p-адическая оценка

Наивысшая степень p, делящая заданное число

В теории чисел p -адическая оценка или p - адический порядок целого числа n является показателем высшей степени простого числа p , которое делит n . Обозначается . Эквивалентно, это показатель степени, который появляется в простой факторизации . ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$ ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$

p - адическая оценка является оценкой и порождает аналог обычной абсолютной величины . В то время как пополнение рациональных чисел относительно обычного абсолютного значения приводит к получению действительных чисел , пополнение рациональных чисел относительно -адического абсолютного значения приводит к получению p -адических чисел . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Распределение натуральных чисел по их 2-адической оценке, помеченной соответствующими степенями двойки в десятичном формате. Ноль имеет бесконечную оценку.

Определение и свойства

Пусть p — простое число .

Целые числа

p -адическая оценка целого числа определяется как ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} _{0}:p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}}$

где обозначает множество натуральных чисел (включая ноль) и обозначает делимость на . В частности, это функция . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle m\mid n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \nu _{p}}$ ${\displaystyle \nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}}$

Например, , , и поскольку . ${\displaystyle \nu _{2}(-12)=2}$ ${\displaystyle \nu _{3}(-12)=1}$ ${\displaystyle \nu _{5}(-12)=0}$ ${\displaystyle |{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}}$

Это обозначение иногда используется для обозначения . ^[3] ${\displaystyle p^{k}\parallel n}$ ${\displaystyle k=\nu _{p}(n)}$

Если – целое положительное число, то ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \nu _{p}(n)\leq \log _{p}n}$;

это следует непосредственно из . ${\displaystyle n\geq p^{\nu _{p}(n)}}$

Рациональное число

p -адическая оценка может быть распространена на рациональные числа как функция

${\displaystyle \nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$^{[4] [5]}

определяется

${\displaystyle \nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s).}$

Например, и поскольку . ${\displaystyle \nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3}$ ${\displaystyle \nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2}$ ${\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}}$

Некоторые свойства:

${\displaystyle \nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)}$

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

Более того, если , то ${\displaystyle \nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)}$

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

где – минимум (т.е. меньший из двух). ${\displaystyle \min }$

п-адическое абсолютное значение

p -адическая абсолютная величина (или p -адическая норма, ^[6] хотя и не норма в смысле анализа) на — это функция ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle |\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

определяется

${\displaystyle |r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.}$

Тем самым для всех и например, и ${\displaystyle |0|_{p}=p^{-\infty }=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}}$ ${\displaystyle {\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8.}$

p - адическое абсолютное значение удовлетворяет следующим свойствам.

Из мультипликативности следует, что для корней из единицы и , следовательно, также и субаддитивность следует из неархимедова неравенства треугольника . ${\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}$ ${\displaystyle |1|_{p}=1=|-1|_{p}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle |{-r}|_{p}=|r|_{p}.}$ ${\displaystyle |r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}}$ ${\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}$

Выбор основания p при возведении в степень не имеет значения для большинства свойств, но поддерживает формулу произведения: ${\displaystyle p^{-\nu _{p}(r)}}$

${\displaystyle \prod _{0,p}|r|_{p}=1}$

где произведение берется по всем простым числам p и обычному абсолютному значению, обозначаемому . Это следует из простого факторизации простых чисел : каждый простой степенной множитель вносит свой вклад в свое p -адическое абсолютное значение, а затем обычное архимедово абсолютное значение отменяет все из них. ${\displaystyle |r|_{0}}$ ${\displaystyle p^{k}}$

Метрическое пространство может быть сформировано на множестве с ( неархимедовой , трансляционно-инвариантной ) метрикой. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

определяется

${\displaystyle d(r,s)=|r-s|_{p}.}$

Пополнение по этой метрике приводит к множеству p -адических чисел . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Смотрите также

• p -адическое число
• Оценка (алгебра)
• Архимедово свойство
• Кратность (математика)
• Теорема Островского
• Формула Лежандра

Рекомендации

1. Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2003). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. стр. 758–759. ISBN 0-471-43334-9.
2. Ирландия, К.; Розен, М. (2000). Классическое введение в современную теорию чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 3.^{[ ISBN отсутствует ]}
3. Нивен, Иван ; Цукерман, Герберт С.; Монтгомери, Хью Л. (1991). Введение в теорию чисел (5-е изд.). Джон Уайли и сыновья . п. 4. ISBN 0-471-62546-9.
4. с обычным отношением порядка, а именно

   ${\displaystyle \infty >n}$,

   и правила арифметических действий,

   ${\displaystyle \infty +n=n+\infty =\infty }$,

   на расширенной числовой строке.
5. Хренников, А.; Нильссон, М. (2004). p -адическая детерминированная и случайная динамика . Академическое издательство Клювер. п. 9.^{[ ISBN отсутствует ]}
6. Мурти, М. Рам (2001). Проблемы аналитической теории чисел . Тексты для аспирантов по математике. Том. 206. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. стр. 147–148. дои : 10.1007/978-1-4757-3441-6. ISBN 0-387-95143-1. МР  1803093.