В математике , в частности в теории колец , элемент кручения — это элемент модуля , дающий ноль при умножении на некоторый неделитель нуля кольца . Подмодуль кручения модуля — это подмодуль , образованный элементами кручения (в случаях, когда это действительно подмодуль, например, когда кольцо коммутативно ) . Модуль кручения — это модуль, состоящий целиком из элементов кручения. Модуль не имеет кручения, если его единственный элемент кручения — нулевой элемент.
Эта терминология чаще используется для модулей над доменом , то есть когда регулярными элементами кольца являются все его ненулевые элементы.
Эта терминология применяется к абелевым группам (с заменой «модуля» и «подмодуля» на « группу » и « подгруппу »). Это допускается тем фактом, что абелевы группы являются модулями над кольцом целых чисел (фактически, отсюда и происходит терминология, которая была введена для абелевых групп, прежде чем была обобщена на модули).
В случае групп, которые не являются коммутативными, элемент кручения является элементом конечного порядка . В отличие от коммутативного случая, элементы кручения, вообще говоря, не образуют подгруппу.
Элемент m модуля M над кольцом R называется элементом кручения модуля, если существует регулярный элемент r кольца (элемент, который не является ни левым, ни правым делителем нуля ), который аннулирует m , т. е. r m = 0. В области целостности ( коммутативном кольце без делителей нуля) каждый ненулевой элемент является регулярным, поэтому элемент кручения модуля над областью целостности — это элемент, аннулируемый ненулевым элементом области целостности. Некоторые авторы используют это как определение элемента кручения, но это определение не работает хорошо над более общими кольцами.
Модуль M над кольцом R называется модулем кручения , если все его элементы являются элементами кручения, и свободным от кручения , если ноль является единственным элементом кручения. [1] Если кольцо R коммутативно, то множество всех элементов кручения образует подмодуль M , называемый подмодулем кручения M , иногда обозначаемый T( M ). Если R не коммутативно, T( M ) может быть подмодулем, а может и не быть. В (Lam 2007) показано, что R является правым кольцом Оре тогда и только тогда , когда T( M ) является подмодулем M для всех правых R -модулей. Поскольку правые нётеровы области являются нётеровыми, это охватывает случай, когда R является правой нётеровой областью (которая может не быть коммутативной).
В более общем случае пусть M — модуль над кольцом R , а S — мультипликативно замкнутое подмножество R. Элемент m из M называется элементом S -кручения , если существует элемент s в S, такой что s аннулирует m , т. е. s m = 0. В частности, можно взять в качестве S множество регулярных элементов кольца R и восстановить приведенное выше определение.
Элемент g группы G называется элементом кручения группы, если он имеет конечный порядок, т. е. если существует положительное целое число m, такое что g m = e , где e обозначает единичный элемент группы, а g m обозначает произведение m копий g . Группа называется группой кручения (или периодической), если все ее элементы являются элементами кручения, аГруппа без кручения, если ее единственным элементом кручения является единичный элемент. Любаяабелева группаможет рассматриваться как модуль над кольцомZцелых чисел, и в этом случае два понятия кручения совпадают.
Предположим, что R — (коммутативная) область главных идеалов , а M — конечно порожденный R -модуль . Тогда структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов дает подробное описание модуля M с точностью до изоморфизма . В частности, она утверждает, что
где F — свободный R -модуль конечного ранга (зависящий только от M ), а T( M ) — подмодуль кручения M . Как следствие , любой конечно порождённый модуль без кручения над R свободен. Это следствие не выполняется для более общих коммутативных областей, даже для R = K [ x , y ], кольца многочленов от двух переменных. Для неконечно порождённых модулей указанное выше прямое разложение неверно. Подгруппа кручения абелевой группы может не быть её прямым слагаемым .
Предположим, что R — коммутативная область, а M — R -модуль. Пусть Q — поле дробей кольца R. Тогда можно рассмотреть Q -модуль
полученный из M путем расширения скаляров . Поскольку Q является полем, модуль над Q является векторным пространством, возможно, бесконечномерным. Существует канонический гомоморфизм абелевых групп из M в M Q , и ядро этого гомоморфизма есть в точности подмодуль кручения T( M ). Более общо, если S является мультипликативно замкнутым подмножеством кольца R , то мы можем рассмотреть локализацию R -модуля M ,
который является модулем над локализацией R S . Существует каноническое отображение из M в M S , ядром которого является в точности S -торсионный подмодуль M . Таким образом, торсионный подмодуль M можно интерпретировать как множество элементов, которые "исчезают в локализации". Та же самая интерпретация продолжает иметь место в некоммутативной установке для колец, удовлетворяющих условию Оре , или, в более общем смысле, для любого набора правых знаменателей S и правого R -модуля M .
Понятие кручения играет важную роль в гомологической алгебре . Если M и N — два модуля над коммутативной областью R (например, две абелевы группы, когда R = Z ), функторы Tor дают семейство R -модулей Tor i ( M , N ). S -кручение R -модуля M канонически изоморфно Tor R 1 ( M , R S / R ) по точной последовательности Tor R * : Короткая точная последовательность R -модулей дает точную последовательность и, следовательно, является ядром отображения локализации M . Символ Tor, обозначающий функторы, отражает эту связь с алгебраическим кручением. Этот же результат справедлив для некоммутативных колец, а также до тех пор, пока множество S является множеством правого знаменателя .
Элементы кручения абелева многообразия — это точки кручения или, в старой терминологии, точки деления . На эллиптических кривых они могут быть вычислены в терминах многочленов деления .
