Плоский коллектор

В математике риманово многообразие называется плоским, если его тензор кривизны Римана везде равен нулю. Интуитивно, плоское многообразие — это многообразие, которое «локально выглядит как» евклидово пространство с точки зрения расстояний и углов, например, внутренние углы треугольника в сумме составляют 180°.

Универсальным покрытием полного плоского многообразия является евклидово пространство. Это можно использовать для доказательства теоремы Бибербаха (1911, 1912) о том, что все компактные плоские многообразия конечно покрыты торами; трехмерный случай был ранее доказан Шёнфлисом (1891).

Примеры

Следующие многообразия могут быть снабжены плоской метрикой. Обратите внимание, что это может не быть их «стандартной» метрикой (например, плоская метрика на 2-мерном торе не является метрикой, индуцированной его обычным вложением в ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Измерение 1

Каждое одномерное риманово многообразие является плоским. Наоборот, учитывая, что каждое связное одномерное гладкое многообразие диффеоморфно либо , либо , легко видеть, что каждое связное одномерное риманово многообразие изометрично одному из следующих (каждое со своей стандартной римановой структурой): ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S^{1},}$

• настоящая линия
• конечный открытый интервал для некоторого числа ${\displaystyle (0,x)}$ ${\displaystyle x>0}$
• бесконечный открытый интервал ${\displaystyle (0,\infty )}$
• окружность радиуса для некоторого числа ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=r^{2}\}}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle r>0.}$

Только первый и последний являются полными. Если включить римановы многообразия с краем, то полуоткрытые и закрытые интервалы также должны быть включены.

Простота полного описания в этом случае может быть обусловлена ​​тем фактом, что каждое одномерное риманово многообразие имеет гладкое векторное поле единичной длины и что изометрия одного из приведенных выше модельных примеров обеспечивается путем рассмотрения интегральной кривой.

Измерение 2

Пять возможностей, с точностью до диффеоморфизма

Если — гладкое двумерное связное полное плоское риманово многообразие, то оно должно быть диффеоморфно одному из ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$(бесконечная плоскость)
• ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$(бесконечный цилиндр)
• ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$( тор )
• лента Мёбиуса
• бутылка Клейна .

Единственными компактными возможностями являются и бутылка Клейна, в то время как единственными ориентируемыми возможностями являются и ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}.}$

Требуется больше усилий, чтобы описать различные полные плоские римановы метрики на этих пространствах. Например, два фактора могут иметь любые два действительных числа в качестве своих радиусов. Эти метрики отличаются друг от друга отношением их двух радиусов, поэтому это пространство имеет бесконечно много различных метрик плоских произведений, которые не являются изометрическими с точностью до масштабного множителя. Чтобы единообразно говорить о пяти возможностях и, в частности, конкретно работать с лентой Мёбиуса и бутылкой Клейна как абстрактными многообразиями, полезно использовать язык групповых действий. ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$

Пять возможностей, вплоть до изометрии

Пусть , обозначено преобразование, заданное формулой Пусть , обозначено отражение , заданное формулой Для двух положительных чисел рассмотрим следующие подгруппы группы изометрий с ее стандартной метрикой. ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle T_{(x_{0},y_{0})}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+x_{0},y+y_{0}).}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,-y).}$ ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle \operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{2}),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• ${\displaystyle G_{e}=\{T_{(0,0)}\}}$
• ${\displaystyle G_{\text{cyl}}(a)=\{T_{(an,0)}:n\in \mathbb {Z} \}}$
• ${\displaystyle G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$предоставил ${\displaystyle a<b.}$
• ${\displaystyle G_{\text{Moeb}}(a)=\{T_{(2na,0)}:n\in \mathbb {Z} \}\cup \{T_{((2n+1)a,0)}\circ R:n\in \mathbb {Z} \}}$
• ${\displaystyle G_{\text{KB}}(b)=\{T_{(2na,bm)}:n,m\in \mathbb {Z} \}\cup \{T_{((2n+1)a,bm)}\circ R:n,m\in \mathbb {Z} \}}$

Все они являются группами, действующими свободно и собственно разрывно на , и поэтому все различные пространства смежных классов естественным образом имеют структуру двумерных полных плоских римановых многообразий. Ни одно из них не изометрично друг другу, и любое гладкое двумерное полное плоское связное риманово многообразие изометрично одному из них. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/G}$

Орбифолды

В статье об орбифолдах перечислены 17 компактных двумерных орбифолдов с плоской метрикой (включая тор и бутылку Клейна), которые соответствуют 17 группам обоев .

Замечания

Обратите внимание, что стандартная «картинка» тора в виде бублика не представляет его с плоской метрикой, поскольку точки, наиболее удаленные от центра, имеют положительную кривизну, в то время как точки, наиболее близкие к центру, имеют отрицательную кривизну. Согласно формулировке Койпера теоремы Нэша о вложении , существует вложение , которое индуцирует любую из метрик плоского произведения, которые существуют на , но их нелегко визуализировать. Поскольку представлено как вложенное подмногообразие любой из (плоских) структур произведения на , естественно представляются как подмногообразия Аналогично, стандартные трехмерные визуализации бутылки Клейна не представляют плоскую метрику. Стандартное построение ленты Мёбиуса путем склеивания концов полоски бумаги вместе действительно дает ей плоскую метрику, но она не является полной. ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1},}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}.}$

Измерение 3

Существует 6 ориентируемых и 4 неориентируемых компактных плоских 3-многообразий, которые все являются расслоенными пространствами Зейферта ; ^[1] они являются факторгруппами по 10 кристаллографическим группам без кручения . ^[2] Существует также 4 ориентируемых и 4 неориентируемых некомпактных пространства. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Ориентируемый

10 ориентируемых плоских 3-многообразий: ^[3]

1. Евклидово 3-пространство , . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
2. 3-тор , полученный путем склеивания противоположных граней куба . ${\displaystyle T^{3}}$
3. Коллектор, изготовленный путем склеивания противоположных граней куба с поворотом на 1/2 на одной паре.
4. Коллектор, изготовленный путем склеивания противоположных граней куба с поворотом на 1/4 на одной паре.
5. Коллектор, изготовленный путем склеивания противоположных граней шестиугольной призмы с поворотом шестиугольных граней на 1/3.
6. Коллектор, изготовленный путем склеивания противоположных граней шестиугольной призмы с поворотом шестиугольных граней на 1/6.
7. Многообразие Ханцше –Вендта .
8. Коллектор, выполненный в виде пространства между двумя параллельными плоскостями, склеенными вместе. ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} ^{2}}$
9. Коллектор, изготовленный путем склеивания противоположных стенок бесконечного квадратного дымохода . ${\displaystyle T^{2}\times \mathbb {R} }$
10. Коллектор, изготовленный путем склеивания противоположных стенок бесконечного квадратного дымохода с поворотом на 1/2 на одной паре.

Неориентируемый

8 неориентируемых 3-многообразий: ^[4]

1. Декартово произведение окружности и бутылки Клейна . ${\displaystyle S^{1}\times K}$
2. Коллектор, аналогичный вышеупомянутому, но поступательно смещенный в одном направлении параллельно плоскости скольжения ; перемещение в этом направлении возвращает к противоположной стороне коллектора.
3. Многообразие, полученное путем отражения точки относительно двух перпендикулярных плоскостей скольжения и переноса вдоль третьего направления.
4. Многообразие, подобное вышеупомянутому, но поступательно смещенное в одном направлении параллельно одной плоскости скольжения; перемещение в этом направлении возвращает к противоположной стороне многообразия.
5. Декартово произведение окружности и (неограниченной) ленты Мёбиуса.
6. Многообразие, полученное путем перемещения точки вдоль одной оси и ее отражения относительно перпендикулярной плоскости скольжения. ${\displaystyle K\times \mathbb {R} }$
7. Многообразие, полученное путем перемещения точки вдоль одной оси и ее отражения относительно параллельной плоскости скольжения.
8. Многообразие, полученное путем отражения точки относительно двух перпендикулярных плоскостей скольжения.

Более высокие измерения

• Евклидово пространство
• Тори
• Изделия из плоских коллекторов
• Факторы плоских многообразий по группам, действующим свободно.

Отношение к податливости

Среди всех замкнутых многообразий с неположительной секционной кривизной плоские многообразия характеризуются именно тем, что имеют аменабельную фундаментальную группу .

Это следствие теоремы Адамса- Балльмана (1998), ^[5] , которая устанавливает эту характеристику в гораздо более общем случае дискретных кокомпактных групп изометрий пространств Адамара . Это обеспечивает далеко идущее обобщение теоремы Бибербаха .

Предположение о дискретности является существенным в теореме Адамса-Бальмана: в противном случае классификация должна включать симметричные пространства , здания Брюа-Титса и деревья Басса-Серра ввиду «недискретной» теоремы Бибербаха Капраса - Моно . ^[6]

Смотрите также

• Формы пространства
• Космическая группа
• Риччи-плоское многообразие
• Конформно плоское многообразие
• Аффинное многообразие

Ссылки

Примечания

1. Питер Скотт , Геометрия 3-многообразий. (опечатки), Bull. London Math. Soc. 15 (1983), № 5, 401–487.
2. Миателло, Р.Дж.; Россетти, JP (29 октября 1999 г.). «Изоспектральные многообразия Ганча-Вендта». Журнал для королевы и математики . 1999 (515): 1–23. doi : 10.1515/crll.1999.077. ISSN  1435-5345.
3. Ранняя Вселенная и космический микроволновый фон: теория и наблюдения . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. 2003. С. 166–169. ISBN 978-1-4020-1800-8.
4. Конвей, Дж. Х.; Россетти, Дж. П. (24 октября 2005 г.). «Описание платикосмов». arXiv : math/0311476 .
5. Адамс, С.; Баллманн, В. (1998). «Аменабельные группы изометрий пространств Адамара». Math. Ann . 312 (1): 183–195. doi :10.1007/s002080050218. S2CID  15874907.
6. Капрас, ЧП; Моно, Н. (2015). «Недискретная теорема Бибербаха: от аменабельных групп CAT (0) к зданиям Титса». Ж. Политехническая школа . 2 : 333–383. arXiv : 1502.04583 . дои : 10.5802/jep.26 .

Библиография

• Бибербах, Л. (1911), «Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume I», Mathematische Annalen , 70 (3): 297–336, doi : 10.1007/BF01564500, S2CID  124429194.

• Бибербах, Л. (1912), «Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume II: Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich», Mathematische Annalen , 72 (3): 400–412, doi : 10.1007/BF01456724, S2CID  119472023.

• Кобаяси, Сёсити; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии. Том I (Переиздание оригинального издания 1963 года), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., стр. 209–224, ISBN 0-471-15733-3
• Шенфлис, А. (1891), Kristallsysteme und Kristallstruktur , Тойбнер.

• Винберг, ЭБ (2001) [1994], «Кристаллографическая группа», Энциклопедия математики , EMS Press

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Плоское многообразие". MathWorld .