Бегриффсшрифт

Книга Готлоба Фреге по логике 1879 года.

Begriffsschrift (по-немецки грубо говоря «написание концепций») — это книга Готлоба Фреге пологике , опубликованная в 1879 году, и формальная система, изложенная в этой книге.

Begriffsschrift обычно переводится как написание концепций или обозначение концепций ; полное название книги определяет ее как « язык формул , созданный по образцу арифметического языка для чистого мышления ». Мотивация Фреге к разработке формального подхода к логике напоминала мотивацию Лейбница для его рассудочного расчета (несмотря на это, в предисловии Фреге явно отрицает, что он достиг этой цели, а также то, что его главной целью было бы построение идеального языка, подобного языку Лейбница, который Фреге заявляет, что это довольно трудная и идеалистическая, хотя и не невыполнимая задача). Фреге продолжал использовать свои логические расчеты в своих исследованиях основ математики , проводившихся в течение следующей четверти века. Это первая работа в области аналитической философии , области, которую впоследствии развили будущие британские и англоязычные философы, такие как Бертран Рассел .

Обозначения и система

Исчисление впервые содержит количественные переменные и, по сути, представляет собой классическую двухвалентную логику второго порядка с единицей. Он двухвалентен в том смысле, что предложения или формулы обозначают либо Истину, либо Ложь; второго порядка, поскольку он включает переменные отношения в дополнение к переменным объекта и позволяет количественно оценить обе. Модификатор «с идентичностью» указывает, что язык включает отношение идентичности =. Фреге заявил, что его книга представляет собой версию «Characterica Universalis» , концепции Лейбница, которая будет применяться в математике. ^[1]

Фреге представляет свое исчисление, используя своеобразную двумерную запись : связки и кванторы записываются с помощью линий, соединяющих формулы, а не символов ¬, ∧ и ∀, которые используются сегодня. Например, это суждение B существенно подразумевает суждение A , т.е. записывается как ${\displaystyle B\rightarrow A}$.

В первой главе Фреге определяет основные идеи и обозначения, такие как предложение («суждение»), квантор всеобщности («общность»), условное выражение , отрицание и «знак тождества содержания» (который он использовал для обозначения как материальная эквивалентность и собственно тождество); во второй главе он объявляет девять формализованных предложений аксиомами. ${\displaystyle \equiv }$

В главе 1, §5 Фреге определяет условное выражение следующим образом:

«Пусть A и B относятся к оцениваемому содержанию, тогда четыре возможности таковы:

1. Утверждается А, утверждается Б;
2. А утверждается, Б отрицается;
3. A отрицается, B утверждается;
4. А отрицается, Б отрицается.

Позволять

означают, что третья из этих возможностей не реализуется, но реализуется одна из трех других. Итак, если мы отрицаем, это означает, что справедлива третья возможность, т. е. мы отрицаем А и утверждаем Б».

Исчисление в работах Фреге

Фреге объявил девять своих положений аксиомами и оправдал их, неформально утверждая, что, учитывая их предполагаемое значение, они выражают самоочевидные истины. Эти аксиомы, выраженные в современных обозначениях, таковы:

1. ${\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)}$
2. ${\displaystyle \vdash \ \ \left[\ A\rightarrow \left(B\rightarrow C\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ \left(A\rightarrow B\right)\rightarrow \left(A\rightarrow C\right)\ \right]}$
3. ${\displaystyle \vdash \ \ \left[\ D\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ B\rightarrow \left(D\rightarrow A\right)\ \right]}$
4. ${\displaystyle \vdash \ \ \left(B\rightarrow A\right)\ \rightarrow \ \left(\lnot A\rightarrow \lnot B\right)}$
5. ${\displaystyle \vdash \ \ \lnot \lnot A\rightarrow A}$
6. ${\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \lnot \lnot A}$
7. ${\displaystyle \vdash \ \ \left(c=d\right)\rightarrow \left(f\left(c\right)=f\left(d\right)\right)}$
8. ${\displaystyle \vdash \ \ c=c}$
9. ${\displaystyle \vdash \ \ \forall a\ f(a)\rightarrow \ f(c)}$

Это предложения 1, 2, 8, 28, 31, 41, 52, 54 и 58 в Begriffschrifft . (1)–(3) управляют материальной импликацией , (4)–(6) отрицанием , (7) и (8) идентичностью и (9) универсальным квантором . (7) выражает неразличимость тождеств Лейбница , а (8) утверждает, что тождество является рефлексивным отношением .

Все остальные предложения выводятся из (1)–(9) путем применения любого из следующих правил вывода :

• Modus ponens позволяет нам сделать вывод из и ; ${\displaystyle \vdash B}$ ${\displaystyle \vdash A\to B}$ ${\displaystyle \vdash A}$
• Правило обобщения позволяет нам сделать вывод, если x не встречается в P ; ${\displaystyle \vdash P\to \forall xA(x)}$ ${\displaystyle \vdash P\to A(x)}$
• Правило замены , которое Фреге не формулирует явно. Это правило гораздо сложнее сформулировать точно, чем два предыдущих правила, и Фреге ссылается на него способами, которые не являются очевидно законными.

Основные результаты третьей главы, озаглавленной «Части общей теории рядов», касаются того, что сейчас называют предком отношения R. « a является R -предком b » пишется « aR * b ».

Фреге применил результаты Begriffsschrifft , в том числе результаты о предках отношения, в своей более поздней работе «Основы арифметики» . Таким образом, если мы возьмем xRy за отношение y = x + 1, то 0 R * y будет предикатом « y — натуральное число». (133) говорит, что если x , y и z — натуральные числа , то должно выполняться одно из следующих условий: x < y , x = y или y < x . Это так называемый «закон трихотомии » .

Философия

«Если задача философии состоит в том, чтобы сломить господство слов над человеческим сознанием [...], то моя система обозначений понятий, разработанная для этих целей, может стать полезным инструментом для философов [...] Я считаю, что причина логика уже продвинулась вперед благодаря изобретению этой концептуальной записи».

-  Предисловие к Begriffsschrift

Влияние на другие произведения

Недавнее тщательное исследование того, как Begriffsschrift рассматривалось в немецкой математической литературе, см. в Vilko (1998). Некоторые рецензенты, особенно Эрнст Шредер , в целом отнеслись к нему положительно. Все работы в области формальной логики, последовавшие за Begriffsschrift, обязаны ему, потому что его логика второго порядка была первой формальной логикой, способной представить изрядную часть математики и естественного языка.

Некоторый пережиток обозначений Фреге сохранился в символе « турникет » , происходящем от его «Urteilsstrich» ( судящий/выводящий штрих ) │ и «Inhaltsstrich» (т.е. содержательный штрих ) ──. Фреге использовал эти символы в Begriffsschrift в унифицированной форме ├─ для заявления об истинности предложения. В своей более поздней «Grundgesetze» он немного пересматривает свою интерпретацию символа ├─. ${\displaystyle \vdash }$

В «Begriffsschrift» «Definitionsdoppelstrich» (т.е. двойная черта определения ) │├─ указывает на то, что предложение является определением. Кроме того, знак отрицания можно читать как комбинацию горизонтального Inhaltsstrich с вертикальным штрихом отрицания. Этот символ отрицания был вновь введен Арендом Хейтингом ^[2] в 1930 году, чтобы отличить интуиционистское отрицание от классического. Он также появляется в докторской диссертации Герхарда Генцена . ${\displaystyle \neg }$

В « Логическом философском трактате » Людвиг Витгенштейн отдает дань уважения Фреге, используя термин Begriffsschrift как синоним логического формализма.

В эссе Фреге 1892 года « О смысле и референции » отрекаются от некоторых выводов Begriffsschrifft об идентичности (обозначаемых в математике знаком «=»). В частности, он отвергает точку зрения «Begriffsschrift», согласно которой предикат идентичности выражает связь между именами, в пользу заключения, что он выражает связь между объектами , обозначаемыми этими именами.

Издания

• Готтлоб Фреге . Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens . Галле-ан-дер-Заале: Верлаг фон Луи Неберта, 1879 г.

Переводы:

• Байнум, Террелл Уорд, переведено и отредактировано, 1972. Концептуальные обозначения и соответствующие статьи с биографией и введением. Издательство Оксфордского университета .
• Бауэр-Менгельберг, Стефан, 1967, «Концептуальный сценарий» в книге Жана ван Хейеноорта , изд., От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 . Издательство Гарвардского университета .
• Бини, Майкл, 1997, «Begriffsschrift: Selections (предисловие и часть I)» в The Frege Reader . Оксфорд: Блэквелл.

Смотрите также

• Родовые отношения
• Исчисление эквивалентных утверждений
• Логика первого порядка
• Исчисление высказываний Фреге
• Предварительная аналитика
• Законы мышления
• Принципы математики

Рекомендации

1. Корте, Тапио (22 октября 2008 г.). «Begriffsschrift Фреге как характерный язык». Синтезируйте . 174 (2): 283–294. doi : 10.1007/s11229-008-9422-7. S2CID  20587814.
2. Аренд Хейтинг: «Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik», в: Sitzungsberichte der preußischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-Mathematische Klasse , 1930, стр. 42–65.

Библиография

• Джордж Булос , 1985. «Чтение Begriffsschrift », Mind 94: 331–344.
• Айвор Граттан-Гиннесс , 2000. В поисках математических корней . Издательство Принстонского университета.
• Ристо Вилкко, 1998, «Прием Begriffsschrift Фреге», Historia Mathematica 25 (4) : 412–422.

Внешние ссылки

• Залта, Эдвард Н. «Логика, теорема и основы арифметики Фреге». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Begriffsschrift в виде факсимиле для скачивания (2,5 МБ)
• Эзотерический язык программирования : «Готтлоб: написание кода в концептуальной нотации Фреге». эзотерические.коды . 27 марта 2020 г. Проверено 19 июня 2022 г.