Александр Варченко

Александр Николаевич Варченко ( род . 6 февраля 1949) — советский и российский математик, работающий в области геометрии , топологии , комбинаторики и математической физики .

Образование и карьера

С 1964 по 1966 год Варченко учился в московской школе-интернате № 18 имени А. Н. Колмогорова для одаренных старшеклассников, где математику и физику преподавали А. Н. Колмогоров и Я. А. Смородинский. В 1971 году Варченко окончил МГУ. Был учеником Владимира Арнольда . ^[1] Варченко защитил кандидатскую диссертацию. В 1974 году защитил диссертацию «Теоремы о топологической эквисингулярности семейств алгебраических множеств и отображений» , в 1982 году — докторскую диссертацию «Асимптотика интегралов и алгебро-геометрические инварианты критических точек функций». С 1974 по 1984 год — научный сотрудник МГУ, в 1985–1990 годах — профессор Института нефти и газа имени И.М. Губкина , с 1991 года — профессор имени Эрнеста Элиеля в Университете Северной Каролины в Чапел-Хилл .

Исследовать

В 1969 году Варченко отождествил группу монодромии критической точки типа функции нечетного числа переменных с симметрической группой , которая является группой Вейля простой алгебры Ли типа . ^[2] ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle S_{n+1}}$ ${\displaystyle A_{n}}$

В 1971 году Варченко доказал, что семейство комплексных квазипроективных алгебраических множеств с неприводимой базой образует топологически локально тривиальное расслоение над открытым по Зарискому подмножеством базы. ^[3] Это утверждение, выдвинутое Оскаром Зариским , заполнило пробел в доказательстве теоремы Зариского о фундаментальной группе дополнения к комплексной алгебраической гиперповерхности ^[4], опубликованном в 1937 году. В 1973 году Варченко доказал гипотезу Рене Тома о том, что росток гладкого отображения общего положения топологически эквивалентен ростку полиномиального отображения и имеет конечномерную полиномиальную топологическую версальную деформацию, в то время как нетипичные отображения образуют подмножество бесконечной коразмерности в пространстве всех ростков. ^[5]

Варченко был среди создателей теории многоугольников Ньютона в теории особенностей, в частности, он дал формулу, связывающую многоугольники Ньютона и асимптотику осциллирующих интегралов, связанных с критической точкой функции. Используя эту формулу, Варченко построил контрпример к гипотезе полунепрерывности В. И. Арнольда о том, что яркость света в точке каустики не меньше яркости в соседних точках. ^[6]

Варченко сформулировал гипотезу о полунепрерывности спектра критической точки при деформациях критической точки и доказал ее для деформаций малого веса квазиоднородных особенностей. Используя полунепрерывность, Варченко дал оценку сверху для числа особых точек проективной гиперповерхности заданной степени и размерности. ^[7]

Варченко ввел асимптотическую смешанную структуру Ходжа на когомологиях, обращающуюся в нуль в критической точке функции, изучая асимптотику интегралов голоморфных дифференциальных форм по семействам исчезающих циклов. Такой интеграл зависит от параметра – значения функции. Интеграл обладает двумя свойствами: как быстро он стремится к нулю, когда параметр стремится к критическому значению, и как изменяется интеграл, когда параметр движется вокруг критического значения. Первое свойство использовалось для определения фильтрации Ходжа асимптотической смешанной структуры Ходжа, а второе свойство использовалось для определения весовой фильтрации. ^[8]

Вторая часть 16-й проблемы Гильберта заключается в определении того, существует ли верхняя граница для числа предельных циклов в полиномиальных векторных полях заданной степени. Инфинизимальная 16-я проблема Гильберта, сформулированная В. И. Арнольдом, заключается в определении того, существует ли верхняя граница для числа нулей интеграла полиномиальной дифференциальной формы по семейству линий уровня полиномиального гамильтониана в терминах степеней коэффициентов дифференциальной формы и степени гамильтониана. Варченко доказал существование границы в инфинитезимальной 16-й проблеме Гильберта. ^[9]

Вадим Шехтман и Варченко идентифицировали в ^[10] уравнения Книжника –Замолодчикова (или уравнения КЗ) с подходящей связностью Гаусса–Манина и построили многомерные гипергеометрические решения уравнений КЗ. В этой конструкции решения были помечены элементами подходящей группы гомологии. Затем группа гомологии была отождествлена ​​с пространством кратности тензорного произведения представлений подходящей квантовой группы, а представление монодромии уравнений КЗ было отождествлено с ассоциированным представлением R-матрицы. Эта конструкция дала геометрическое доказательство теоремы Коно–Дринфельда ^{[11] [12]} о монодромии уравнений КЗ. Похожая картина была разработана для квантовых уравнений КЗ (или разностных уравнений типа qKZ) в совместных работах с Джованни Фелдером и Виталием Тарасовым. ^{[13] [14]} Весовые функции, появляющиеся в многомерных гипергеометрических решениях, позднее были отождествлены с устойчивыми оболочками в эквивариантной исчислительной геометрии Андрея Окунькова . ^{[15] [16]}

Во второй половине 90-х годов Фелдер, Павел Этингоф и Варченко разработали теорию динамических квантовых групп. ^{[17] [18]} Динамические уравнения, совместимые с уравнениями типа КЗ, были введены в совместных работах с Г. Фелдером, Ю. Марковым, В. Тарасовым. ^{[19] [20]} В приложениях динамические уравнения появляются как квантовые дифференциальные уравнения кокасательных расслоений многообразий частичных флагов. ^[21]

В ^[22] Евгений Мухин, Тарасов и Варченко доказали гипотезу Бориса Шапиро и Михаила Шапиро в вещественной алгебраической геометрии : ^[23] если определитель Вронского комплексного конечномерного векторного пространства многочленов от одной переменной имеет только действительные корни, то векторное пространство имеет базис из многочленов с действительными коэффициентами.

Классически известно, что индекс пересечения многообразий Шуберта в грассманиане N -мерных плоскостей совпадает с размерностью пространства инвариантов в подходящем тензорном произведении представлений полной линейной группы . В ^[24] Мухин, Тарасов и Варченко категоризировали этот факт и показали, что алгебра Бете модели Годена на таком пространстве инвариантов изоморфна алгебре функций на пересечении соответствующих многообразий Шуберта. В качестве приложения они показали, что если многообразия Шуберта определены относительно различных вещественных соприкасающихся флагов, то многообразия пересекаются трансверсально и все точки пересечения вещественны. Это свойство называется вещественностью исчисления Шуберта . ${\displaystyle \operatorname {GL} _{N}}$

Признание

Варченко был приглашенным докладчиком на Международном конгрессе математиков в 1974 году в Ванкувере (секция алгебраической геометрии) и в 1990 году в Киото (пленарный доклад). ^[25] В 1973 году он получил премию Московского математического общества .

Он был включен в число действительных членов Американского математического общества 2023 года «за вклад в теорию особенностей, действительную алгебраическую геометрию и теорию квантовых интегрируемых систем» ^{[26] .}

Книги

• Арнольд, В.И.; Гусейн-Заде, С.М.; Варченко, А.Н. Особенности дифференцируемых отображений. Т. I. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. Монографии по математике, 82. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1985. xi+382 стр. ISBN  0-8176-3187-9
• Арнольд, В.И.; Гусейн-Заде, С.М.; Варченко, А.Н. Особенности дифференцируемых отображений. Т. II. Монодромия и асимптотика интегралов. Монографии по математике, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1988. viii+492 стр. ISBN 0-8176-3185-2 
• Этингоф, П.; Варченко, А. Почему граница круглой капли становится кривой четвертого порядка (серия университетских лекций), AMS 1992, ISBN 0821870025 
• Варченко, А. Многомерные гипергеометрические функции и теория представлений алгебр Ли и квантовых групп. Advanced Series in Mathematical Physics, 21. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1995. x+371 стр. ISBN 981-02-1880-X 
• Варченко, А. Специальные функции, уравнения типа KZ и теория представлений. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 98. Опубликовано для Conference Board of the Mathematical Sciences, Вашингтон, округ Колумбия; Американским математическим обществом, Провиденс, Род-Айленд, 2003. viii+118 стр. ISBN 0-8218-2867-3 

Ссылки

1. Эдвард Френкель (1 октября 2013 г.). Любовь и математика: Сердце скрытой реальности . Basic Books. стр. 38. ISBN 978-0-465-06995-8.
2. А. Варченко (1969). «Ветвление кратных интегралов, зависящих от параметров». Функц. анал. I прил . 3 (3): 79–80.
3. А. Варченко (1972). «Теоремы топологической эквисингулярности семейств алгебраических многообразий и полиномиальных отображений». Изв. АН СССР . 36 : 957–1019.
4. Зариски, О. (1937). «О группе Пуанкаре проективной гиперповерхности». Ann. of Math . 38 (1): 131–141. doi :10.2307/1968515. JSTOR  1968515.
5. Варченко, А. (1975). «Версальные топологические деформации». Изв. АН СССР . 39 : 294314.
6. Варченко, А. (1976). «Ньютоновы многогранники и асимптотика осцилляционных интегралов». Funct. Anal. Appl . 10 (3): 175–196. doi :10.1007/bf01075524. S2CID  17932967.
7. Варченко, А. (1983). «О полунепрерывности спектров и оценках сверху числа особых точек проективной гиперповерхности». Докл. АН СССР . 270 (6): 1294–1297.
8. Варченко, А. (1980). «Асимптотика голоморфных форм определяет смешанную структуру Ходжа». Советская математика — Доклады АН СССР . 22 (5): 772–775.
9. Варченко, А. (1984). «Оценка числа нулей вещественного абелева интеграла в зависимости от параметра и предельные циклы». Func. Anal. Appl . 18 (2): 98–108. doi :10.1007/bf01077820. S2CID  121780077.
10. Шехтман, В.; Варченко, А. (1991). «Расположения гиперплоскостей и гомологии алгебры Ли». Invent. Math . 106 : 139–194. Bibcode :1991InMat.106..139S. doi :10.1007/bf01243909. S2CID  121471033.
11. Kohno, T. (1987). «Представления монодромии групп кос и уравнения Янга-Бакстера». Annales de l'Institut Fourier . 1 (4): 139–160. doi : 10.5802/aif.1114 .
12. Дринфельд, В. (1990). «Квазихопфовы алгебры». Ленинградский мат. ж . 1 : 1419–1457.
13. Тарасов, В.; Варченко, А. (1997). «Геометрия q-гипергеометрических функций как мост между янгианами и квантовыми аффинными алгебрами». Invent. Math . 128 (3): 501–588. arXiv : q-alg/9604011 . Bibcode : 1997InMat.128..501T. doi : 10.1007/s002220050151. S2CID  119162926.
14. Фелдер, Г.; Тарасов, В.; Варченко, А. (1999). «Монодромия решений эллиптических квантовых разностных уравнений Книжника-Замолодчикова-Бернара». Int. J. Math . 10 (8): 943–975. arXiv : q-alg/9705017 . doi :10.1142/s0129167x99000410. S2CID  14985025.
15. Римани, Р.; Тарасов, В.; Варченко, А. (2012). «Частичные флаговые многообразия, устойчивые оболочки и весовые функции». arXiv : 1212.6240 [math.AG].
16. Felder, G.; Rimanyi, R.; Varchenko, A. (2018). "Эллиптические динамические квантовые группы и эквивариантные эллиптические когомологии". Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения . 14 : 132. arXiv : 1702.08060 . Bibcode :2018SIGMA..14..132F. doi :10.3842/SIGMA.2018.132. S2CID  119149792.
17. Фелдер, Г.; Варченко, А. (1996). «О представлениях эллиптической квантовой группы ». Comm. Math. Phys . 181 (3): 741–761. arXiv : q-alg/9601003 . Bibcode :1996CMaPh.181..741F. doi :10.1007/bf02101296. S2CID  119128058. ${\displaystyle E_{\tau ,\eta }(sl_{2})}$
18. Этингоф, П.; Варченко, А. (1998). «Решения квантового динамического уравнения Янга–Бакстера и динамические квантовые группы». Comm. Math. Phys . 196 (3): 591–640. arXiv : q-alg/9708015 . Bibcode :1998CMaPh.196..591E. doi :10.1007/s002200050437. S2CID  8031350.
19. Марков, Ю.; Фелдер, Г.; Тарасов, В.; Варченко, А. (2000). «Дифференциальные уравнения, совместимые с уравнениями КЗ». J. Math. Phys., Analysis and Geometry . 3 (2): 139–177. doi :10.1023/A:1009862302234. S2CID  119590296.
20. Тарасов, В.; Варченко, А. (2002). «Двойственность Книжника-Замолодчикова и динамические уравнения». Действующее приложение. Математика . 73 : 141–154. дои : 10.1023/А: 1019787006990. S2CID  14901561.
21. Римани, Р.; Тарасов, В.; Варченко, А. (2012). «Частичные флаговые многообразия, устойчивые оболочки и весовые функции». arXiv : 1212.6240 [math.AG].
22. Мухин, Е.; Тарасов, В.; Варченко, А. (2009). «Гипотеза Б. и М. Шапиро в реальной алгебраической геометрии и анзац Бете». Анналы математики . Серия 2. 170 (2): 863–881. arXiv : math/0512299 . doi :10.4007/annals.2009.170.863. S2CID  18381451.
23. Sottile, Frank (2010). «Границы реальности в исчислении Шуберта». Бюллетень Американского математического общества . (NS). 47 (1): 31–71. arXiv : 0907.1847 . doi :10.1090/s0273-0979-09-01276-2. S2CID  5914695.
24. Мухин, Е.; Тарасов, В.; Варченко, А. (2009). «Исчисление Шуберта и представления общей линейной группы». Журнал Американского математического общества . 22 (4): 909–940. arXiv : 0711.4079 . Bibcode :2009JAMS...22..909M. doi : 10.1090/s0894-0347-09-00640-7 .
25. "ICM Plenary and Invited Speakers since 1897". Международный конгресс математиков . Архивировано из оригинала 2017-11-08 . Получено 2014-08-28 .
26. "2023 Class of Fellows". Американское математическое общество . Получено 2022-11-09 .

Внешние ссылки

• Александр Варченко в проекте «Генеалогия математики»
• Домашняя страница Варченко на сайте Университета Северной Каролины