Вместимость набора

В математике емкость множества в евклидовом пространстве является мерой «размера» этого множества. В отличие, скажем, от меры Лебега , которая измеряет объем множества или его физическую протяженность, емкость является математическим аналогом способности множества удерживать электрический заряд . Точнее, это емкость множества: полный заряд, который множество может удерживать, сохраняя заданную потенциальную энергию . Потенциальная энергия вычисляется относительно идеализированного основания на бесконечности для гармонической или ньютоновской емкости и относительно поверхности для емкости конденсатора .

Историческая справка

Понятие емкости множества и «емкостного» множества было введено Гюставом Шоке в 1950 году: подробное описание см. в ссылке (Шоке, 1986).

Определения

Емкость конденсатора

Пусть Σ будет замкнутой , гладкой, ( n  − 1) -мерной гиперповерхностью в n -мерном евклидовом пространстве , n ≥ 3; K будет обозначать n -мерное компактное (т. е. замкнутое и ограниченное ) множество, границей которого является Σ . Пусть S будет другой ( n − 1)-мерной гиперповерхностью, которая охватывает Σ: в связи с ее происхождением в электромагнетизме , пара (Σ,  S ) известна как конденсатор . Емкость конденсатора Σ относительно S , обозначаемая C (Σ,  S ) или cap(Σ,  S ), задается поверхностным интегралом ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle C(\Sigma ,S)=-{\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{S'}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma ',}$

где:

• u — уникальная гармоническая функция, определенная в области D между Σ и S с граничными условиями u ( x ) = 1 на Σ и u ( x ) = 0 на S ;
• S ′ — любая промежуточная поверхность между Σ и S ;
• ν — внешнее единичное нормальное поле к S ′ и

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x)=\nabla u(x)\cdot \nu (x)}$

— нормальная производная u по S ′ ; и

• σ _n  = 2 π ^{n ⁄2}  ⁄ Γ( n  ⁄ 2) — площадь поверхности единичной сферы в . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

C (Σ,  S ) можно эквивалентно определить с помощью объемного интеграла

${\displaystyle C(\Sigma ,S)={\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x.}$

Емкость конденсатора также имеет вариационную характеристику : C (Σ,  S ) — это инфимум функционала энергии Дирихле

${\displaystyle I[v]={\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{D}|\nabla v|^{2}\mathrm {d} x}$

по всем непрерывно дифференцируемым функциям v на D с v ( x ) = 1 на Σ и v ( x ) = 0 на S .

Гармоническая мощность

Эвристически , гармоническая емкость K , область, ограниченная Σ, может быть найдена путем взятия емкости конденсатора Σ относительно бесконечности. Точнее, пусть u будет гармонической функцией в дополнении K, удовлетворяющей u  = 1 на Σ и u ( x ) → 0 при x  → ∞. Таким образом, u является ньютоновским потенциалом простого слоя Σ. Тогда гармоническая емкость или ньютоновская емкость K , обозначаемая C ( K ) или cap( K ), определяется следующим образом:

${\displaystyle C(K)=\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus K}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x.}$

Если S — спрямляемая гиперповерхность, полностью охватывающая K , то гармоническую емкость можно эквивалентно переписать как интеграл по S от внешней нормальной производной u :

${\displaystyle C(K)=\int _{S}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma .}$

Гармоническую емкость также можно понимать как предел емкости конденсатора. А именно, пусть S _r обозначает сферу радиуса r вокруг начала координат в . Поскольку K ограничено, для достаточно большого r , S _r будет охватывать K и (Σ,  S _r ) будет образовывать пару конденсаторов. Гармоническая емкость тогда является пределом , когда r стремится к бесконечности: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle C(K)=\lim _{r\to \infty }C(\Sigma ,S_{r}).}$

Гармоническая емкость является математически абстрактной версией электростатической емкости проводника K и всегда неотрицательна и конечна: 0 ≤  C ( K ) < +∞.

Емкость Винера или константа Робина W(K) для K определяется по формуле

${\displaystyle C(K)=e^{-W(K)}}$

Логарифмическая емкость

В двух измерениях емкость определяется так же, как и выше, но без учета множителя в определении: ${\displaystyle (n-2)}$

${\displaystyle C(\Sigma ,S)=-{\frac {1}{2\pi }}\int _{S'}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma '={\frac {1}{2\pi }}\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x}$

Это часто называют логарифмической емкостью , термин логарифмический возникает, поскольку потенциальная функция переходит от обратной степени к логарифму в пределе. Это сформулировано ниже. Это также может быть названо конформной емкостью , в отношении ее отношения к конформному радиусу . ${\displaystyle n\to 2}$

Характеристики

Гармоническая функция u называется емкостным потенциалом , ньютоновским потенциалом при и логарифмическим потенциалом при . Она может быть получена через функцию Грина как ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle u(x)=\int _{S}G(x-y)d\mu (y)}$

где x — точка внешняя по отношению к S , и

${\displaystyle G(x-y)={\frac {1}{|x-y|^{n-2}}}}$

когда и ${\displaystyle n\geq 3}$

${\displaystyle G(x-y)=\log {\frac {1}{|x-y|}}}$

для . ${\displaystyle n=2}$

Мера называется мерой емкости или мерой равновесия . Обычно ее принимают за меру Бореля . Она связана с емкостью как ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle C(K)=\int _{S}d\mu (y)=\mu (S)}$

Вариационное определение емкости по энергии Дирихле можно переформулировать как

${\displaystyle C(K)=\left[\inf _{\lambda }E(\lambda )\right]^{-1}}$

с инфимумом, взятым по всем положительным мерам Бореля, сосредоточенным на K , нормализованным так, что и с - интеграл энергии ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (K)=1}$ ${\displaystyle E(\lambda )}$

${\displaystyle E(\lambda )=\int \int _{K\times K}G(x-y)d\lambda (x)d\lambda (y)}$

Обобщения

Приведенная выше характеристика емкости множества как минимума функционала энергии , достигающего определенных граничных значений, может быть распространена на другие функционалы энергии в вариационном исчислении .

Дивергенция формы эллиптических операторов

Решения равномерно эллиптического уравнения в частных производных с дивергентной формой

${\displaystyle \nabla \cdot (A\nabla u)=0}$

минимизируют связанный с этим энергетический функционал

${\displaystyle I[u]=\int _{D}(\nabla u)^{T}A(\nabla u)\,\mathrm {d} x}$

при соблюдении соответствующих граничных условий.

Емкость множества E относительно области D, содержащей E , определяется как инфимум энергии по всем непрерывно дифференцируемым функциям v на D с v ( x ) = 1 на E и v ( x ) = 0 на границе D.

Минимальная энергия достигается функцией, известной как емкостный потенциал E относительно D , и она решает проблему препятствия на D с функцией препятствия, предоставляемой индикаторной функцией E. Емкостный потенциал поочередно характеризуется как единственное решение уравнения с соответствующими граничными условиями.

Смотрите также

• Аналитическая емкость  – число, которое обозначает, насколько большой может стать определенная ограниченная аналитическая функция.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Емкость  — способность тела хранить электрический заряд.
• Ньютоновский потенциал  – функция Грина для Лапласа
• Теория потенциала  – Гармонические функции как решения уравнения Лапласа
• Теория Шоке  – Область функционального анализа и выпуклого анализа

Ссылки

• Brélot, Marcel (1967) [1960], Лекции по теории потенциала (Заметки KN Gowrisankaran и MK Venkatesha Murthy.) (PDF) , Лекции по математике и физике Института фундаментальных исследований Тата. Математика., т. 19 (2-е изд.), Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата, MR  0259146, Zbl  0257.31001. Второе издание этих лекционных заметок, переработанное и дополненное с помощью С. Рамасвами, перепечатанное, вычитанное один раз и свободно доступное для скачивания.
• Шоке, Гюстав (1986), «Зарождение теории способностей: отражение опыта персонала», Comptes rendus de l'Académie des Sciences. Série générale, La Vie des Sciences (на французском языке), 3 (4): 385–397, MR  0867115, Zbl  0607.01017, доступно в Gallica . Исторический отчет о развитии теории емкости ее основателем и одним из главных участников; английский перевод названия гласит: «Рождение теории емкости: размышления о личном опыте».
• Дуб, Джозеф Лео (1984), Классическая теория потенциала и ее вероятностный аналог, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 262, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xxiv+846, ISBN. 0-387-90881-1, MR  0731258, Zbl  0549.31001
• Литтман, В.; Стампаккья, Г. ; Вайнбергер, Х. (1963), «Регулярные точки для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами», Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa – Classe di Scienze , Serie III, 17 (12): 43–77, MR  0161019, Zbl  0116.30302, доступно на сайте NUMDAM.
• Рэнсфорд, Томас (1995), Теория потенциала на комплексной плоскости , Лондонское математическое общество, студенческие тексты, т. 28, Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 0-521-46654-7, ЗБЛ  0828.31001
• Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], «Емкость», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], "Константа Робина", Энциклопедия математики , EMS Press
• Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], "Энергия мер", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС