Экзотическая сфера

Гладкое многообразие, гомеоморфное, но не диффеоморфное сфере.

В области математики, называемой дифференциальной топологией , экзотическая сфера представляет собой дифференцируемое многообразие M , которое гомеоморфно , но не диффеоморфно стандартной евклидовой n -сфере . То есть М является сферой с точки зрения всех своих топологических свойств, но несущей не привычную гладкую структуру (отсюда и название «экзотическая»).

Первые экзотические сферы были построены Джоном Милнором  (1956) в размерности как - расслоения над . Он показал, что на 7-сфере имеется по крайней мере 7 дифференцируемых структур. В любом измерении Милнор (1959) показал, что классы диффеоморфизма ориентированных экзотических сфер образуют нетривиальные элементы абелева моноида относительно связной суммы, который является конечной абелевой группой , если размерность не равна 4. Классификация экзотических сфер Мишелем Кервер и Милнор (1963) показали, что ориентированные экзотические 7-сферы являются нетривиальными элементами циклической группы порядка 28 при операции связной суммы . ${\displaystyle n=7}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{4}}$

В частности, это означает, что элементы этой группы (n ≠ 4) являются классами эквивалентности гладких структур на Sn , где две структуры считаются эквивалентными, если существует сохраняющий ориентацию диффеоморфизм, переносящий одну структуру на другую ^. Групповая операция определяется формулой [x] + [y] = [x + y], где x и y — произвольные представители своих классов эквивалентности, а «x + y» обозначает гладкую структуру на гладком S n ^, которая является связная сумма x и y. Необходимо показать, что такое определение не зависит от сделанного выбора; действительно, это можно показать.

Введение

Единичная n -сфера, , представляет собой набор всех ( n +1)-кортежей действительных чисел, таких, что сумма . Например, — круг, а — поверхность обычного шара радиуса один в трёх измерениях. Топологи считают пространство X n - сферой, если между ними существует гомеоморфизм , т. е. каждая точка в X может быть сопоставлена ​​ровно одной точке единичной n -сферы с помощью непрерывной биекции с непрерывным обратным. Например, точку x на n -сфере радиуса r можно гомеоморфно сопоставить с точкой на единичной n -сфере, умножив ее расстояние от начала координат на . Аналогично, n -куб любого радиуса гомеоморфен n -сфере. ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}$ ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2}=1}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle 1/r}$

В дифференциальной топологии два гладких многообразия считаются гладко эквивалентными, если существует диффеоморфизм одного в другое, который является гомеоморфизмом между ними, с дополнительным условием того, что оно гладко , т. е. должно иметь производные всех порядков во всех случаях. его точки — и его обратный гомеоморфизм также должен быть гладким. Чтобы вычислить производные, необходимо иметь локальные системы координат, согласованно определенные в X. Математики (включая самого Милнора) были удивлены в 1956 году, когда Милнор показал, что согласованные локальные системы координат могут быть установлены на 7-сфере двумя разными способами, которые были эквивалентны в непрерывном смысле, но не в дифференцируемом смысле. Милнор и другие попытались выяснить, сколько таких экзотических сфер может существовать в каждом измерении, и понять, как они связаны друг с другом. Никакие экзотические структуры невозможны на 1-, 2-, 3-, 5-, 6-, 12-, 56- или 61-сферах. ^[1] Некоторые сферы более высоких измерений имеют только две возможные дифференцируемые структуры, другие - тысячи. Существуют ли экзотические 4-сферы, и если да, то сколько – это нерешенная проблема .

Классификация

Моноид гладких структур на n -сферах — это совокупность ориентированных гладких n -многообразий, гомеоморфных n -сфере , приведенных к диффеоморфизму, сохраняющему ориентацию. Моноидная операция — это связная сумма . При условии , что этот моноид является группой и изоморфен группе классов h -кобордизмов ориентированных гомотопических n -сфер , которая конечна и абелева. В измерении 4 о моноиде гладких сфер почти ничего не известно, кроме фактов, что он конечен или счетно бесконечен и абелев, хотя предполагается, что он бесконечен; см. раздел о поворотах Глюка. Все гомотопические n -сферы гомеоморфны n - сфере согласно обобщенной гипотезе Пуанкаре , доказанной Стивеном Смейлом в размерностях больше 4, Майклом Фридманом в размерности 4 и Григорием Перельманом в размерности 3. В размерности 3 Эдвин Э. Мойс доказал что каждое топологическое многообразие имеет по существу единственную гладкую структуру (см. теорему Мойза ), поэтому моноид гладких структур на 3-сфере тривиален. ${\displaystyle n\neq 4}$ ${\displaystyle \Theta _{n}}$

Параллелизуемые многообразия

В группе есть циклическая подгруппа ${\displaystyle \Theta _{n}}$

${\displaystyle bP_{n+1}}$

представлено n -сферами, ограничивающими распараллеливаемые многообразия . Структуры и частное ${\displaystyle bP_{n+1}}$

${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}$

описаны отдельно в статье ( Kervaire & Milnor  1963), оказавшей влияние на развитие теории хирургии . Фактически, эти расчеты можно сформулировать на современном языке в терминах точной последовательности операций , как указано здесь .

Группа является циклической группой и является тривиальной или имеет порядок 2, за исключением случая , в этом случае она может быть большой, а ее порядок связан с числами Бернулли . Это тривиально, если n четно. Если n равно 1 по модулю 4, он имеет порядок 1 или 2; в частности, он имеет порядок 1, если n равен 1, 5, 13, 29 или 61, а Уильям Браудер  (1969) доказал, что он имеет порядок 2, если mod 4 не имеет вида . Из теперь почти полностью решенной проблемы инварианта Кервера следует , что она имеет порядок 2 для всех n, больших 126; дело все еще открыто. Порядок for : ${\displaystyle bP_{n+1}}$ ${\displaystyle n=4k+3}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle 2^{k}-3}$ ${\displaystyle n=126}$ ${\displaystyle bP_{4k}}$ ${\displaystyle k\geq 2}$

${\displaystyle 2^{2k-2}(2^{2k-1}-1)B,}$

где B — числитель и — число Бернулли . (Формула в топологической литературе немного отличается, поскольку топологи используют другое соглашение для обозначения чисел Бернулли; в этой статье используется соглашение теоретиков чисел.) ${\displaystyle 4B_{2k}/k}$ ${\displaystyle B_{2k}}$

Карта между частными

Факторгруппа имеет описание в терминах стабильных гомотопических групп сфер по модулю образа J-гомоморфизма ; оно либо равно фактору, либо индексу 2. Точнее, существует инъективное отображение ${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}$

${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J,}$

где – n- я стабильная гомотопическая группа сфер, а J – образ J -гомоморфизма. Как и в случае , образ J является циклической группой и является тривиальным или имеет порядок 2, за исключением случая , когда он может быть большим, а его порядок связан с числами Бернулли . Факторгруппа является «жесткой» частью стабильных гомотопических групп сфер и, соответственно, является жесткой частью экзотических сфер, но почти полностью сводится к вычислению гомотопических групп сфер. Отображение является либо изоморфизмом (образ — вся группа), либо инъективным отображением с индексом 2. Последнее имеет место тогда и только тогда, когда существует n -мерное оснащенное многообразие с инвариантом Кервера 1, известное как Инвариантная задача Кервера . Таким образом, коэффициент 2 при классификации экзотических сфер зависит от инвариантной задачи Кервера. ${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$ ${\displaystyle bP_{n+1}}$ ${\displaystyle n=4k+3}$ ${\displaystyle \pi _{n}^{S}/J}$ ${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}$

По состоянию на 2012 год проблема инварианта Кервера почти полностью решена, остался открытым ^[update]только случай ; подробности см. в этой статье. Это прежде всего работа Браудера (1969), который доказал, что такие многообразия существуют только в размерности , и Хилла, Хопкинса и Равенела (2016), которые доказали, что таких многообразий не существует для размерности и выше. Многообразия с инвариантом Кервера 1 были построены в размерностях 2, 6, 14, 30 и 62, но размерность 126 открыта, и ни одно многообразие не было ни построено, ни опровергнуто. ${\displaystyle n=126}$ ${\displaystyle n=2^{j}-2}$ ${\displaystyle 254=2^{8}-2}$

Порядок Θ n

Порядок группы указан в этой таблице (последовательность A001676 в OEIS ) из (Kervaire & Milnor 1963) (за исключением того, что запись для в их статье ошибочна в 2 раза; см. исправление в томе III, стр. 97). собрания сочинений Милнора). ${\displaystyle \Theta _{n}}$ ${\displaystyle n=19}$

Обратите внимание, что для dim то есть , , , и . Дальнейшие записи в этой таблице можно рассчитать на основе приведенной выше информации вместе с таблицей стабильных гомотопических групп сфер . ${\displaystyle n=4k-1}$ ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)}$ ${\displaystyle 992=2^{5}(2^{5}-1)}$ ${\displaystyle 16256=2^{7}(2^{7}-1)}$ ${\displaystyle 523264=2^{10}(2^{9}-1)}$

Путем вычислений стабильных гомотопических групп сфер Ван и Сюй (2017) доказывают, что сфера S ⁶¹ имеет уникальную гладкую структуру и что это последняя нечетномерная сфера с этим свойством - единственными являются S ¹ , S ³ , S ⁵ и S ⁶¹ .

Явные примеры экзотических сфер

Когда я наткнулся на такой пример в середине 50-х годов, я был очень озадачен и не знал, что с этим делать. Сначала я думал, что нашел контрпример к обобщенной гипотезе Пуанкаре в седьмом измерении. Но тщательное исследование показало, что многообразие действительно гомеоморфно . Таким образом, существует дифференцируемая структура, не диффеоморфная стандартной. ${\displaystyle S^{7}}$ ${\displaystyle S^{7}}$

Джон Милнор (2009, стр.12)

Строительство Милнора

Одним из первых примеров экзотической сферы, обнаруженной Милнором (1956, раздел 3), был следующий. Пусть – единичный шар в , и пусть – его граница — 3-сфера, которую мы отождествляем с группой единичных кватернионов . Теперь возьмите две копии , каждая с границей , и склейте их вместе, отождествив первую границу со второй границей. Полученное многообразие имеет естественную гладкую структуру и гомеоморфно , но не диффеоморфно . Милнор показал, что оно не является границей какого-либо гладкого 8-многообразия с нулевым 4-м числом Бетти и не имеет диффеоморфизма, меняющего ориентацию самого себя; любое из этих свойств подразумевает, что это не стандартная 7-сфера. Милнор показал, что это многообразие имеет функцию Морса всего с двумя критическими точками , обе невырожденные, что означает, что топологически оно является сферой. ${\displaystyle B^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle B^{4}\times S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}\times S^{3}}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (a,a^{2}ba^{-1})}$ ${\displaystyle S^{7}}$ ${\displaystyle S^{7}}$

Брискорнские сферы

Как показал Эгберт Брискорн  (1966, 1966b) (см. также (Hirzebruch & Mayer 1968)) пересечение комплексного многообразия точек при выполнении условия ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{3}+e^{6k-1}=0\ }$

с небольшой сферой вокруг начала координат дает все 28 возможных гладких структур на ориентированной 7-сфере. Подобные многообразия называются сферами Брискорна . ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,28}$

Скрученные сферы

Учитывая (сохраняющий ориентацию) диффеоморфизм , склеивание границ двух копий стандартного диска вместе с помощью f дает многообразие, называемое скрученной сферой (с закручиванием f ). Это гомотопически эквивалентно стандартной n -сфере, поскольку отображение склейки гомотопно единице (являясь диффеоморфизмом, сохраняющим ориентацию, следовательно, степень 1), но, вообще говоря, не диффеоморфно стандартной сфере. (Милнор 1959b) Если принять за группу скрученных n -сфер (при сумме соединений), то получим точную последовательность ${\displaystyle f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}}$ ${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma _{n}}$

${\displaystyle \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})\to \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})\to \Gamma _{n}\to 0.}$

Для каждая экзотическая n -сфера диффеоморфна скрученной сфере, результат, доказанный Стивеном Смейлом , который можно рассматривать как следствие теоремы h -кобордизма . (Напротив, в кусочно-линейной постановке самое левое отображение попадает через радиальное расширение : каждая кусочно-линейно-скрученная сфера является стандартной.) Группа скрученных сфер всегда изоморфна группе . Обозначения разные, потому что сначала не было известно, что они одинаковы для или 4; например, случай эквивалентен гипотезе Пуанкаре . ${\displaystyle n>5}$ ${\displaystyle \Gamma _{n}}$ ${\displaystyle \Theta _{n}}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n=3}$

В 1970 году Жан Серф доказал теорему о псевдоизотопии , из которой следует, что тривиальная группа предоставлена ​​и, следовательно, предоставлена . ${\displaystyle \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})}$ ${\displaystyle n\geq 6}$ ${\displaystyle \Gamma _{n}\simeq \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})}$ ${\displaystyle n\geq 6}$

Приложения

Если M — кусочно-линейное многообразие , то проблема нахождения совместимых гладких структур на M зависит от знания групп Γ _k = Θ _k . Точнее, препятствия к существованию любой гладкой структуры лежат в группах H _k+1 ( M , Γ _k ) для различных значений k , а если такая гладкая структура существует, то все такие гладкие структуры можно классифицировать с помощью групп ЧАС ₍ M , Γ _k ) . В частности, группы Γ _k исчезают, если k < 7 , поэтому все PL-многообразия размерности не более 7 имеют гладкую структуру, которая по существу уникальна, если многообразие имеет размерность не более 6.

Следующие конечные абелевы группы по существу одинаковы:

• Группа Θ _n классов h-кобордизмов ориентированных гомотопических n -сфер.
• Группа классов h-кобордизмов ориентированных n -сфер.
• Группа Γ _n скрученных ориентированных n -сфер.
• Гомотопическая группа π _n (PL/DIFF)
• Если n ≠ 3 , гомотопическая группа π _n (TOP/DIFF) (если n = 3, эта группа имеет порядок 2; см. инвариант Кирби – Зибенмана ).
• Группа гладких структур ориентированной PL n -сферы.
• Если n ≠ 4 , группа гладких структур ориентированной топологической n -сферы.
• Если n ≠ 5 , группа компонентов группы всех сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Sn ^{− 1} .

4-мерные экзотические сферы и повороты Глюка

В 4-х измерениях неизвестно, есть ли на 4-сфере какие-либо экзотические гладкие структуры. Утверждение о том, что они не существуют, известно как «гладкая гипотеза Пуанкаре» и обсуждается Майклом Фридманом , Робертом Гомпфом и Скоттом Моррисоном и др. (2010), которые утверждают, что это считается ложью.

Некоторыми кандидатами, предложенными для экзотических 4-сфер, являются сферы Каппелла-Шейнсона ( Сильвен Каппелл и Джулиус Шейнсон  (1976)) и сферы, полученные с помощью скручиваний Глюка (Gluck 1962). Сферы глюка твиста строятся путем вырезания трубчатой ​​окрестности 2-сферы S в S ⁴ и склеивания ее обратно с использованием диффеоморфизма ее границы S ² × S ¹ . Результат всегда гомеоморфен S ⁴ . Многие случаи на протяжении многих лет были исключены как возможные контрпримеры к гладкой четырехмерной гипотезе Пуанкаре. Например, Кэмерон Гордон  (1976), Хосе Монтесинос (1983), Стивен П. Плотник (1984), Гомпф (1991), Хабиро, Марумото и Ямада (2000), Селман Акбулут  (2010), Гомпф (2010), Ким и Ямада (2017).

Смотрите также

• Сфера Милнора
• Атлас (топология)
• Сцепляющаяся конструкция
• Экзотика Р ⁴
• Теория Серфа
• Семимерное пространство

Рекомендации

1. Беренс, М.; Хилл, М.; Хопкинс, MJ; Маховальд, М. (2020). «Обнаружение экзотических сфер в низких измерениях с помощью коксования J». Журнал Лондонского математического общества . 101 (3): 1173–1218. arXiv : 1708.06854 . дои : 10.1112/jlms.12301. ISSN  1469-7750. S2CID  119170255.

• Акбулут, Сельман (2010), «Гомотопические сферы Каппелла-Шейнсона являются стандартными», Annals of Mathematics , 171 (3): 2171–2175, arXiv : 0907.0136 , doi : 10.4007/annals.2010.171.2171, S2CID  754611
• Брискорн, Эгберт В. (1966), «Примеры сингулярных нормальных комплексных пространств, которые являются топологическими многообразиями», Труды Национальной академии наук , 55 (6): 1395–1397, Бибкод : 1966PNAS...55.1395B, doi : 10.1073/пнас.55.6.1395 , МР  0198497, ПМК  224331 , ПМИД  16578636
• Брискорн, Эгберт (1966b), "Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitäten", Invent. Математика. , 2 (1): 1–14, Bibcode : 1966InMat...2....1B, doi : 10.1007/BF01403388, MR  0206972, S2CID  123268657
• Браудер, Уильям (1969), «Инвариант Кервера оснащенных многообразий и его обобщение», Annals of Mathematics , 90 (1): 157–186, doi : 10.2307/1970686, JSTOR  1970686, MR  0251736
• Каппелл, Сильвен Э .; Шейнсон, Джулиус Л. (1976), «Некоторые новые четырехмногообразия», Annals of Mathematics , 104 (1): 61–72, doi : 10.2307/1971056, JSTOR  1971056
• Фридман, Майкл ; Гомпф, Роберт; Моррисон, Скотт; Уокер, Кевин (2010), «Человек и машина думают о гладкой 4-мерной гипотезе Пуанкаре», Quantum Topology , 1 (2): 171–208, arXiv : 0906.5177 , doi : 10.4171/qt/5, S2CID  18029746
• Глюк, Герман (1962), «Вложение двух сфер в четырехсферу», Труды Американского математического общества , 104 (2): 308–333, doi : 10.2307/1993581 , JSTOR  1993581, MR  0146807
• Хьюз, Марк; Ким, Сынвон; Миллер, Мэгги (2018), Глюковые повороты S ⁴ диффеоморфны S ⁴ , arXiv : 1804.09169v1
• Гомпф, Роберт Э (1991), «Уничтожение 4-сферы Акбулута-Кирби, имеющее отношение к проблемам Андреса-Кертиса и Шенфлиса», Topology , 30 : 123–136, doi : 10.1016/0040-9383(91)90036- 4
• Гомпф, Роберт Э (2010), «Больше сфер Каппелла-Шейнсона являются стандартными», Алгебраическая и геометрическая топология , 10 (3): 1665–1681, arXiv : 0908.1914 , doi : 10.2140/agt.2010.10.1665, S2CID  16936498
• Гордон, Кэмерон МакА. (1976), «Узлы в 4-сфере», Commentarii Mathematici Helvetici , 51 : 585–596, doi : 10.1007/BF02568175, S2CID  119479183
• Хабиро, Кадзуо; Марумото, Ёсихико; Ямада, Юичи (2000), «Хирургия Глюка и каркасные связи в 4-многообразиях», Серия «Узлы и все такое» , World Scientific, 24 : 80–93, ISBN 978-9810243401
• Хилл, Майкл А.; Хопкинс, Майкл Дж .; Равенел, Дуглас К. (2016) [Впервые опубликовано как arXiv 2009]. «О несуществовании элементов инварианта Кервера». Анналы математики . 184 (1): 1–262. arXiv : 0908.3724 . дои :10.4007/анналы.2016.184.1.1. S2CID  13007483.
• Хирцебрух, Фридрих; Майер, Карл Хайнц (1968), O (n)-Mannigfaltigkeiten, exotische Sphären und Singularitäten , Конспекты лекций по математике, том. 57, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/BFb0074355, ISBN. 978-3-540-04227-3, МР  0229251В этой книге описывается работа Брискорна, связывающая экзотические сферы с особенностями комплексных многообразий.
• Кервер, Мишель А .; Милнор, Джон В. (1963). «Группы гомотопических сфер: I» (PDF) . Анналы математики . 77 (3): 504–537. дои : 10.2307/1970128. JSTOR  1970128. МР  0148075.– В этой статье описывается строение группы гладких структур на n -сфере при n > 4. Обещанная статья «Группы гомотопических сфер: II» так и не появилась, но конспекты лекций Левина содержат материал, которого от нее можно было ожидать. содержать.
• Ким, Мин Хун; Ямада, Шохей (2017), Идеальные классы и гомотопические 4-сферы Каппелла-Шейнсона , arXiv : 1707.03860v1
• Левин, Джером П. (1985), «Лекции по группам гомотопических сфер», Алгебраическая и геометрическая топология , Конспекты лекций по математике, том. 1126, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 62–95, doi : 10.1007/BFb0074439, ISBN. 978-3-540-15235-4, МР  8757031
• Милнор, Джон В. (1956), «О многообразиях, гомеоморфных 7-сфере», Annals of Mathematics , 64 (2): 399–405, doi : 10.2307/1969983, JSTOR  1969983, MR  0082103, S2CID  18780087
• Милнор, Джон В. (1959), «Некоторые разновидности дифференциалов и структуры дифференциалов сфер», Bulletin de la Société Mathématique de France , 87 : 439–444, doi : 10.24033/bsmf.1538 , MR  0117744
• Милнор, Джон В. (1959b), «Дифференцируемые структуры на сферах», Американский журнал математики , 81 (4): 962–972, doi : 10.2307/2372998, JSTOR  2372998, MR  0110107
• Милнор, Джон (2000), «Классификация -связных -мерных многообразий и открытие экзотических сфер», в Каппелле, Сильвен ; Раницки, Эндрю ; Розенберг, Джонатан (ред.), Обзоры по теории хирургии: Том 1 , Анналы математических исследований 145, Princeton University Press, стр. 25–30, ISBN ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle 2n}$ 9780691049380, МР  1747528.
• Милнор, Джон Уиллард (2009), «Пятьдесят лет назад: топология многообразий в 50-х и 60-х годах» (PDF) , в Мровке, Томаш С .; Озсват, Питер С. (ред.), Низкомерная топология. Конспекты лекций 15-й летней школы математического института Парк-Сити (PCMI), проходившей в Парк-Сити, штат Юта, летом 2006 г. , IAS/Park City Math. Сер., вып. 15, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 9–20, ISBN. 978-0-8218-4766-4, МР  2503491
• Милнор, Джон В. (2011), «Дифференциальная топология сорок шесть лет спустя» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 58 (6): 804–809
• Монтесинос, Хосе М. (1983), «О близнецах в четырехсфере I» (PDF) , Ежеквартальный журнал математики , 34 (6): 171–199, doi : 10.1093/qmath/34.2.171
• Плотник, Стивен П. (1984), Гордон, Кэмерон МакА. (ред.), Волокнистые узлы - скрученные, вращающиеся, катящиеся, хирургия и ветвление ${\displaystyle S^{4}}$ , Американское математическое общество, том 35 современной математики, стр. 437–459, ISBN . 978-0-8218-5033-6.
• Ван, Гочжэнь; Сюй, Чжоули (2017), «Тривиальность 61-стержня в стабильных гомотопических группах сфер», Annals of Mathematics , 186 (2): 501–580, arXiv : 1601.02184 , doi : 10.4007/annals.2017.186.2.3 , МР  3702672, S2CID  119147703.
• Рудяк, Юлий Б. (2001) [1994], «Сфера Милнора», Математическая энциклопедия , EMS Press

Внешние ссылки

• Экзотические сферы в Атласе многообразия
• Домашняя страница экзотической сферы на домашней странице Андрея Раницки. Разнообразный исходный материал, относящийся к экзотическим сферам.
• Анимация экзотических 7-сфер Видео из выступления Найлса Джонсона на Второй конференции Абеля в честь Джона Милнора .
• Конструкция Глюка в Атласе многообразий.