Модель Блэка-Шоулза

Математическая модель финансовых рынков

Модель Блэка–Шоулза / ˌ b l æ k ˈ ʃ oʊ l z / ^[1] или Блэка–Шоулза–Мертона представляет собой математическую модель динамики финансового рынка, содержащего производные инвестиционные инструменты. Из параболического уравнения в частных производных в модели, известного как уравнение Блэка–Шоулза , можно вывести формулу Блэка–Шоулза , которая дает теоретическую оценку цены опционов европейского стиля и показывает, что опцион имеет уникальную цену, учитывая риск ценной бумаги и ее ожидаемую доходность (вместо замены ожидаемой доходности ценной бумаги на нейтральную к риску ставку). Уравнение и модель названы в честь экономистов Фишера Блэка и Майрона Шоулза . Иногда также упоминается Роберт К. Мертон , который первым написал научную работу по этой теме.

Основной принцип модели заключается в хеджировании опциона путем покупки и продажи базового актива определенным образом для устранения риска. Этот тип хеджирования называется «непрерывно пересматриваемым дельта-хеджированием » и является основой более сложных стратегий хеджирования, таких как те, которые используются инвестиционными банками и хедж-фондами .

Модель широко используется, хотя часто с некоторыми корректировками, участниками рынка опционов. ^{[2] : 751} Предположения модели были смягчены и обобщены во многих направлениях, что привело к появлению множества моделей, которые в настоящее время используются в ценообразовании производных инструментов и управлении рисками. Понимание модели, как показано в формуле Блэка-Шоулза, часто используется участниками рынка, в отличие от фактических цен. Эти идеи включают в себя границы отсутствия арбитража и ценообразование, нейтральное к риску (благодаря постоянному пересмотру). Кроме того, уравнение Блэка-Шоулза, уравнение в частных производных, которое управляет ценой опциона, позволяет проводить ценообразование с использованием численных методов, когда явная формула невозможна.

Формула Блэка-Шоулза имеет только один параметр, который нельзя наблюдать на рынке напрямую: средняя будущая волатильность базового актива, хотя ее можно найти из цены других опционов. Поскольку стоимость опциона (будь то пут или колл) увеличивается в этом параметре, ее можно инвертировать, чтобы получить « поверхность волатильности », которая затем используется для калибровки других моделей, например, для внебиржевых деривативов .

История

Диссертация Луи Башелье ^[3] в 1900 году была самой ранней публикацией, в которой использовалось броуновское движение для ценообразования производных инструментов, хотя его работа не имела большого влияния в течение многих лет и включала важные ограничения для ее применения на современных рынках. ^[4] В 1960-х годах Кейс Спренкл , ^[5] Джеймс Бонесс, [ ^6] Пол Самуэльсон ^[7] и аспирант Самуэльсона в то время Роберт К. Мертон ^[8] внесли важные усовершенствования в теорию ценообразования опционов.

Фишер Блэк и Майрон Шоулз продемонстрировали в 1968 году, что динамический пересмотр портфеля устраняет ожидаемую доходность ценной бумаги, таким образом, изобретя аргумент нейтральности риска . ^{[9] [10]} Они основывали свои размышления на работе, ранее проделанной исследователями рынка и практиками, включая работу, упомянутую выше, а также работу Шина Кассуфа и Эдварда О. Торпа . Затем Блэк и Шоулз попытались применить формулу к рынкам, но понесли финансовые потери из-за отсутствия управления рисками в своих сделках. В 1970 году они решили вернуться в академическую среду. ^[11] После трех лет усилий формула, названная в их честь за то, что они сделали ее публичной, была наконец опубликована в 1973 году в статье под названием «Ценообразование опционов и корпоративных обязательств» в журнале Journal of Political Economy . ^{[12] [13] [14]} Роберт К. Мертон был первым, кто опубликовал статью, расширяющую математическое понимание модели ценообразования опционов, и ввел термин « модель ценообразования опционов Блэка–Шоулза ».

Формула привела к буму торговли опционами и обеспечила математическую легитимность деятельности Чикагской биржи опционов и других рынков опционов по всему миру. ^[15]

Мертон и Шоулз получили Нобелевскую премию по экономике 1997 года за свою работу, комитет назвал их открытие риск-нейтрального динамического пересмотра прорывом, который отделяет опцион от риска базовой ценной бумаги. ^{[16] Хотя Блэк не имел права на премию из-за своей смерти в 1995 году,} Шведская академия упомянула его как одного из авторов . ^[17]

Фундаментальные гипотезы

Модель Блэка-Шоулза предполагает, что рынок состоит по крайней мере из одного рискованного актива, обычно называемого акциями, и одного безрискового актива, обычно называемого денежным рынком , наличными деньгами или облигациями .

В отношении активов сделаны следующие предположения (которые связаны с названиями активов):

• Безрисковая ставка: норма доходности безрискового актива постоянна и поэтому называется безрисковой процентной ставкой .
• Случайное блуждание: Мгновенный логарифмический возврат цены акций — это бесконечно малое случайное блуждание с дрейфом; точнее, цена акций следует геометрическому броуновскому движению , и предполагается, что дрейф и волатильность движения постоянны. Если дрейф и волатильность изменяются во времени, можно вывести соответствующим образом модифицированную формулу Блэка-Шоулза, при условии, что волатильность не является случайной.
• Акция не приносит дивидендов . ^{[Примечание 1]}

Предположения относительно рынка следующие:

• Отсутствие возможности арбитража (т.е. нет возможности получить прибыль без риска).
• Возможность брать в долг и давать в долг любую сумму, даже дробную, наличными по безрисковой ставке.
• Возможность покупать и продавать любое количество акций, даже дробное (включая короткие продажи ).
• Вышеуказанные транзакции не влекут за собой никаких комиссий или расходов (т.е. рынок работает без трений ).

Предположим, что с этими предположениями на этом рынке также торгуется производная ценная бумага. Указано, что эта ценная бумага будет иметь определенную выплату в указанную дату в будущем в зависимости от значений, принятых акцией до этой даты. Даже если путь, по которому пойдет цена акции в будущем, неизвестен, цена производной может быть определена в текущий момент времени. Для особого случая европейского опциона колл или пут Блэк и Шоулз показали, что «можно создать хеджированную позицию , состоящую из длинной позиции по акции и короткой позиции по опциону, стоимость которого не будет зависеть от цены акции». ^[18] Их динамическая стратегия хеджирования привела к частному дифференциальному уравнению, которое управляет ценой опциона. Его решение дается формулой Блэка–Шоулза.

Некоторые из этих предположений исходной модели были удалены в последующих расширениях модели. Современные версии учитывают динамические процентные ставки (Merton, 1976), ^{[ требуется цитата ]} транзакционные издержки и налоги (Ingersoll, 1976), ^{[ требуется цитата ]} и выплату дивидендов. ^[19]

Обозначение

Обозначения, используемые при анализе модели Блэка-Шоулза, определяются следующим образом (определения сгруппированы по темам):

Общие и рыночные вопросы:

${\displaystyle t}$время в годах; обычно представляет текущий год. ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle r}$— это годовая безрисковая процентная ставка , непрерывно начисляемая сложным образом (также известная как сила процентов ).

Связанные с активами:

${\displaystyle S(t)}$— цена базового актива в момент времени t , также обозначаемая как . ${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle \mu }$— скорость дрейфа в годовом исчислении. ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sigma }$это стандартное отклонение доходности акций. Это квадратный корень квадратичной вариации логарифмического процесса цены акций, мера их волатильности .

Связанные опции:

${\displaystyle V(S,t)}$представляет собой цену опциона как функцию базового актива S в момент времени t, в частности:

${\displaystyle C(S,t)}$это цена европейского опциона колл и

${\displaystyle P(S,t)}$цена европейского опциона пут.

${\displaystyle T}$время истечения срока опциона.

${\displaystyle \tau }$время до погашения: . ${\displaystyle \tau =T-t}$

${\displaystyle K}$цена исполнения опциона, также известная как цена исполнения.

${\displaystyle N(x)}$обозначает стандартную нормальную кумулятивную функцию распределения :

${\displaystyle N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-z^{2}/2}\,dz.}$

${\displaystyle N'(x)}$обозначает стандартную нормальную функцию плотности вероятности :

${\displaystyle N'(x)={\frac {dN(x)}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}.}$

Уравнение Блэка-Шоулза

Моделирование геометрического броуновского движения с параметрами из рыночных данных

Уравнение Блэка-Шоулза представляет собой параболическое уравнение в частных производных , которое описывает цену опциона, где — цена базового актива, а — время: ${\displaystyle V(S,t)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$

Ключевое финансовое понимание уравнения заключается в том, что можно идеально хеджировать опцион, покупая и продавая базовый актив и актив банковского счета (денежные средства) таким образом, чтобы «устранить риск». Это подразумевает, что существует уникальная цена для опциона, заданная формулой Блэка-Шоулза (см. следующий раздел).

Формула Блэка-Шоулза

Европейский колл, оцененный с использованием уравнения ценообразования Блэка-Шоулза для переменной цены актива и времени до истечения срока . В этом конкретном примере цена исполнения установлена ​​на уровне 1. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

Формула Блэка-Шоулза вычисляет цену европейских опционов пут и колл . Эта цена согласуется с уравнением Блэка-Шоулза. Это следует из того, что формула может быть получена путем решения уравнения для соответствующих конечных и граничных условий :

${\displaystyle {\begin{aligned}&C(0,t)=0{\text{ for all }}t\\&C(S,t)\rightarrow S-K{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\&C(S,T)=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}}$

Стоимость опциона колл на базовые акции, не приносящие дивидендов, с точки зрения параметров Блэка-Шоулза составляет:

${\displaystyle {\begin{aligned}C(S_{t},t)&=N(d_{+})S_{t}-N(d_{-})Ke^{-r(T-t)}\\d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{-}&=d_{+}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}$

Цена соответствующего опциона пут, рассчитанная на основе паритета пут-колл с коэффициентом дисконтирования, составляет: ${\displaystyle e^{-r(T-t)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(S_{t},t)&=Ke^{-r(T-t)}-S_{t}+C(S_{t},t)\\&=N(-d_{-})Ke^{-r(T-t)}-N(-d_{+})S_{t}\end{aligned}}\,}$

Альтернативная формулировка

Введение вспомогательных переменных позволяет упростить формулу и переформулировать ее в более удобном виде (это частный случай формулы Блэка '76 ):

${\displaystyle {\begin{aligned}C(F,\tau )&=D\left[N(d_{+})F-N(d_{-})K\right]\\d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\ln \left({\frac {F}{K}}\right)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right]\\d_{-}&=d_{+}-\sigma {\sqrt {\tau }}\end{aligned}}}$

где:

${\displaystyle D=e^{-r\tau }}$это коэффициент дисконтирования

${\displaystyle F=e^{r\tau }S={\frac {S}{D}}}$это форвардная цена базового актива, и ${\displaystyle S=DF}$

Учитывая паритет пут-колл, который выражается в следующих терминах:

${\displaystyle C-P=D(F-K)=S-DK}$

цена опциона пут составляет:

${\displaystyle P(F,\tau )=D\left[N(-d_{-})K-N(-d_{+})F\right]}$

Интерпретация

Формулу Блэка-Шоулза можно интерпретировать интуитивно, при этом основная тонкость заключается в интерпретации и причинах существования двух разных терминов. ^[20] ${\displaystyle d_{\pm }}$

Формулу можно интерпретировать, сначала разложив опцион колл на разницу двух бинарных опционов : колл «актив или ничего» минус колл «деньги или ничего» (длинная позиция на колл «актив или ничего», короткая позиция на колл «деньги или ничего»). Опцион колл обменивает наличные на актив по истечении срока, в то время как колл «актив или ничего» просто приносит актив (без денег в обмен), а колл «деньги или ничего» просто приносит наличные (без активов в обмен). Формула Блэка-Шоулза представляет собой разность двух членов, и эти два члена равны значениям бинарных опционов колл. Эти бинарные опционы торгуются реже, чем ванильные опционы колл, но их легче анализировать.

Таким образом, формула:

${\displaystyle C=D\left[N(d_{+})F-N(d_{-})K\right]}$

распадается на:

${\displaystyle C=DN(d_{+})F-DN(d_{-})K,}$

где — текущая стоимость колла «актив или ничего», а — текущая стоимость колла «наличные или ничего». Фактор D нужен для дисконтирования, поскольку дата истечения срока действия находится в будущем, и его удаление изменяет текущую стоимость на будущую (стоимость на момент истечения срока действия). Таким образом, — будущая стоимость колла «актив или ничего», а — будущая стоимость колла «наличные или ничего». В нейтральных по отношению к риску терминах это ожидаемая стоимость актива и ожидаемая стоимость наличных в нейтральной по отношению к риску мере. ${\displaystyle DN(d_{+})F}$ ${\displaystyle DN(d_{-})K}$ ${\displaystyle N(d_{+})~F}$ ${\displaystyle N(d_{-})~K}$

Наивная и немного неверная интерпретация этих терминов заключается в том, что это вероятность истечения опциона в деньгах , умноженная на стоимость базового актива при истечении срока F, в то время как это вероятность истечения опциона в деньгах, умноженная на стоимость наличных при истечении срока K. Эта интерпретация неверна, поскольку либо оба бинарных опциона истекают в деньгах, либо оба истекают без денег (либо наличные обмениваются на актив, либо нет), но вероятности и не равны. Фактически, можно интерпретировать как меры денежности (в стандартных отклонениях) и как вероятности истечения ITM ( процент денежности ), в соответствующем числовом выражении , как обсуждается ниже. Проще говоря, интерпретация денежного опциона, , верна, поскольку стоимость наличных денег не зависит от движений базового актива, и, таким образом, может быть интерпретирована как простое произведение «вероятности, умноженной на стоимость», в то время как является более сложной, поскольку вероятность истечения срока в деньгах и стоимость актива по истечении срока не являются независимыми. ^[20] Точнее, стоимость актива по истечении срока является переменной в денежном выражении, но является постоянной в терминах самого актива (фиксированное количество актива), и, таким образом, эти количества независимы, если изменить numéraire на актив, а не на деньги. ${\displaystyle N(d_{+})F}$ ${\displaystyle N(d_{+})}$ ${\displaystyle N(d_{-})K}$ ${\displaystyle N(d_{-}),}$ ${\displaystyle N(d_{+})}$ ${\displaystyle N(d_{-})}$ ${\displaystyle d_{\pm }}$ ${\displaystyle N(d_{\pm })}$ ${\displaystyle N(d_{-})K}$ ${\displaystyle N(d_{+})F}$

Если использовать спот S вместо форвардного F, то вместо термина есть , который можно интерпретировать как фактор дрейфа (в риск-нейтральной мере для соответствующего numéraire). Использование d ₋ для денежности вместо стандартизированной денежности  — другими словами, причина фактора — обусловлена ​​разницей между медианой и средним значением логарифмически нормального распределения ; это тот же фактор, что и в лемме Ито, примененной к геометрическому броуновскому движению . Кроме того, еще один способ увидеть, что наивная интерпретация неверна, заключается в том, что замена на в формуле дает отрицательное значение для опционов колл вне денег. ^{[20] : 6} ${\displaystyle d_{\pm }}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$ ${\textstyle \left(r\pm {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau ,}$ ${\textstyle m={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\ln \left({\frac {F}{K}}\right)}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle N(d_{+})}$ ${\displaystyle N(d_{-})}$

В деталях, термины представляют собой вероятности опциона, истекающего в деньгах при эквивалентной экспоненциальной мартингальной вероятностной мере (numéraire = акция) и эквивалентной мартингальной вероятностной мере (numéraire = безрисковый актив) соответственно. ^[20] Нейтральная к риску плотность вероятности для цены акций равна ${\displaystyle N(d_{+}),N(d_{-})}$ ${\displaystyle S_{T}\in (0,\infty )}$

${\displaystyle p(S,T)={\frac {N^{\prime }[d_{-}(S_{T})]}{S_{T}\sigma {\sqrt {T}}}}}$

где определено как выше. ${\displaystyle d_{-}=d_{-}(K)}$

В частности, представляет собой вероятность того, что колл будет исполнен, при условии, что дрейф актива является безрисковой ставкой. Однако, не поддается простой вероятностной интерпретации. правильно интерпретируется как текущая стоимость, с использованием безрисковой процентной ставки, ожидаемой цены актива по истечении срока, учитывая, что цена актива по истечении срока выше цены исполнения. ^[21] Для соответствующего обсуждения – и графического представления – см. метод Дейтара–Мэтьюза для оценки реальных опционов . ${\displaystyle N(d_{-})}$ ${\displaystyle N(d_{+})}$ ${\displaystyle SN(d_{+})}$

Эквивалентная мартингальная мера вероятности также называется мерой вероятности, нейтральной по отношению к риску . Обратите внимание, что обе эти меры являются вероятностями в смысле теории меры , и ни одна из них не является истинной вероятностью истечения срока в деньгах при реальной мере вероятности . Для расчета вероятности при реальной («физической») мере вероятности требуется дополнительная информация — термин дрейфа в физической мере или, что эквивалентно, рыночная цена риска .

Производные

Стандартный вывод для решения уравнения Блэка–Шоулза в частных производных приведен в статье Уравнение Блэка–Шоулза .

Формула Фейнмана–Каца гласит, что решение этого типа PDE при соответствующем дисконтировании фактически является мартингалом . Таким образом, цена опциона является ожидаемым значением дисконтированного выигрыша опциона. Вычисление цены опциона с помощью этого ожидания является подходом нейтральности к риску и может быть выполнено без знания PDE. ^[20] Обратите внимание, что ожидание выигрыша опциона выполняется не по реальной мировой вероятностной мере , а по искусственной риск-нейтральной мере , которая отличается от реальной мировой меры. Для получения базовой логики см. раздел «оценка нейтральности к риску» в разделе « Рациональное ценообразование » , а также раздел «Ценообразование деривативов: мир Q » в разделе «Математические финансы » ; для получения подробной информации, еще раз, см. Халл . ^{[22] : 307–309}

Варианты Греки

" Греки " измеряют чувствительность стоимости производного продукта или финансового портфеля к изменениям значений параметров, удерживая другие параметры фиксированными. Они являются частными производными цены относительно значений параметров. Один из греческих, "гамма" (а также другие, не перечисленные здесь) является частной производной другого греческого, "дельта" в данном случае.

Греки важны не только в математической теории финансов, но и для тех, кто активно торгует. Финансовые учреждения обычно устанавливают предельные значения (риска) для каждого из греков, которые их трейдеры не должны превышать. ^[23]

Дельта — самый важный греческий показатель, поскольку он обычно несет наибольший риск. Многие трейдеры обнуляют свою дельту в конце дня, если они не спекулируют на направлении рынка и не следуют дельта-нейтральному подходу хеджирования, как определено Блэком-Шоулзом. Когда трейдер стремится установить эффективный дельта-хедж для портфеля, трейдер может также попытаться нейтрализовать гамму портфеля , поскольку это гарантирует, что хеджирование будет эффективным в более широком диапазоне базовых ценовых движений.

Греки для Блэка-Шоулза приведены ниже в замкнутом виде . Их можно получить дифференцированием формулы Блэка-Шоулза.

Обратите внимание, что из формул ясно, что гамма имеет одинаковое значение для коллов и путов, а вега имеет одинаковое значение для опционов коллов и путов. Это можно увидеть непосредственно из паритета пут–колл , поскольку разность путов и коллов является форвардом, который линейен по S и не зависит от σ (поэтому форвард имеет нулевую гамму и нулевую вегу). N' — стандартная нормальная функция плотности вероятности.

На практике некоторые чувствительности обычно указываются в уменьшенном масштабе, чтобы соответствовать масштабу вероятных изменений параметров. Например, rho часто сообщается деленным на 10 000 (изменение ставки на 1 базисный пункт), vega на 100 (изменение волюта на 1 пункт), а theta на 365 или 252 (1-дневный спад на основе календарных или торговых дней в году).

Обратите внимание, что «Вега» не является буквой греческого алфавита; название возникло из-за неправильного прочтения греческой буквы ню (по-разному переводимой как , ν и ν) как V. ${\displaystyle \nu }$

Расширения модели

Вышеуказанную модель можно расширить для переменных (но детерминированных) ставок и волатильностей. Модель также можно использовать для оценки европейских опционов на инструменты, выплачивающие дивиденды. В этом случае решения в закрытой форме доступны, если дивиденд составляет известную долю от цены акций. Американские опционы и опционы на акции, выплачивающие известные денежные дивиденды (в краткосрочной перспективе более реалистичные, чем пропорциональные дивиденды), оценить сложнее, и доступен выбор методов решения (например, решетки и сетки ).

Инструменты, выплачивающие непрерывные дивиденды

Для опционов на индексы разумно сделать упрощающее предположение, что дивиденды выплачиваются непрерывно и что размер дивидендов пропорционален уровню индекса.

Выплата дивидендов за указанный период времени моделируется следующим образом: ${\displaystyle [t,t+dt]}$

${\displaystyle qS_{t}\,dt}$

для некоторой константы ( дивидендной доходности ). ${\displaystyle q}$

В рамках этой формулировки можно показать, что безарбитражная цена, подразумеваемая моделью Блэка–Шоулза, равна:

${\displaystyle C(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]\,}$

и

${\displaystyle P(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})]\,}$

где сейчас

${\displaystyle F=S_{t}e^{(r-q)(T-t)}\,}$

это модифицированная форвардная цена, которая возникает в условиях : ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r-q+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)\right]}$

и

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r-q-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)\right]}$. ^[24]

Инструменты, выплачивающие дискретные пропорциональные дивиденды

Также возможно расширить рамки Блэка-Шоулза на опционы на инструменты, выплачивающие дискретные пропорциональные дивиденды. Это полезно, когда опцион выдается на одну акцию.

Типичная модель предполагает, что часть цены акций выплачивается в заранее определенное время . Цена акций затем моделируется как: ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}}$

${\displaystyle S_{t}=S_{0}(1-\delta )^{n(t)}e^{ut+\sigma W_{t}}}$

где - количество дивидендов, выплаченных по времени . ${\displaystyle n(t)}$ ${\displaystyle t}$

Цена опциона колл на такие акции снова составляет:

${\displaystyle C(S_{0},T)=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]\,}$

где сейчас

${\displaystyle F=S_{0}(1-\delta )^{n(T)}e^{rT}\,}$

это форвардная цена акций, по которым выплачиваются дивиденды.

Американские опционы

Проблема нахождения цены американского опциона связана с проблемой оптимальной остановки нахождения времени исполнения опциона. Поскольку американский опцион может быть исполнен в любое время до даты истечения срока, уравнение Блэка-Шоулза становится вариационным неравенством вида:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV\leq 0}$^[25]

вместе с где обозначает выплату по цене акций и конечное условие: . ${\displaystyle V(S,t)\geq H(S)}$ ${\displaystyle H(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V(S,T)=H(S)}$

В общем случае это неравенство не имеет решения в замкнутой форме, хотя американский колл без дивидендов равен европейскому коллу, а метод Ролл-Геске-Уэйли дает решение для американского колла с одним дивидендом; ^{[26] [27]} см. также приближение Блэка .

Barone-Adesi и Whaley ^[28] — это еще одна формула приближения. Здесь стохастическое дифференциальное уравнение (которое справедливо для значения любого производного инструмента) разделено на два компонента: стоимость европейского опциона и премию за раннее исполнение. С некоторыми допущениями затем получается квадратное уравнение , которое аппроксимирует решение для последнего. Это решение включает в себя нахождение критического значения , , такого, что становится безразличным между ранним исполнением и удержанием до погашения. ^{[29] [30]} ${\displaystyle s*}$

Bjerksund и Stensland ^[31] предлагают приближение, основанное на стратегии исполнения, соответствующей цене триггера. Здесь, если цена базового актива больше или равна цене триггера, то оптимально исполнить, и значение должно быть равно , в противном случае опцион «сводится к: (i) европейскому опциону up-and-out call… и (ii) скидке, которая получается на дату выбывания, если опцион выбывают до даты погашения». Формула легко модифицируется для оценки опциона пут, используя паритет пут-колл . Это приближение является вычислительно недорогим, а метод быстрым, с доказательствами, указывающими на то, что приближение может быть более точным при оценке долгосрочных опционов, чем у Barone-Adesi и Whaley. ^[32] ${\displaystyle S-X}$

Вечный пут

Несмотря на отсутствие общего аналитического решения для американских опционов пут, можно вывести такую ​​формулу для случая бессрочного опциона – то есть опцион никогда не истекает (т.е. ). ^[33] В этом случае временной распад опциона равен нулю, что приводит к тому, что уравнение в частных производных Блэка–Шоулза становится обыкновенным дифференциальным уравнением: Пусть обозначает нижнюю границу исполнения, ниже которой оптимально исполнить опцион. Граничные условия таковы: Решения обыкновенного дифференциального уравнения являются линейной комбинацией любых двух линейно независимых решений: Для подстановка этого решения в обыкновенное дифференциальное уравнение для дает: Перестановка членов дает: Используя квадратичную формулу , решения для таковы: Чтобы иметь конечное решение для бессрочного опциона пут, поскольку граничные условия подразумевают верхние и нижние конечные границы стоимости опциона пут, необходимо установить , что приводит к решению . Из первого граничного условия известно, что: Таким образом, стоимость бессрочного пут-опциона становится: Второе граничное условие определяет местоположение нижней границы исполнения: В заключение, для бессрочный американский пут-опцион стоит: ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$ $${\displaystyle {1 \over {2}}\sigma ^{2}S^{2}{d^{2}V \over {dS^{2}}}+(r-q)S{dV \over {dS}}-rV=0}$$ ${\displaystyle S_{-}}$ $${\displaystyle V(S_{-})=K-S_{-},\quad V_{S}(S_{-})=-1,\quad V(S)\leq K}$$ $${\displaystyle V(S)=A_{1}S^{\lambda _{1}}+A_{2}S^{\lambda _{2}}}$$ ${\displaystyle S_{-}\leq S}$ ${\displaystyle i={1,2}}$ $${\displaystyle \left[{1 \over {2}}\sigma ^{2}\lambda _{i}(\lambda _{i}-1)+(r-q)\lambda _{i}-r\right]S^{\lambda _{i}}=0}$$ $${\displaystyle {1 \over {2}}\sigma ^{2}\lambda _{i}^{2}+\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)\lambda _{i}-r=0}$$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&={-\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)+{\sqrt {\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)^{2}+2\sigma ^{2}r}} \over {\sigma ^{2}}}\\\lambda _{2}&={-\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)-{\sqrt {\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)^{2}+2\sigma ^{2}r}} \over {\sigma ^{2}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle A_{1}=0}$ ${\displaystyle V(S)=A_{2}S^{\lambda _{2}}}$ $${\displaystyle V(S_{-})=A_{2}(S_{-})^{\lambda _{2}}=K-S_{-}\implies A_{2}={K-S_{-} \over {(S_{-})^{\lambda _{2}}}}}$$ $${\displaystyle V(S)=(K-S_{-})\left({S \over {S_{-}}}\right)^{\lambda _{2}}}$$ $${\displaystyle V_{S}(S_{-})=\lambda _{2}{K-S_{-} \over {S_{-}}}=-1\implies S_{-}={\lambda _{2}K \over {\lambda _{2}-1}}}$$ ${\textstyle S\geq S_{-}={\lambda _{2}K \over {\lambda _{2}-1}}}$ $${\displaystyle V(S)={K \over {1-\lambda _{2}}}\left({\lambda _{2}-1 \over {\lambda _{2}}}\right)^{\lambda _{2}}\left({S \over {K}}\right)^{\lambda _{2}}}$$

Бинарные опционы

Решая дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза с функцией Хевисайда в качестве граничного условия, мы получаем цену опционов, которые приносят одну единицу выше некоторой предопределенной цены исполнения и ничего ниже. ^[34]

Фактически, формулу Блэка-Шоулза для цены ванильного опциона колл (или опциона пут) можно интерпретировать, разложив опцион колл на опцион колл «актив или ничего» за вычетом опциона колл «наличные или ничего», и то же самое для пут — бинарные опционы легче анализировать, и они соответствуют двум членам формулы Блэка-Шоулза.

Звонок «наличные или ничего»

Это выплачивает одну единицу наличных, если спот выше страйка при погашении. Его стоимость определяется как:

${\displaystyle C=e^{-r(T-t)}N(d_{2}).\,}$

Ставка «наличные или ничего»

Это выплачивает одну единицу наличных, если спот ниже страйка при погашении. Его стоимость определяется как:

${\displaystyle P=e^{-r(T-t)}N(-d_{2}).\,}$

Колл «активы или ничего»

Это выплачивает одну единицу актива, если спот выше страйка при погашении. Его стоимость определяется как:

${\displaystyle C=Se^{-q(T-t)}N(d_{1}).\,}$

Актив или ничего пут

Это выплачивает одну единицу актива, если спот ниже страйка при погашении. Его стоимость определяется как:

${\displaystyle P=Se^{-q(T-t)}N(-d_{1}),}$

Иностранная валюта (FX)

Обозначая через S обменный курс FOR/DOM (т. е. 1 единица иностранной валюты стоит S единиц национальной валюты), можно заметить, что выплата 1 единицы национальной валюты, если спот при погашении выше или ниже страйка, в точности как колл и пут наличными или ничего соответственно. Аналогично выплата 1 единицы иностранной валюты, если спот при погашении выше или ниже страйка, в точности как колл и пут на актив или ничего соответственно. Следовательно, взяв , иностранную процентную ставку, , внутреннюю процентную ставку и остальное, как указано выше, можно получить следующие результаты: ${\displaystyle r_{f}}$ ${\displaystyle r_{d}}$

В случае цифрового колла (это колл FOR/пут DOM) с выплатой одной единицы национальной валюты, полученной в качестве текущей стоимости:

${\displaystyle C=e^{-r_{d}T}N(d_{2})\,}$

В случае цифрового пут-опциона (это пут-опцион FOR/колл DOM), выплачивающего одну единицу национальной валюты, полученную в качестве текущей стоимости:

${\displaystyle P=e^{-r_{d}T}N(-d_{2})\,}$

В случае цифрового колла (это колл FOR/пут DOM) с выплатой одной единицы иностранной валюты, полученной в качестве текущей стоимости:

${\displaystyle C=Se^{-r_{f}T}N(d_{1})\,}$

В случае цифрового пут-опциона (это пут-опцион FOR/колл DOM), выплачивающего одну единицу иностранной валюты, полученной в качестве текущей стоимости:

${\displaystyle P=Se^{-r_{f}T}N(-d_{1})\,}$

Перекос

В стандартной модели Блэка-Шоулза можно интерпретировать премию бинарного опциона в мире, нейтральном к риску, как ожидаемое значение = вероятность оказаться в деньгах * единица, дисконтированная к текущей стоимости. Модель Блэка-Шоулза основана на симметрии распределения и игнорирует асимметрию распределения актива. Маркет-мейкеры корректируют такую ​​асимметрию, вместо использования единого стандартного отклонения для базового актива по всем страйкам, включая переменное , где волатильность зависит от цены страйка, таким образом включая асимметрию волатильности во внимание. Асимметрия имеет значение, поскольку она влияет на бинарный опцион значительно больше, чем на обычные опционы. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma (K)}$

Бинарный опцион колл при длительных экспирациях похож на узкий спред колл с использованием двух ванильных опционов. Можно смоделировать стоимость бинарного опциона «деньги или ничего», C , при страйке K , как бесконечно узкий спред, где — ванильный европейский колл: ^{[35] [36]} ${\displaystyle C_{v}}$

${\displaystyle C=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {C_{v}(K-\epsilon )-C_{v}(K)}{\epsilon }}}$

Таким образом, стоимость бинарного колла равна отрицательной производной цены ванильного колла по цене исполнения:

${\displaystyle C=-{\frac {dC_{v}}{dK}}}$

Если принять во внимание перекос волатильности, то это функция : ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle C=-{\frac {dC_{v}(K,\sigma (K))}{dK}}=-{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}-{\frac {\partial C_{v}}{\partial \sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial K}}}$

Первый член равен премии бинарного опциона без учета перекоса:

${\displaystyle -{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}=-{\frac {\partial (SN(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2}))}{\partial K}}=e^{-r(T-t)}N(d_{2})=C_{\text{no skew}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial C_{v}}{\partial \sigma }}}$это Вега ванильного вызова; иногда называется "скосом наклона" или просто "скосом". Если перекос обычно отрицательный, значение бинарного вызова будет выше при учете перекоса. ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial K}}}$

${\displaystyle C=C_{\text{no skew}}-{\text{Vega}}_{v}\cdot {\text{Skew}}}$

Связь с греками ванильных опционов

Поскольку бинарный колл является математической производной ванильного колла по страйку, цена бинарного колла имеет ту же форму, что и дельта ванильного колла, а дельта бинарного колла имеет ту же форму, что и гамма ванильного колла.

Блэк-Шоулз на практике

Предположение о нормальности модели Блэка-Шоулза не учитывает экстремальные движения, такие как обвалы фондового рынка .

Не все предположения модели Блэка-Шоулза эмпирически обоснованы. Модель широко используется как полезное приближение к реальности, но правильное применение требует понимания ее ограничений — слепое следование модели подвергает пользователя неожиданному риску. ^{[37] [ ненадежный источник? ]} Среди наиболее существенных ограничений:

• недооценка экстремальных движений, приводящая к хвостовому риску , который можно хеджировать с помощью опционов «вне денег» ;
• предположение о мгновенной, бесплатной торговле, приводящей к риску ликвидности , который трудно хеджировать;
• предположение о стационарности процесса, приводящее к риску волатильности , который можно хеджировать с помощью хеджирования волатильности;
• предположение о непрерывности времени и непрерывности торговли, приводящее к риску разрыва, который можно хеджировать с помощью гамма-хеджирования;
• модель имеет тенденцию недооценивать опционы, находящиеся глубоко вне денег, и переоценивать опционы, находящиеся глубоко в деньгах. ^[38]

Короче говоря, хотя в модели Блэка-Шоулза можно идеально хеджировать опционы, используя простое дельта-хеджирование , на практике существует множество других источников риска.

Результаты с использованием модели Блэка-Шоулза отличаются от реальных мировых цен из-за упрощающих предположений модели. Одним из существенных ограничений является то, что в реальности цены ценных бумаг не следуют строгому стационарному логнормальному процессу, а безрисковый процент фактически не известен (и не является постоянным с течением времени). Было замечено, что дисперсия непостоянна, что приводит к таким моделям, как GARCH, для моделирования изменений волатильности. Расхождения в ценах между эмпирическими и моделью Блэка-Шоулза уже давно наблюдаются в опционах, которые находятся далеко вне денег , что соответствует экстремальным изменениям цен; такие события были бы очень редки, если бы доходность была распределена логнормально, но на практике они наблюдаются гораздо чаще.

Тем не менее, ценообразование Блэка-Шоулза широко используется на практике, ^{[2] : 751  [39],} поскольку оно:

• легко рассчитать
• полезное приближение, особенно при анализе направления движения цен при пересечении критических точек
• надежная основа для более совершенных моделей
• обратимым, поскольку исходный выход модели, цена, может использоваться в качестве входных данных и одной из других решаемых переменных; подразумеваемая волатильность, рассчитанная таким образом, часто используется для котирования цен опционов (то есть в качестве соглашения о котировании ).

Первый пункт, очевидно, полезен. Остальные можно обсудить подробнее:

Полезное приближение: хотя волатильность не является постоянной величиной, результаты модели часто полезны для настройки хеджирования в правильных пропорциях для минимизации риска. Даже если результаты не совсем точны, они служат первым приближением, к которому можно вносить корректировки.

Основа для более совершенных моделей: Модель Блэка-Шоулза надежна в том смысле, что ее можно корректировать для устранения некоторых ее недостатков. Вместо того, чтобы рассматривать некоторые параметры (такие как волатильность или процентные ставки) как постоянные, мы рассматриваем их как переменные и, таким образом, добавляем источники риска. Это отражено в греках (изменение стоимости опциона при изменении этих параметров или, что эквивалентно, в частных производных по этим переменным), и хеджирование этих греков смягчает риск, вызванный непостоянной природой этих параметров. Однако другие дефекты не могут быть смягчены путем изменения модели, в частности, хвостовой риск и риск ликвидности, и вместо этого они управляются вне модели, в основном путем минимизации этих рисков и стресс-тестирования .

Явное моделирование: эта функция означает, что вместо того, чтобы предполагать волатильность априори и вычислять цены из нее, можно использовать модель для решения волатильности, которая дает подразумеваемую волатильность опциона по заданным ценам, длительностям и ценам исполнения. Решая волатильность по заданному набору длительностей и цен исполнения, можно построить поверхность подразумеваемой волатильности . В этом применении модели Блэка-Шоулза получается преобразование координат из области цен в область волатильности . Вместо того, чтобы котировать цены опционов в долларах за единицу (которые трудно сравнивать по страйкам, длительностям и частотам купонов), цены опционов можно, таким образом, котировать в терминах подразумеваемой волатильности, что приводит к торговле волатильностью на рынках опционов.

Улыбка волатильности

Одной из привлекательных особенностей модели Блэка–Шоулза является то, что параметры в модели, отличные от волатильности (время до погашения, страйк, безрисковая процентная ставка и текущая базовая цена), являются однозначно наблюдаемыми. При прочих равных условиях теоретическая стоимость опциона является монотонно возрастающей функцией подразумеваемой волатильности.

Вычислив подразумеваемую волатильность для торгуемых опционов с различными страйками и сроками погашения, можно протестировать модель Блэка-Шоулза. Если бы модель Блэка-Шоулза была верна, то подразумеваемая волатильность для конкретной акции была бы одинаковой для всех страйков и сроков погашения. На практике поверхность волатильности (трехмерный график подразумеваемой волатильности в зависимости от страйка и срока погашения) не является плоской.

Типичная форма кривой подразумеваемой волатильности для заданного срока погашения зависит от базового инструмента. Акции, как правило, имеют перекошенные кривые: по сравнению с at-the-money , подразумеваемая волатильность существенно выше для низких страйков и немного ниже для высоких страйков. Валюты, как правило, имеют более симметричные кривые, с подразумеваемой волатильностью, самой низкой at-the-money, и более высокой волатильностью в обоих крыльях. Товары часто имеют обратное поведение по сравнению с акциями, с более высокой подразумеваемой волатильностью для более высоких страйков.

Несмотря на существование улыбки волатильности (и нарушение всех других предположений модели Блэка-Шоулза), PDE Блэка-Шоулза и формула Блэка-Шоулза по-прежнему широко используются на практике. Типичный подход заключается в том, чтобы рассматривать поверхность волатильности как факт о рынке и использовать подразумеваемую волатильность из нее в модели оценки Блэка-Шоулза. Это было описано как использование «неправильного числа в неправильной формуле для получения правильной цены». ^[40] Этот подход также дает пригодные для использования значения для коэффициентов хеджирования (греков). Даже при использовании более продвинутых моделей трейдеры предпочитают мыслить в терминах подразумеваемой волатильности Блэка-Шоулза, поскольку это позволяет им оценивать и сравнивать опционы с различными сроками погашения, страйками и т. д. Для обсуждения различных альтернативных подходов, разработанных здесь, см. Финансовая экономика § Проблемы и критика .

Оценка опционов на облигации

Модель Блэка-Шоулза не может быть применена напрямую к облигационным ценным бумагам из-за pull-to-par . Когда облигация достигает даты погашения, все цены, связанные с облигацией, становятся известны, тем самым уменьшая ее волатильность, и простая модель Блэка-Шоулза не отражает этот процесс. Большое количество расширений модели Блэка-Шоулза, начиная с модели Блэка , использовались для решения этого явления. ^[41] См. Bond option § Valuation .

Кривая процентной ставки

На практике процентные ставки не являются постоянными — они изменяются по сроку (частоте купона), давая кривую процентной ставки , которую можно интерполировать, чтобы выбрать подходящую ставку для использования в формуле Блэка-Шоулза. Другое соображение заключается в том, что процентные ставки меняются со временем. Эта волатильность может вносить значительный вклад в цену, особенно долгосрочных опционов. Это просто как соотношение процентной ставки и цены облигации, которое обратно пропорционально.

Короткая ставка по акциям

Принятие короткой позиции по акциям, как это заложено в выводе, обычно не является бесплатным; эквивалентно, можно сдать взаймы длинную позицию по акциям за небольшую плату . В любом случае, это можно рассматривать как непрерывный дивиденд для целей оценки Блэка-Шоулза, при условии, что нет вопиющей асимметрии между стоимостью заимствования коротких акций и доходом от долгосрочного кредитования акций. ^{[ необходима цитата ]}

Критика и комментарии

Эспен Гаардер Хауг и Нассим Николас Талеб утверждают, что модель Блэка-Шоулза просто перерабатывает существующие широко используемые модели в терминах практически невозможного «динамического хеджирования», а не «риска», чтобы сделать их более совместимыми с общепринятой неоклассической экономической теорией. ^[42] Они также утверждают, что Бонесс в 1964 году уже опубликовал формулу, которая «фактически идентична» уравнению ценообразования опциона колл Блэка-Шоулза. ^[43] Эдвард Торп также утверждает, что угадал формулу Блэка-Шоулза в 1967 году, но держал ее при себе, чтобы заработать деньги для своих инвесторов. ^[44] Эмануэль Дерман и Талеб также критиковали динамическое хеджирование и заявляли, что ряд исследователей выдвигали похожие модели до Блэка и Шоулза. ^[45] В ответ Пол Уилмотт защитил модель. ^{[39] [46]}

В своем письме акционерам Berkshire Hathaway от 2008 года Уоррен Баффет написал: «Я считаю, что формула Блэка-Шоулза, хотя она и является стандартом для установления долларовой ответственности по опционам, дает странные результаты при оценке долгосрочных вариантов... Формула Блэка-Шоулза приблизилась к статусу священного писания в финансах... Однако, если формулу применять к длительным периодам времени, она может дать абсурдные результаты. Справедливости ради, Блэк и Шоулз почти наверняка хорошо понимали этот момент. Но их преданные последователи, возможно, игнорируют любые оговорки, которые эти двое сделали, когда впервые представили формулу». ^[47]

Британский математик Ян Стюарт , автор книги 2012 года под названием « В погоне за неизвестным: 17 уравнений, изменивших мир » , ^{[48] [49]} сказал, что уравнение Блэка-Шоулза «подкрепило огромный экономический рост», а «международная финансовая система торговала деривативами стоимостью в один квадриллион долларов в год» к 2007 году. Он сказал, что уравнение Блэка-Шоулза было «математическим обоснованием торговли» — и, следовательно, «одним из ингредиентов в густом рагу из финансовой безответственности, политической некомпетентности, порочных стимулов и слабого регулирования», которое способствовало финансовому кризису 2007–2008 годов . ^[50] Он пояснил, что «само уравнение не было настоящей проблемой», а его злоупотребление в финансовой индустрии. ^[50]

Модель Блэка-Шоулза предполагает положительные базовые цены; если базовый актив имеет отрицательную цену , модель не работает напрямую. ^{[51] [52]} При работе с опционами, базовый актив которых может стать отрицательным, специалисты могут использовать другую модель, например модель Башелье ^{[52] [53]} , или просто добавлять постоянное смещение к ценам.

Смотрите также

• Биномиальная модель опционов , дискретный численный метод расчета цен опционов
• Модель Блэка , вариант модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза
• Black Shoals , произведение финансового искусства
• Броуновская модель финансовых рынков
• Метод Дейтара–Мэтьюза для оценки реальных опционов
• Финансовая математика (содержит список статей по теме)
• Метод нечеткой выплаты для оценки реальных опционов
• Уравнение теплопроводности , к которому можно преобразовать уравнение Блэка-Шоулза в частных производных
• Переход на диффузию
• Модель опциона Монте-Карло , использующая моделирование при оценке опционов со сложными характеристиками
• Анализ реальных опционов
• Стохастическая волатильность

Примечания

1. Хотя исходная модель не предполагала никаких дивидендов, простые расширения модели могут включать непрерывный фактор доходности дивидендов.

Ссылки

1. "Scholes on merriam-webster.com" . Получено 26 марта 2012 г. .
2. Bodie, Zvi ; Alex Kane; Alan J. Marcus (2008). Investments (7-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill/Irwin. ISBN 978-0-07-326967-2.
3. Башелье, Луи (1900). Théorie de la Spéculation [ Теория спекуляций ] (PDF) (на французском языке). Перевод Мэй (Серия 3, 17 изд.). Франция: Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (опубликовано в 2011 г.). стр. 21–86.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
4. Хаустекки, Петр. "История модели Блэка-Шоулза и ключевые документы". Macroption . Архивировано из оригинала 14 июня 2024 г. Получено 3 октября 2024 г.
5. Шпренкл, CM (1961). «Цены ордеров как индикаторы ожиданий и предпочтений». Yale Economic Essays . 1 (2): 178–231.
6. Бонесс, Джеймс (1964). «Элементы теории стоимости опционов на акции». Журнал политической экономии . 72 (2): 163–175 – через University of Chicago Press.
7. Самуэльсон, Пол (1965). «Рациональная теория ценообразования ордеров». Industrial Management Review . 6 (2): 13–31 – через ProQuest.
8. Сэмюэлсон, Пол; Мертон, Роберт (1969). «Полная модель ценообразования варрантов, которая максимизирует полезность». Industrial Management Review . 10 (2): 17–46 – через ProQuest.
9. Талеб, 1997. С. 91 и 110–111.
10. Мандельброт и Хадсон, 2006. С. 9–10.
11. Мандельброт и Хадсон, 2006. стр. 74
12. Мандельброт и Хадсон, 2006. С. 72–75.
13. Дерман, 2004. стр. 143–147.
14. Торп, 2017. С. 183–189.
15. Маккензи, Дональд (2006). Двигатель, а не камера: как финансовые модели формируют рынки. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 0-262-13460-8.
16. «Премия Шведского государственного банка по экономическим наукам памяти Альфреда Нобеля 1997 года».
17. "Nobel Prize Foundation, 1997" (Пресс-релиз). 14 октября 1997 г. Получено 26 марта 2012 г.
18. Блэк, Фишер; Шоулз, Майрон (1973). «Ценообразование опционов и корпоративных обязательств». Журнал политической экономии . 81 (3): 637–654. doi :10.1086/260062. S2CID  154552078.
19. Мертон, Роберт (1973). «Теория рационального ценообразования опционов». Bell Journal of Economics and Management Science . 4 (1): 141–183. doi :10.2307/3003143. hdl : 10338.dmlcz/135817 . JSTOR  3003143.
20. Нильсен, Ларс Тиге (1993). "Понимание N(d1) и N(d2): вероятности с поправкой на риск в модели Блэка-Шоулза" (PDF) . LT Nielsen .
21. Дон Чанс (3 июня 2011 г.). «Вывод и интерпретация модели Блэка–Шоулза». CiteSeerX 10.1.1.363.2491 . 
22. Халл, Джон С. (2008). Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты (7-е изд.). Prentice Hall . ISBN 978-0-13-505283-9.
23. Мартин Хо (2016). Основные концепции и методы управления рисками, Колумбийский университет
24. "Расширение формулы Блэка-Шоулза". finance.bi.no . 22 октября 2003 г. Получено 21 июля 2017 г.
25. Андре Жон. "Уравнение Блэка–Шоулза для американских опционов" . Получено 5 мая 2012 г.
26. Бернт Эдегаард (2003). "Расширение формулы Блэка-Шоулза" . Получено 5 мая 2012 г.
27. Дон Чанс (2008). "Закрытая форма ценообразования американского опциона колл: Roll-Geske-Whaley" (PDF) . Получено 16 мая 2012 г. .
28. Джованни Бароне-Адези и Роберт Э. Уэйли (июнь 1987 г.). «Эффективная аналитическая аппроксимация стоимости американских опционов». Журнал финансов . 42 (2): 301–20. doi :10.2307/2328254. JSTOR  2328254.
29. Бернт Эдегаард (2003). "Квадратичная аппроксимация американских цен по Бароне-Адези и Уэйли" . Получено 25 июня 2012 г.
30. Дон Чанс (2008). «Аппроксимация американских опционных стоимостей: Бароне-Адези-Уэйли» (PDF) . Получено 25 июня 2012 г.
31. Петтер Бьерксунд и Гуннар Стенсланд, 2002. Закрытая форма оценки американских опционов
32. Американские опционы
33. Крэк, Тимоти Фалкон (2015). Услышано на улице: количественные вопросы с собеседований на Уолл-стрит (16-е изд.). Тимоти Крэк. С. 159–162. ISBN 978-0-9941182-5-7.
34. Халл, Джон С. (2005). Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты . Prentice Hall . ISBN 0-13-149908-4.
35. Бриден, Д.Т. и Литценбергер, Р.Х. (1978). Цены требований, зависящих от состояния, подразумеваемые в ценах опционов. Журнал бизнеса, 621-651.
36. Gatheral, J. (2006). Поверхность волатильности: практическое руководство (т. 357). John Wiley & Sons.
37. Ялинчак, Хакан (2012). «Критика модели Блэка–Шоулза: но почему она все еще используется? (Ответ проще формулы). SSRN  2115141.
38. Macbeth, James D.; Merville, Larry J. (декабрь 1979 г.). «Эмпирическое исследование модели ценообразования опционов колл Блэка-Шоулза». The Journal of Finance . 34 (5): 1173–1186. doi :10.2307/2327242. JSTOR  2327242. За единственным исключением опционов «вне денег», до истечения срока которых остается менее девяноста дней, степень, в которой модель BS недооценивает (переоценивает) опцион «в деньгах» (out of the money), увеличивается с увеличением степени, в которой опцион находится «в деньгах» (out of the money), и уменьшается с уменьшением времени до истечения срока.
39. Wilmott, Paul (29.04.2008). "Наука в финансах IX: В защиту Блэка, Шоулза и Мертона". Архивировано из оригинала 24.07.2008.; И последующая статья: Уилмотт, Пол (2008-07-23). ​​"Наука в финансах X: Динамическое хеджирование и дальнейшая защита Блэка-Шоулза". Архивировано из оригинала 2008-11-20.
    
40. Риккардо Ребонато (1999). Волатильность и корреляция в ценообразовании акций, валютных пар и процентных опционов . Wiley. ISBN 0-471-89998-4.
41. Калотэй, Эндрю (ноябрь 1995 г.). «Проблема с Блэком, Шоулзом и др.» (PDF) . Стратегия деривативов .
42. Эспен Гаардер Хауг и Нассим Николас Талеб (2011). Опционные трейдеры используют (очень) сложную эвристику, а не формулу Блэка-Шоулза-Мертона. Журнал экономического поведения и организации , том 77, № 2, 2011
43. Бонесс, А. Джеймс, 1964, Элементы теории стоимости опционов на акции, Журнал политической экономии, 72, 163–175.
44. Перспектива количественных финансов: модели для победы над рынком, Quantitative Finance Review , 2003. См. также «Теория опционов. Часть 1» Эдварда Торпа
45. Эмануэль Дерман и Нассим Талеб (2005). Иллюзии динамической репликации Архивировано 2008-07-03 в Wayback Machine , Количественные финансы , том 5, № 4, август 2005, 323–326
46. См. также: Дориана Руффино и Джонатан Треуссард (2006). Иллюзии динамической репликации Дермана и Талеба: комментарий, WP2006-019, Бостонский университет - факультет экономики.
47. Баффет, Уоррен Э. (27.02.2009). «Письмо акционерам Berkshire Hathaway Inc. 2008 года» (PDF) . Получено 29.02.2024 .
48. В погоне за неизвестным: 17 уравнений, изменивших мир. Нью-Йорк: Basic Books. 13 марта 2012 г. ISBN 978-1-84668-531-6.
49. Нахин, Пол Дж. (2012). «В погоне за неизвестным: 17 уравнений, изменивших мир». Physics Today . Обзор. 65 (9): 52–53. Bibcode : 2012PhT....65i..52N. doi : 10.1063/PT.3.1720. ISSN  0031-9228.
50. Stewart, Ian (12 февраля 2012 г.). «Математическое уравнение, которое привело к краху банков». The Guardian . The Observer. ISSN  0029-7712 . Получено 29 апреля 2020 г. .
51. Дункан, Фелисити (22 июля 2020 г.). «Великий переход — отрицательные цены заставляют трейдеров менять свои модели ценообразования деривативов». Intuition . Получено 2 апреля 2021 г.
52. "Трейдеры переписывают модели риска после падения цен на нефть ниже нуля". Bloomberg.com . 21 апреля 2020 г. Получено 3 апреля 2021 г.
53. "Переход на модель ценообразования опционов Башелье — с 22 апреля 2020 г. — CME Group". CME Group . Получено 3 апреля 2021 г. .

Первичные ссылки

• Блэк, Фишер; Шоулз, Майрон (1973). «Ценообразование опционов и корпоративных обязательств». Журнал политической экономии . 81 (3): 637–654. doi :10.1086/260062. S2CID  154552078.[1] (Оригинальная статья Блэка и Шоулза.)
• Мертон, Роберт К. (1973). «Теория рационального ценообразования опционов». Bell Journal of Economics and Management Science . 4 (1). The RAND Corporation: 141–183. doi : 10.2307/3003143. hdl : 10338.dmlcz/135817 . JSTOR  3003143.[2]
• Халл, Джон К. (1997). Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты . Prentice Hall. ISBN 0-13-601589-1.

Историко-социологические аспекты

• Бернстайн, Питер (1992). Капитальные идеи: Невероятные истоки современного Уолл-стрита. The Free Press. ISBN 0-02-903012-9.
• Дерман, Эмануэль. «Моя жизнь как квант» John Wiley & Sons, Inc. 2004. ISBN 0-471-39420-3 
• MacKenzie, Donald (2003). «Уравнение и его миры: Bricolage, Exemplars, Disunity and Performativity in Financial Economics» (PDF) . Социальные исследования науки . 33 (6): 831–868. doi :10.1177/0306312703336002. hdl : 20.500.11820/835ab5da-2504-4152-ae5b-139da39595b8 . S2CID  15524084.[3]
• MacKenzie, Donald; Yuval Millo (2003). «Constructing a Market, Performing Theory: The Historical Sociology of a Financial Derivatives Exchange». American Journal of Sociology . 109 (1): 107–145. CiteSeerX  10.1.1.461.4099 . doi :10.1086/374404. S2CID  145805302.[4]
• Маккензи, Дональд (2006). Двигатель, а не камера: как финансовые модели формируют рынки. MIT Press. ISBN 0-262-13460-8.
• Мандельброт и Хадсон, «(Не)правильное поведение рынков», Basic Books, 2006. ISBN 978-0-465-04355-2 
• Спиро, Джордж Г. , Ценообразование будущего: финансы, физика и 300-летний путь к уравнению Блэка-Шоулза; История гения и открытия (Нью-Йорк: Basic, 2011) 298 стр.
• Талеб, Нассим. «Динамическое хеджирование» John Wiley & Sons, Inc. 1997. ISBN 0-471-15280-3 
• Торп, Эд. «Человек для всех рынков» Random House, 2017. ISBN 978-1-4000-6796-1 

Дальнейшее чтение

• Хауг, Э. Г. (2007). «Оценка опционов и хеджирование от теории к практике». Деривативы: модели на моделях . Wiley. ISBN 978-0-470-01322-9.В книге приводится ряд исторических ссылок, подтверждающих теорию о том, что трейдеры опционов используют гораздо более надежные принципы хеджирования и ценообразования, чем модель Блэка, Шоулза и Мертона.
• Триана, Пабло (2009). Лекции для птиц о полете: могут ли математические теории разрушить финансовые рынки? . Wiley. ISBN 978-0-470-40675-5.В книге критически рассматривается модель Блэка, Шоулза и Мертона.

Внешние ссылки

Обсуждение модели

• Аджай Шах. Блэк, Мертон и Шоулз: Их работа и ее последствия. Economic and Political Weekly, XXXII(52):3337–3342, декабрь 1997 г.
• Математическое уравнение, которое привело к краху банков. Автор: Ян Стюарт , The Observer , 12 февраля 2012 г.
• Когда невозможно хеджировать непрерывно: поправки к закону Блэка-Шоулза, Эмануэль Дерман

Вывод и решение

• Решение уравнения Блэка-Шоулза с использованием функции Грина, проф. Деннис Сильверман
• Статья математика Теренса Тао «Обзор уравнения Блэка-Шоулза» .

Реализации на компьютере

• Блэк-Шоулз на нескольких языках
• Блэк–Шоулз на Java — переходим по ссылке ниже-
• Блэк-Шоулз на Яве
• Чикагская модель ценообразования опционов (графическая версия)
• Модель поверхности подразумеваемой волатильности Блэка-Шоулза-Мертона (Java)
• Онлайн-калькулятор Блэка-Шоулза

Исторический

• Trillion Dollar Bet — веб-сайт, сопутствующий эпизоду Nova, первоначально показанному 8 февраля 2000 года. «Фильм рассказывает захватывающую историю изобретения формулы Блэка-Шоулза, математического Святого Грааля, который навсегда изменил мир финансов и принес своим создателям Нобелевскую премию по экономике 1997 года».
• BBC Horizon Телепрограмма о так называемой формуле Мидаса и банкротстве Long-Term Capital Management (LTCM)
• BBC News Magazine Black–Scholes: Математическая формула, связанная с финансовым крахом (статья от 27 апреля 2012 г.)