число Маха

Отношение скорости объекта, движущегося в жидкости, к локальной скорости звука

Число Маха ( M или Ma ), часто просто Маха ( / mɑːk / ; нем. [max] ) — безразмерная величина в гидродинамике , представляющая отношение скорости потока за границей к локальной скорости звука . ^{[1] [2]} Оно названо в честь австрийского физика и философа Эрнста Маха .

${\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {u}{c}},}$

где:

М — местное число Маха,

u — локальная скорость потока относительно границ (внутренних, например, объекта, погруженного в поток, или внешних, например, канала), и

c — скорость звука в среде, которая в воздухе изменяется пропорционально квадратному корню из термодинамической температуры .

По определению, при числе Маха  1 локальная скорость потока u равна скорости звука. При числе Маха  0,65 u составляет 65% скорости звука (дозвуковая), а при числе Маха  1,35 u на 35% превышает скорость звука (сверхзвуковая). Пилоты высотных аэрокосмических аппаратов используют число Маха полета для выражения истинной воздушной скорости аппарата , но поле потока вокруг аппарата изменяется в трех измерениях с соответствующими изменениями локального числа Маха.

Самолет F/A-18 Hornet создает конус пара на околозвуковой скорости непосредственно перед достижением скорости звука .

Локальная скорость звука и, следовательно, число Маха зависят от температуры окружающего газа. Число Маха в первую очередь используется для определения приближения, с которым поток можно рассматривать как несжимаемый поток . Среда может быть газом или жидкостью. Граница может перемещаться в среде или может быть неподвижной, пока среда течет вдоль нее, или они обе могут двигаться с разными скоростями : важна их относительная скорость по отношению друг к другу. Граница может быть границей объекта, погруженного в среду, или канала, такого как сопло , диффузор или аэродинамическая труба, направляющего среду. Поскольку число Маха определяется как отношение двух скоростей, оно является безразмерной величиной. Если M  < 0,2–0,3 и поток является квазистационарным и изотермическим , эффекты сжимаемости будут небольшими, и можно использовать упрощенные уравнения потока несжимаемой жидкости. ^{[1] [2]}

Этимология

Число Маха названо в честь физика и философа Эрнста Маха ^[3] по предложению авиационного инженера Якоба Акерета в 1929 году. ^[4] Слово Маха всегда пишется с заглавной буквы, поскольку оно происходит от имени собственного, и поскольку число Маха является безразмерной величиной, а не единицей измерения , число следует после слова Маха; второе число Маха — это Маха  2 вместо 2  Маха (или Маха). Это несколько напоминает раннюю современную единицу измерения глубины океана ( синоним слова fatom ), которая также была первой единицей измерения и, возможно, повлияла на использование термина Маха. В десятилетие, предшествовавшее сверхзвуковому полету человека , авиационные инженеры называли скорость звука числом Маха , а не Махом 1. [ ^5]

Обзор

Скорость звука (синяя) зависит только от изменения температуры на высоте (красная) и может быть рассчитана из нее, поскольку изолированные эффекты плотности и давления на скорость звука компенсируют друг друга. Скорость звука увеличивается с высотой в двух областях стратосферы и термосферы из-за эффектов нагрева в этих областях.

Число Маха является мерой характеристик сжимаемости потока жидкости : жидкость (воздух) ведет себя под влиянием сжимаемости аналогичным образом при заданном числе Маха, независимо от других переменных. ^[6] Как смоделировано в Международной стандартной атмосфере , сухом воздухе на среднем уровне моря , стандартной температуре 15 °C (59 °F), скорость звука составляет 340,3 метра в секунду (1116,5 фута/с; 761,23 мили в час; 1225,1 км/ч; 661,49 узла). ^[7] Скорость звука не является постоянной величиной; в газе она увеличивается пропорционально квадратному корню абсолютной температуры , и поскольку температура атмосферы обычно уменьшается с увеличением высоты между уровнем моря и 11 000 метров (36 089 футов), скорость звука также уменьшается. Например, стандартная модель атмосферы понижает температуру до -56,5 °C (-69,7 °F) на высоте 11 000 метров (36 089 футов) при соответствующей скорости звука (  1 Маха) 295,0 метров в секунду (967,8 фута/с; 659,9 миль/ч; 1062 км/ч; 573,4 узла), что составляет 86,7% от значения на уровне моря.

Появление в уравнении непрерывности

В качестве меры сжимаемости потока число Маха может быть получено из соответствующего масштабирования уравнения неразрывности . ^[8] Полное уравнение неразрывности для общего потока жидкости имеет вид: где — производная материала , — плотность , а — скорость потока . Для изэнтропических изменений плотности, вызванных давлением, где — скорость звука. Тогда уравнение неразрывности может быть немного изменено для учета этого соотношения: Следующий шаг — обезразмерить переменные как таковые: где — характерный масштаб длины, — характерный масштаб скорости, — опорное давление, а — опорная плотность. Тогда безразмерную форму уравнения неразрывности можно записать как: где число Маха . В пределе, когда , уравнение неразрывности сводится к — это стандартное требование для несжимаемого потока . $${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\bf {u}})=0\equiv -{1 \over {\rho }}{D\rho \over {Dt}}=\nabla \cdot {\bf {u}}}$$ ${\displaystyle D/Dt}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\bf {u}}}$ ${\displaystyle dp=c^{2}d\rho }$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle -{1 \over {\rho c^{2}}}{Dp \over {Dt}}=\nabla \cdot {\bf {u}}}$$ $${\displaystyle {\bf {x}}^{*}={\bf {x}}/L,\quad t^{*}=Ut/L,\quad {\bf {u}}^{*}={\bf {u}}/U,\quad p^{*}=(p-p_{\infty })/\rho _{0}U^{2},\quad \rho ^{*}=\rho /\rho _{0}}$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p_{\infty }}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ $${\displaystyle -{U^{2} \over {c^{2}}}{1 \over {\rho ^{*}}}{Dp^{*} \over {Dt^{*}}}=\nabla ^{*}\cdot {\bf {u}}^{*}\implies -{\text{M}}^{2}{1 \over {\rho ^{*}}}{Dp^{*} \over {Dt^{*}}}=\nabla ^{*}\cdot {\bf {u}}^{*}}$$ ${\displaystyle {\text{M}}=U/c}$ ${\displaystyle {\text{M}}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \nabla \cdot {\bf {u}}=0}$

Классификация режимов Маха

В то время как термины дозвуковой и сверхзвуковой , в чистом смысле, относятся к скоростям ниже и выше локальной скорости звука соответственно, аэродинамики часто используют те же термины, чтобы говорить о конкретных диапазонах значений Маха. Это происходит из-за наличия трансзвукового режима вокруг полета (свободного потока) M = 1, где приближения уравнений Навье-Стокса, используемые для дозвукового проектирования, больше не применимы; самое простое объяснение состоит в том, что поток вокруг планера самолета локально начинает превышать M = 1, даже если число Маха свободного потока ниже этого значения.

Между тем, сверхзвуковой режим обычно используется для разговора о наборе чисел Маха, для которых может быть использована линеаризованная теория, где, например, поток ( воздуха ) не вступает в химическую реакцию и где теплопередачей между воздухом и транспортным средством можно обоснованно пренебречь в расчетах.

В следующей таблице имеются в виду режимы или диапазоны значений числа Маха , а не чистые значения слов «дозвуковой» и «сверхзвуковой» .

Как правило, NASA определяет высокую гиперзвуковую скорость как любое число Маха от 10 до 25, а скорость входа в атмосферу — как все, что больше 25 Маха. К самолетам, работающим в этом режиме, относятся « Спейс шаттл» и различные космические самолеты, находящиеся в разработке.

Высокоскоростной поток вокруг объектов

Полеты можно условно разделить на шесть категорий:

Для сравнения: требуемая скорость для низкой околоземной орбиты составляет примерно 7,5 км/с = 25,4 Маха в воздухе на больших высотах.

На околозвуковых скоростях поле течения вокруг объекта включает как дозвуковые, так и сверхзвуковые части. Трансзвуковой период начинается, когда вокруг объекта появляются первые зоны течения с M > 1. В случае аэродинамического профиля (например, крыла самолета) это обычно происходит над крылом. Сверхзвуковой поток может замедлиться до дозвукового только в нормальном скачке уплотнения; обычно это происходит перед задней кромкой. (Рис. 1а)

С ростом скорости зона течения M > 1 увеличивается как по направлению к передней, так и к задней кромке. По достижении и прохождении M = 1 прямой скачок уплотнения достигает задней кромки и становится слабым косым скачком уплотнения: течение замедляется над скачком уплотнения, но остается сверхзвуковым. Прямой скачок уплотнения создается впереди объекта, и единственная дозвуковая зона в поле течения — это небольшая область вокруг передней кромки объекта. (Рис.1b)

Рис. 1. Число Маха при трансзвуковом обтекании аэродинамического профиля потоком воздуха; M < 1 (а) и M > 1 (б).

Когда самолет превышает число Маха 1 (т. е. звуковой барьер ), прямо перед самолетом создается большая разница давлений . Эта резкая разница давлений, называемая ударной волной , распространяется назад и наружу от самолета в форме конуса (так называемый конус Маха ). Именно эта ударная волна вызывает звуковой удар, слышимый, когда быстро летящий самолет пролетает над головой. Человек внутри самолета этого не услышит. Чем выше скорость, тем уже конус; при значении чуть выше M = 1 это едва ли конус, а скорее слегка вогнутая плоскость.

На полностью сверхзвуковой скорости ударная волна начинает принимать форму конуса, и поток становится либо полностью сверхзвуковым, либо (в случае тупого предмета) между носом предмета и ударной волной, которую он создает впереди себя, остается лишь очень маленькая область дозвукового потока. (В случае острого предмета между носом и ударной волной нет воздуха: ударная волна начинается с носа.)

С ростом числа Маха увеличивается и сила ударной волны , а конус Маха становится все уже. По мере того, как поток жидкости пересекает ударную волну, его скорость уменьшается, а температура, давление и плотность увеличиваются. Чем сильнее ударная волна, тем больше изменения. При достаточно больших числах Маха температура над ударной волной увеличивается настолько, что начинается ионизация и диссоциация молекул газа за ударной волной. Такие потоки называются гиперзвуковыми.

Очевидно, что любой объект, движущийся с гиперзвуковой скоростью, будет подвергаться воздействию тех же экстремальных температур, что и газ за носовой ударной волной, поэтому выбор термостойких материалов становится важным.

Высокоскоростной поток в канале

Когда поток в канале становится сверхзвуковым, происходит одно существенное изменение. Сохранение массового расхода приводит к тому, что можно ожидать, что сужение канала потока увеличит скорость потока (т. е. сужение канала приведет к более быстрому потоку воздуха), и на дозвуковых скоростях это справедливо. Однако, как только поток становится сверхзвуковым, соотношение площади потока и скорости меняется на противоположное: расширение канала фактически увеличивает скорость.

Очевидный результат заключается в том, что для разгона потока до сверхзвуковой скорости необходимо конвергентно-дивергентное сопло, где сужающаяся часть разгоняет поток до звуковых скоростей, а расходящаяся часть продолжает ускорение. Такие сопла называются соплами Лаваля , и в экстремальных случаях они способны достигать гиперзвуковых скоростей (13 Маха (15 900 км/ч; 9 900 миль/ч) при 20 °C).

Махометр самолета или электронная система полетной информации ( EFIS ) может отображать число Маха, полученное на основе давления торможения ( трубка Пито ) и статического давления.

Расчет

Если известна скорость звука, число Маха, с которым летит самолет, можно рассчитать по формуле:

${\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {u}{c}}}$

где:

М — число Маха

u - скорость движущегося самолета и

c — скорость звука на данной высоте (точнее, температура)

а скорость звука изменяется в зависимости от термодинамической температуры следующим образом:

${\displaystyle c={\sqrt {\gamma \cdot R_{*}\cdot T}},}$

где:

${\displaystyle \gamma \,}$это отношение удельной теплоёмкости газа при постоянном давлении к теплоёмкости при постоянном объёме (1,4 для воздуха)

${\displaystyle R_{*}}$— удельная газовая постоянная для воздуха.

${\displaystyle T,}$статическая температура воздуха.

Если скорость звука неизвестна, число Маха можно определить, измерив различные давления воздуха (статическое и динамическое) и используя следующую формулу, которая выведена из уравнения Бернулли для чисел Маха менее 1,0. Предполагая, что воздух является идеальным газом , формула для вычисления числа Маха в дозвуковом сжимаемом потоке имеет вид: ^[9]

${\displaystyle \mathrm {M} ={\sqrt {{\frac {2}{\gamma -1}}\left[\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right]}}\,}$

где:

q _c — ударное давление (динамическое давление) и

p — статическое давление

${\displaystyle \gamma \,}$это отношение удельной теплоёмкости газа при постоянном давлении к теплоёмкости при постоянном объёме (1,4 для воздуха)

Формула для вычисления числа Маха в сверхзвуковом сжимаемом потоке выводится из уравнения Рэлея для сверхзвукового потока:

${\displaystyle {\frac {p_{t}}{p}}=\left[{\frac {\gamma +1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\right]^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}\cdot \left[{\frac {\gamma +1}{1-\gamma +2\gamma \,\mathrm {M} ^{2}}}\right]^{\frac {1}{\gamma -1}}}$

Расчет числа Маха по давлению в трубке Пито

Число Маха является функцией температуры и истинной скорости полета. Однако приборы для полета самолета работают, используя перепад давления для вычисления числа Маха, а не температуры.

Предполагая, что воздух является идеальным газом , формула для вычисления числа Маха в дозвуковом сжимаемом потоке находится из уравнения Бернулли для M < 1 (выше): ^[9]

${\displaystyle \mathrm {M} ={\sqrt {5\left[\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)^{\frac {2}{7}}-1\right]}}\,}$

Формулу для вычисления числа Маха в сверхзвуковом сжимаемом потоке можно найти из уравнения Рэлея-Пито для сверхзвукового потока (выше) с использованием параметров для воздуха:

${\displaystyle \mathrm {M} \approx 0.88128485{\sqrt {\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)\left(1-{\frac {1}{7\,\mathrm {M} ^{2}}}\right)^{2.5}}}}$

где:

q _c — динамическое давление, измеренное за нормальным скачком уплотнения.

Как можно видеть, M появляется в обеих частях уравнения, и для практических целей алгоритм поиска корня должен быть использован для численного решения (уравнение является септическим уравнением относительно M2 ^, и хотя некоторые из них могут быть решены явно, теорема Абеля–Руффини гарантирует, что не существует общей формы для корней этих многочленов). Сначала определяется, действительно ли M больше 1,0, путем вычисления M из дозвукового уравнения. Если M больше 1,0 в этой точке, то значение M из дозвукового уравнения используется в качестве начального условия для итерации неподвижной точки сверхзвукового уравнения, которое обычно сходится очень быстро. ^[9] В качестве альтернативы можно также использовать метод Ньютона .

Смотрите также

• Критическое число Маха  – понятие в аэродинамике
• Махметр  – прибор для измерения полета
• ПВРД  – сверхзвуковой атмосферный реактивный двигатель
• Scramjet  – реактивный двигатель, в котором сгорание происходит в сверхзвуковом потоке воздуха.
• Скорость звука  – Скорость звуковой волны в упругой среде.
• Истинная воздушная скорость  — скорость самолета относительно воздушной массы, через которую он летит.
• Порядки величин (скорости)  – Сравнение широкого диапазона скоростей.

Примечания

1. Young, Donald F.; Munson, Bruce R.; Okiishi, Theodore H .; Huebsch, Wade W. (21 декабря 2010 г.). Краткое введение в механику жидкости (5-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 95. ISBN 978-0-470-59679-1. LCCN  2010038482. OCLC  667210577. OL  24479108M.
2. Graebel, William P. (19 января 2001 г.). Engineering Fluid Mechanics (1-е изд.). CRC Press . стр. 16. ISBN 978-1-56032-733-2. OCLC  1034989004. OL  9794889M.
3. "Эрнст Мах". Encyclopaedia Britannica . 2016. Получено 6 января 2016 .
4. Якоб Акерет: Der Luftwiderstand bei sehr großen Geschwindigkeiten. Schweizerische Bauzeitung 94 (октябрь 1929 г.), стр. 179–183. См. также: Н. Ротт: Якоб Аккерт и история числа Маха. Ежегодный обзор механики жидкости 17 (1985), стр. 1–9.
5. Боди, Уоррен М., Lockheed P-38 Lightning , Widewing Publications ISBN 0-9629359-0-5 . 
6. Нэнси Холл (ред.). «Число Маха». NASA .
7. Клэнси, Л. Дж. (1975), Аэродинамика, Таблица 1, Pitman Publishing London, ISBN 0-273-01120-0 
8. Кунду, П. Дж.; Коэн, И. М.; Доулинг, Д. Р. (2012). Механика жидкости (5-е изд.). Academic Press. С. 148–149. ISBN 978-0-12-382100-3.
9. Olson, Wayne M. (2002). "AFFTC-TIH-99-02, Летные испытания летательных аппаратов ". (PDF). Летно-испытательный центр ВВС, авиабаза Эдвардс, Калифорния, ВВС США. Архивировано 4 сентября 2011 г. на Wayback Machine

Внешние ссылки

• Gas Dynamics Toolbox Рассчитать число Маха и параметры нормальной ударной волны для смесей идеальных и неидеальных газов.
• Страница НАСА о числе Маха. Интерактивный калькулятор числа Маха.
• NewByte стандартный калькулятор атмосферы и преобразователь скорости