В математической области теории категорий категория множеств , обозначаемая как Set , — это категория , объектами которой являются множества . Стрелки или морфизмы между множествами A и B — это полные функции от A до B , а композиция морфизмов — это композиция функций .
Многие другие категории (например , категория групп с групповыми гомоморфизмами в виде стрелок) добавляют структуру объектам категории множеств и/или ограничивают стрелки функциями определенного вида.
Аксиомам категории удовлетворяет Set , потому что композиция функций ассоциативна и потому что каждое множество X имеет тождественную функцию id X : X → X , которая служит тождественным элементом для композиции функций.
Эпиморфизмы в Set — это сюръективные отображения, мономорфизмы — инъективные отображения, а изоморфизмы — биективные отображения.
Пустой набор служит исходным объектом в Set с пустыми функциями в качестве морфизмов. Каждый синглтон является конечным объектом , функции которого отображают все элементы исходных наборов в один целевой элемент как морфизмы. Таким образом, в Set нет нулевых объектов .
Набор категорий является полным и сополным . Продукт в этой категории представляет собой декартово произведение множеств. Копроизведение задается непересекающимся объединением : учитывая множества A i , где i пробегает некоторый набор индексов I , мы строим копроизведение как объединение A i ×{ i } (декартово произведение с i служит для обеспечения того, чтобы все компоненты оставались непересекающиеся).
Сет — это прототип конкретной категории ; другие категории являются конкретными, если они «построены» на Множестве каким-то четко определенным образом.
Каждый набор из двух элементов служит классификатором подобъектов в Set . Объект мощности набора A задается его набором мощности , а экспоненциальный объект наборов A и B задается набором всех функций от A до B. Таким образом, множество является топосом (и, в частности, декартово замкнутым и точным в смысле Барра ).
Множество не является абелевым , аддитивным и не преаддитивным .
Каждое непустое множество является инъективным объектом в Set . Каждое множество является проективным объектом в Set (при условии аксиомы выбора ).
Конечно представимые объекты в Set — это конечные множества. Поскольку каждое множество является прямым пределом своих конечных подмножеств, категория Set является локально конечно представимой категорией .
Если C — произвольная категория, контравариантные функторы из C в Set часто являются важным объектом изучения. Если A является объектом C , то функтор из C в Set , который переводит X в Hom C ( X , A ) (набор морфизмов в C из X в A ), является примером такого функтора. Если C — малая категория (т. е. совокупность ее объектов образует множество), то контравариантные функторы из C в Set вместе с естественными преобразованиями в виде морфизмов образуют новую категорию, категорию функторов , известную как категория предпучков на C. .
В теории множеств Цермело – Френкеля совокупность всех множеств не является множеством; это следует из аксиомы основания . Один относится к коллекциям, которые не заданы как полноценные классы . Невозможно обращаться с собственными классами так же, как с множествами; в частности, нельзя написать, что эти собственные классы принадлежат коллекции (множеству или собственному классу). Это проблема, поскольку это означает, что категория множеств не может быть напрямую формализована в этой ситуации. Категории, подобные набору , коллекция объектов которых образует соответствующий класс, известны как большие категории , чтобы отличать их от маленьких категорий, объекты которых образуют набор.
Один из способов решения проблемы — работать в системе, которая придает формальный статус соответствующим классам, например, в теории множеств NBG . В этом случае категории, сформированные из наборов, называются маленькими , а категории (например, Set ), которые сформированы из соответствующих классов, — большими .
Другое решение состоит в том, чтобы предположить существование вселенных Гротендика . Грубо говоря, вселенная Гротендика — это набор, который сам по себе является моделью ZF(C) (например, если набор принадлежит вселенной, его элементы и его набор сил будут принадлежать вселенной). Существование вселенных Гротендика (кроме пустого множества и множества всех наследственно конечных множеств ) не подразумевается обычными аксиомами ZF; это дополнительная независимая аксиома, примерно эквивалентная существованию сильно недоступных кардиналов . Принимая эту дополнительную аксиому, можно ограничить объекты Сета элементами конкретной вселенной. (В модели нет «множества всех множеств», но все же можно рассуждать о классе U всех внутренних множеств, т. е. элементов U .)
В одном из вариантов этой схемы класс множеств представляет собой объединение всей башни вселенных Гротендика. (Это обязательно правильный класс , но каждая вселенная Гротендика представляет собой множество, поскольку она является элементом некоторой более крупной вселенной Гротендика.) Однако напрямую с «категорией всех множеств» нельзя работать. Вместо этого теоремы выражаются в терминах категории Set U , объекты которой являются элементами достаточно большой вселенной Гротендика U , а затем показано, что они не зависят от конкретного выбора U. В качестве основы теории категорий этот подход хорошо сочетается с такой системой, как теория множеств Тарского – Гротендика , в которой нельзя напрямую рассуждать о собственных классах; его главный недостаток состоит в том, что теорема может быть верна для всего множества U , но не для множества .
Были предложены различные другие решения и вариации вышеизложенного. [1] [2] [3]
Те же проблемы возникают и с другими конкретными категориями, такими как категория групп или категория топологических пространств .
