Аксиальная прецессия

Изменение оси вращения астрономического тела

Прецессионное движение Земли. Земля вращается (белые стрелки) один раз в день вокруг своей оси вращения (красная); сама эта ось вращается медленно (белый круг), совершая оборот примерно за 26 000 лет ^[1]

В астрономии осевая прецессия — это вызванное гравитацией, медленное и непрерывное изменение ориентации оси вращения астрономического тела . При отсутствии прецессии орбита астрономического тела демонстрировала бы осевой параллелизм . ^[2] В частности , осевая прецессия может относиться к постепенному изменению ориентации оси вращения Земли в цикле приблизительно в 26 000 лет. ^[1] Это похоже на прецессию вращающегося волчка, ось которого описывает пару конусов , соединенных своими вершинами . Термин «прецессия» обычно относится только к этой самой большой части движения; другие изменения в выравнивании оси Земли — нутация и полярное движение — гораздо меньше по величине.

Прецессия Земли исторически называлась прецессией равноденствий , потому что равноденствия смещались на запад вдоль эклиптики относительно неподвижных звезд , в противоположность годовому движению Солнца вдоль эклиптики. Исторически ^[3] открытие прецессии равноденствий обычно приписывается на Западе астроному II века до н. э. Гиппарху . С улучшением способности вычислять силу тяготения между планетами в течение первой половины девятнадцатого века было признано, что сама эклиптика немного смещается, что было названо планетарной прецессией , еще в 1863 году, в то время как доминирующий компонент был назван лунно-солнечной прецессией . ^[4] Их комбинация была названа общей прецессией , а не прецессией равноденствий.

Лунно-солнечная прецессия вызвана гравитационными силами Луны и Солнца на экваториальном выступе Земли , заставляя ось Земли двигаться относительно инерциального пространства . Планетарная прецессия (опережение) обусловлена ​​небольшим углом между гравитационной силой других планет на Земле и ее орбитальной плоскостью (эклиптикой), заставляя плоскость эклиптики немного смещаться относительно инерциального пространства. Лунно-солнечная прецессия примерно в 500 раз больше планетарной прецессии. ^[5] В дополнение к Луне и Солнцу, другие планеты также вызывают небольшое движение оси Земли в инерциальном пространстве, делая контраст в терминах лунно-солнечная и планетарная вводящим в заблуждение, поэтому в 2006 году Международный астрономический союз рекомендовал переименовать доминирующую компоненту в прецессию экватора , а второстепенную компоненту — в прецессию эклиптики , но их комбинация по-прежнему называется общей прецессией. ^[6] В публикациях, предшествовавших изменению, сохранилось множество ссылок на старые термины.

Номенклатура

Прецессия гироскопа . Аналогично тому , как сила от стола порождает это явление прецессии во вращающемся гироскопе, гравитационное притяжение Солнца и Луны на экваториальном выступе Земли порождает очень медленную прецессию земной оси (см. §Причина). Этот нецентральный толчок или тяга вызывает крутящий момент, а крутящий момент на вращающемся теле приводит к прецессии. Гироскоп можно проанализировать по его частям, и каждая часть внутри диска пытается упасть, но вращение перемещает его снизу вверх, и конечный результат всех частиц, проходящих через это, является прецессией.

Термин « Прецессия » происходит от латинского praecedere («предшествовать, приходить раньше или раньше»). Звезды, наблюдаемые с Земли, ежедневно перемещаются с востока на запад из-за суточного движения Земли и ежегодно из-за обращения Земли вокруг Солнца. В то же время можно наблюдать, как звезды слегка опережают такое движение со скоростью примерно 50 угловых секунд в год, явление, известное как «прецессия равноденствий».

При описании этого движения астрономы обычно сокращали термин до просто «прецессия». При описании причины движения физики также использовали термин «прецессия», что привело к некоторой путанице между наблюдаемым явлением и его причиной, что имеет значение, поскольку в астрономии некоторые прецессии являются реальными, а другие — кажущимися. Этот вопрос еще больше запутывается тем фактом, что многие астрономы являются физиками или астрофизиками.

Термин «прецессия», используемый в астрономии, обычно описывает наблюдаемую прецессию равноденствия (звезды движутся по небу в обратном направлении ), тогда как термин «прецессия», используемый в физике , обычно описывает механический процесс.

Эффекты

Совпадение годовых циклов апсид (ближайшее и дальнее приближение к Солнцу) и календарных дат (с указанием сезонов) на четырех равноотстоящих друг от друга стадиях фиктивного прецессионного цикла в 20 000 лет (а не истинного прецессионного цикла Земли в 26 000 лет). Даты сезонов соответствуют северным. Наклон фиктивной оси Земли и эксцентриситет ее орбиты преувеличены. Приблизительные оценки. Влияние слабой планетарной прецессии на показанные стадии игнорируется.

Прецессия земной оси имеет ряд наблюдаемых эффектов. Во-первых, положения южного и северного небесных полюсов кажутся движущимися по кругу на фиксированном в пространстве фоне звезд, завершая один оборот примерно за 26 000 лет. Таким образом, в то время как сегодня звезда Полярная звезда находится примерно на северном небесном полюсе, со временем это изменится, и другие звезды станут « полярной звездой ». ^[3] Примерно через 3200 лет звезда Гамма Цефея в созвездии Цефея сменит Полярную звезду в этом положении. В настоящее время на южном небесном полюсе нет яркой звезды, которая бы отмечала его положение, но со временем прецессия также заставит яркие звезды стать южными звездами . По мере смещения небесных полюсов происходит соответствующее постепенное смещение видимой ориентации всего звездного поля, если смотреть с определенной точки на Земле.

Во-вторых, положение Земли на ее орбите вокруг Солнца в солнцестояния , равноденствия или другое время, определенное относительно сезонов, медленно меняется. ^[3] Например, предположим, что орбитальное положение Земли отмечено в летнее солнцестояние, когда наклон оси Земли направлен прямо на Солнце. Спустя один полный оборот, когда Солнце вернулось в то же видимое положение относительно фоновых звезд, наклон оси Земли теперь не направлен прямо на Солнце: из-за эффектов прецессии он немного «выше» этого. Другими словами, солнцестояние произошло немного раньше на орбите. Таким образом, тропический год , измеряющий цикл сезонов (например, время от солнцестояния до солнцестояния или от равноденствия до равноденствия), примерно на 20 минут короче сидерического года , который измеряется видимым положением Солнца относительно звезд. Примерно через 26 000 лет разница составит целый год, поэтому положения сезонов относительно орбиты «вернутся туда, где они начинались». (Другие эффекты также медленно изменяют форму и ориентацию орбиты Земли, и они, в сочетании с прецессией, создают различные циклы с разными периодами; см. также циклы Миланковича . Величина наклона Земли, в отличие от ее ориентации, также медленно меняется со временем, но этот эффект не приписывается непосредственно прецессии.)

По тем же причинам видимое положение Солнца относительно фона звезд в определенное сезонно фиксированное время медленно регрессирует на полные 360° через все двенадцать традиционных созвездий зодиака со скоростью около 50,3 угловых секунд в год, или 1 градус каждые 71,6 года.

В настоящее время скорость прецессии соответствует периоду 25 772 года, поэтому тропический год короче сидерического на 1 224,5 секунды (20 мин 24,5 сек ≈ (365,24219 × 86400) / 25772).

Сама скорость несколько меняется со временем (см. значения ниже), поэтому нельзя сказать, что ровно через 25 772 года ось Земли вернется в то же положение, что и сейчас.

Более подробную информацию см. в разделах Изменение полярных звезд и Смещение полюсов и равноденствий ниже.

История

Эллинистический мир

Гиппарх

Открытие прецессии обычно приписывается Гиппарху (190–120 гг. до н. э.) Родосскому или Никейскому , греческому астроному . Согласно « Альмагесту » Птолемея , Гиппарх измерил долготу Спики и других ярких звезд. Сравнивая свои измерения с данными своих предшественников, Тимохариса (320–260 гг. до н. э.) и Аристилла (~280 г. до н. э.), он пришел к выводу, что Спика сместилась на 2° относительно осеннего равноденствия . Он также сравнил продолжительность тропического года (время, необходимое Солнцу для возвращения к равноденствию) и сидерического года (время, необходимое Солнцу для возвращения к неподвижной звезде) и обнаружил небольшое расхождение. Гиппарх пришел к выводу, что точки равноденствия перемещаются («прецессируют») по зодиаку и что скорость прецессии составляет не менее 1° за столетие, другими словами, полный цикл завершается не более чем за 36 000 лет. ^[7]

Практически все труды Гиппарха утеряны, включая его работу о прецессии. Они упоминаются Птолемеем, который объясняет прецессию как вращение небесной сферы вокруг неподвижной Земли. Разумно предположить, что Гиппарх, подобно Птолемею, думал о прецессии в геоцентрических терминах как о движении небес, а не Земли.

Птолемей

Первым астрономом, который, как известно, продолжил работу Гиппарха по прецессии, был Птолемей во втором веке нашей эры. Птолемей измерил долготы Регула , Спики и других ярких звезд с помощью вариации лунного метода Гиппарха, не требующей затмений. Перед заходом Солнца он измерил дугу продольного направления, отделяющую Луну от Солнца. Затем, после захода Солнца, он измерил дугу от Луны до звезды. Он использовал модель Гиппарха для вычисления долготы Солнца и внес поправки на движение Луны и ее параллакс . ^[8] Птолемей сравнил свои собственные наблюдения с наблюдениями, сделанными Гиппархом, Менелаем Александрийским , Тимохарисом и Агриппой . Он обнаружил, что между временем Гиппарха и его собственным (около 265 лет) звезды сместились на 2°40' или на 1° за 100 лет (36" в год; сегодня принятая скорость составляет около 50" в год или 1° за 72 года). Однако возможно, что Птолемей просто доверился цифрам Гиппарха вместо того, чтобы провести собственные измерения. Он также подтвердил, что прецессия затрагивает все неподвижные звезды, а не только те, что находятся вблизи эклиптики, и его цикл имел тот же период в 36 000 лет, что и цикл Гиппарха. ^[7]

Другие авторы

Большинство древних авторов не упоминали прецессию и, возможно, не знали о ней. Например, Прокл отвергал прецессию, в то время как Теон Александрийский , комментатор Птолемея в четвертом веке, принимал объяснение Птолемея. Теон также сообщает альтернативную теорию:

«Согласно некоторым мнениям, древние астрологи полагают, что с определенной эпохи знаки солнцестояния совершают движение на 8° в порядке знаков, после чего они возвращаются на то же расстояние назад. ...» (Дрейер, 1958, стр. 204)

Вместо того, чтобы проходить через всю последовательность зодиака, равноденствия «трепетали» взад и вперед по дуге в 8°. Теория трепета представлена ​​Теоном как альтернатива прецессии.

Альтернативные теории открытия

Вавилоняне

Были сделаны различные утверждения о том, что другие культуры открыли прецессию независимо от Гиппарха. Согласно Аль-Баттани , халдейские астрономы различали тропический и сидерический год , так что примерно к 330 г. до н. э. они были в состоянии описать прецессию, хотя и неточно, но такие заявления обычно считаются необоснованными. ^[9]

Майя

Археолог Сьюзан Милбрат предположила, что месоамериканский календарь Длинного счета , «30 000 лет, включающий Плеяды ... мог быть попыткой рассчитать прецессию равноденствия». ^[10] Этой точки зрения придерживаются немногие другие профессиональные исследователи цивилизации майя . ^{[ требуется ссылка ]}

Древние египтяне

Аналогично, утверждается, что прецессия равноденствий была известна в Древнем Египте , до времен Гиппарха ( период Птолемея ). Эти утверждения остаются спорными. Древние египтяне вели точные календари и записывали даты на стенах храмов, поэтому для них было бы просто построить «грубую» скорость прецессии.

Зодиак Дендеры , звездная карта внутри храма Хатхор в Дендере , предположительно регистрирует прецессию равноденствий. ^[11] В любом случае, если древние египтяне знали о прецессии, их знания не зафиксированы как таковые ни в одном из сохранившихся астрономических текстов.

Майкл Райс, популярный писатель о Древнем Египте, написал, что древние египтяне, должно быть, наблюдали прецессию, ^[12] и предположил, что это осознание оказало глубокое влияние на их культуру. ^[13] Райс отметил, что египтяне переориентировали храмы в ответ на прецессию связанных с ними звезд. ^[14]

Индия

До 1200 года в Индии существовало две теории трепидации , одна с частотой и другая без частоты, и несколько связанных с ней моделей прецессии. Каждая из них имела незначительные изменения или исправления, внесенные различными комментаторами. Доминирующей из трех была трепидация, описанная в самом уважаемом индийском астрономическом трактате, Сурья-сиддханта (3:9–12), составленном около  400 года , но пересмотренном в течение следующих нескольких столетий. Она использовала сидерическую эпоху, или айанамсу , которая до сих пор используется во всех индийских календарях , изменяясь по эклиптической долготе от 19°11′ до 23°51′, в зависимости от консультирующейся группы. ^[15] Эта эпоха заставляет примерно 30 индийских календарных лет начинаться через 23–28 дней после современного мартовского равноденствия . Мартовское равноденствие Сурья -сиддханты смещалось на 27° в обоих направлениях от сидерической эпохи. Таким образом, равноденствие сместилось на 54° в одном направлении, а затем на 54° в другом направлении. Этот цикл занял 7200 лет, чтобы завершиться со скоростью 54″/год. Равноденствие совпало с эпохой в начале Кали- юги в −3101 и снова 3600 лет спустя в 499. Направление изменилось с прямого на ретроградное на полпути между этими годами в −1301, когда оно достигло своего максимального отклонения в 27°, и оставалось бы ретроградным, тем же направлением, что и современная прецессия, в течение 3600 лет до 2299. ^{[16] [17] : 29–30}

Другой трепет был описан Варахамихирой ( ок.  550 г. ). Его трепет состоял из дуги 46°40′ в одном направлении и возврата к исходной точке. Половина этой дуги, 23°20′, была отождествлена ​​с максимальным склонением Солнца по обе стороны от экватора в солнцестояния. Но период не был указан, поэтому годовая скорость не может быть установлена. ^{[17] : 27–28}

Некоторые авторы описывают прецессию как около 200 000  оборотов за Кальпу продолжительностью 4 320 000 000  лет, что соответствует скорости ⁠200,000×360×3600/4,320,000,000⁠  = 60″/год. Вероятно, они отклонились от четных 200 000  оборотов, чтобы сделать накопленную прецессию нулевой около 500. Вишнучандра ( ок.  550–600 ) упоминает 189 411  оборотов в Кальпе или 56,8″/год. Бхаскара I ( ок.  600–680 ) упоминает [1]94 110  оборотов в Кальпе или 58,2″/год. Бхаскара II ( ок.  1150 ) упоминает 199 699  оборотов в Кальпе или 59,9″/год. ^{[17] : 32–33}

китайская астрономия

Юй Си (четвертый век н. э.) был первым китайским астрономом , упомянувшим прецессию. Он оценил скорость прецессии в 1° за 50 лет. ^[18]

Средние века и Возрождение

В средневековой исламской астрономии прецессия была известна на основе «Альмагеста » Птолемея и наблюдений, которые уточнили ее значение.

Аль-Баттани в своей работе «Зидж ас-Саби» упоминает расчет прецессии Гиппархом и значение Птолемея в 1 градус за 100 солнечных лет, говорит, что он измерил прецессию и обнаружил, что она составляет один градус за 66 солнечных лет. ^[19]

Впоследствии Аль-Суфи в своей Книге неподвижных звезд упоминает те же значения, что и значение Птолемея для прецессии — 1 градус за 100 солнечных лет. Затем он цитирует другое значение из Zij Al Mumtahan , которое было сделано во время правления Аль-Мамуна , 1 градус за каждые 66 солнечных лет. Он также цитирует вышеупомянутого Zij Al-Sabi из Al-Battani, который корректирует координаты звезд на 11 градусов и 10 минут дуги, чтобы учесть разницу между временем Al-Battani и временем Птолемея. ^[20]

Позднее «Зидж-и Ильхани» , составленный в обсерватории Мараге , устанавливает прецессию равноденствий в 51 угловую секунду в год, что очень близко к современному значению в 50,2 угловых секунды. ^[21]

В средние века исламские и латинские христианские астрономы рассматривали «трепет» как движение неподвижных звезд, которое следует добавить к прецессии. Эта теория обычно приписывается арабскому астроному Сабиту ибн Курре , но в наше время это авторство оспаривается. Николай Коперник опубликовал другой отчет о трепете в De revolutionibus orbium coelestium (1543). В этой работе впервые определенно упоминается прецессия как результат движения земной оси. Коперник охарактеризовал прецессию как третье движение Земли. ^[22]

Современный период

Более века спустя Исаак Ньютон в «Математических началах естественной философии» (1687) объяснил прецессию как следствие гравитации . ^[23] Однако первоначальные уравнения прецессии Ньютона не работали и были существенно пересмотрены Жаном Лероном Д'Аламбером и последующими учёными.

Открытие Гиппарха

Гиппарх дал отчет о своем открытии в работе « О смещении точек солнцестояния и равноденствия» (описанной в Альмагесте III.1 и VII.2). Он измерил эклиптическую долготу звезды Спика во время лунных затмений и обнаружил, что она была примерно на 6° западнее осеннего равноденствия . Сравнивая свои собственные измерения с измерениями Тимохариса Александрийского (современника Евклида , работавшего с Аристиллом в начале III века до н. э.), он обнаружил, что долгота Спики за это время уменьшилась примерно на 2° (точные годы в Альмагесте не указаны ). Также в VII.2 Птолемей приводит более точные наблюдения двух звезд, включая Спику, и приходит к выводу, что в каждом случае изменение на 2° 40' произошло между 128 г. до н. э. и 139 г. н. э. Таким образом, 1° за столетие или один полный цикл за 36 000 лет, то есть прецессионный период Гиппарха, как сообщает Птолемей; см. стр. 328 в переводе Тумера Альмагеста, издание 1998 г. Он также заметил это движение у других звезд. Он предположил, что только звезды около зодиака смещаются со временем. Птолемей назвал это своей «первой гипотезой» ( Альмагест VII.1), но не сообщил ни о какой более поздней гипотезе, которую мог придумать Гиппарх. Гиппарх, по-видимому, ограничил свои предположения, поскольку у него было только несколько более старых наблюдений, которые были не очень надежными.

Поскольку точки равноденствия не отмечены на небе, Гиппарху нужна была Луна в качестве точки отсчета; он использовал лунное затмение для измерения положения звезды. Гиппарх уже разработал способ вычисления долготы Солнца в любой момент. Лунное затмение происходит во время полнолуния , когда Луна находится в противостоянии , точно в 180° от Солнца. Считается, что Гиппарх измерил продольную дугу, отделяющую Спику от Луны. К этому значению он добавил вычисленную долготу Солнца, плюс 180° для долготы Луны. Он проделал ту же процедуру с данными Тимохариса. ^[24] Наблюдения, такие как эти затмения, между прочим, являются основным источником данных о том, когда работал Гиппарх, поскольку другая биографическая информация о нем минимальна. Лунные затмения, которые он наблюдал, например, произошли 21 апреля 146 г. до н. э. и 21 марта 135 г. до н. э. ^[25]

Гиппарх также изучал прецессию в работе «О длине года» . Для понимания его работы важны два вида года. Тропический год — это промежуток времени, который требуется Солнцу, если смотреть с Земли, чтобы вернуться в то же самое положение вдоль эклиптики (его пути среди звезд на небесной сфере). Сидерический год — это промежуток времени, который требуется Солнцу, чтобы вернуться в то же самое положение по отношению к звездам небесной сферы. Прецессия заставляет звезды немного менять свою долготу каждый год, поэтому сидерический год длиннее тропического года. Используя наблюдения за равноденствиями и солнцестояниями, Гиппарх обнаружил, что продолжительность тропического года составляет 365+1/4−1/300 дней или 365,24667 дней (Эванс 1998, стр. 209). Сравнивая это с длиной сидерического года, он вычислил, что скорость прецессии была не менее 1° за столетие. Из этой информации можно вычислить, что его значение для сидерического года было 365+1/4+1/144 дня. ^[26] Указывая минимальную скорость, он, возможно, допускал ошибки в наблюдениях.

Чтобы приблизить свой тропический год, Гиппарх создал свой собственный лунно-солнечный календарь , изменив календарь Метона и Каллиппа в «О вставных месяцах и днях» (ныне утерян), как описано Птолемеем в «Альмагесте» III.1. ^[27] Вавилонский календарь использовал цикл из 235 лунных месяцев за 19 лет с 499 г. до н. э. (только с тремя исключениями до 380 г. до н. э.), но он не использовал определенное количество дней. Метонический цикл (432 г. до н. э.) приписывал 6940 дней этим 19 годам, производя средний год 365+1/4+1/76 или 365,26316 дней. Каллиппический цикл (330 г. до н. э.) выпал на один день из четырех метонических циклов (76 лет) для среднего года 365+1/4 или 365,25 дней. Гиппарх вычеркнул еще один день из четырех каллиптических циклов (304 года), создав гиппархический цикл со средней продолжительностью года 365+1/4−1/304 или 365,24671 дня, что было близко к его тропическому году 365+1/4−1/300 или 365,24667 дня.

Математические подписи Гиппарха найдены в Антикитерском механизме , древнем астрономическом компьютере второго века до нашей эры. Механизм основан на солнечном годе, Метоническом цикле, который является периодом, когда Луна появляется в том же месте на небе с той же фазой (полная Луна появляется в том же положении на небе примерно через 19 лет), Каллипическом цикле (который составляет четыре метонических цикла и более точен), цикле Сароса и циклах Экселигмоса (три цикла Сароса для точного предсказания затмений). Изучение Антикитерского механизма показало, что древние использовали очень точные календари, основанные на всех аспектах солнечного и лунного движения на небе. Фактически, Лунный механизм, который является частью Антикитерского механизма, отображает движение Луны и ее фазу в течение заданного времени, используя цепь из четырех шестеренок с устройством штифта и паза, которое дает переменную скорость Луны, которая очень близка ко второму закону Кеплера . То есть, он учитывает быстрое движение Луны в перигее и более медленное движение в апогее .

Изменение полярных звезд

Прецессия земной оси вокруг северного полюса эклиптики

Следствием прецессии является изменение полярной звезды . В настоящее время Полярная звезда чрезвычайно хорошо подходит для обозначения положения северного небесного полюса, поскольку Полярная звезда является умеренно яркой звездой с визуальной величиной 2,1 (переменная) и расположена примерно в одном градусе от полюса, при этом поблизости нет звезд подобной яркости. ^[28]

Прецессия земной оси вокруг южного эклиптического полюса

Предыдущей полярной звездой была Кохаб (Бета Малой Медведицы, β UMi, β Малой Медведицы), самая яркая звезда в чаше «Малого Ковша», расположенная в 16 градусах от Полярной звезды. Она играла эту роль с 1500 г. до н. э. по 500 г. н. э. ^[29] В свое время она была не такой точной, как Полярная звезда сегодня. ^[29] Сегодня Кохаб и его сосед Феркад называются «Стражами полюса» (имеется в виду Полярная звезда). ^[29]

С другой стороны, Тубан в созвездии Дракона , который был Полярной звездой в 3000 году до нашей эры, гораздо менее заметен при звездной величине 3,67 (в пять раз ярче Полярной звезды); сегодня он невидим в засвеченном городском небе.

Когда Полярная звезда снова станет Полярной звездой около 27 800 г. до н. э., она будет находиться дальше от полюса, чем сейчас, из-за своего собственного движения , тогда как в 23 600 г. до н. э. она приблизилась к полюсу.

В настоящее время сложнее найти южный небесный полюс на небе, поскольку эта область представляет собой особенно тусклую часть неба. Номинальная звезда южного полюса — Сигма Октанта , которая с величиной 5,5 едва видна невооруженным глазом даже при идеальных условиях. Однако это изменится с 80-го по 90-й век, когда южный небесный полюс пройдет через Ложный Крест .

Эта ситуация также видна на звездной карте. Ориентация южного полюса смещается к созвездию Южного Креста . В течение последних 2000 лет или около того Южный Крест указывал на южный небесный полюс. В результате созвездие трудно увидеть из субтропических северных широт, в отличие от времен древних греков . Южный Крест можно увидеть даже с севера, например, из Майами (около 25° с.ш.), но только зимой/ранней весной.

Сдвиг полюсов и сдвиг равноденствий

Прецессионное движение, наблюдаемое «извне» небесной сферы

25 700-летний цикл прецессии, наблюдаемый вблизи Земли. Текущая северная полярная звезда — Полярис (вверху). Примерно через 8 000 лет это будет яркая звезда Денеб (слева), а примерно через 12 000 лет — Вега (слева в центре). Вращение Земли изображено не в масштабе — за этот промежуток времени она фактически обернется более 4 миллионов раз.

Изображения справа пытаются объяснить связь между прецессией земной оси и смещением равноденствий. Эти изображения показывают положение земной оси на небесной сфере , фиктивной сфере, которая размещает звезды в соответствии с их положением, видимым с Земли, независимо от их фактического расстояния. Первое изображение показывает небесную сферу снаружи, с созвездиями в зеркальном отражении. Второе изображение показывает перспективу околоземного положения, видимого через очень широкоугольный объектив (откуда и возникает кажущееся искажение).

Ось вращения Земли описывает, за период 25 700 лет, небольшой синий круг среди звезд около верхней части диаграммы, с центром в северном полюсе эклиптики ( синяя буква E ) и с угловым радиусом около 23,4°, угол, известный как наклон эклиптики . Направление прецессии противоположно суточному вращению Земли вокруг своей оси. Коричневая ось была осью вращения Земли 5000 лет назад, когда она указывала на звезду Тубан . Желтая ось, указывающая на Полярную звезду, отмечает ось сейчас.

Равноденствия происходят там, где небесный экватор пересекает эклиптику (красная линия), то есть, где ось Земли перпендикулярна линии, соединяющей центры Солнца и Земли. Термин «равноденствие» здесь относится к точке на небесной сфере, определенной таким образом, а не к моменту времени, когда Солнце находится над головой на экваторе (хотя эти два значения связаны). Когда ось прецессирует из одной ориентации в другую, экваториальная плоскость Земли (обозначенная круговой сеткой вокруг экватора) перемещается. Небесный экватор — это просто экватор Земли, спроецированный на небесную сферу, поэтому он перемещается по мере перемещения экваториальной плоскости Земли, а пересечение с эклиптикой перемещается вместе с ним. Положения полюсов и экватора на Земле не меняются, меняется только ориентация Земли относительно неподвижных звезд.

Диаграмма, показывающая смещение точки мартовского равноденствия среди звезд на запад за последние 6000 лет.

Как видно из коричневой сетки , 5000 лет назад мартовское равноденствие было близко к звезде Альдебаран в Тельце . Теперь, как видно из желтой сетки, оно сместилось (указано красной стрелкой ) куда-то в созвездие Рыб .

Подобные неподвижные изображения являются лишь первым приближением, поскольку они не учитывают переменную скорость прецессии, переменный наклон эклиптики, планетарную прецессию (которая представляет собой медленное вращение самой плоскости эклиптики , в настоящее время вокруг оси, расположенной на этой плоскости, с долготой 174,8764°) и собственные движения звезд.

Прецессионные эры каждого созвездия, часто известные как « Великие месяцы », приблизительно указаны в таблице ниже: ^[30]

Причина

Прецессия равноденствий вызвана гравитационными силами Солнца и Луны , и в меньшей степени других тел, на Земле. Впервые это объяснил сэр Исаак Ньютон . ^[31]

Осевая прецессия похожа на прецессию волчка. В обоих случаях приложенная сила обусловлена ​​гравитацией. Для волчка эта сила изначально имеет тенденцию быть почти параллельной оси вращения и увеличивается по мере замедления волчка. Для гироскопа на подставке она может приближаться к 90 градусам. Однако для Земли приложенные силы Солнца и Луны ближе к перпендикуляру к оси вращения.

Земля не является идеальной сферой, а сплющенным сфероидом , с экваториальным диаметром примерно на 43 километра больше, чем ее полярный диаметр. Из-за наклона оси Земли в течение большей части года половина этой выпуклости, которая ближе всего к Солнцу, находится вне центра, либо на севере, либо на юге, а дальняя половина находится вне центра на противоположной стороне. Гравитационное притяжение на ближней половине сильнее, поскольку гравитация уменьшается пропорционально квадрату расстояния, поэтому это создает небольшой крутящий момент на Земле, поскольку Солнце притягивает сильнее одну сторону Земли, чем другую. Ось этого крутящего момента примерно перпендикулярна оси вращения Земли, поэтому ось вращения прецессирует . Если бы Земля была идеальной сферой, прецессии бы не было.

Этот средний крутящий момент перпендикулярен направлению, в котором ось вращения наклонена от полюса эклиптики, так что он не изменяет сам осевой наклон. Величина крутящего момента от Солнца (или Луны) меняется в зависимости от угла между направлением оси вращения Земли и направлением гравитационного притяжения. Она приближается к нулю, когда они перпендикулярны. Например, это происходит в равноденствия в случае взаимодействия с Солнцем. Это можно увидеть, поскольку ближняя и дальняя точки выровнены с гравитационным притяжением, поэтому крутящего момента нет из-за разницы в гравитационном притяжении.

Хотя приведенное выше объяснение включало Солнце, то же самое объяснение справедливо для любого объекта, движущегося вокруг Земли, вдоль или близко к эклиптике, в частности, Луны. Совместное действие Солнца и Луны называется лунно-солнечной прецессией. В дополнение к устойчивому поступательному движению (приводящему к полному кругу примерно за 25 700 лет) Солнце и Луна также вызывают небольшие периодические изменения из-за их изменяющихся положений. Эти колебания, как в прецессионной скорости, так и в осевом наклоне, известны как нутация . Самый важный член имеет период 18,6 лет и амплитуду 9,2 угловых секунд. ^[32]

В дополнение к лунно-солнечной прецессии, действия других планет Солнечной системы заставляют всю эклиптику медленно вращаться вокруг оси, которая имеет эклиптическую долготу около 174°, измеренную на мгновенной эклиптике. Это так называемое планетарное прецессионное смещение составляет вращение плоскости эклиптики на 0,47 угловых секунд в год (более чем в сто раз меньше лунно-солнечной прецессии). Сумма двух прецессий известна как общая прецессия.

Уравнения

Приливная сила на Земле, вызванная Луной или другим небесным телом. Она показывает как приливное поле (толстые красные стрелки), так и гравитационное поле (тонкие синие стрелки), оказываемое на поверхность и центр Земли (метка O) Луной (метка S).

Приливная сила на Земле, вызванная возмущающим телом (Солнцем, Луной или планетой), выражается законом всемирного тяготения Ньютона , согласно которому гравитационная сила возмущающего тела на ближайшей стороне Земли считается большей, чем гравитационная сила на дальней стороне, на величину, пропорциональную разнице кубов расстояний между ближней и дальней сторонами. Если гравитационная сила возмущающего тела, действующая на массу Земли как точечной массы в центре Земли (которая обеспечивает центростремительную силу , вызывающую орбитальное движение), вычесть из гравитационной силы возмущающего тела повсюду на поверхности Земли, то, что останется, можно рассматривать как приливную силу. Это дает парадоксальное представление о силе, действующей от спутника, но на самом деле это просто меньшая сила по направлению к этому телу из-за градиента в гравитационном поле. Для прецессии эта приливная сила может быть сгруппирована в две силы, которые действуют только на экваториальную выпуклость за пределами среднего сферического радиуса. Эту пару можно разложить на две пары компонентов, одну пару, параллельную экваториальной плоскости Земли к и от возмущающего тела, которые компенсируют друг друга, и другую пару, параллельную оси вращения Земли, обе к плоскости эклиптики . ^[33] Последняя пара сил создает следующий вектор крутящего момента на экваториальной выпуклости Земли: ^[5]

${\displaystyle {\overrightarrow {T}}={\frac {3GM}{r^{3}}}(C-A)\sin \delta \cos \delta {\begin{pmatrix}\sin \alpha \\-\cos \alpha \\0\end{pmatrix}}}$

где

GM — стандартный гравитационный параметр возмущающего тела

r , геоцентрическое расстояние до возмущающего тела

C , момент инерции вокруг оси вращения Земли

A , момент инерции вокруг любого экваториального диаметра Земли

C − A , момент инерции экваториальной выпуклости Земли ( C > A )

δ — склонение возмущающего тела (к северу или югу от экватора)

α — прямое восхождение возмущающего тела (к востоку от мартовского равноденствия ).

Три единичных вектора крутящего момента в центре Земли (сверху вниз) — это x на линии в плоскости эклиптики (пересечение экваториальной плоскости Земли с плоскостью эклиптики), направленной к мартовскому равноденствию, y на линии в плоскости эклиптики, направленной к летнему солнцестоянию (90° к востоку от x ), и z на линии, направленной к северному полюсу эклиптики.

Значение трех синусоидальных членов в направлении x (sin δ cos δ sin α ) для Солнца представляет собой квадратную синусоидальную волну, изменяющуюся от нуля в равноденствия (0°, 180°) до 0,36495 в солнцестояния (90°, 270°). Значение в направлении y (sin δ cos δ (−cos α )) для Солнца представляет собой синусоиду, изменяющуюся от нуля в четыре равноденствия и солнцестояния до ±0,19364 (чуть больше половины квадрата синуса пика) на полпути между каждым равноденствием и солнцестоянием с пиками, слегка смещенными в сторону равноденствий (43,37°(−), 136,63°(+), 223,37°(−), 316,63°(+)). Обе солнечные волновые формы имеют примерно одинаковую амплитуду от пика до пика и одинаковый период, половина оборота или половина года. Значение в направлении z равно нулю.

Средний крутящий момент синусоиды в направлении y равен нулю для Солнца или Луны, поэтому этот компонент крутящего момента не влияет на прецессию. Средний крутящий момент квадрата синусоидальной волны в направлении x для Солнца или Луны равен:

${\displaystyle T_{x}={\frac {3}{2}}{\frac {GM}{a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}(C-A)\sin \epsilon \cos \epsilon }$

где

${\displaystyle a}$, большая полуось орбиты Земли (Солнца) или орбиты Луны

е , эксцентриситет орбиты Земли (Солнца) или орбиты Луны

и 1/2 учитывает среднее значение квадрата синусоидальной формы волны, учитывает среднее кубическое расстояние Солнца или Луны от Земли по всей эллиптической орбите, ^[34] а ε (угол между экваториальной плоскостью и плоскостью эклиптики) является максимальным значением δ для Солнца и средним максимальным значением для Луны за весь 18,6-летний цикл. ${\displaystyle a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}$

Прецессия — это:

${\displaystyle {\frac {d\psi }{dt}}={\frac {T_{x}}{C\omega \sin \epsilon }}}$

где ω — угловая скорость Земли , а Cω — угловой момент Земли . Таким образом, первый компонент прецессии, вызванный Солнцем, равен: ^[5]

${\displaystyle {\frac {d\psi _{S}}{dt}}={\frac {3}{2}}\left[{\frac {GM}{a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]_{S}\left[{\frac {C-A}{C}}{\frac {\cos \epsilon }{\omega }}\right]_{E}}$

тогда как Луна имеет следующее значение:

${\displaystyle {\frac {d\psi _{L}}{dt}}={\frac {3}{2}}\left[{\frac {GM\left(1-1.5\sin ^{2}i\right)}{a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]_{L}\left[{\frac {C-A}{C}}{\frac {\cos \epsilon }{\omega }}\right]_{E}}$

где i — угол между плоскостью орбиты Луны и плоскостью эклиптики. В этих двух уравнениях параметры Солнца заключены в квадратные скобки, обозначенные S, параметры Луны — в квадратные скобки, обозначенные L, а параметры Земли — в квадратные скобки, обозначенные E. Член учитывает наклон орбиты Луны относительно эклиптики. Член ( C − A )/ C — это динамическая эллиптичность или сплющивание Земли , которая корректируется в соответствии с наблюдаемой прецессией, поскольку внутренняя структура Земли неизвестна с достаточной степенью детализации. Если бы Земля была однородной, член был бы равен ее третьему эксцентриситету в квадрате , ^[35] ${\displaystyle \left(1-1.5\sin ^{2}i\right)}$

${\displaystyle e''^{2}={\frac {\mathrm {a} ^{2}-\mathrm {c} ^{2}}{\mathrm {a} ^{2}+\mathrm {c} ^{2}}}}$

где a — экваториальный радиус (6 378 137  м ) и c - полярный радиус (6 356 752  м ), поэтому e ² = 0,003358481 .

Применимые параметры для J2000.0 округлены до семи значащих цифр (исключая первую 1): ^{[36] [37]}

которые дают

dψ _S /dt = 2,450183 × 10 ⁻¹² /с

dψ _L /dt = 5,334529 × 10 ⁻¹² /с

оба из которых должны быть преобразованы в ″/a (угловые секунды/год) на количество угловых секунд в 2π радианах ( 1,296 × 10⁶ ″/2π) и количество секунд в одном году ( юлианский год ) (3,15576 × 10⁷ с/г):

dψ _S /dt = 15,948788″/a против 15,948870″/a из Уильямса ^[5]

dψ _L /dt = 34,723638″/a против 34,457698″/a по Уильямсу.

Солнечное уравнение является хорошим представлением прецессии, вызванной Солнцем, поскольку орбита Земли близка к эллипсу, и лишь слегка возмущается другими планетами. Лунное уравнение не является таким хорошим представлением прецессии, вызванной Луной, поскольку орбита Луны сильно искажена Солнцем, и ни радиус, ни эксцентриситет не являются постоянными в течение года.

Ценности

Расчет Саймона Ньюкомба в конце 19-го века для общей прецессии ( p ) по долготе дал значение 5,025.64 угловых секунд за тропическое столетие, и было общепринятым значением до тех пор, пока искусственные спутники не предоставили более точные наблюдения, а электронные компьютеры не позволили рассчитать более сложные модели. Джей Генри Лиске разработал обновленную теорию в 1976 году, где p равно 5,029.0966 угловых секунд (или 1.3969713 градуса) за юлианское столетие. Современные методы, такие как VLBI и LLR, позволили провести дальнейшие уточнения, и Международный астрономический союз принял новое постоянное значение в 2000 году, а новые методы вычислений и полиномиальные выражения в 2003 и 2006 годах; накопленная прецессия равна: ^[38]

p _A = 5,028.796195  T + 1.1054348  T ² + члены более высокого порядка, в угловых секундах, где T — время в юлианских столетиях (то есть 36,525 дней) с эпохи 2000 года .

Скорость прецессии является производной от этого:

p = 5,028.796195 + 2.2108696  T + члены более высокого порядка.

Постоянная часть этой скорости (5 028,796195 угловых секунд за столетие в приведенном выше уравнении) соответствует одному полному кругу прецессии за 25 771,57534 года (один полный круг в 360 градусов, деленный на 50,28796195 угловых секунд в год) ^[38] , хотя некоторые другие источники указывают значение в 25 771,4 года, что оставляет небольшую неопределенность.

Скорость прецессии не является постоянной, но (в настоящий момент) медленно увеличивается со временем, как показывают линейные (и более высокого порядка) члены в T . В любом случае следует подчеркнуть, что эта формула действительна только в течение ограниченного периода времени . Это полиномиальное выражение, центрированное на данных J2000, эмпирически подобранное к данным наблюдений, а не к детерминированной модели Солнечной системы . Очевидно, что если T станет достаточно большим (далеко в будущем или далеко в прошлом), член T ² будет доминировать, и p дойдет до очень больших значений. В действительности, более сложные расчеты на численной модели Солнечной системы показывают, что скорость прецессии имеет период около 41 000 лет, такой же, как наклон эклиптики. То есть,

р = А + БТ + КТ ² + …

является приближением

p = a + b sin (2π T / P ), где P — период в 41 000 лет.

Теоретические модели могут вычислять константы (коэффициенты), соответствующие более высоким степеням T , но поскольку невозможно, чтобы полином соответствовал периодической функции по всем числам, разница во всех таких приближениях будет неограниченно расти с ростом T. Достаточная точность может быть получена в течение ограниченного промежутка времени путем подгонки полинома достаточно высокого порядка к данным наблюдений, а не обязательно несовершенной динамической числовой модели. ^{[ необходимо разъяснение ]} Для современных расчетов траектории полета искусственных спутников и космических аппаратов полиномиальный метод дает лучшую точность. В этом отношении Международный астрономический союз выбрал наиболее разработанную из имеющихся теорий. На протяжении нескольких столетий в прошлом и будущем ни одна из используемых формул не расходится слишком сильно. На протяжении нескольких тысяч лет в прошлом и будущем большинство из них сходятся с некоторой точностью. Для более отдаленных эпох расхождения становятся слишком большими — точная скорость и период прецессии не могут быть вычислены с использованием этих полиномов даже для одного целого периода прецессии.

Прецессия земной оси — очень медленный эффект, но на уровне точности, с которым работают астрономы, его необходимо учитывать ежедневно. Хотя прецессия и наклон земной оси (наклон эклиптики) рассчитываются по одной и той же теории и, таким образом, связаны друг с другом, эти два движения действуют независимо друг от друга, двигаясь в противоположных направлениях. ^{[ необходимо уточнение ]}

Скорость прецессии демонстрирует вековое уменьшение из-за приливной диссипации от 59"/a до 45"/a (a = annum = юлианский год ) в течение 500-миллионного периода с центром в настоящем. После усреднения краткосрочных колебаний (десятки тысяч лет) долгосрочная тенденция может быть аппроксимирована следующими полиномами для отрицательного и положительного времени от настоящего в "/a, где T измеряется в миллиардах юлианских лет (Ga): ^[39]

р ⁻ = 50,475838 − 26,368583  Т + 21,890862  Т ²

р ⁺ = 50,475838 − 27,000654  Т + 15,603265  Т ²

Это дает среднюю продолжительность цикла в 25 676 лет.

Прецессия будет больше p ⁺ на небольшую величину +0,135052"/a между +30 млн лет и +130 млн лет . Скачок к этому превышению над p ⁺ произойдет всего через 20 млн лет, начиная с настоящего момента, поскольку вековое уменьшение прецессии начинает пересекать резонанс в орбите Земли, вызванный другими планетами.

По словам У. Р. Уорда, примерно через 1500 миллионов лет, когда расстояние до Луны, которое непрерывно увеличивается из-за приливных эффектов, увеличится с нынешних 60,3 до примерно 66,5 радиусов Земли, резонансы от планетарных эффектов сначала подтолкнут прецессию до 49 000 лет, а затем, когда Луна достигнет 68 радиусов Земли примерно через 2000 миллионов лет, до 69 000 лет. Это также будет связано с резкими колебаниями наклона эклиптики. Однако Уорд использовал аномально большое современное значение для приливной диссипации. ^[40] Используя среднее значение в 620 миллионов лет, обеспечиваемое приливными ритмитами примерно в половину современного значения, эти резонансы не будут достигнуты до примерно 3000 и 4000 миллионов лет соответственно. Однако из-за постепенного увеличения светимости Солнца океаны Земли испарится до этого времени (примерно через 2100 миллионов лет).

Смотрите также

• Астрономическая нутация
• Осевой наклон
• Углы Эйлера
• Долгота весеннего равноденствия
• Циклы Миланковича
• Полярное движение
• Звездный год
• Апсидальная прецессия

Ссылки

1. Hohenkerk, CY, Yallop, BD, Smith, CA, & Sinclair, AT "Celestial Reference Systems" в Seidelmann, PK (ред.) Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac . Sausalito: University Science Books. стр. 99.
2. Лернер, К. Ли; Лернер, Бренда Уилмот (2003). Мир наук о Земле . Фармингтон-Хиллз, Мичиган: Томсон-Гейл. стр. 105 и 454. ISBN 0-7876-9332-4OCLC 60695883. Во время вращения вокруг Солнца полярная ось Земли демонстрирует параллельность Полярной звезде (  также известной как Полярная звезда). Несмотря на соблюдение параллельности, ориентация полярной оси Земли демонстрирует прецессию — круговое колебание, демонстрируемое гироскопами, — что приводит к 28 000-летнему прецессионному циклу. В настоящее время полярная ось Земли указывает примерно в направлении Полярной звезды (Полярной звезды). В результате прецессии в течение следующих 11 000 лет ось Земли будет прецессировать или колебаться так, что примет ориентацию к звезде Вега.
3. Astro 101 – Precession of the Equinox Архивировано 2 января 2009 г. в Wayback Machine , Планетарий Университета Западного Вашингтона . Получено 30 декабря 2008 г.
4. Роберт Мейн, Практическая и сферическая астрономия (Кембридж: 1863) стр. 203–204.
5. Уильямс, Джеймс Г. (1994). "Вклад в скорость наклона оси вращения Земли, прецессию и нутацию". The Astronomical Journal . 108 : 711. Bibcode : 1994AJ....108..711W. doi : 10.1086/117108 . S2CID  122370108.
6. "IAU 2006 Resolution B1: Adoption of the P03 Precession Theory and Definition of the Ecliptic" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 21 октября 2011 г. . Получено 28 февраля 2009 г. .
7. Ptolemy (1998) [1984 c.  150 ], Альмагест Птолемея , перевод Toomer, GJ , Princeton University Press, стр. 131–141, 321–340, ISBN 0-691-00260-6
8. Эванс 1998, стр. 251–255.
9. Нойгебауэр, О. (1950). «Предполагаемое вавилонское открытие прецессии равноденствий». Журнал Американского восточного общества . 70 (1): 1–8. doi :10.2307/595428. JSTOR  595428.
10. Сьюзан Милбрат, «Насколько точна астрономия майя?», информационный бюллетень Института исследований майя, декабрь 2007 г.
11. Томпкинс, 1971
12. Райс, Майкл. Наследие Египта , стр. 128). «Неизвестно, знали ли древние о механике прецессии до ее определения Гиппархом Вифинским во втором веке до нашей эры, но как преданные наблюдатели ночного неба они не могли не знать о ее эффектах».
13. Райс, стр. 10 «...Прецессия имеет основополагающее значение для понимания того, что способствовало развитию Египта»; стр. 56 «...в некотором смысле Египет как национальное государство и царь Египта как живой бог являются продуктами осознания египтянами астрономических изменений, вызванных огромным видимым движением небесных тел, которое подразумевается прецессией».
14. Райс, стр. 170 «изменить ориентацию храма, когда звезда, на которой он изначально был установлен, изменила свое положение вследствие прецессии, что, по-видимому, случалось несколько раз во времена Нового царства».
15. Правительство Индии (1955), Отчет Комитета по реформе календаря (PDF) , Совет по научным и промышленным исследованиям, стр. 262, Долготы первой точки Овна, согласно двум школам, поэтому различаются на 23°[51]′ (–) 19°11′ ... [Верхний предел был увеличен на 42′ накопленной прецессии 1950–2000 гг.]
16. Surya (1935) [1860], Gangooly, Phanindralal (ред.), Перевод Surya Siddhanta: A Textbook of Hindu Astronomy, перевод Берджесса, Эбенеззера, Университет Калькутты, стр. 114
17. Pingree, David (1972), «Прецессия и трепидация в индийской астрономии до 1200 г. н. э.», Журнал истории астрономии , 3 : 27–35, Bibcode : 1972JHA.....3...27P, doi : 10.1177/002182867200300104, S2CID  115947431
18. Паннекук 1961, стр. 92
19. Аль-Баттани. "Зидж аль-Саби'". Архивировано из оригинала 5 января 2017 года . Получено 30 сентября 2017 года .
20. Ас-Суфи. «Книга неподвижных звезд».
21. Rufus, WC (май 1939). «Влияние исламской астрономии в Европе и на Дальнем Востоке». Popular Astronomy . 47 (5): 233–238 [236]. Bibcode : 1939PA.....47..233R..
22. Джиллиспи, Чарльз Коулстон (1960). Грань объективности: эссе по истории научных идей. Princeton University Press. стр. 24. ISBN 0-691-02350-6.
23. Эванс 1998, стр. 246
24. Эванс 1998, стр. 251
25. Тумер 1984, стр. 135 прим. 14
26. Тумер 1978, стр. 218
27. Тумер 1984, стр. 139
28. van Leeuwen, F. (2007). "HIP 11767". Hipparcos, the New Reduction . Получено 1 марта 2011 г.
29. Benningfield, Damond (14 июня 2015 г.). "Kochab". Stardate Magazine . University of Texas McDonald Observatory . Получено 14 июня 2015 г.
30. Калер, Джеймс Б. (2002). Вечно меняющееся небо: путеводитель по небесной сфере (переиздание). Cambridge University Press. стр. 152. ISBN 978-0521499187.
31. "прецессия равноденствий | Infoplease". infoplease.com .
32. "Основы космического полета, Глава 2". Лаборатория реактивного движения . Лаборатория реактивного движения/НАСА. 29 октября 2013 г. Получено 26 марта 2015 г.
33. Иван И. Мюллер , Сферическая и практическая астрономия в применении к геодезии (Нью-Йорк: Фредерик Унгер, 1969) 59.
34. G. Boué & J. Laskar, «Прецессия планеты со спутником», Icarus 185 (2006) 312–330, стр.329.
35. Джордж Биддел Эйри, Математические трактаты по лунной и планетарной теориям, фигуре Земли, прецессии и нутации, вариационному исчислению и волновой теории оптики (третье издание, 1842 г.) 200.
36. Simon, JL; Bretagnon, P.; Chapront, J.; Chapront-Touze, M.; Francou, G.; Laskar, J. (1994). "Численные выражения для формул прецессии и средних элементов для Луны и планет". Астрономия и астрофизика . 282 : 663. Bibcode : 1994A&A...282..663S.
37. Деннис Д. Маккарти, Техническое примечание IERS 13 – Стандарты IERS (1992) (Postscript, используйте XConvert).
38. Н. Капитанин и др. 2003, с. 581 выражение 39
39. Laskar, J.; Robutel, P.; Joutel, F.; Gastineau, M.; Correia, ACM; Levrard, B. (2004). «Долгосрочное численное решение для величин инсоляции Земли». Astronomy & Astrophysics . 428 : 261–285. Bibcode :2004A&A...428..261L. doi : 10.1051/0004-6361:20041335 .
40. Уорд, У. Р. (1982). «Комментарии о долгосрочной стабильности наклона Земли». Icarus . 50 (2–3): 444–448. Bibcode : 1982Icar...50..444W. doi : 10.1016/0019-1035(82)90134-8.

Библиография

• Бергер, АЛ (1976). «Наклон и прецессия за последние 5000000 лет». Астрономия и астрофизика . 51 (1): 127–135. Bibcode : 1976A&A....51..127B.
• Capitaine, N. (2003). "Выражения для величин прецессии IAU 2000". Астрономия и астрофизика . 412 (2): 567–586. Bibcode :2003A&A...412..567C. doi : 10.1051/0004-6361:20031539 .
• Дрейер, Дж. Л. Э. История астрономии от Фалеса до Кеплера . 2-е изд. Нью-Йорк: Довер, 1953.
• Эванс, Джеймс. История и практика древней астрономии . Нью-Йорк: Oxford University Press, 1998.
• Пояснительное приложение к Астрономическим эфемеридам и Американскому эфемеридному и морскому альманаху
• Hilton, JL (2006). «Отчет рабочей группы I отдела Международного астрономического союза по прецессии и эклиптике» (PDF) . Небесная механика и динамическая астрономия . 94 (3): 351–367. Bibcode :2006CeMDA..94..351H. doi :10.1007/s10569-006-0001-2. S2CID  122358401.
• Лиске, Дж. Х.; Ледерле, Т.; Фрике, В. (1977). «Выражения для величин прецессии, основанные на системе астрономических констант МАС (1976)». Astron. Astrophys . 58 : 1–16. Bibcode : 1977A&A....58....1L.
• Прецессия и наклон эклиптики имеют сравнение значений, предсказанных различными теориями
• Паннекук, А. История астрономии . Нью-Йорк: Довер, 1961.
• Паркер, Ричард А. «Египетская астрономия, астрология и календарное исчисление». Словарь научной биографии 15:706–727.
• Райс, Майкл (1997), Наследие Египта: архетипы западной цивилизации, 3000–30 гг. до н. э. , Лондон и Нью-Йорк.
• Шютц, Майкл (2000). «Гиппарх и умереть Entdeckung der Präzession. Bemerkungen zu David Ulansey, Die Ursprünge des Mithraskultes». Электронный журнал митраистических исследований (на немецком языке). 1 . Архивировано из оригинала 4 ноября 2013 года.
• Саймон, Дж. Л. (1994). «Численные выражения для формул прецессии и средних элементов для Луны и планет». Астрономия и астрофизика . 282 : 663–683. Bibcode : 1994A&A...282..663S.
• Томпкинс, Питер . Секреты Великой Пирамиды . С приложением Ливио Катулло Стеккини. Нью-Йорк: Harper Colophon Books, 1971.
• Тумер, Г. Дж. «Гиппарх». Словарь научной биографии . Т. 15:207–224. Нью-Йорк: Charles Scribner's Sons, 1978.
• Тумер, Г. Дж. Альмагест Птолемея . Лондон: Дакворт, 1984.
• Уланси, Дэвид. Истоки мистерий Митры: космология и спасение в Древнем мире . Нью-Йорк: Oxford University Press, 1989.
• Vondrak, J.; Capitaine, N.; Wallace, P. (2011). "Новые выражения прецессии, действительные для больших интервалов времени". Astronomy & Astrophysics . 534 : A22. Bibcode :2011A&A...534A..22V. doi : 10.1051/0004-6361/201117274 .

Внешние ссылки

• Спор Даламбера и Эйлера о решении проблемы прецессии равноденствий
• Боули, Роджер; Меррифилд, Майкл. «Осевая прецессия». Шестьдесят символов . Брэди Харан для Ноттингемского университета .
• Вынужденная прецессия и нутация Земли