, что означает, что ee = e и e * = e . Каждая проекция является частичной изометрией, и для каждой частичной изометрии s , s * s и ss * являются проекциями. Если e и f являются проекциями, то e = ef тогда и только тогда, когда e = fe . ^[9]

Частичные изометрии могут быть частично упорядочены с помощью s ≤ t, определенного как выполняющегося всякий раз, когда s = ss * t и ss * = ss * tt *. ^[9] Эквивалентно, s ≤ t тогда и только тогда, когда s = et и e = ett * для некоторой проекции e . ^[9] В *-полугруппе PI( S ) является упорядоченным группоидом с частичным произведением, заданным как s ⋅ t = st, если s * s = tt *. ^[10]

Примеры

В качестве примеров для этих понятий, в *-полугруппе бинарных отношений на множестве, частичные изометрии являются отношениями, которые являются дифункциональными . Проекции в этой *-полугруппе являются отношениями частичной эквивалентности . ^[11]

Частичные изометрии в C*-алгебре в точности те, что определены в этом разделе. В случае M _n ( C ) можно сказать больше. Если E и F являются проекциями, то E ≤ F тогда и только тогда, когда im E ⊆ im F . Для любых двух проекций, если E ∩ F = V , то единственная проекция J с образом V и ядром ортогональное дополнение V является пересечением E и F . _{Поскольку} проекции образуют полурешетку пересечений , частичные изометрии на M n ( C ) образуют обратную полугруппу с произведением . ^[12] ${\displaystyle A(A^{*}A\wedge BB^{*})B}$

Еще один простой пример этих понятий представлен в следующем разделе.

Понятия регулярности

Существуют два связанных, но не идентичных понятия регулярности в *-полугруппах. Они были введены почти одновременно Нордалем и Шайблихом (1978) и соответственно Дразином (1979). ^[13]

Регулярные *-полугруппы (Нордаль и Шейблих)

Как упоминалось в предыдущих примерах, инверсные полугруппы являются подклассом *-полугрупп. Также из учебников известно, что инверсная полугруппа может быть охарактеризована как регулярная полугруппа, в которой любые два идемпотента коммутируют. В 1963 году Борис М. Шейн показал, что следующие две аксиомы дают аналогичную характеристику инверсных полугрупп как подмногообразия *-полугрупп:

• х = хх * х
• ( хх *)( х * х ) = ( х * х )( хх *)

Первое из них выглядит как определение регулярного элемента, но на самом деле дано в терминах инволюции. Аналогично вторая аксиома, по-видимому, описывает коммутацию двух идемпотентов. Известно, однако, что регулярные полугруппы не образуют многообразия, поскольку их класс не содержит свободных объектов (результат, установленный Д. Б. Макалистером в 1968 году). Эта линия рассуждений побудила Нордаля и Шейблиха начать в 1977 году изучение (многообразия) *-полугрупп, которые удовлетворяют только первым из этих двух аксиом; из-за сходства по форме со свойством, определяющим регулярные полугруппы, они назвали это многообразие регулярными *-полугруппами.

Простой расчет позволяет установить, что регулярная *-полугруппа также является регулярной полугруппой, поскольку x * оказывается обратным к x . Прямоугольная связка из примера 7 является регулярной *-полугруппой, которая не является обратной полугруппой. ^[6] Также легко проверить, что в регулярной *-полугруппе произведение любых двух проекций является идемпотентом. ^[14] В вышеупомянутом примере прямоугольной связки проекции являются элементами вида ( x , x ) и [как и все элементы связки] являются идемпотентами. Однако две различные проекции в этой связке не обязательно коммутируют, и их произведение не обязательно является проекцией, поскольку ( a , a )( b , b ) = ( a , b ).

Полугруппы, удовлетворяющие только условию x ** = x = xx * x (но не обязательно антидистрибутивности * по умножению), также изучались под названием I-полугрупп .

P-системы

Проблема характеристики, когда регулярная полугруппа является регулярной *-полугруппой (в смысле Нордаля и Шейблиха), была рассмотрена М. Ямадой (1982). Он определил P-систему F(S) как подмножество идемпотентов S, обозначаемое, как обычно, E(S). Используя обычное обозначение V( a ) для обратных к a , F(S) должна удовлетворять следующим аксиомам:

1. Для любого a из S существует единственный a° из V( a ) такой, что aa ° и a ° a лежат в F(S)
2. Для любого a из S и b из F(S), a°ba принадлежит F(S), где ° — это четко определенная операция из предыдущей аксиомы
3. Для любых a , b из F(S), ab принадлежит E(S); примечание: не обязательно принадлежит F(S)

Регулярная полугруппа S является *-регулярной полугруппой, как определено Нордалем и Шейблихом, тогда и только тогда, когда она имеет p-систему F(S). В этом случае F(S) является множеством проекций S относительно операции °, определенной F(S). В инверсной полугруппе вся полурешетка идемпотентов является p-системой. Кроме того, если регулярная полугруппа S имеет p-систему, которая мультипликативно замкнута (т.е. подполугруппу), то S является инверсной полугруппой. Таким образом, p-систему можно рассматривать как обобщение полурешетки идемпотентов инверсной полугруппы.

*-регулярные полугруппы (Дразин)

Полугруппа S с инволюцией * называется *-регулярной полугруппой (в смысле Дразина), если для каждого x из S , x * является H -эквивалентным некоторому обратному к x , где H - отношение Грина H . Это определяющее свойство можно сформулировать несколькими эквивалентными способами. Другой способ - сказать, что каждый L -класс содержит проекцию. Аксиоматическое определение - это условие, что для каждого x из S существует элемент x ′ такой, что x ′ xx ′ = x ′ , xx ′ x = x , ( xx ′)* = xx ′ , ( x ′ x )* = x ′ x . Майкл П. Дразин первым доказал, что для данного x элемент x ′ , удовлетворяющий этим аксиомам, является единственным. Он называется обратным Мура-Пенроуза к x . Это согласуется с классическим определением матрицы Мура–Пенроуза, обратной квадратной матрице.

Одной из причин изучения этих полугрупп является то, что они позволяют обобщить свойства обратной матрицы Мура–Пенроуза с ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ на более общие множества.

В мультипликативной полугруппе M _n ( C ) квадратных матриц порядка n отображение, сопоставляющее матрице A ее эрмитово сопряженную A * , является инволюцией. Полугруппа M _n ( C ) является *-регулярной полугруппой с этой инволюцией. Обратный по Муру–Пенроузу элемент A в этой *-регулярной полугруппе является классическим обратным по Муру–Пенроузу элементом A .

Свободная полугруппа с инволюцией

Как и все многообразия, категория полугрупп с инволюцией допускает свободные объекты . Построение свободной полугруппы (или моноида) с инволюцией основано на построении свободной полугруппы (и, соответственно, свободного моноида). Более того, построение свободной группы может быть легко получено путем уточнения построения свободного моноида с инволюцией. ^[15]

Генераторы свободной полугруппы с инволюцией являются элементами объединения двух ( равночисленных ) непересекающихся множеств, находящихся в биективном соответствии : . (Здесь обозначение подчеркивает, что объединение на самом деле является непересекающимся объединением . ) В случае, когда два множества конечны, их объединение Y иногда называют алфавитом с инволюцией ^[16] или симметричным алфавитом . ^[17] Пусть будет биекцией; естественным образом расширяется до биекции по существу путем взятия непересекающегося объединения (как множества) с его обратным , или в кусочной записи: ^[18] ${\displaystyle Y=X\sqcup X^{\dagger }}$ ${\displaystyle \sqcup \,}$ ${\displaystyle \theta :X\rightarrow X^{\dagger }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {}\dagger :Y\to Y}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle y^{\dagger }={\begin{cases}\theta (y)&{\text{if }}y\in X\\\theta ^{-1}(y)&{\text{if }}y\in X^{\dagger }\end{cases}}}$

Теперь построим как свободную полугруппу на обычным способом, используя бинарную (полугрупповую) операцию на как конкатенацию : ${\displaystyle Y^{+}\,}$ ${\displaystyle Y\,}$ ${\displaystyle Y^{+}\,}$

${\displaystyle w=w_{1}w_{2}\cdots w_{k}\in Y^{+}}$для некоторых букв ${\displaystyle w_{i}\in Y.}$

Биекция затем расширяется до биекции, определяемой как перестановка строк элементов , состоящих из более чем одной буквы: ^{[16] [18]} ${\displaystyle \dagger }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {}^{\dagger }:Y^{+}\rightarrow Y^{+}}$ ${\displaystyle Y^{+}\,}$

${\displaystyle w^{\dagger }=w_{k}^{\dagger }w_{k-1}^{\dagger }\cdots w_{2}^{\dagger }w_{1}^{\dagger }.}$

Это отображение является инволюцией на полугруппе . Таким образом, полугруппа с отображением является полугруппой с инволюцией, называемой свободной полугруппой с инволюцией на X . ^[19] (Нерелевантность конкретного тождества и биекции при таком выборе терминологии объясняется ниже в терминах универсального свойства конструкции.) Обратите внимание, что в отличие от примера 6, инволюция каждой буквы является отдельным элементом в алфавите с инволюцией, и, следовательно, то же самое наблюдение распространяется на свободную полугруппу с инволюцией. ${\displaystyle Y^{+}\,}$ ${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$ ${\displaystyle {}^{\dagger }\,}$ ${\displaystyle X^{\dagger }}$ ${\displaystyle \theta }$

Если в приведенной выше конструкции вместо мы используем свободный моноид , который является просто свободной полугруппой, расширенной пустым словом (которое является единичным элементом моноида ), и соответствующим образом расширяем инволюцию с помощью , мы получаем свободный моноид с инволюцией . ^[18] ${\displaystyle Y^{+}\,}$ ${\displaystyle Y^{*}=Y^{+}\cup \{\varepsilon \}}$ ${\displaystyle \varepsilon \,}$ ${\displaystyle Y^{*}\,}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{\dagger }=\varepsilon }$

Конструкция выше на самом деле является единственным способом расширить заданное отображение с на , до инволюции на (и аналогично на ). Квалификатор «свободный» для этих конструкций оправдан в обычном смысле, что они являются универсальными конструкциями . В случае свободной полугруппы с инволюцией, заданной произвольной полугруппой с инволюцией и отображением , то существует гомоморфизм полугруппы такой, что , где — отображение включения , а композиция функций берется в порядке диаграммы . ^[19] Конструкция как полугруппы с инволюцией единственна с точностью до изоморфизма . Аналогичное рассуждение справедливо для свободного моноида с инволюцией в терминах гомоморфизмов моноидов и единственности с точностью до изоморфизма конструкции как моноида с инволюцией. ${\displaystyle \theta \,}$ ${\displaystyle X\,}$ ${\displaystyle X^{\dagger }\,}$ ${\displaystyle Y^{+}\,}$ ${\displaystyle Y^{*}\,}$ ${\displaystyle S\,}$ ${\displaystyle \Phi :X\rightarrow S}$ ${\displaystyle {\overline {\Phi }}:(X\sqcup X^{\dagger })^{+}\rightarrow S}$ ${\displaystyle \Phi =\iota \circ {\overline {\Phi }}}$ ${\displaystyle \iota :X\rightarrow (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$ ${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$ ${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{*}}$

Построение свободной группы не так уж далеко от построения свободного моноида с инволюцией. Дополнительным необходимым ингредиентом является определение понятия сокращенного слова и правила переписывания для получения таких слов простым удалением любых смежных пар букв вида или . Можно показать, что порядок переписывания (удаления) таких пар не имеет значения, т. е. любой порядок удалений дает тот же результат. ^[15] (Иначе говоря, эти правила определяют конфлюэнтную систему переписывания.) Эквивалентно, свободная группа строится из свободного моноида с инволюцией путем взятия фактора последнего по конгруэнции , которую иногда называют конгруэнцией Дика — в определенном смысле она обобщает язык Дика на множественные виды «скобок». Однако упрощение в конгруэнции Дика происходит независимо от порядка. Например, если ")" является инверсией "(", то ; односторонняя конгруэнтность, которая появляется в языке Дика , которая инстанцирует только , (возможно, из-за путаницы) называется конгруэнтностью Шамира . Фактор свободного моноида с инволюцией по конгруэнтности Шамира является не группой, а моноидом ; тем не менее, ее первый первооткрыватель — Эли Шамир — назвал ее свободной полугруппой , хотя позднее ее стали называть инволютивным моноидом, порожденным X . ^{[17] [20]} (Этот последний выбор терминологии, однако, противоречит использованию слова "инволютивный" для обозначения любой полугруппы с инволюцией — практика, также встречающаяся в литературе. ^{[21] [22]} ) ${\displaystyle xx^{\dagger }}$ ${\displaystyle x^{\dagger }x}$ ${\displaystyle \{(yy^{\dagger },\varepsilon ):y\in Y\}}$ ${\displaystyle ()=)(=\varepsilon }$ ${\displaystyle \{(xx^{\dagger },\varepsilon ):x\in X\}}$ ${\displaystyle ()=\varepsilon }$

*-полугруппы Бэра

*-полугруппа Бэра — это *-полугруппа с (двусторонним) нулем, в которой правый аннулятор каждого элемента совпадает с правым идеалом некоторой проекции; это свойство формально выражается так: для всех x ∈ S существует проекция e такая, что

{ у € S | ху знак равно 0 } = еS . ^[22]

Проекция e на самом деле однозначно определяется x . ^[22]

Совсем недавно *-полугруппы Бэра стали также называть полугруппами Фулиса , в честь Дэвида Джеймса Фулиса, который их глубоко изучал. ^{[23] [24]}

Примеры и приложения

Множество всех бинарных отношений на множестве (из примера 5) является *-полугруппой Бэра. ^[25]

*-полугруппы Бэра встречаются также в квантовой механике ^[22], в частности, как мультипликативные полугруппы *-колец Бэра .

Если H — гильбертово пространство , то мультипликативная полугруппа всех ограниченных операторов на H — бэровская *-полугруппа. Инволюция в этом случае отображает оператор в его сопряженный . ^[25]

*-полугруппа Бэра допускает координацию ортомодулярных решеток . ^[23]

Смотрите также

• Категория кинжала (она же категория с инволюцией) — обобщает понятие
• *-алгебра
• Специальные классы полугрупп

Примечания

1. Кристофер Холлингс (2014). Математика через железный занавес: История алгебраической теории полугрупп . Американское математическое общество. стр. 265. ISBN 978-1-4704-1493-1.
2. Крис Бринк; Вольфрам Каль; Гюнтер Шмидт (1997). Реляционные методы в информатике . Спрингер. п. 4. ISBN 978-3-211-82971-4.
3. Х.С.М. Коксетер, Введение в геометрию , стр. 33
4. C. van den Berg; JPR Christensen; P. Ressel (2012). Гармонический анализ на полугруппах: теория положительно определенных и связанных функций . Springer Science & Business Media. стр. 87–88. ISBN 978-1-4612-1128-0.
5. Манн, Лемма 1
6. Нордаль и Шайблих
7. Исдаун, Дэвид и У. Д. Манн. «О полугруппах с инволюцией». Бюллетень Австралийского математического общества 48.01 (1993): 93–100.
8. Лоусон, стр. 116
9. Лоусон, стр. 117
10. Лоусон, стр. 118
11. Лоусон стр.122 и стр.35
12. Лоусон стр.120
13. Црвенкович и Долинка
14. Нордаль и Шейблих, Теорема 2.5
15. Lawson стр. 51
16. Анджей Эренфойхт; Т. Харью; Гжегож Розенберг (1999). Теория 2-структур: основа для декомпозиции и преобразования графов . World Scientific. стр. 13–14. ISBN 978-981-02-4042-4.
17. Жак Сакарович. Элементы теории автоматов . Cambridge University Press. С. 305–306.
18. Стивен Липскомб (1996). Симметричные обратные полугруппы . Американское математическое общество. стр. 86. ISBN 978-0-8218-0627-2.
19. Lawson стр. 172
20. Ион Петре; Арто Саломаа (2009). «Алгебраические системы и автоматы с понижением». В Манфреде Дросте; Вернер Куич; Хайко Фоглер (ред.). Справочник по взвешенным автоматам . Спрингер. п. 271. ИСБН 978-3-642-01492-5.
21. Карл-Герман Нееб (2000). Голоморфность и выпуклость в теории Ли . Вальтер де Грюйтер. стр. 21. ISBN 978-3-11-015669-0.
22. Энрико Г. Бельтраметти; Джанни Кассинелли (2010) [1981]. Логика квантовой механики . Cambridge University Press. стр. 178. ISBN 978-0-521-16849-6.
23. TS Blyth (2006). Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Springer Science & Business Media. стр. 101–102. ISBN 978-1-84628-127-3.
24. Хардинг, Джон. "Кинжалы, ядра, *-полугруппы Бэра и ортомодулярность". Журнал философской логики . 6 апреля 2013 г. doi :10.1007/s10992-013-9275-5
25. Foulis, DJ Относительные обратные в *-полугруппах Бэра. Мичиганская математика. Дж. 10 (1963), вып. 1, 65–84. дои : 10.1307/mmj/1028998825.

Ссылки

• Марк В. Лоусон (1998). "Обратные полугруппы: теория частичных симметрий". World Scientific ISBN 981-02-3316-7 
• DJ Foulis (1958). Инволюционные полугруппы , докторская диссертация, Университет Тулейна, Новый Орлеан, Луизиана. Публикации DJ Foulis (доступ 5 мая 2009 г.)
• WD Munn, Специальные инволюции , в AH Clifford, KH Hofmann, MW Mislove, Теория полугрупп и ее приложения: труды конференции 1994 года, посвященной работе Альфреда Х. Клиффорда , Cambridge University Press, 1996, ISBN 0521576695. Это недавняя обзорная статья о полугруппе с (специальной) инволюцией. 
• Дразин, М. П., Регулярные полугруппы с инволюцией , Труды Симп. по регулярным полугруппам (ДеКалб, 1979), 29–46
• Нордаль Т.Е. и Х.Е. Шейблих, Регулярные * полугруппы, Semigroup Forum , 16 (1978), 369–377.
• Миюки Ямада, P-системы в регулярных полугруппах , Semigroup Forum , 24(1), декабрь 1982 г., стр. 173–187
• С. Црвенкович и Игорь Долинка, «Многообразия инволюционных полугрупп и инволюционных полуколец: обзор», Бюллетень Общества математиков Баня-Луки, т. 9 (2002), 7–47.
• В данной статье использованы материалы из книги «Свободная полугруппа с инволюцией» на PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .