В математике комплексно -сопряженным комплексным числом называется число, имеющее равные действительную и мнимую части, равные по величине , но противоположные по знаку . То есть, если и являются действительными числами, то комплексно-сопряженное число часто обозначается как или .
В полярной форме , если и являются действительными числами, то сопряженное число равно Это можно показать с помощью формулы Эйлера .
Произведение комплексного числа и его сопряженного числа — действительное число: (или в полярных координатах ).
Комплексно-сопряженное число записывается как или Первое обозначение, винкулум , позволяет избежать путаницы с обозначением сопряженного транспонирования матрицы , которое можно рассматривать как обобщение комплексно-сопряженного числа. Второй вариант предпочтителен в физике , где кинжал (†) используется для сопряженного транспонирования, а также в электротехнике и вычислительной технике , где обозначение столбца можно спутать с символом логического отрицания («НЕ») булевой алгебры , в то время как знак столбца обозначения более распространены в чистой математике .
Следующие свойства применимы ко всем комплексным числам , если не указано иное, и могут быть доказаны в письменной форме и в форме
Для любых двух комплексных чисел сопряжение является распределительным по отношению к сложению, вычитанию, умножению и делению: [ссылка 1]
Комплексное число равно своему комплексно-сопряженному, если его мнимая часть равна нулю, то есть если число действительное. Другими словами, действительные числа — единственные фиксированные точки сопряжения.
Сопряжение не меняет модуль комплексного числа:
Сопряжение — это инволюция , то есть сопряжение сопряженного комплексного числа В символах, [ссылка 1]
Произведение комплексного числа на сопряженное ему равно квадрату модуля числа:
Сопряжение коммутативно при композиции с возведением в степень до целых степеней, с показательной функцией и с натуральным логарифмом для ненулевых аргументов:
В общем случае, если это голоморфная функция , ограничение которой на действительные числа вещественнозначно и определены , то
Отображение от до является гомеоморфизмом (где топология о считается стандартной топологией) и антилинейным , если рассматривать его как комплексное векторное пространство над собой. Хотя на первый взгляд это хорошая функция, она не голоморфна ; он меняет ориентацию, тогда как голоморфные функции локально сохраняют ориентацию. Он биективен и совместим с арифметическими операциями и, следовательно, является полевым автоморфизмом . Поскольку она сохраняет действительные числа фиксированными, она является элементом группы Галуа расширения поля . Эта группа Галуа имеет только два элемента: и единицу. Таким образом, единственные два полевых автоморфизма, которые оставляют действительные числа фиксированными, - это тождественное отображение и тождество. сложное сопряжение.
Использовать как переменную
Если задано комплексное число или , его сопряженного числа достаточно для воспроизведения частей -переменной :
Кроме того, может использоваться для указания линий на плоскости: набор
Такое использование сопряженного числа в качестве переменной проиллюстрировано в книге Фрэнка Морли «Обратная геометрия» (1933), написанной вместе с его сыном Фрэнком Вигором Морли.
Для матриц комплексных чисел, где представляет поэлементное сопряжение [ссылка 2]. Сравните это со свойством , где представляет сопряженное транспонирование
называется комплексным сопряжением или вещественной структурой . Поскольку инволюция антилинейна , она не может быть тождественной картой на
Конечно, это -линейное преобразование, если заметить, что каждое комплексное пространство имеет действительную форму, полученную путем взятия тех же векторов , что и в исходном пространстве, и ограничения скаляров вещественностью. Вышеупомянутые свойства фактически определяют реальную структуру в комплексном векторном пространстве [2]
Одним из примеров этого понятия является операция сопряженного транспонирования комплексных матриц, определенная выше. Однако в общих комплексных векторных пространствах не существует канонического понятия комплексного сопряжения.
Смотрите также
Абсолютный квадрат – произведение числа на себя.Pages displaying short descriptions of redirect targets
Будинич П. и Траутман А. Спинориальная шахматная доска . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (антилинейные отображения обсуждаются в разделе 3.3).
^ «Объяснение урока: Матричное представление комплексных чисел | Нагва» . www.nagwa.com . Проверено 4 января 2023 г.
^ Будинич П. и Траутман А. Спинориальная шахматная доска . Спрингер-Верлаг, 1988, с. 29