Теорема Ботта о периодичности

Описывает периодичность в гомотопических группах классических групп.

В математике теорема о периодичности Ботта описывает периодичность в гомотопических группах классических групп , открытую Раулем Боттом  (1957, 1959), которая оказалась фундаментальной значимостью для многих дальнейших исследований, в частности, в K-теории стабильного комплексного вектора . расслоения , а также стабильные гомотопические группы сфер . Периодичность Ботта можно сформулировать разными способами, причем рассматриваемая периодичность всегда появляется как явление периода 2 по отношению к размерности для теории, связанной с унитарной группой . См., например , топологическую К-теорию .

Существуют соответствующие явления периода 8 для теорий согласования, ( реальной ) KO-теории и ( кватернионной ) KSp-теории, связанных с вещественной ортогональной группой и кватернионной симплектической группой соответственно. J -гомоморфизм — это гомоморфизм гомотопических групп ортогональных групп в стабильные гомотопические группы сфер , который приводит к тому, что периодичность Ботта периода 8 становится видимой в стабильных гомотопических группах сфер.

Заявление о результате

Ботт показал, что если определен как индуктивный предел ортогональных групп , то его гомотопические группы являются периодическими: ^[1] ${\displaystyle O(\infty )}$

${\displaystyle \pi _{n}(O(\infty ))\simeq \pi _{n+8}(O(\infty ))}$

и первые 8 гомотопических групп следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} _{2}\\\pi _{1}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} _{2}\\\pi _{2}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{3}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} \\\pi _{4}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{5}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{6}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{7}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} \end{aligned}}}$

Контекст и значение

Контекст периодичности Ботта заключается в том, что гомотопические группы сфер , которые, как ожидается, будут играть основную роль в алгебраической топологии по аналогии с теорией гомологии , оказались неуловимыми (и теория сложна). Предмет стабильной теории гомотопии был задуман как упрощение путем введения операции приостановки ( разбивания произведения с кругом ) и выяснения того, что (грубо говоря) осталось от теории гомотопии, когда было разрешено приостанавливать обе части уравнения, как многие раз, как хотелось. Стабильную теорию все еще было трудно вычислить на практике.

Периодичность Ботта дала понимание некоторых весьма нетривиальных пространств, имеющих центральный статус в топологии из-за связи их когомологий с характеристическими классами , для которых можно было вычислить все ( неустойчивые ) гомотопические группы. Эти пространства представляют собой (бесконечные или стабильные ) унитарные, ортогональные и симплектические группы U , O и Sp. В этом контексте под стабильным понимается объединение U (также известное как прямой предел ) последовательности включений.

${\displaystyle U(1)\subset U(2)\subset \cdots \subset U=\bigcup _{k=1}^{\infty }U(k)}$

и аналогично для O и Sp. Обратите внимание, что использование Боттом слова « стабильный» в названии его основополагающей статьи относится к этим стабильным классическим группам , а не к стабильным гомотопическим группам.

Важная связь периодичности Ботта со стабильными гомотопическими группами сфер происходит через так называемый стабильный J -гомоморфизм от (нестабильных) гомотопических групп (стабильных) классических групп к этим стабильным гомотопическим группам . Первоначально описанный Джорджем Уайтхедом , он стал предметом знаменитой гипотезы Адамса (1963), которая была окончательно решена положительно Дэниелом Квилленом (1971). ${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$ ${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$

Оригинальные результаты Ботта можно кратко резюмировать следующим образом:

Следствие: (нестабильные) гомотопические группы (бесконечных) классических групп периодические:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{k}(U)&=\pi _{k+2}(U)\\\pi _{k}(O)&=\pi _{k+4}(\operatorname {Sp} )\\\pi _{k}(\operatorname {Sp} )&=\pi _{k+4}(O)&&k=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

Примечание. Второй и третий из этих изоморфизмов переплетаются, давая результаты 8-кратной периодичности:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{k}(O)&=\pi _{k+8}(O)\\\pi _{k}(\operatorname {Sp} )&=\pi _{k+8}(\operatorname {Sp} ),&&k=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

Пространства петель и классифицирующие пространства

Для теории, связанной с бесконечной унитарной группой U , пространство BU является классифицирующим пространством для стабильных комплексных векторных расслоений ( грассманиан в бесконечных измерениях). Одна формулировка периодичности Ботта описывает пространство двойной петли BU . Здесь – функтор пространства петель , сопряженный справа с подвеской и слева с конструкцией классифицирующего пространства . Периодичность Ботта утверждает, что это пространство двойной петли, по сути, снова является BU ; точнее, ${\displaystyle \Omega ^{2}BU}$ ${\displaystyle \Omega }$

$${\displaystyle \Omega ^{2}BU\simeq \mathbb {Z} \times BU}$$

гомотопически эквивалентенBU

$${\displaystyle \Omega ^{2}U\simeq U.}$$

Любой из них немедленно показывает, почему (комплексная) топологическая K -теория является 2-кратной периодической теорией.

В соответствующей теории бесконечной ортогональной группы O пространство BO является классифицирующим пространством для устойчивых вещественных векторных расслоений . В этом случае периодичность Ботта утверждает, что для 8-кратного пространства петель

$${\displaystyle \Omega ^{8}BO\simeq \mathbb {Z} \times BO;}$$

$${\displaystyle \Omega ^{8}O\simeq O,}$$

откуда следует, что КО -теория является 8-кратной периодической теорией. Кроме того, для бесконечной симплектической группы Sp пространство BSp является классифицирующим пространством для стабильных кватернионных векторных расслоений , а периодичность Ботта утверждает, что

$${\displaystyle \Omega ^{8}\operatorname {BSp} \simeq \mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} ;}$$

$${\displaystyle \Omega ^{8}\operatorname {Sp} \simeq \operatorname {Sp} .}$$

Таким образом, как топологическая реальная K -теория (также известная как KO -теория), так и топологическая кватернионная K -теория (также известная как KSp-теория) являются 8-кратными периодическими теориями.

Геометрическая модель пространств петель

Одна элегантная формулировка периодичности Ботта использует наблюдение о том, что между классическими группами существуют естественные вложения (в виде замкнутых подгрупп). Пространства петель в периодичности Ботта тогда гомотопически эквивалентны симметричным пространствам последовательных факторов с дополнительными дискретными факторами Z .

Над комплексными числами :

${\displaystyle U\times U\subset U\subset U\times U.}$

Над действительными числами и кватернионами:

${\displaystyle O\times O\subset O\subset U\subset \operatorname {Sp} \subset \operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} \subset \operatorname {Sp} \subset U\subset O\subset O\times O.}$

Эти последовательности соответствуют последовательностям в алгебрах Клиффорда – см. классификацию алгебр Клиффорда ; над комплексными числами:

${\displaystyle \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} .}$

Над действительными числами и кватернионами:

${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ,}$

где алгебры с делением обозначают «матрицы над этой алгеброй».

Анимация часов с периодичностью Ботта с использованием циферблата Mod 8 с подержанной мнемоникой, взятой из И-Цзин, с реальной алгеброй Клиффорда сигнатуры (p,q), обозначенной как Cl p,q ( ₎ = Cl(p,q). ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Поскольку они 2-периодические/8-периодические, их можно расположить по кругу, где они называются часами периодичности Ботта и часами алгебры Клиффорда .

Результаты о периодичности Ботта затем сводятся к последовательности гомотопических эквивалентностей :

Для комплексной К -теории:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega U&\simeq \mathbb {Z} \times BU=\mathbb {Z} \times U/(U\times U)\\\Omega (\mathbb {Z} \times BU)&\simeq U=(U\times U)/U\end{aligned}}}$

Для вещественной и кватернионной КО- и KSp-теорий:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega (\mathbb {Z} \times BO)&\simeq O=(O\times O)/O&\Omega (\mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} )&\simeq \operatorname {Sp} =(\operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} )/\operatorname {Sp} \\\Omega O&\simeq O/U&\Omega \operatorname {Sp} &\simeq \operatorname {Sp} /U\\\Omega (O/U)&\simeq U/\operatorname {Sp} &\Omega (\operatorname {Sp} /U)&\simeq U/O\\\Omega (U/\operatorname {Sp} )&\simeq \mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} =\mathbb {Z} \times \operatorname {Sp} /(\operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} )&\Omega (U/O)&\simeq \mathbb {Z} \times BO=\mathbb {Z} \times O/(O\times O)\end{aligned}}}$

Полученные пространства гомотопически эквивалентны классическим редуктивным симметрическим пространствам и являются последовательными факторами членов часов периодичности Ботта. Эти эквивалентности немедленно приводят к теоремам периодичности Ботта.

Конкретными пространствами являются ^{[примечание 1]} (для групп также указано главное однородное пространство ):

Доказательства

Первоначальное доказательство Ботта (Bott 1959) использовало теорию Морса , которую Ботт (1956) использовал ранее для изучения гомологии групп Ли . Было приведено множество различных доказательств.

Примечания

1. Интерпретация и маркировка немного неверны и относятся к неприводимым симметричным пространствам, хотя это более общие редуктивные пространства. Например, SU /Sp неприводимый, а U /Sp восстановительный. Как они показывают, разницу можно интерпретировать как наличие или отсутствие ориентации.

Рекомендации

1. «Введение».

• Ботт, Рауль (1956), «Применение теории Морса к топологии групп Ли», Bulletin de la Société Mathématique de France , 84 : 251–281, doi : 10.24033/bsmf.1472 , ISSN  0037-9484, МР  0087035
• Ботт, Рауль (1957), «Стабильная гомотопия классических групп», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 43 (10): 933–5, Бибкод : 1957PNAS...43..933B , doi : 10.1073/pnas.43.10.933 , JSTOR  89403, MR  0102802, PMC  528555 , PMID  16590113
• Ботт, Рауль (1959), «Стабильная гомотопия классических групп», Annals of Mathematics , Second Series, 70 (2): 313–337, doi : 10.2307/1970106, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970106, MR  0110104, ПМК  528555 , ПМИД  16590113
• Ботт, Рауль (1970), «Теорема периодичности для классических групп и некоторые ее приложения», Advances in Mathematics , 4 (3): 353–411, doi : 10.1016/0001-8708(70)90030-7. Пояснительное описание теоремы и окружающей ее математики.
• Гиффен, CH (1996), «Периодичность Ботта и Q-конструкция», в Banaszak, Grzegorz; Гайда, Войцех; Красонь, Петр (ред.), Алгебраическая K-теория, Современная математика, том. 199, Американское математическое общество, стр. 107–124, ISBN. 978-0-8218-0511-4, МР  1409620
• Милнор, Дж. (1969). Теория Морса . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08008-9.
• Баэз, Джон (21 июня 1997 г.). «105 неделя». Находки этой недели по математической физике .