Аль-Джабр ( арабский : الجبر ), также известный как Сборник расчетов путем завершения и балансировки ( арабский : الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة , аль-Китаб аль-Мухтасар фи Хисаб аль-Джабр валь-Мукабала [б] или; Латынь : Liber Algebræ et Almucabola ), — арабский математический трактат по алгебре, написанный в Багдаде около 820 года персидским эрудитом Аль-Хорезми . Это была знаменательная работа в истории математики , а ее название в конечном итоге отражает этимологию самого слова «алгебра», позднее заимствованного в средневековой латыни как algebrāica .
Al-Jabr предоставил исчерпывающий отчет о решении положительных корней полиномиальных уравнений до второй степени. [1] : 228 [c] Это был первый текст, обучающий элементарной алгебре , и первый, обучающий алгебре ради нее самой. [d] Он также ввел фундаментальные концепции «редукции» и «уравновешивания» (которые первоначально обозначал термин al-jabr ), переноса вычитаемых членов на другую сторону уравнения, т. е. отмены подобных членов на противоположных сторонах уравнения. [e] Историк математики Виктор Дж. Кац считает Al-Jabr первым настоящим текстом по алгебре, который дошел до наших дней. [f] Переведенный на латынь Робертом Честерским в 1145 году, он использовался до шестнадцатого века в качестве основного учебника по математике европейских университетов. [4] [g] [6] [7]
Несколько авторов также опубликовали тексты под этим именем, в том числе Абу Ханифа Динавари , Абу Камиль , Абу Мухаммад аль-Адли, Абу Юсуф аль-Мисиси, Абд аль-Хамид ибн Турк , Синд ибн Али, Сахль ибн Бишр и Шарафаддин ат-Туси .
Р. Рашед и Анджела Армстронг пишут:
Текст Аль-Хорезми можно рассматривать как отличающийся не только от вавилонских табличек , но и от « Арифметики » Диофанта . Он больше не касается ряда проблем, которые нужно решить, но изложения , которое начинается с примитивных терминов, в которых комбинации должны давать все возможные прототипы для уравнений, которые отныне явно составляют истинный объект изучения. С другой стороны, идея уравнения ради самого себя появляется с самого начала и, можно сказать, в общей манере, поскольку она не просто возникает в ходе решения проблемы, но специально призвана определить бесконечный класс проблем. [8]
Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон написали в архиве истории математики MacTutor :
Возможно, одно из самых значительных достижений арабской математики началось в это время с работы аль-Хорезми, а именно с зарождения алгебры. Важно понять, насколько значимой была эта новая идея. Это был революционный шаг от греческой концепции математики, которая по сути была геометрией. Алгебра была объединяющей теорией, которая позволяла рациональным числам , иррациональным числам , геометрическим величинам и т. д. рассматриваться как «алгебраические объекты». Она дала математике совершенно новый путь развития, гораздо более широкий по концепции, чем тот, который существовал ранее, и предоставила средство для будущего развития предмета. Другим важным аспектом введения алгебраических идей было то, что она позволила применять математику к самой себе таким образом, который не был возможен ранее. [9]
Книга была компиляцией и расширением известных правил решения квадратных уравнений и некоторых других задач и считается основой алгебры, устанавливая ее как самостоятельную дисциплину. Слово алгебра происходит от названия одной из основных операций с уравнениями, описанных в этой книге, после ее латинского перевода Робертом Честерским . [10]
Книга классифицирует квадратные уравнения по одному из шести основных типов и предоставляет алгебраические и геометрические методы решения основных. Историк Карл Бойер отмечает следующее относительно отсутствия современных абстрактных обозначений в книге: [11]
... алгебра аль-Хорезми полностью риторична, без синкоп (см. История алгебры ), которые можно найти в греческой Арифметике или в работе Брахмагупты . Даже числа были записаны словами, а не символами!
— Карл Б. Бойер, История математики
Таким образом, уравнения словесно описываются в терминах «квадратов» (что сегодня было бы « x 2 »), «корней» (что сегодня было бы « x ») и «чисел» («констант»: обычных прописных чисел, например «сорок два»). Шесть типов, с современными обозначениями, таковы:
Исламские математики, в отличие от индусов, вообще не имели дела с отрицательными числами; поэтому уравнение типа bx + c = 0 не появляется в классификации, поскольку оно не имеет положительных решений, если все коэффициенты положительны. Аналогично были выделены типы уравнений 4, 5 и 6, которые выглядят эквивалентными для современного глаза, поскольку все коэффициенты должны быть положительными. [12]
Операция Аль-Джабр («принуждение», «восстановление») — перемещение недостающей величины с одной стороны уравнения на другую. В примере аль-Хорезми (в современной записи) « x 2 = 40 x − 4 x 2 » преобразуется аль-Джабром в «5 x 2 = 40 x ». Повторное применение этого правила исключает отрицательные величины из расчетов.
Аль-Мукабала ( المقابله , «уравновешивание» или «соответствие») означает вычитание одной и той же положительной величины из обеих сторон: « x 2 + 5 = 40 x + 4 x 2 » превращается в «5 = 40 x + 3 x 2 ». Повторное применение этого правила приводит к тому, что величины каждого типа («квадрат»/«корень»/«число») появляются в уравнении не более одного раза, что помогает увидеть, что существует только 6 основных решаемых типов задачи, если ограничиться положительными коэффициентами и решениями.
Последующие части книги не предполагают решения квадратных уравнений.
Во второй главе книги перечисляются методы нахождения площади и объема . Они включают приближения числа пи (π), заданные тремя способами, как 3 1/7, √10 и 62832/20000. Это последнее приближение, равное 3,1416, ранее появилось в индийском труде «Арьябхатийя» (499 г. н. э.). [13]
Аль-Хорезми объясняет еврейский календарь и 19-летний цикл , описываемый схождением лунных месяцев и солнечных лет. [13]
Около половины книги посвящено исламским правилам наследования , которые сложны и требуют навыков решения алгебраических уравнений первого порядка. [14]
