Диффеоморфизм Аносова

Диффеоморфизм, имеющий гиперболическую структуру на касательном расслоении

В математике , в частности в областях динамических систем и геометрической топологии , отображение Аносова на многообразии M — это определенный тип отображения из M в себя с довольно четко обозначенными локальными направлениями «расширения» и «сжатия». Системы Аносова являются частным случаем систем Аксиомы А.

Диффеоморфизмы Аносова были введены Дмитрием Викторовичем Аносовым , который доказал, что их поведение является в соответствующем смысле универсальным (когда они вообще существуют). ^[1]

Обзор

Следует различать три тесно связанных определения:

• Если дифференцируемое отображение f на M имеет гиперболическую структуру на касательном расслоении , то оно называется отображением Аносова . Примерами служат отображение Бернулли и отображение кота Арнольда .
• Если отображение является диффеоморфизмом , то оно называется диффеоморфизмом Аносова .
• Если поток на многообразии разбивает касательное расслоение на три инвариантных подрасслоения , одно из которых экспоненциально сжимается, другое экспоненциально расширяется, а третье — нерасширяющееся, несжимающееся одномерное подрасслоение (охваченное направлением потока), то поток называется потоком Аносова .

Классическим примером диффеоморфизма Аносова является отображение кота Арнольда .

^{Аносов доказал ,} что диффеоморфизмы Аносова структурно устойчивы и образуют открытое подмножество отображений (потоков) с топологией C1 .

Не каждое многообразие допускает диффеоморфизм Аносова; например, на сфере таких диффеоморфизмов нет . Простейшими примерами компактных многообразий, допускающих их, являются торы: они допускают так называемые линейные диффеоморфизмы Аносова , которые являются изоморфизмами, не имеющими собственного значения по модулю 1. Было доказано, что любой другой диффеоморфизм Аносова на торе топологически сопряжен с диффеоморфизмом этого вида.

Проблема классификации многообразий, допускающих диффеоморфизмы Аносова, оказалась очень сложной и по состоянию на 2023 год ^{[обновлять]}не имеет решения для размерности более 3. Единственными известными примерами являются инфранилмногообразия, и предполагается, что они единственные.

Достаточным условием транзитивности является то, что все точки являются неблуждающими: . Это, в свою очередь, справедливо для диффеоморфизмов Аносова коразмерности один (т. е. тех, для которых сжимающееся или расширяющееся подрасслоение является одномерным) ^[2] и для потоков Аносова коразмерности один на многообразиях размерности больше трех ^[3], а также для потоков Аносова, спектр Мезера которых содержится в двух достаточно тонких кольцах. ^[4] Неизвестно, являются ли диффеоморфизмы Аносова транзитивными (за исключением инфранилмногообразий), но потоки Аносова не обязаны быть топологически транзитивными. ^[5] ${\displaystyle \Omega (f)=M}$

Также неизвестно, является ли эргодическим всякий сохраняющий объем диффеоморфизм Аносова. Аносов доказал это при некотором предположении. Это также верно для сохраняющих объем диффеоморфизмов Аносова. ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle C^{1+\alpha }}$

Для транзитивного диффеоморфизма Аносова существует единственная мера SRB (аббревиатура расшифровывается как Синай, Рюэль и Боуэн), поддерживаемая на , такая, что ее бассейн имеет полный объем, где ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle f\colon M\to M}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B(\mu _{f})}$

${\displaystyle B(\mu _{f})=\left\{x\in M:{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\delta _{f^{k}x}\to \mu _{f}\right\}.}$

Поток Аносова на (касательных расслоениях) римановых поверхностей

В качестве примера в этом разделе рассматривается случай потока Аносова на касательном расслоении римановой поверхности отрицательной кривизны . Этот поток можно понимать в терминах потока на касательном расслоении модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической геометрии. Римановы поверхности отрицательной кривизны могут быть определены как фуксовы модели , то есть как факторы верхней полуплоскости и фуксовой группы . Для дальнейшего пусть H будет верхней полуплоскостью; пусть Γ будет фуксовой группой; пусть M  =  H /Γ будет римановой поверхностью отрицательной кривизны как фактором "M" по действию группы Γ, и пусть будет касательным расслоением векторов единичной длины на многообразии M , и пусть будет касательным расслоением векторов единичной длины на H. Обратите внимание, что расслоение векторов единичной длины на поверхности является главным расслоением комплексного линейного расслоения . ${\displaystyle T^{1}M}$ ${\displaystyle T^{1}H}$

Векторные поля Ли

Начнем с того, что отметим, что изоморфна группе Ли PSL(2, R ) . Эта группа является группой сохраняющих ориентацию изометрий верхней полуплоскости. Алгебра Ли PSL(2, R ) есть sl(2, R ) и представлена ​​матрицами ${\displaystyle T^{1}H}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/2\\\end{pmatrix}}\qquad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}$

которые имеют алгебру

${\displaystyle [J,X]=X\qquad [J,Y]=-Y\qquad [X,Y]=2J}$

Экспоненциальные карты

${\displaystyle g_{t}=\exp(tJ)={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}^{*}=\exp(tX)={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}=\exp(tY)={\begin{pmatrix}1&0\\t&1\\\end{pmatrix}}}$

определяют правоинвариантные потоки на многообразии , а также на . Определяя и , эти потоки определяют векторные поля на P и Q , векторы которых лежат в TP и TQ . Это просто стандартные, обычные векторные поля Ли на многообразии группы Ли, и представленное выше представление является стандартным изложением векторного поля Ли. ${\displaystyle T^{1}H=\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle T^{1}M}$ ${\displaystyle P=T^{1}H}$ ${\displaystyle Q=T^{1}M}$

Аносов поток

Связь с потоком Аносова происходит из осознания того, что есть геодезический поток на P и Q. Поскольку векторные поля Ли (по определению) остаются инвариантными под действием группового элемента, то эти поля остаются инвариантными под действием определенных элементов геодезического потока. Другими словами, пространства TP и TQ разделены на три одномерных пространства, или подрасслоения , каждое из которых инвариантно под действием геодезического потока. Последний шаг — заметить, что векторные поля в одном подрасслоении расширяются (и расширяются экспоненциально), в другом остаются неизменными, а в третьем сжимаются (и делают это экспоненциально). ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle g_{t}}$

Точнее, касательное расслоение TQ можно записать как прямую сумму

${\displaystyle TQ=E^{+}\oplus E^{0}\oplus E^{-}}$

или, в точке , прямая сумма ${\displaystyle g\cdot e=q\in Q}$

${\displaystyle T_{q}Q=E_{q}^{+}\oplus E_{q}^{0}\oplus E_{q}^{-}}$

соответствующие генераторам алгебры Ли Y , J и X , соответственно, переносимые левым действием группового элемента g из начала координат e в точку q . То есть, имеем и . Каждое из этих пространств является подрасслоением , и сохраняется (инвариантно) под действием геодезического потока ; то есть под действием групповых элементов . ${\displaystyle E_{e}^{+}=Y,E_{e}^{0}=J}$ ${\displaystyle E_{e}^{-}=X}$ ${\displaystyle g=g_{t}}$

Чтобы сравнить длины векторов в в разных точках q , нужна метрика. Любое скалярное произведение в продолжается до левоинвариантной римановой метрики на P , и, таким образом, до римановой метрики на Q . Длина вектора расширяется экспоненциально как exp(t) под действием . Длина вектора сокращается экспоненциально как exp(-t) под действием . Векторы в не изменяются. Это можно увидеть, рассмотрев, как коммутируют элементы группы. Геодезический поток инвариантен, ${\displaystyle T_{q}Q}$ ${\displaystyle T_{e}P=sl(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle v\in E_{q}^{+}}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle v\in E_{q}^{-}}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle E_{q}^{0}}$

${\displaystyle g_{s}g_{t}=g_{t}g_{s}=g_{s+t}}$

но два других сжимаются и расширяются:

${\displaystyle g_{s}h_{t}^{*}=h_{t\exp(-s)}^{*}g_{s}}$

и

${\displaystyle g_{s}h_{t}=h_{t\exp(s)}g_{s}}$

где мы помним , что касательный вектор в задается производной по t кривой , заданной . ${\displaystyle E_{q}^{+}}$ ${\displaystyle h_{t}}$ ${\displaystyle t=0}$

Геометрическая интерпретация течения Аносова

При действии на точку верхней полуплоскости соответствует геодезической на верхней полуплоскости, проходящей через точку . Действие представляет собой стандартное действие преобразования Мёбиуса SL(2, R ) на верхней полуплоскости, так что ${\displaystyle z=i}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle z=i}$

${\displaystyle g_{t}\cdot i={\begin{pmatrix}\exp(t/2)&0\\0&\exp(-t/2)\end{pmatrix}}\cdot i=i\exp(t)}$

Общая геодезическая задается формулой

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot i\exp(t)={\frac {ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d}}}$

где a , b , c и d действительны, причем . Кривые и называются орициклами . Орициклы соответствуют движению нормальных векторов орисферы на верхней полуплоскости. ${\displaystyle ad-bc=1}$ ${\displaystyle h_{t}^{*}}$ ${\displaystyle h_{t}}$

Смотрите также

• Эргодический поток
• Система Морзе-Смейла
• Карта Псевдо-Аносова

Примечания

1. Дмитрий В. Аносов , Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях с отрицательной кривизной , (1967) Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 90 .
2. Ньюхаус, Шелдон Э. (1970). «О диффеоморфизмах Аносова коразмерности один». American Journal of Mathematics . 92 : 761–770. doi : 10.2307/2373372.
3. Верёвский, Альберто (1974). «Коразмерность одиночных потоков Аносова». Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana. Сегунда Серия . 19 (2): 49–77.
4. Брин, Мичиган (1977). «Неблуждающие точки диффеоморфизмов Аносова». Астериск . 49 : 11–18.
5. Беген, Франсуа; Бонатти, Кристиан; Ю, Бин (2017). «Построение потоков Аносова на 3-многообразиях». Геометрия и топология . 21 (3): 1837–1930. doi :10.2140/gt.2017.21.1837.

Ссылки

• «Y-система, U-система, C-система», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Энтони Мэннинг, Динамика геодезических и орициклических потоков на поверхностях постоянной отрицательной кривизны , (1991), появляющаяся как Глава 3 в Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces , Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Оксфорд (1991). ISBN 0-19-853390-X (Предоставляет пояснительное введение в поток Аносова на SL(2, R ).) 
• В данной статье использованы материалы из книги «Диффеоморфизм Аносова» на сайте PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• Тошикадзу Сунады , Магнитные потоки на римановой поверхности , Proc. KAIST Math. Workshop (1993), 93–108.