эффект Казимира

Сила, возникающая в результате квантования поля

Силы Казимира на параллельных пластинах

В квантовой теории поля эффект Казимира (или сила Казимира ) ^[1] — это физическая сила , действующая на макроскопические границы ограниченного пространства, которая возникает из-за квантовых флуктуаций поля . Термин «давление Казимира» иногда используется, когда оно описывается в единицах силы на единицу площади. [ ^{2] [3]} Он назван в честь голландского физика Хендрика Казимира , который предсказал этот эффект для электромагнитных систем в 1948 году.

Видео серебряных микрозеркал в растворе под оптическим темнопольным микроскопом, демонстрирующее броуновское движение, эффект Казимира и цветное рассеяние поверхностных плазмонов

В том же году Казимир совместно с Дирком Полдером описали аналогичный эффект, испытываемый нейтральным атомом вблизи макроскопического интерфейса, который называется силой Казимира–Полдера. ^[4] Их результат является обобщением силы Лондона – Ван-дер-Ваальса и включает замедление из-за конечной скорости света . Фундаментальные принципы, приводящие к силе Лондона–Ван-дер-Ваальса, силе Казимира и силе Казимира–Полдера, могут быть сформулированы на той же основе. ^{[5] [6]}

В 1997 году Стивен К. Ламоро в ходе прямого эксперимента количественно измерил силу Казимира, которая оказалась в пределах 5% от значения, предсказанного теорией. ^[7]

Эффект Казимира можно понять, исходя из идеи, что наличие макроскопических материальных интерфейсов, таких как электрические проводники и диэлектрики , изменяет вакуумное ожидание энергии вторично квантованного электромагнитного поля . ^{[8] [9]} Поскольку значение этой энергии зависит от форм и положений материалов, эффект Казимира проявляется как сила между такими объектами.

Аналог эффекта Казимира есть в любой среде, поддерживающей колебания . Например, бусины на нитке ^{[10] [11]} , а также пластины, погруженные в турбулентную воду ^[12] или газ ^[13], иллюстрируют силу Казимира.

В современной теоретической физике эффект Казимира играет важную роль в модели кирального мешка нуклона ; в прикладной физике он важен в некоторых аспектах новых микротехнологий и нанотехнологий . ^[14]

Физические свойства

Типичным примером являются две незаряженные проводящие пластины в вакууме , расположенные на расстоянии нескольких нанометров друг от друга. В классическом описании отсутствие внешнего поля означает, что между пластинами не существует поля, и никакая сила их не соединяет. ^[15] Когда это поле вместо этого изучается с использованием квантового электродинамического вакуума , видно, что пластины действительно влияют на виртуальные фотоны , составляющие поле, и генерируют чистую силу ^[16] – либо притяжение, либо отталкивание в зависимости от конкретного расположения пластин. Хотя эффект Казимира можно выразить в терминах виртуальных частиц, взаимодействующих с объектами, его лучше всего описать и легче вычислить в терминах нулевой энергии квантованного поля в промежуточном пространстве между объектами. Эта сила была измерена и является ярким примером эффекта, формально зафиксированного вторичным квантованием . ^{[17] [18]}

Обработка граничных условий в этих вычислениях является спорной. Фактически, «первоначальной целью Казимира было вычислить силу Ван-дер-Ваальса между поляризуемыми молекулами » проводящих пластин. Таким образом, ее можно интерпретировать без какой-либо ссылки на энергию нулевой точки (энергию вакуума) квантовых полей. ^[19]

Поскольку сила силы быстро падает с расстоянием, ее можно измерить только тогда, когда расстояние между объектами мало. Эта сила становится настолько сильной, что становится доминирующей силой между незаряженными проводниками в субмикронных масштабах. Фактически, при разделении в 10 нм — примерно в 100 раз больше типичного размера атома — эффект Казимира создает эквивалент  давления около 1 атмосферы (точное значение зависит от геометрии поверхности и других факторов). ^[17]

История

Голландские физики Хендрик Казимир и Дирк Полдер из Philips Research Labs предположили существование силы между двумя поляризуемыми атомами и между таким атомом и проводящей пластиной в 1947 году; ^[4] эта особая форма называется силой Казимира–Полдера. После разговора с Нильсом Бором , который предположил, что это как-то связано с энергией нулевой точки, Казимир в одиночку сформулировал теорию, предсказывающую силу между нейтральными проводящими пластинами в 1948 году. ^[20] Это последнее явление называется эффектом Казимира.

Предсказания силы были позднее распространены на металлы с конечной проводимостью и диэлектрики, в то время как более поздние расчеты рассматривали более общие геометрии. Эксперименты до 1997 года наблюдали силу качественно, и косвенная проверка предсказанной энергии Казимира была сделана путем измерения толщины пленок жидкого гелия . Наконец, в 1997 году прямой эксперимент Ламоро количественно измерил силу с точностью до 5% от значения, предсказанного теорией. ^[7] Последующие эксперименты приблизились к точности в несколько процентов.

Возможные причины

Энергия вакуума

Причины эффекта Казимира описываются квантовой теорией поля, которая утверждает, что все различные фундаментальные поля , такие как электромагнитное поле , должны быть квантованы в каждой точке пространства. В упрощенном виде «поле» в физике можно представить себе так, как если бы пространство было заполнено взаимосвязанными вибрирующими шариками и пружинами, а напряженность поля можно визуализировать как смещение шарика из его положения покоя. Вибрации в этом поле распространяются и регулируются соответствующим волновым уравнением для конкретного рассматриваемого поля. Второе квантование квантовой теории поля требует, чтобы каждая такая комбинация шарика и пружины была квантована, то есть чтобы напряженность поля была квантована в каждой точке пространства. На самом базовом уровне поле в каждой точке пространства является простым гармоническим осциллятором , и его квантование помещает квантовый гармонический осциллятор в каждую точку. Возбуждения поля соответствуют элементарным частицам физики частиц . Однако даже вакуум имеет чрезвычайно сложную структуру, поэтому все расчеты квантовой теории поля должны проводиться применительно к этой модели вакуума.

Вакуум имеет, неявно, все свойства, которые может иметь частица: спин , ^[21] или поляризация в случае света , энергия и т. д. В среднем большинство этих свойств отменяют друг друга: вакуум, в конце концов, «пустой» в этом смысле. Одним важным исключением является энергия вакуума или ожидаемое значение энергии вакуума. Квантование простого гармонического осциллятора утверждает, что наименьшая возможная энергия или энергия нулевой точки, которую может иметь такой осциллятор, равна

$${\displaystyle {E}={\tfrac {1}{2}}\hbar \omega \,.}$$

Суммирование по всем возможным осцилляторам во всех точках пространства дает бесконечную величину. Поскольку физически измеримы только различия в энергии (за заметным исключением гравитации, которая остается за пределами квантовой теории поля ), эту бесконечность можно считать свойством математики, а не физики. Этот аргумент является основой теории перенормировки . Работа с бесконечными величинами таким образом была причиной широко распространенного беспокойства среди квантовых теоретиков поля до разработки в 1970-х годах группы перенормировки , математического формализма для масштабных преобразований, который обеспечивает естественную основу для этого процесса.

Когда сфера физики расширяется, чтобы включить гравитацию, интерпретация этой формально бесконечной величины остается проблематичной. В настоящее время нет убедительного объяснения того, почему это не должно приводить к космологической постоянной , которая на много порядков больше наблюдаемой. ^[22] Однако, поскольку у нас пока нет полностью последовательной квантовой теории гравитации , нет также убедительной причины того, почему это должно вместо этого фактически приводить к значению космологической постоянной, которое мы наблюдаем. ^[23]

Эффект Казимира для фермионов можно понимать как спектральную асимметрию оператора фермиона (−1) ^F , где он известен как индекс Виттена .

Релятивистская сила Ван дер Ваальса.

В качестве альтернативы, в статье Роберта Джаффе из Массачусетского технологического института 2005 года говорится, что «эффекты Казимира могут быть сформулированы, а силы Казимира могут быть вычислены без ссылки на энергии нулевой точки. Они являются релятивистскими, квантовыми силами между зарядами и токами. Сила Казимира (на единицу площади) между параллельными пластинами исчезает, когда альфа, постоянная тонкой структуры, стремится к нулю, а стандартный результат, который, по-видимому, не зависит от альфа, соответствует пределу альфа, приближающемуся к бесконечности», и что «сила Казимира — это просто (релятивистская, запаздывающая ) сила Ван-дер-Ваальса между металлическими пластинами». ^[19] В оригинальной статье Казимира и Полдера этот метод использовался для вывода силы Казимира–Полдера. В 1978 году Швингер, ДеРадд и Милтон опубликовали аналогичный вывод для эффекта Казимира между двумя параллельными пластинами. ^[24] Совсем недавно Николич доказал на основе первых принципов квантовой электродинамики , что сила Казимира не возникает из энергии вакуума электромагнитного поля, ^[25] и объяснил простыми словами, почему фундаментальное микроскопическое происхождение силы Казимира заключается в силах Ван-дер-Ваальса. ^[26]

Эффекты

Наблюдение Казимира состояло в том, что вторично квантованное квантовое электромагнитное поле в присутствии объемных тел, таких как металлы или диэлектрики , должно подчиняться тем же граничным условиям , которым должно подчиняться классическое электромагнитное поле. В частности, это влияет на расчет энергии вакуума в присутствии проводника или диэлектрика.

Рассмотрим, например, расчет вакуумного ожидаемого значения электромагнитного поля внутри металлической полости, такой как, например, полость радара или микроволновый волновод . В этом случае правильный способ найти нулевую энергию поля — это суммировать энергии стоячих волн полости. Каждой возможной стоячей волне соответствует энергия; скажем, энергия n-й стоячей волны равна E _n . Вакуумное ожидаемое значение энергии электромагнитного поля в полости тогда равно

$${\displaystyle \langle E\rangle ={\tfrac {1}{2}}\sum _{n}E_{n}}$$

с суммой, пробегающей все возможные значения n, перечисляя стоячие волны. Множитель ⁠1/2⁠ присутствует, поскольку нулевая энергия n- й моды равна ⁠1/2⁠ E _n , где E _n — приращение энергии для n -й моды. (Это то же самое ⁠1/2⁠ как показано в уравнении E = ⁠1/2⁠ ħω .) Записанная таким образом, эта сумма явно расходится; однако ее можно использовать для создания конечных выражений.

В частности, можно спросить, как энергия нулевой точки зависит от формы s полости. Каждый уровень энергии E _n зависит от формы, и поэтому следует записать E _n ( s ) для уровня энергии и ⟨ E ( s )⟩ для ожидаемого значения вакуума. В этот момент следует важное наблюдение: сила в точке p на стенке полости равна изменению энергии вакуума, если форма s стенки немного изменена, скажем, на δs , в точке p . То есть, имеем

$${\displaystyle F(p)=-\left.{\frac {\delta \langle E(s)\rangle }{\delta s}}\right\vert _{p}\,.}$$

Это значение конечно во многих практических расчетах. ^[27]

Притяжение между пластинами можно легко понять, сосредоточившись на одномерной ситуации. Предположим, что подвижная проводящая пластина расположена на небольшом расстоянии a от одной из двух широко разнесенных пластин (расстояние l ). При a ≪ l состояния внутри щели шириной a сильно ограничены, так что энергия E любой одной моды сильно отделена от энергии следующей. Это не так в большой области l , где имеется большое количество состояний (около ⁠л/а⁠ ) ​​с энергией, равномерно распределенной между E и следующей модой в узкой щели, или, другими словами, все немного больше, чем E. Теперь при сокращении a на величину da (которая отрицательна), мода в узкой щели сжимается в длине волны и, следовательно, увеличивает энергию пропорционально − ⁠да/а⁠ , тогда как все ⁠л/а⁠ состояния, которые лежат в большой области, удлиняются и соответственно уменьшают свою энергию на величину, пропорциональную − ⁠да/л⁠ (обратите внимание на разный знаменатель). Два эффекта почти компенсируются, но чистое изменение немного отрицательно, потому что энергия всех ⁠л/а⁠ моды в большой области немного больше, чем одиночная мода в щели. Таким образом, сила притягивающая: она стремится сделать a немного меньше, пластины притягиваются друг к другу, через тонкую щель.

Вывод эффекта Казимира с учетом дзета-регуляризации

В первоначальном расчете, проведенном Казимиром, он рассматривал пространство между парой проводящих металлических пластин на расстоянии a друг от друга. В этом случае стоячие волны особенно легко вычислить, поскольку поперечная составляющая электрического поля и нормальная составляющая магнитного поля должны исчезать на поверхности проводника. Предполагая, что пластины лежат параллельно плоскости xy , стоячие волны

$${\displaystyle \psi _{n}(x,y,z;t)=e^{-i\omega _{n}t}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}\sin(k_{n}z)\,,}$$

где ψ обозначает электрическую составляющую электромагнитного поля, и, для краткости, поляризация и магнитная составляющие здесь игнорируются. Здесь k _x и k _y — волновые числа в направлениях, параллельных пластинам, и

$${\displaystyle k_{n}={\frac {n\pi }{a}}}$$

— волновое число, перпендикулярное пластинам. Здесь n — целое число, вытекающее из требования, чтобы ψ обращалось в нуль на металлических пластинах. Частота этой волны равна

$${\displaystyle \omega _{n}=c{\sqrt {{k_{x}}^{2}+{k_{y}}^{2}+{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{a^{2}}}}}\,,}$$

где c — скорость света . Тогда энергия вакуума является суммой по всем возможным модам возбуждения. Поскольку площадь пластин велика, мы можем суммировать, интегрируя по двум измерениям в k -пространстве. Предположение о периодических граничных условиях дает,

$${\displaystyle \langle E\rangle ={\frac {\hbar }{2}}\cdot 2\int {\frac {A\,dk_{x}\,dk_{y}}{(2\pi )^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\omega _{n}\,,}$$

где A — площадь металлических пластин, а для двух возможных поляризаций волны вводится множитель 2. Это выражение, очевидно, бесконечно, и для продолжения вычислений удобно ввести регулятор ( подробнее обсуждаемый ниже). Регулятор будет служить для того, чтобы сделать выражение конечным, и в конце будет удален. Дзета-регулируемая версия энергии на единицу площади пластины равна

$${\displaystyle {\frac {\langle E(s)\rangle }{A}}=\hbar \int {\frac {dk_{x}\,dk_{y}}{(2\pi )^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\omega _{n}\left|\omega _{n}\right|^{-s}\,.}$$

В конце концов, следует взять предел s → 0. Здесь s — это просто комплексное число , не путать с формой, обсуждавшейся ранее. Эта интегральная сумма конечна для s действительного и большего 3. Сумма имеет полюс при s = 3 , но может быть аналитически продолжена до s = 0 , где выражение конечно. Выражение выше упрощается до:

$${\displaystyle {\frac {\langle E(s)\rangle }{A}}={\frac {\hbar c^{1-s}}{4\pi ^{2}}}\sum _{n}\int _{0}^{\infty }2\pi q\,dq\left|q^{2}+{\frac {\pi ^{2}n^{2}}{a^{2}}}\right|^{\frac {1-s}{2}}\,,}$$

где полярные координаты q ² = k _x ² + k _y ² были введены для превращения двойного интеграла в одинарный. Q впереди — это якобиан, а 2 π получается из углового интегрирования. Интеграл сходится, если Re( s ) > 3 , что приводит к

$${\displaystyle {\frac {\langle E(s)\rangle }{A}}=-{\frac {\hbar c^{1-s}\pi ^{2-s}}{2a^{3-s}}}{\frac {1}{3-s}}\sum _{n}\left|n\right|^{3-s}=-{\frac {\hbar c^{1-s}\pi ^{2-s}}{2a^{3-s}(3-s)}}\sum _{n}{\frac {1}{\left|n\right|^{s-3}}}\,.}$$

Сумма расходится при s вблизи нуля, но если предположить, что затухание высокочастотных возбуждений, соответствующее аналитическому продолжению дзета -функции Римана до s = 0 , имеет физический смысл, то можно иметь

$${\displaystyle {\frac {\langle E\rangle }{A}}=\lim _{s\to 0}{\frac {\langle E(s)\rangle }{A}}=-{\frac {\hbar c\pi ^{2}}{6a^{3}}}\zeta (-3)\,.}$$

Но ζ (−3) = ⁠1/120⁠ и так получается

$${\displaystyle {\frac {\langle E\rangle }{A}}=-{\frac {\hbar c\pi ^{2}}{720a^{3}}}\,.}$$

Аналитическое продолжение, очевидно, потеряло добавочную положительную бесконечность, каким-то образом точно учитывающую энергию нулевой точки (не включенную выше) вне щели между пластинами, но которая изменяется при движении пластины внутри замкнутой системы. Сила Казимира на единицу площади ⁠Ф _с/А⁠ для идеализированных, идеально проводящих пластин с вакуумом между ними

$${\displaystyle {\frac {F_{\mathrm {c} }}{A}}=-{\frac {d}{da}}{\frac {\langle E\rangle }{A}}=-{\frac {\hbar c\pi ^{2}}{240a^{4}}}}$$

где

• ħ — приведенная постоянная Планка ,
• c - скорость света ,
• а — расстояние между двумя пластинами

Сила отрицательна, что указывает на то, что сила притяжения: при сближении двух пластин энергия уменьшается. Наличие ħ показывает, что сила Казимира на единицу площади ⁠Ф _с/А⁠ очень мала, и, кроме того, эта сила имеет по своей сути квантово-механическое происхождение.

Интегрируя приведенное выше уравнение , можно рассчитать энергию, необходимую для разделения двух пластин на бесконечность:

$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{E}(a)&=\int F(a)\,da=\int -\hbar c\pi ^{2}{\frac {A}{240a^{4}}}\,da\\[4pt]&=\hbar c\pi ^{2}{\frac {A}{720a^{3}}}\end{aligned}}}$$

где

• ħ — приведенная постоянная Планка ,
• c - скорость света ,
• A — площадь одной из пластин,
• а — расстояние между двумя пластинами

В оригинальном выводе Казимира ^[20] подвижная проводящая пластина располагается на небольшом расстоянии a от одной из двух широко разнесенных пластин (расстояние L ). Рассматривается энергия нулевой точки по обе стороны пластины. Вместо вышеупомянутого предположения о специальном аналитическом продолжении не сходящиеся суммы и интегралы вычисляются с использованием суммирования Эйлера–Маклорена с регуляризующей функцией (например, экспоненциальной регуляризацией), не такой аномальной, как | ω _n | ^{− s} в приведенном выше примере. ^[28]

Более поздняя теория

Анализ Казимира идеализированных металлических пластин был обобщен на произвольные диэлектрические и реалистичные металлические пластины Евгением Лифшицем и его учениками. ^{[5] [29] Используя этот подход, осложнения ограничивающих поверхностей, такие как изменения силы Казимира из-за конечной проводимости, могут быть рассчитаны численно с использованием табличных комплексных диэлектрических функций ограничивающих материалов. Теория Лифшица для двух металлических пластин сводится к идеализированной} ⁠ Казимира1/а ⁴⁠ закон силы для больших разделений, намного превышающий глубину скин-слоя металла, и наоборот, сводится к ⁠1/а ³⁠ закон силы дисперсионной силы Лондона (с коэффициентом, называемым постоянной Гамакера ) для малых a , с более сложной зависимостью от a для промежуточных расстояний, определяемых дисперсией материалов . ^[30]

Результат Лифшица впоследствии был обобщен на произвольные многослойные плоские геометрии, а также на анизотропные и магнитные материалы, но в течение нескольких десятилетий расчет сил Казимира для неплоских геометрий оставался ограниченным несколькими идеализированными случаями, допускающими аналитические решения. ^[31] Например, сила в экспериментальной геометрии сфера-пластина была вычислена с приближением (благодаря Дерягину), что радиус сферы R намного больше расстояния a , и в этом случае соседние поверхности почти параллельны, и результат для параллельной пластины можно адаптировать для получения приближенного ⁠Р/а ³⁠ силы (пренебрегая как эффектами глубины скин-слоя, так и эффектами кривизны более высокого порядка ). ^{[31] [32]} Однако в 2010-х годах ряд авторов разработали и продемонстрировали различные численные методы, во многих случаях адаптированные из классической вычислительной электродинамики , которые способны точно вычислять силы Казимира для произвольных геометрий и материалов, от простых эффектов конечного размера конечных пластин до более сложных явлений, возникающих для структурированных поверхностей или объектов различных форм. ^{[31] [33]}

Измерение

Одно из первых экспериментальных испытаний было проведено Маркусом Спарнааем в компании Philips в Эйндховене (Нидерланды) в 1958 году в ходе деликатного и сложного эксперимента с параллельными пластинами, в ходе которого были получены результаты, не противоречащие теории Казимира ^{[34] [35],} но с большими экспериментальными ошибками.

Эффект Казимира был измерен более точно в 1997 году Стивом К. Ламоро из Лос-Аламосской национальной лаборатории [ ^7] и Умаром Мохидином и Анушри Рой из Калифорнийского университета в Риверсайде ^[36] . На практике вместо использования двух параллельных пластин, что потребовало бы феноменально точного выравнивания для обеспечения их параллельности, в экспериментах используется одна плоская пластина и другая пластина, которая является частью сферы с очень большим радиусом .

В 2001 году группе (Джакомо Бресси, Джанни Каруньо, Роберто Онофрио и Джузеппе Руозо) из Университета Падуи (Италия) наконец удалось измерить силу Казимира между параллельными пластинами с помощью микрорезонаторов . ^[37] Многочисленные вариации этих экспериментов обобщены в обзоре Климчицкой 2009 года. ^[38]

В 2013 году конгломерат ученых из Гонконгского университета науки и технологий , Флоридского университета , Гарвардского университета , Массачусетского технологического института и Окриджской национальной лаборатории продемонстрировал компактный интегрированный кремниевый чип, который может измерять силу Казимира. ^[39] Интегрированный чип, определенный с помощью электронно-лучевой литографии, не нуждается в дополнительном выравнивании, что делает его идеальной платформой для измерения силы Казимира между сложными геометриями. В 2017 и 2021 годах та же группа из Гонконгского университета науки и технологий продемонстрировала немонотонную силу Казимира ^[40] и независимую от расстояния силу Казимира ^[41] соответственно, используя эту платформу на чипе.

Регуляризация

Для того чтобы иметь возможность производить вычисления в общем случае, удобно ввести регулятор в суммирования. Это искусственное устройство, используемое для того, чтобы сделать суммы конечными, чтобы ими было легче манипулировать, с последующим взятием предела, чтобы убрать регулятор.

Тепловое ядро ​​или экспоненциально регулируемая сумма равна $${\displaystyle \langle E(t)\rangle ={\frac {1}{2}}\sum _{n}\hbar |\omega _{n}|\exp {\bigl (}-t|\omega _{n}|{\bigr )}\,,}$$

где предел t → 0 ⁺ берется в конце. Расхождение суммы обычно проявляется как

$${\displaystyle \langle E(t)\rangle ={\frac {C}{t^{3}}}+{\textrm {finite}}\,}$$

для трехмерных полостей. Бесконечная часть суммы связана с объемной константой C , которая не зависит от формы полости. Интересная часть суммы — конечная часть, которая зависит от формы. Регулятор Гаусса

$${\displaystyle \langle E(t)\rangle ={\frac {1}{2}}\sum _{n}\hbar |\omega _{n}|\exp \left(-t^{2}|\omega _{n}|^{2}\right)}$$

лучше подходит для численных расчетов из-за его превосходных свойств сходимости, но его сложнее использовать в теоретических расчетах. Другие, соответственно гладкие, регуляторы также могут быть использованы. Регулятор дзета-функции

$${\displaystyle \langle E(s)\rangle ={\frac {1}{2}}\sum _{n}\hbar |\omega _{n}||\omega _{n}|^{-s}}$$

совершенно не подходит для численных расчетов, но весьма полезна в теоретических расчетах. В частности, расхождения проявляются как полюса в комплексной плоскости s , с объемным расхождением при s = 4. Эту сумму можно аналитически продолжить за этот полюс, чтобы получить конечную часть при s = 0 .

Не каждая конфигурация полости обязательно приводит к конечной части (отсутствию полюса при s = 0 ) или к не зависящим от формы бесконечным частям. В этом случае следует понимать, что необходимо учитывать дополнительную физику. В частности, на чрезвычайно больших частотах (выше плазменной частоты ) металлы становятся прозрачными для фотонов (таких как рентгеновские лучи ), а диэлектрики также демонстрируют частотно-зависимый срез. Эта частотная зависимость действует как естественный регулятор. В физике твердого тела существует множество объемных эффектов , математически очень похожих на эффект Казимира, где частота среза вступает в явную игру, чтобы сохранить выражения конечными. (Более подробно они обсуждаются в Ландау и Лифшице , «Теория сплошных сред». ^{[ требуется ссылка ]} )

Общие положения

Эффект Казимира также может быть вычислен с использованием математических механизмов функциональных интегралов квантовой теории поля, хотя такие вычисления значительно более абстрактны и, следовательно, трудны для понимания. Кроме того, их можно выполнить только для простейших геометрий. Однако формализм квантовой теории поля ясно показывает, что суммирование значений вакуумного ожидания в определенном смысле является суммированием по так называемым «виртуальным частицам».

Более интересным является понимание того, что суммы по энергиям стоячих волн следует формально понимать как суммы по собственным значениям гамильтониана . Это позволяет понимать атомные и молекулярные эффекты, такие как сила Ван-дер-Ваальса , как вариацию на тему эффекта Казимира. Таким образом, гамильтониан системы рассматривается как функция расположения объектов, таких как атомы, в конфигурационном пространстве . Изменение энергии нулевой точки как функция изменений конфигурации можно понимать как результат сил, действующих между объектами.

В модели кирального мешка нуклона энергия Казимира играет важную роль в демонстрации того, что масса нуклона не зависит от радиуса мешка. Кроме того, спектральная асимметрия интерпретируется как ненулевое вакуумное ожидание барионного числа , отменяющее топологическое число обмотки пионного поля , окружающего нуклон.

Эффект «псевдо-Казимира» можно обнаружить в жидкокристаллических системах, где граничные условия, налагаемые посредством закрепления жесткими стенками, приводят к возникновению дальнодействующей силы, аналогичной силе, которая возникает между проводящими пластинами. ^[42]

Динамический эффект Казимира

Динамический эффект Казимира — это производство частиц и энергии из ускоренно движущегося зеркала . Эта реакция была предсказана некоторыми численными решениями уравнений квантовой механики , сделанными в 1970-х годах. ^{[43] В мае 2011 года исследователи из} Технологического университета Чалмерса в Гетеборге, Швеция, объявили об обнаружении динамического эффекта Казимира. В их эксперименте микроволновые фотоны генерировались из вакуума в сверхпроводящем микроволновом резонаторе. Эти исследователи использовали модифицированный СКВИД для изменения эффективной длины резонатора во времени, имитируя зеркало, движущееся с требуемой релятивистской скоростью. Если это подтвердится, это будет первой экспериментальной проверкой динамического эффекта Казимира. ^{[44] [45] В марте 2013 года в научном журнале} PNAS появилась статья, описывающая эксперимент, который продемонстрировал динамический эффект Казимира в метаматериале Джозефсона. ^[46] В июле 2019 года была опубликована статья, описывающая эксперимент, предоставляющий доказательства оптического динамического эффекта Казимира в дисперсионно-колеблющемся волокне. ^[47] В 2020 году Фрэнк Вильчек и др. предложили решение парадокса потери информации , связанного с моделью движущегося зеркала динамического эффекта Казимира. ^[48] Построенный в рамках квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени , динамический эффект Казимира (движущееся зеркало) использовался для понимания эффекта Унру . ^[49]

Силы отталкивания

Существует несколько случаев, когда эффект Казимира может привести к возникновению сил отталкивания между незаряженными объектами. Евгений Лифшиц показал (теоретически), что при определенных обстоятельствах (чаще всего связанных с жидкостями) могут возникнуть силы отталкивания. ^[50] Это вызвало интерес к применению эффекта Казимира для разработки левитирующих устройств. Экспериментальная демонстрация отталкивания на основе Казимира, предсказанного Лифшицем, была проведена Мандеем и др. ^[51], которые описали его как « квантовую левитацию ». Другие ученые также предложили использовать усиливающие среды для достижения аналогичного эффекта левитации, ^{[52] [53]} хотя это спорно, поскольку эти материалы, по-видимому, нарушают фундаментальные ограничения причинности и требование термодинамического равновесия ( соотношения Крамерса–Кронига ). Отталкивание Казимира и Казимира–Полдера может фактически иметь место для достаточно анизотропных электрических тел; для обзора вопросов, связанных с отталкиванием, см. Милтон и др. ^[54] Недавнее примечательное развитие отталкивающих сил Казимира основано на использовании хиральных материалов. К.-Д. Цзян из Стокгольмского университета и лауреат Нобелевской премии Фрэнк Вильчек из Массачусетского технологического института показывают, что хиральная «смазка» может генерировать отталкивающие, усиленные и настраиваемые взаимодействия Казимира. ^[55]

Тимоти Бойер показал в своей работе, опубликованной в 1968 году ^[56] , что проводник со сферической симметрией также будет демонстрировать эту силу отталкивания, и результат не зависит от радиуса. Дальнейшие работы показывают, что сила отталкивания может быть создана с помощью материалов тщательно подобранных диэлектриков. ^[57]

Спекулятивные приложения

Было высказано предположение, что силы Казимира имеют применение в нанотехнологиях, ^[58] в частности, в микро- и наноэлектромеханических системах на основе технологии кремниевых интегральных схем и так называемых генераторах Казимира. ^[59]

В 1995 и 1998 годах Маклей и др. ^{[60] [61]} опубликовали первые модели микроэлектромеханической системы (МЭМС) с силами Казимира. Хотя силы Казимира не использовались для полезной работы, статьи привлекли внимание сообщества МЭМС из-за открытия того, что эффект Казимира необходимо рассматривать как жизненно важный фактор в будущем проектировании МЭМС. В частности, эффект Казимира может быть критическим фактором в отказе МЭМС из-за трения . ^{[62] [ нужна страница ]}

В 2001 году Капассо и др. показали, как силу можно использовать для управления механическим движением устройства MEMS. Исследователи подвесили пластину из поликремния на крутильном стержне — скручивающемся горизонтальном стержне диаметром всего несколько микрон. Когда они поднесли металлизированную сферу близко к пластине, сила притяжения Казимира между двумя объектами заставила пластину вращаться. Они также изучили динамическое поведение устройства MEMS, заставив пластину колебаться. Сила Казимира снизила скорость колебаний и привела к нелинейным явлениям, таким как гистерезис и бистабильность в частотной характеристике осциллятора. По словам команды, поведение системы хорошо согласуется с теоретическими расчетами. ^[63]

Эффект Казимира показывает, что квантовая теория поля допускает, чтобы плотность энергии в очень малых областях пространства была отрицательной по отношению к обычной энергии вакуума, и плотности энергии не могут быть произвольно отрицательными, поскольку теория нарушается на атомных расстояниях. ^{[64] : 175  [65] [66]} Такие выдающиеся физики, как Стивен Хокинг ^[67] и Кип Торн ^[68] , предположили, что такие эффекты могут позволить стабилизировать проходимую червоточину .

Смотрите также

• Физический портал

• Отрицательная энергия
• эффект Шарнхорста
• Сила Ван-дер-Ваальса
• Сжатый вакуум

Ссылки

1. Ламоро, Стивен К. (2005). «Сила Казимира: предпосылки, эксперименты и приложения». Reports on Progress in Physics . 68 (1): 201–236. Bibcode :2005RPPh...68..201L. doi :10.1088/0034-4885/68/1/r04. S2CID  21131414.
2. Мостепаненко, В.М.; Трунов, Н.Н. (30 ноября 1988 г.). «Эффект Казимира и его приложения». Успехи физики . 31 (11): 965–987. doi :10.1070/PU1988v031n11ABEH005641. ISSN  0038-5670.
3. Климчицкая, ГЛ; Мохидин, У.; Мостепаненко, ВМ (21 декабря 2009 г.). «Сила Казимира между реальными материалами: эксперимент и теория». Reviews of Modern Physics . 81 (4): 1827–1885. arXiv : 0902.4022 . Bibcode :2009RvMP...81.1827K. doi :10.1103/RevModPhys.81.1827. ISSN  0034-6861.
4. Casimir, HBG ; Polder, D. (15 февраля 1948 г.). «Влияние запаздывания на силы Лондона–ван дер Ваальса». Physical Review . 73 (4): 360–372. Bibcode :1948PhRv...73..360C. doi :10.1103/PhysRev.73.360. ISSN  0031-899X.
5. Дзялошинский, IE; Лифшиц, EM; Питаевский, Лев П (1961). "Общая теория сил Ван-дер-Ваальса". Успехи физики . 4 (2): 153. Bibcode :1961SvPhU...4..153D. doi :10.1070/PU1961v004n02ABEH003330.
6. Intravaia, Francesco; Behunin, Ryan (28 декабря 2012 г.). "Эффект Казимира как сумма по модам в диссипативных системах". Physical Review A . 86 (6): 062517. arXiv : 1209.6072 . Bibcode :2012PhRvA..86f2517I. doi :10.1103/PhysRevA.86.062517. ISSN  1050-2947. S2CID  119211980.
7. Lamoreaux, SK (1997). «Демонстрация силы Казимира в диапазоне от 0,6 до 6 мкм». Physical Review Letters . 78 (1): 5–8. Bibcode : 1997PhRvL..78....5L. doi : 10.1103/PhysRevLett.78.5. S2CID  25323874.
8. EL Losada "Функциональный подход к фермионному эффекту Казимира" Архивировано 31 мая 2011 г. на Wayback Machine
9. Майкл Бордаг; Галина Леонидовна Климчицкая; Умар Мохидин (2009). "Глава I; § 3: Квантование поля и энергия вакуума при наличии границ". Достижения в эффекте Казимира . Oxford University Press. стр. 33 и далее . ISBN 978-0-19-923874-3.Обзор в Lamoreaux, Steve K. (2010). «Достижения в эффекте Казимира Достижения в эффекте Казимира, M. Bordag, GL Klimchitskaya, U. Mohideen и VM Mostepanenko Oxford U. Press, New York, 2009. $150.00 (749 стр.). ISBN 978-0-19-923874-3». Physics Today . 63 (8): 50–51. Bibcode :2010PhT....63h..50B. doi :10.1063/1.3480079.
10. Гриффитс, DJ; Хо, E. (2001). «Классический эффект Казимира для бусин на нитке». American Journal of Physics . 69 (11): 1173. Bibcode : 2001AmJPh..69.1173G. doi : 10.1119/1.1396620.
11. Кук, Дж. Х. (1998). «Сила Казимира на нагруженной струне». Американский журнал физики . 66 (7): 569–572. Bibcode : 1998AmJPh..66..569C. doi : 10.1119/1.18907.
12. Denardo, BC; Puda, JJ; Larraza, AS (2009). «Аналог эффекта Казимира на водной волне». American Journal of Physics . 77 (12): 1095. Bibcode : 2009AmJPh..77.1095D. doi : 10.1119/1.3211416.
13. Larraza, AS; Denardo, B. (1998). «Акустический эффект Казимира». Physics Letters A. 248 ( 2–4): 151. Bibcode : 1998PhLA..248..151L. doi : 10.1016/S0375-9601(98)00652-5.
14. Астрид Ламбрехт, Серж Рейно и Сириак Жене (2007) «Казимир в наномире». Архивировано 22 ноября 2009 г. на Wayback Machine
15. Genet, C.; Intravaia, F.; Lambrecht, A.; Reynaud, S. (2004). "Электромагнитные флуктуации вакуума, силы Казимира и Ван-дер-Ваальса" (PDF) . Annales de la Fondation Louis de Broglie . 29 (1–2): 311–328. arXiv : quant-ph/0302072 . Bibcode :2003quant.ph..2072G. Архивировано (PDF) из оригинала 3 октября 2016 г.
16. Сила пустого пространства, Physical Review Focus , 3 декабря 1998 г.
17. Lambrecht, A. (1 сентября 2002 г.). "Эффект Казимира: сила из ничего". Physics World . Получено 17 июля 2009 г.
18. "American Institute of Physics News Note 1996". Архивировано из оригинала 29 января 2008 года . Получено 28 февраля 2008 года .
19. Джаффе, Р. (2005). "Эффект Казимира и квантовый вакуум". Physical Review D. 72 ( 2): 021301. arXiv : hep-th/0503158 . Bibcode : 2005PhRvD..72b1301J. doi : 10.1103/PhysRevD.72.021301. S2CID  13171179.
20. Casimir, HBG (1948). "О притяжении между двумя идеально проводящими пластинами" (PDF) . Proc. Kon. Ned. Akad. Wet . 51 : 793. Архивировано (PDF) из оригинала 18 апреля 2013 г.
21. Du, ZZ; Liu, HM; Xie, YL; Wang, QH; Liu, J.-M. (7 декабря 2015 г.). "Эффект спинового Казимира в неколлинеарных квантовых антиферромагнетиках: подход с использованием спин-волнового равновесия крутящего момента". Physical Review B . 92 (21): 214409. arXiv : 1506.05211 . Bibcode :2015arXiv150605211D. doi :10.1103/PhysRevB.92.214409. ISSN  1098-0121. S2CID  118348464.
22. SE Rugh, H Zinkernagel; Zinkernagel (2002). «Квантовый вакуум и проблема космологической постоянной». Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 33 (4): 663–705. arXiv : hep-th/0012253 . Bibcode :2002SHPMP..33..663R. doi :10.1016/S1355-2198(02)00033-3. S2CID  9007190.
23. Бьянки, Эудженио; Ровелли, Карло (2010). «Почему все эти предрассудки против константы?». arXiv : 1002.3966 [astro-ph.CO].
24. Швингер, Джулиан; ДеРаад, Лестер Л.; Милтон, Кимбалл А. (1978). «Эффект Казимира в диэлектриках». Annals of Physics . 115 (1): 1–23. Bibcode : 1978AnPhy.115....1S. doi : 10.1016/0003-4916(78)90172-0.
25. Николич, Хрвое (2016). «Доказательство того, что сила Казимира не возникает из энергии вакуума». Physics Letters B. 761 : 197–202. arXiv : 1605.04143 . Bibcode : 2016PhLB..761..197N. doi : 10.1016/j.physletb.2016.08.036. S2CID  119265677.
26. Николич, Хрвое (2017). «Физична ли энергия нулевой точки? Игрушечная модель для эффекта, подобного Казимиру». Annals of Physics . 383 : 181–195. arXiv : 1702.03291 . Bibcode : 2017AnPhy.383..181N. doi : 10.1016/j.aop.2017.05.013. S2CID  118883930.
27. Для краткого обзора см. введение в Passante, R.; Spagnolo, S. (2007). "Межатомный потенциал Казимира–Полдера между двумя атомами при конечной температуре и при наличии граничных условий". Physical Review A . 76 (4): 042112. arXiv : 0708.2240 . Bibcode :2007PhRvA..76d2112P. doi :10.1103/PhysRevA.76.042112. S2CID  119651683.
28. Руджеро, Цимерман; Виллани (1977). "Применение аналитической регуляризации к силам Казимира" (PDF) . Revista Brasileira de Física . 7 (3). Архивировано (PDF) из оригинала 3 апреля 2015 г.
29. Дзялошинский, IE; Кац, EI (2004). "Силы Казимира в модулированных системах". Journal of Physics: Condensed Matter . 16 (32): 5659. arXiv : cond-mat/0408348 . Bibcode : 2004JPCM...16.5659D. doi : 10.1088/0953-8984/16/32/003. S2CID  250897415.
30. В. А. Парсегян, Силы Ван-дер-Ваальса: Справочник для биологов, химиков, инженеров и физиков (Cambridge Univ. Press, 2006).
31. Родригес, AW; Капассо, Ф.; Джонсон, Стивен Г. (2011). «Эффект Казимира в микроструктурированных геометриях». Nature Photonics . 5 (4): 211–221. Bibcode : 2011NaPho...5..211R. doi : 10.1038/nphoton.2011.39.Обзорная статья.
32. Б. В. Дерягин, И. И. Абрикосова и Е. М. Лифшиц, Ежеквартальные обзоры, Химическое общество , т. 10, 295–329 (1956).
33. Reid, MTH; White, J.; Johnson, SG (2011). «Вычисление взаимодействий Казимира между произвольными трехмерными объектами с произвольными материальными свойствами». Physical Review A. 84 ( 1): 010503(R). arXiv : 1010.5539 . Bibcode : 2011PhRvA..84a0503R. doi : 10.1103/PhysRevA.84.010503. S2CID  197461628.
34. Sparnaay, MJ (1957). «Силы притяжения между плоскими пластинами». Nature . 180 (4581): 334–335. Bibcode :1957Natur.180..334S. doi :10.1038/180334b0. S2CID  4263111.
35. Sparnaay, M (1958). «Измерения сил притяжения между плоскими пластинами». Physica . 24 (6–10): 751–764. Bibcode : 1958Phy....24..751S. doi : 10.1016/S0031-8914(58)80090-7.
36. Mohideen, U.; Roy, Anushree (1998). «Точное измерение силы Казимира от 0,1 до 0,9 мкм». Physical Review Letters . 81 (21): 4549–4552. arXiv : physics/9805038 . Bibcode : 1998PhRvL..81.4549M. doi : 10.1103/PhysRevLett.81.4549. S2CID  56132451.
37. Бресси, Г.; Каруньо, Г.; Онофрио, Р.; Руозо, Г. (2002). «Измерение силы Казимира между параллельными металлическими поверхностями». Physical Review Letters . 88 (4): 041804. arXiv : quant-ph/0203002 . Bibcode : 2002PhRvL..88d1804B. doi : 10.1103/PhysRevLett.88.041804. PMID  11801108. S2CID  43354557.
38. Климчицкая, ГЛ; Мохидин, У.; Мостепаненко, ВМ (21 декабря 2009 г.). «Сила Казимира между реальными материалами: эксперимент и теория». Reviews of Modern Physics . 81 (4): 1827–1885. arXiv : 0902.4022 . Bibcode :2009RvMP...81.1827K. doi :10.1103/RevModPhys.81.1827. ISSN  0034-6861.
39. Zao, J.; Marcet, Z.; Rodriguez, AW; Reid, MTH; McCauley, AP; Kravchenko, II; Lu, T.; Bao, Y.; Johnson, SG; Chan, HB; et al. (14 мая 2013 г.). "Силы Казимира на кремниевом микромеханическом чипе". Nature Communications . 4 : 1845. arXiv : 1207.6163 . Bibcode : 2013NatCo...4.1845Z. doi : 10.1038/ncomms2842. PMID  23673630. S2CID  46359798.
40. Лу, Т.; Ван, Минкан; Нг, CY; Николич, М.; Чан, Коннектикут; Родригес, Алехандро; Чан, Х.Б.; и др. (9 января 2017 г.). «Измерение немонотонных сил Казимира между кремниевыми наноструктурами». Природная фотоника . 11 (2): 97–101. arXiv : 1701.02351 . Бибкод : 2017NaPho..11...97T. дои : 10.1038/nphoton.2016.254. S2CID  119327017.
41. Ван, Минкан; Тан, Л.; Нг, CY; Мессина, Риккардо; Гуизал, Брахим; Кросс, JA; Антеза, Мауро; Чан, CT; Чан, HB; и др. (26 января 2021 г.). «Сильная геометрическая зависимость силы Казимира между взаимопроникающими прямоугольными решетками». Nature Communications . 12 (1): 600. arXiv : 2009.02187 . Bibcode :2021NatCo..12..600W. doi :10.1038/s41467-021-20891-4. PMC 7838308 . PMID  33500401. 
42. Аждари, А.; Дюплантье, Б.; Хон, Д.; Пелити, Л.; Прост, Дж. (март 1992 г.). «Эффект «Псевдо-Казимира» в жидких кристаллах». Журнал физики II . 2 (3): 487–501. Бибкод : 1992JPhy2...2..487A. дои : 10.1051/jp2: 1992145. S2CID  55236741.
43. Фуллинг, С.А.; Дэвис, П.К.У. (1976). «Излучение от движущегося зеркала в двумерном пространстве-времени: конформная аномалия». Труды Королевского общества A. 348 ( 1654): 393. Bibcode : 1976RSPSA.348..393F. doi : 10.1098/rspa.1976.0045. S2CID  122176090.
44. «Первое наблюдение динамического эффекта Казимира». Обзор технологий .
45. Wilson, CM; Johansson, G.; Pourkabirian, A.; Simoen, M.; Johansson, JR; Duty, T.; Nori, F.; Delsing, P. (2011). «Наблюдение динамического эффекта Казимира в сверхпроводящей цепи». Nature . 479 (7373): 376–379. arXiv : 1105.4714 . Bibcode :2011Natur.479..376W. doi :10.1038/nature10561. PMID  22094697. S2CID  219735.
46. «Динамический эффект Казимира в метаматериале Джозефсона». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки .
47. Vezzoli, S.; Mussot, A.; Westerberg, N.; Kudlinski, A.; Saleh, HD; Prain, A.; Biancalana, F.; Lantz, E.; Faccio, D. (2019). "Оптический аналог динамического эффекта Казимира в дисперсионно-колеблющемся волокне". Communications Physics . 2 (1): 84. arXiv : 1811.04262 . Bibcode :2019CmPhy...2...84V. doi :10.1038/s42005-019-0183-z. S2CID  53691352.
48. Wilczek, F.; Linder, EV; Good, MRR (2020). «Модель движущегося зеркала для квазитепловых полей излучения». Physical Review D. 101 ( 2): 025012. Bibcode : 2020PhRvD.101b5012G. doi : 10.1103/PhysRevD.101.025012. hdl : 1721.1/125524 . OSTI  1635008. S2CID  213899274.
49. Биррелл, ND; Дэвис, PCW (1982). Квантовые поля в искривленном пространстве. Кембриджские монографии по математической физике. Издательство Кембриджского университета. doi :10.1017/CBO9780511622632. ISBN 978-0-521-23385-9.
50. Дзялошинский, ИЭ; Лифшиц, ЕМ; Питаевский, ЛП (1961). "Общая теория сил Ван-дер-Ваальса". Успехи физики . 10 (38): 165. Bibcode :1961AdPhy..10..165D. doi :10.1080/00018736100101281.
51. Мандей, Дж. Н.; Капассо, Ф.; Парсегиан, ВА (2009). «Измеренные дальнодействующие силы отталкивания Казимира–Лифшица». Nature . 457 (7226): 170–3. Bibcode :2009Natur.457..170M. doi :10.1038/nature07610. PMC 4169270 . PMID  19129843. 
52. Хайфилд, Роджер (6 августа 2007 г.). «Физики „решили“ тайну левитации». The Daily Telegraph . Лондон. Архивировано из оригинала 13 мая 2008 г. Получено 28 апреля 2010 г.
53. Леонхардт, Ульф; Филбин, Томас Г. (август 2007 г.). «Квантовая левитация левосторонних метаматериалов». Новый журнал физики . 9 (8). Издательство IOP и Немецкое физическое общество : 254. arXiv : quant-ph/0608115 . Bibcode : 2007NJPh....9..254L. doi : 10.1088/1367-2630/9/8/254 .
54. Милтон, КА; Абало, ЕК; Парашар, Прачи; Пуртолами, Нима; Бревик, Ивер; Эллингсен, Симен А. (2012). «Отталкивающие силы Казимира и силы Казимира–Полдера». J. Phys. A . 45 (37): 4006. arXiv : 1202.6415 . Bibcode :2012JPhA...45K4006M. doi :10.1088/1751-8113/45/37/374006. S2CID  118364958.
55. Цзян, Цин-Дун; Вильчек, Франк (4 марта 2019 г.). «Силы хирального Казимира: отталкивающие, улучшенные, настраиваемые». Physical Review B. 99 ( 12): 125403. arXiv : 1805.07994 . Bibcode : 2019PhRvB..99l5403J. doi : 10.1103/PhysRevB.99.125403. S2CID  67802144.
56. Бойер, Тимоти Х. (25 октября 1968 г.). «Квантовая электромагнитная энергия нулевой точки проводящей сферической оболочки и модель Казимира для заряженной частицы». Physical Review . 174 (5): 1764–1776. Bibcode :1968PhRv..174.1764B. doi :10.1103/PhysRev.174.1764.
57. Сандерсон, Кэтрин (7 января 2009 г.). «Квантовая сила становится отталкивающей». Nature : news.2009.4. doi :10.1038/news.2009.4. ISSN  0028-0836.
58. Капассо, Ф.; Мандей, Дж. Н.; Ианнуцци, Д.; Чан, Х. Б. (2007). «Силы Казимира и квантовые электродинамические моменты: физика и наномеханика». IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics . 13 (2): 400. Bibcode : 2007IJSTQ..13..400C. doi : 10.1109/JSTQE.2007.893082. S2CID  32996610.
59. Serry, FM; Walliser, D.; MacLay, GJ (1995). "Ангармонический осциллятор Казимира (ACO) — эффект Казимира в модельной микроэлектромеханической системе" (PDF) . Журнал микроэлектромеханических систем . 4 (4): 193. doi :10.1109/84.475546. Архивировано (PDF) из оригинала 13 марта 2006 г.
60. Serry, FM; Walliser, D.; Maclay, GJ (1995). "Ангармонический осциллятор Казимира (ACO) — эффект Казимира в модельной микроэлектромеханической системе" (PDF) . Journal of Microelectromechanical Systems . 4 (4): 193–205. doi :10.1109/84.475546. Архивировано из оригинала (PDF) 13 марта 2006 г. . Получено 24 октября 2016 г. .
61. Serry, F. Michael; Walliser, Dirk; Maclay, G. Jordan (1998). "Роль эффекта Казимира в статическом прогибе и слипании мембранных полос в микроэлектромеханических системах (MEMS)" (PDF) . Journal of Applied Physics . 84 (5): 2501–2506. Bibcode :1998JAP....84.2501S. doi :10.1063/1.368410 . Получено 24 октября 2016 г. .
62. Бордаг, М.; Климчитская, Г.Л.; Мохидин, У.; Мостепаненко, В.М. (2009). Достижения в области эффекта Казимира. Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923874-3. LCCN  2009279136. OCLC  319209483.
63. Чан, Х. Б.; Аксюк, ВА; Клейман, Р. Н.; Бишоп, Д. Д.; Капассо, Ф. (2001). «Квантовое механическое приведение в действие микроэлектромеханических систем силой Казимира» (PDF) . Science . 291 (5510): 1941–1944. Bibcode :2001Sci...291.1941C. doi :10.1126/science.1057984. PMID  11239149. S2CID  17072357.
64. Эверетт, Аллен; Роман, Томас (2012). Путешествие во времени и варп-двигатели . Издательство Чикагского университета. стр. 167. ISBN 978-0-226-22498-5.
65. Сопова, В.; Форд, Л. Х. (2002). «Плотность энергии в эффекте Казимира». Physical Review D. 66 ( 4): 045026. arXiv : quant-ph/0204125 . Bibcode : 2002PhRvD..66d5026S. doi : 10.1103/PhysRevD.66.045026. S2CID  10649139.
66. Форд, Л. Х.; Роман, Томас А. (1995). «Усредненные энергетические условия и квантовые неравенства». Physical Review D. 51 ( 8): 4277–4286. arXiv : gr-qc/9410043 . Bibcode : 1995PhRvD..51.4277F. doi : 10.1103/PhysRevD.51.4277. PMID  10018903. S2CID  7413835.
67. "Space and Time Warps". Hawking.org.uk. Архивировано из оригинала 10 февраля 2012 года . Получено 11 ноября 2010 года .
68. Моррис, Майкл; Торн, Кип; Юртсевер, Ульви (1988). «Червоточины, машины времени и слабое энергетическое состояние» (PDF) . Physical Review Letters . 61 (13): 1446–1449. Bibcode : 1988PhRvL..61.1446M. doi : 10.1103/PhysRevLett.61.1446. PMID  10038800. Архивировано (PDF) из оригинала 9 июля 2011 г.

Дальнейшее чтение

Вводные чтения

• Описание эффекта Казимира из версии часто задаваемых вопросов по физике Usenet Калифорнийского университета в Риверсайде .
• А. Ламбрехт, Эффект Казимира: сила из ничего, Physics World , сентябрь 2002 г.
• Астрономическая картинка дня НАСА: эффект Казимира (17 декабря 2006 г.)
• Симпсон, В. М. Р.; Леонхардт, У. (2015). Силы квантового вакуума: введение в физику Казимира . World Scientific . ISBN 978-981-4632-90-4.

Статьи, книги и лекции

• Казимир, HBG ; Полдер, Д. (1948). «Влияние запаздывания на силы Лондона-Ван-дер-Ваальса». Physical Review . 73 (4): 360–372. Bibcode : 1948PhRv...73..360C. doi : 10.1103/PhysRev.73.360.
• Казимир, HBG (1948). «О притяжении двух идеально проводящих пластин» (PDF) . Труды Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen . Б51 : 793–795.
• Lamoreaux, SK (1997). «Демонстрация силы Казимира в диапазоне от 0,6 до 6 мкм». Physical Review Letters . 78 (1): 5–8. Bibcode : 1997PhRvL..78....5L. doi : 10.1103/PhysRevLett.78.5. S2CID  25323874.
• Bordag, M.; Mohideen, U.; Mostepanenko, VM (октябрь 2001 г.). "Новые разработки в области эффекта Казимира". Physics Reports . 353 (1–3): 1–205. arXiv : quant-ph/0106045 . Bibcode :2001PhR...353....1B. doi :10.1016/S0370-1573(01)00015-1. S2CID  119352552.
• Милтон, КА (2001). Эффект Казимира: Физические проявления энергии нулевой точки (Переиздание). World Scientific . ISBN 978-981-02-4397-5.
• Далвит, Диего; Милонни, Питер; Робертс, Дэвид; Да Роза, Фелипе (2011). Далвит, Диего; Милонни, Питер В .; Робертс, Дэвид; да Роза, Фелипе (ред.). Казимир Физика. Конспект лекций по физике. Том. 834. Бибкод : 2011ЛНП...834.....Д. дои : 10.1007/978-3-642-20288-9. ISBN 978-3-642-20287-2. ISSN  0075-8450. OCLC  844922239.
• Bressi, G.; Carugno, G.; Onofrio, R.; Ruoso, G. (2002). "Измерение силы Казимира между параллельными металлическими поверхностями". Physical Review Letters . 88 (4): 041804. arXiv : quant-ph/0203002 . Bibcode : 2002PhRvL..88d1804B. doi : 10.1103/PhysRevLett.88.041804. PMID  11801108. S2CID  43354557.
• Kenneth, O.; Klich, I.; Mann, A.; Revzen, M. (2002). "Отталкивающие силы Казимира". Physical Review Letters . 89 (3): 033001. arXiv : quant-ph/0202114 . Bibcode : 2002PhRvL..89c3001K. doi : 10.1103/PhysRevLett.89.033001. PMID  12144387. S2CID  20903628.
• Барроу, Дж. Д. (2005). «Много шума из ничего». Лекция в колледже Грешем . Архивировано из оригинала 30 сентября 2007 г.(Включает обсуждение французской военно-морской аналогии.)
• Барроу, Дж. Д. (2000). Книга Ничто: Вакуумы, пустоты и новейшие идеи о происхождении Вселенной . Pantheon Books . ISBN 978-0-09-928845-9.(Также включает обсуждение французской военно-морской аналогии.)
• Даунлинг, Дж. П. (1989). «Математика эффекта Казимира». Mathematics Magazine . 62 (5): 324–331. doi :10.1080/0025570X.1989.11977464.
• Патент № PCT/RU2011/000847 Автор Урмацких.

Температурная зависимость

• Измерения NIST изменили привычный взгляд на неуловимую силу
• Нестеренко, В.В.; Ламбиасе, Г.; Скарпетта, Г. (2005). «Расчет энергии Казимира при нулевой и конечной температуре: некоторые недавние результаты». Rivista del Nuovo Cimento . 27 (6): 1–74. arXiv : hep-th/0503100 . Bibcode : 2004NCimR..27f...1N. doi : 10.1393/ncr/i2005-10002-2. S2CID  14693485.

Внешние ссылки

• Поиск статей об эффекте Казимира на arxiv.org
• Г. Ланг, веб-сайт Casimir Force, 2002 г.
• Дж. Бабб, библиография на веб-сайте Casimir Effect, 2009 г.
• Х. Николич, Происхождение эффекта Казимира; Энергия вакуума или сила Ван-дер-Ваальса? слайды презентации, 2018