p-адический анализ

Раздел теории чисел

3-адические целые числа с выбранными соответствующими символами в их двойственной группе Понтрягина

В математике p - адический анализ — раздел теории чисел , занимающийся математическим анализом функций p -адических чисел .

Теория комплекснозначных числовых функций на p -адических числах является частью теории локально компактных групп . Обычное значение, принятое для p -адического анализа, — это теория p -адическизначных функций на интересующих нас пространствах.

Приложения p -адического анализа в основном были в теории чисел , где он играет важную роль в диофантовой геометрии и диофантовых приближениях . Некоторые приложения потребовали разработки p -адического функционального анализа и спектральной теории . Во многих отношениях p -адический анализ менее тонок, чем классический анализ , поскольку ультраметрическое неравенство означает, например, что сходимость бесконечных рядов p -адических чисел намного проще. Топологические векторные пространства над p -адическими полями демонстрируют отличительные черты; например, аспекты, связанные с выпуклостью и теоремой Хана–Банаха, различны.

Важные результаты

Теорема Островского

Теорема Островского, принадлежащая Александру Островскому (1916), утверждает, что каждое нетривиальное абсолютное значение рациональных чисел Q эквивалентно либо обычному действительному абсолютному значению, либо p -адическому абсолютному значению. ^[1]

Теорема Малера

Теорема Малера , введенная Куртом Малером ^[2] , выражает непрерывные p -адические функции через многочлены.

В любом поле характеристики имеем следующий результат. Пусть

${\displaystyle (\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)}$

быть оператором прямой разности . Тогда для полиномиальных функций f мы имеем ряд Ньютона :

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(\Delta ^{k}f)(0){x \choose k},}$

где

${\displaystyle {x \choose k}={\frac {x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}{k!}}}$

— полином биномиального коэффициента k -го порядка.

В области действительных чисел предположение о том, что функция f является многочленом, можно ослабить, но его нельзя ослабить вплоть до простой непрерывности .

Малер доказал следующий результат:

Теорема Малера : Если f — непрерывная p-адическая -функция от p -адических целых чисел, то справедливо то же самое тождество.

Лемма Гензеля

Лемма Гензеля, также известная как лемма о подъеме Гензеля, названная в честь Курта Гензеля , является результатом в модульной арифметике , утверждающим, что если полиномиальное уравнение имеет простой корень по модулю простого числа p , то этот корень соответствует уникальному корню того же уравнения по модулю любой более высокой степени p , который может быть найден итеративным « поднятием » решения по модулю последовательных степеней p . В более общем смысле она используется как общее название для аналогов для полных коммутативных колец (включая p -адические поля в частности) метода Ньютона для решения уравнений. Поскольку p -адический анализ в некоторых отношениях проще вещественного анализа , существуют относительно простые критерии, гарантирующие корень полинома.

Чтобы сформулировать результат, пусть будет многочленом с целыми (или p -адическими целыми) коэффициентами, и пусть m , k будут положительными целыми числами, такими что m ≤ k . Если r — целое число, такое что ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}}$и ${\displaystyle f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}}}$

то существует целое число s такое, что

${\displaystyle f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}}$и ${\displaystyle r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.}$

Более того, это s является уникальным по модулю p ^{k +m} и может быть вычислено явно как

${\displaystyle s=r+tp^{k}}$где ${\displaystyle t=-{\frac {f(r)}{p^{k}}}\cdot (f'(r)^{-1}).}$

Приложения

Локально-глобальный принцип

Локально-глобальный принцип Хельмута Хассе , также известный как принцип Хассе, заключается в том, что можно найти целочисленное решение уравнения , используя китайскую теорему об остатках, чтобы объединить решения по модулю степеней каждого простого числа . Это делается путем изучения уравнения в завершениях рациональных чисел : действительных чисел и p -адических чисел . Более формальная версия принципа Хассе гласит, что некоторые типы уравнений имеют рациональное решение тогда и только тогда, когда они имеют решение в действительных числах и в p -адических числах для каждого простого числа p .

Смотрите также

• p- адическое число
• p -адическая показательная функция
• p- адическая теория Тейхмюллера
• Локально компактное пространство
• Реальный анализ
• Комплексный анализ
• Гиперкомплексный анализ
• Гармонический анализ
• p -адическая квантовая механика

Ссылки

1. Коблиц, Нил (1984). P-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 3. ISBN 978-0-387-96017-3. Получено 24 августа 2012 г. . Теорема 1 (Островский). Всякая нетривиальная норма ‖ ‖ на эквивалентна | | _p для некоторого простого числа p или для p = ∞ . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 
2. Малер, К. (1958), «Интерполяционный ряд для непрерывных функций p-адической переменной», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1958 (199): 23–34, doi : 10.1515/crll.1958.199.23 , ISSN  0075-4102, MR  0095821, S2CID  199546556

Дальнейшее чтение

• Коблиц, Нил (1980). p-адический анализ: краткий курс по последним работам . Серия заметок лекций Лондонского математического общества. Том 46. Cambridge University Press . ISBN 0-521-28060-5. Збл  0439.12011.
• Cassels, JWS (1986). Локальные поля . Тексты для студентов Лондонского математического общества. Том 3. Cambridge University Press . ISBN 0-521-31525-5. Збл  0595.12006.
• Чистов, Александр; Карпинский, Марек (1997). "Сложность определения разрешимости полиномиальных уравнений над p-адическими целыми числами". Univ. Of Bonn CS Reports 85183. S2CID 120604553  .
• Карпински, Марек ; ван дер Поортен, Альф; Шпарлински, Игорь (2000). «Нулевое тестирование p-адических и модулярных полиномов». Теоретическая информатика . 233 (1–2): 309–317. doi :10.1016/S0304-3975(99)00133-4.(препринт)
• Курс p-адического анализа, Ален Робер, Springer, 2000, ISBN 978-0-387-98669-2 
• Ультраметрическое исчисление: Введение в P-адический анализ, WH Schikhof, Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-03287-2 
• P-адические дифференциальные уравнения, Киран С. Кедлая, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-76879-5