Уравнения Коши–Римана

Характеристическое свойство голоморфных функций

Визуальное изображение вектора X в области, умноженного на комплексное число z , затем отображенного на f , по сравнению с отображением на f , а затем умноженным на z . Если оба этих результата приводят к тому, что точка оказывается в одном и том же месте для всех X и z , то f удовлетворяет условию Коши–Римана.

В области комплексного анализа в математике уравнения Коши –Римана , названные в честь Огюстена Коши и Бернхарда Римана , состоят из системы двух уравнений в частных производных , которые образуют необходимое и достаточное условие для того, чтобы сложная функция комплексной переменной была комплексно дифференцируемой .

Эти уравнения

и

где u ( x , y ) и v ( x , y ) — действительные дифференцируемые двумерные функции.

Обычно u и v являются соответственно действительной и мнимой частями комплексной функции f ( x + iy ) = f ( x , y ) = u ( x , y ) + iv ( x , y ) одной комплексной переменной z = x + iy , где x и y — действительные переменные; u и v — действительные дифференцируемые функции действительных переменных. Тогда f является комплексно дифференцируемой в комплексной точке тогда и только тогда, когда частные производные u и v удовлетворяют уравнениям Коши–Римана в этой точке.

Голоморфная функция — это комплексная функция, дифференцируемая в каждой точке некоторого открытого подмножества комплексной плоскости C. Доказано, что голоморфные функции являются аналитическими , а аналитические комплексные функции являются комплексно-дифференцируемыми. В частности, голоморфные функции являются бесконечно комплексно-дифференцируемыми.

Эта эквивалентность между дифференцируемостью и аналитичностью является отправной точкой всего комплексного анализа .

История

Уравнения Коши–Римана впервые появились в работе Жана Лерона Д'Аламбера . ^[1] Позднее Леонард Эйлер связал эту систему с аналитическими функциями . ^[2] Затем Коши ^[3] использовал эти уравнения для построения своей теории функций. Диссертация Римана по теории функций появилась в 1851 году. ^[4]

Простой пример

Предположим, что . Комплекснозначная функция дифференцируема в любой точке z комплексной плоскости. Действительная часть и мнимая часть равны , а их частные производные равны ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ $${\displaystyle f(z)=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy}$$ ${\displaystyle u(x,y)}$ ${\displaystyle v(x,y)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,y)&=x^{2}-y^{2}\\v(x,y)&=2xy\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle u_{x}=2x;\quad u_{y}=-2y;\quad v_{x}=2y;\quad v_{y}=2x}$$

Мы видим, что уравнения Коши–Римана действительно выполняются, причем . ${\displaystyle u_{x}=v_{y}}$ ${\displaystyle u_{y}=-v_{x}}$

Интерпретация и переформулировка

Уравнения Коши-Римана являются одним из способов рассмотрения условия дифференцируемости функции в смысле комплексного анализа : другими словами, они инкапсулируют понятие функции комплексной переменной посредством обычного дифференциального исчисления . В теории существует несколько других основных способов рассмотрения этого понятия, и перевод условия на другой язык часто необходим.

Конформные отображения

Во-первых, уравнения Коши–Римана можно записать в комплексной форме

В этой форме уравнения структурно соответствуют условию, что матрица Якоби имеет вид где и . Матрица этой формы является матричным представлением комплексного числа . Геометрически такая матрица всегда является композицией поворота с масштабированием и, в частности, сохраняет углы . Якобиан функции f ( z ) берет бесконечно малые отрезки прямых на пересечении двух кривых в z и поворачивает их на соответствующие отрезки в f ( z ) . Следовательно, функция, удовлетворяющая уравнениям Коши–Римана с ненулевой производной, сохраняет угол между кривыми на плоскости. То есть, уравнения Коши–Римана являются условиями для того, чтобы функция была конформной . $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y}$ ${\displaystyle b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y}$

Более того, поскольку композиция конформного преобразования с другим конформным преобразованием также конформна, композиция решения уравнений Коши–Римана с конформным отображением сама должна решать уравнения Коши–Римана. Таким образом, уравнения Коши–Римана являются конформно инвариантными.

Комплексная дифференцируемость

Пусть , где и — действительные функции , — комплексная функция комплексной переменной , где и — действительные переменные. поэтому функцию можно также рассматривать как функцию действительных переменных и . Тогда комплексная производная в точке определяется по формуле при условии, что этот предел существует (то есть предел существует вдоль каждого пути, приближающегося к , и не зависит от выбранного пути). $${\displaystyle f(z)=u(z)+i\cdot v(z)}$$ ${\textstyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\textstyle z=x+iy}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle y}$ ${\textstyle f(z)=f(x+iy)=f(x,y)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle y}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}}$ $${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}}$$ ${\textstyle z_{0}}$

Фундаментальным результатом комплексного анализа является то, что является комплексно дифференцируемой в точке (то есть имеет комплексную производную), если и только если двумерные действительные функции и дифференцируемы в точке и удовлетворяют уравнениям Коши–Римана в этой точке. ^{[5] [6] [7} ] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle u(x+iy)}$ ${\displaystyle v(x+iy)}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),}$

Фактически, если комплексная производная существует при , то ее можно вычислить, взяв предел при вдоль действительной оси и мнимой оси, и эти два предела должны быть равны. Вдоль действительной оси предел равен , а вдоль мнимой оси предел равен ${\textstyle z_{0}}$ ${\textstyle z_{0}}$ $${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right\vert _{z_{0}}}$$ $${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{ih}}=\left.{\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}\right\vert _{z_{0}}.}$$

Итак, равенство производных означает, что представляет собой комплексную форму уравнений Коши–Римана при . $${\displaystyle i\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right\vert _{z_{0}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial y}}\right\vert _{z_{0}}}$$ ${\textstyle z_{0}}$

(Обратите внимание, что если комплексно дифференцируемо при , то оно также действительно дифференцируемо, а якобиан при является комплексным скаляром , рассматриваемым как действительно-линейное отображение , поскольку предел при .) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f'(z_{0})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |f(z)-f(z_{0})-f'(z_{0})(z-z_{0})|/|z-z_{0}|\to 0}$ ${\displaystyle z\to z_{0}}$

Наоборот, если f дифференцируема в (в действительном смысле) и удовлетворяет там уравнениям Коши-Римана, то она комплексно-дифференцируема в этой точке. Предположим, что f как функция двух действительных переменных x и y дифференцируема в z ₀ (действительно дифференцируема). Это эквивалентно существованию следующего линейного приближения , где , , z = x + iy , и при Δ z → 0 . ${\textstyle z_{0}}$ $${\displaystyle \Delta f(z_{0})=f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})=f_{x}\,\Delta x+f_{y}\,\Delta y+\eta (\Delta z)}$$ ${\textstyle f_{x}=\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right\vert _{z_{0}}}$ ${\textstyle f_{y}=\left.{\frac {\partial f}{\partial y}}\right\vert _{z_{0}}}$ ${\textstyle \eta (\Delta z)/|\Delta z|\to 0}$

Поскольку и , вышесказанное можно переписать как ${\textstyle \Delta z+\Delta {\bar {z}}=2\,\Delta x}$ ${\textstyle \Delta z-\Delta {\bar {z}}=2i\,\Delta y}$

$${\displaystyle \Delta f(z_{0})={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}\,\Delta z+{\frac {f_{x}+if_{y}}{2}}\,\Delta {\bar {z}}+\eta (\Delta z)\,}$$ $${\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta z}}={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}+{\frac {f_{x}+if_{y}}{2}}\cdot {\frac {\Delta {\bar {z}}}{\Delta z}}+{\frac {\eta (\Delta z)}{\Delta z}},\;\;\;\;(\Delta z\neq 0).}$$

Теперь, если является действительным, , а если мнимым, то . Следовательно, второй член не зависит от пути предела, когда (и только когда) он тождественно равен нулю: , что в точности соответствует уравнениям Коши–Римана в комплексной форме. Это доказательство также показывает, что в этом случае ${\textstyle \Delta z}$ ${\textstyle \Delta {\bar {z}}/\Delta z=1}$ ${\textstyle \Delta {\bar {z}}/\Delta z=-1}$ ${\textstyle \Delta z\to 0}$ ${\textstyle f_{x}+if_{y}=0}$ $${\displaystyle \left.{\frac {df}{dz}}\right|_{z_{0}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta z}}={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}.}$$

Отметим, что гипотеза о действительной дифференцируемости в точке существенна и не может быть исключена. Например, ^[8] функция , рассматриваемая как комплексная функция с тождественно нулевой мнимой частью, имеет обе частные производные в точке , и, кроме того, удовлетворяет уравнениям Коши–Римана в этой точке, но она не дифференцируема в смысле действительных функций (многих переменных), и поэтому первое условие — действительной дифференцируемости — не выполняется. Следовательно, эта функция не является комплексно дифференцируемой. ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f(x,y)={\sqrt {|xy|}}}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})=(0,0)}$

В некоторых источниках ^{[9] [10]} приводится достаточное условие для комплексной дифференцируемости в точке , так как в дополнение к уравнениям Коши–Римана частные производные и должны быть непрерывны в точке , поскольку это условие непрерывности обеспечивает существование вышеупомянутого линейного приближения. Отметим, что это не является необходимым условием для комплексной дифференцируемости. Например, функция является комплексно дифференцируемой в точке 0, но ее действительная и мнимая части имеют там разрывные частные производные. Поскольку комплексная дифференцируемость обычно рассматривается в открытом множестве, где она фактически подразумевает непрерывность всех частных производных (см. ниже), это различие часто опускается в литературе. ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f(z)=z^{2}e^{i/|z|}}$

Независимость комплексно-сопряженного числа

Приведенное выше доказательство предлагает другую интерпретацию уравнений Коши–Римана. Комплексное сопряжение , обозначаемое , определяется как для действительных переменных и . Определение двух производных Виртингера как уравнений Коши–Римана может быть записано как одно уравнение , а комплексная производная в этом случае равна В этой форме уравнения Коши–Римана можно интерпретировать как утверждение о том, что комплексная функция комплексной переменной независима от переменной . Таким образом, мы можем рассматривать аналитические функции как истинные функции одной комплексной переменной ( ) вместо комплексных функций двух действительных переменных ( и ). ${\displaystyle z}$ ${\textstyle {\bar {z}}}$ $${\displaystyle {\overline {x+iy}}:=x-iy}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),\;\;\;{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,}$$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle {\frac {df}{dz}}={\frac {\partial f}{\partial z}}.}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle {\bar {z}}}$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle y}$

Физическая интерпретация

Контурный график пары u и v, удовлетворяющих уравнениям Коши–Римана. Линии тока ( v  = const, красные) перпендикулярны эквипотенциалям ( u  = const, синие). Точка (0,0) является стационарной точкой потенциального потока, в которой встречаются шесть линий тока, а также встречаются шесть эквипотенциалей, делящих пополам углы, образованные линиями тока.

Стандартная физическая интерпретация уравнений Коши–Римана, восходящая к работе Римана по теории функций ^[11], заключается в том, что u представляет собой потенциал скорости несжимаемого стационарного потока жидкости на плоскости, а v — его функция тока . Предположим, что пара (дважды непрерывно дифференцируемых ) функций u и v удовлетворяет уравнениям Коши–Римана. Мы будем считать u потенциалом скорости, то есть представим себе поток жидкости на плоскости таким образом, что вектор скорости жидкости в каждой точке плоскости равен градиенту u , определяемому как $${\displaystyle \nabla u={\frac {\partial u}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial u}{\partial y}}\mathbf {j} .}$$

Дифференцируя уравнения Коши–Римана для функций u и v с симметрией вторых производных , можно показать, что u решает уравнение Лапласа : То есть, u является гармонической функцией . Это означает, что дивергенция градиента равна нулю, и поэтому жидкость несжимаема. $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.}$$

Функция v также удовлетворяет уравнению Лапласа, посредством аналогичного анализа. Кроме того, уравнения Коши–Римана подразумевают, что скалярное произведение ( ), т. е. направление максимального наклона u и направление v ортогональны друг другу. Это подразумевает, что градиент u должен быть направлен вдоль кривых; поэтому они являются линиями тока потока. Кривые являются эквипотенциальными кривыми потока. ${\textstyle \nabla u\cdot \nabla v=0}$ ${\textstyle \nabla u\cdot \nabla v={\frac {\partial u}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial x}}=0}$ ${\textstyle v={\text{const}}}$ ${\textstyle u={\text{const}}}$

Голоморфную функцию можно визуализировать, построив два семейства кривых уровня и . Вблизи точек, где градиент u (или, что то же самое, v ) не равен нулю, эти семейства образуют ортогональное семейство кривых. В точках, где , стационарные точки потока, пересекаются эквипотенциальные кривые. Линии тока также пересекаются в той же точке, делящие пополам углы, образованные эквипотенциальными кривыми. ${\textstyle u={\text{const}}}$ ${\textstyle v={\text{const}}}$ ${\textstyle \nabla u=0}$ ${\textstyle u={\text{const}}}$

Гармоническое векторное поле

Другую интерпретацию уравнений Коши–Римана можно найти в Pólya & Szegő . ^[12] Предположим, что u и v удовлетворяют уравнениям Коши–Римана в открытом подмножестве R ² , и рассмотрим векторное поле , рассматриваемое как (действительный) двухкомпонентный вектор. Тогда второе уравнение Коши–Римана ( 1b ) утверждает, что является безвихревым (его ротор равен 0): $${\displaystyle {\bar {f}}={\begin{bmatrix}u\\-v\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle {\bar {f}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial (-v)}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}=0.}$$

Первое уравнение Коши–Римана ( 1а ) утверждает, что векторное поле является соленоидальным (или бездивергентным ): $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial (-v)}{\partial y}}=0.}$$

В силу теоремы Грина и теоремы о дивергенции , соответственно, такое поле обязательно является консервативным , и оно свободно от источников или стоков, имея чистый поток, равный нулю через любую открытую область без отверстий. (Эти два наблюдения объединяются как действительная и мнимая части в интегральной теореме Коши .) В динамике жидкости такое векторное поле является потенциальным потоком . ^[13] В магнитостатике такие векторные поля моделируют статические магнитные поля в области плоскости, не содержащей тока. В электростатике они моделируют статические электрические поля в области плоскости, не содержащей электрического заряда.

Эту интерпретацию можно эквивалентно переформулировать на языке дифференциальных форм . Пара u и v удовлетворяют уравнениям Коши–Римана тогда и только тогда, когда униформа является как замкнутой , так и созамкнутой ( гармоническая дифференциальная форма ). ${\displaystyle v\,dx+u\,dy}$

Сохранение сложной структуры

Другая формулировка уравнений Коши–Римана включает в себя сложную структуру на плоскости, заданную как Это сложная структура в том смысле, что квадрат J является отрицательным значением единичной матрицы 2×2: . Как и выше, если u ( x , y ) и v ( x , y ) являются двумя функциями на плоскости, положим $${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle J^{2}=-I}$

$${\displaystyle f(x,y)={\begin{bmatrix}u(x,y)\\v(x,y)\end{bmatrix}}.}$$

Матрица Якоби функции f — это матрица частных производных $${\displaystyle Df(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}&{\dfrac {\partial u}{\partial y}}\\[5pt]{\dfrac {\partial v}{\partial x}}&{\dfrac {\partial v}{\partial y}}\end{bmatrix}}}$$

Тогда пара функций u , v удовлетворяет уравнениям Коши–Римана тогда и только тогда, когда матрица Df размером 2×2 коммутирует с J. ^[14]

Эта интерпретация полезна в симплектической геометрии , где она является отправной точкой для изучения псевдоголоморфных кривых .

Другие представления

Другие представления уравнений Коши–Римана иногда возникают в других системах координат . Если ( 1a ) и ( 1b ) справедливы для дифференцируемой пары функций u и v , то так же $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}={\frac {\partial v}{\partial s}},\quad {\frac {\partial v}{\partial n}}=-{\frac {\partial u}{\partial s}}}$$

для любой системы координат ( n ( x , y ), s ( x , y )) такой , что пара ортонормальна и положительно ориентирована . Вследствие этого, в частности, в системе координат, заданной полярным представлением , уравнения тогда принимают вид ${\textstyle (\nabla n,\nabla s)}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ $${\displaystyle {\partial u \over \partial r}={1 \over r}{\partial v \over \partial \theta },\quad {\partial v \over \partial r}=-{1 \over r}{\partial u \over \partial \theta }.}$$

Объединение их в одно уравнение для f дает $${\displaystyle {\partial f \over \partial r}={1 \over ir}{\partial f \over \partial \theta }.}$$

Неоднородные уравнения Коши–Римана состоят из двух уравнений для пары неизвестных функций u ( x , y ) и v ( x , y ) двух действительных переменных $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}&=\alpha (x,y)\\[4pt]{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}&=\beta (x,y)\end{aligned}}}$$

для некоторых заданных функций α( x , y ) и β( x , y ), определенных в открытом подмножестве R ² . Эти уравнения обычно объединяются в одно уравнение , где f = u + i v и 𝜑 = ( α + i β )/2. $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\varphi (z,{\bar {z}})}$$

Если 𝜑 есть C k , то неоднородное уравнение явно разрешимо в любой ограниченной области D , при условии, что 𝜑 непрерывна на замыкании D . Действительно, по интегральной формуле Коши для всех ζ ∈ D . $${\displaystyle f\left(\zeta ,{\bar {\zeta }}\right)={\frac {1}{2\pi i}}\iint _{D}\varphi \left(z,{\bar {z}}\right)\,{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }}}$$

Обобщения

Теорема Гурса и ее обобщения

Предположим, что f = u + i v — комплекснозначная функция, дифференцируемая как функция f  : R ² → R ² . Тогда теорема Гурса утверждает , что f аналитична в открытой комплексной области Ω тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению Коши–Римана в этой области. ^[15] В частности, не обязательно предполагать непрерывную дифференцируемость f . ^[16]

Предположения теоремы Гурса можно существенно ослабить. Если f = u + i v непрерывна в открытом множестве Ω и частные производные f по x и y существуют в Ω и удовлетворяют уравнениям Коши–Римана во всем Ω, то f голоморфна (и, следовательно, аналитична). Этот результат — теорема Лумана–Мэнхоффа .

Гипотеза о том, что f подчиняется уравнениям Коши–Римана во всей области Ω, является существенной. Можно построить непрерывную функцию, удовлетворяющую уравнениям Коши–Римана в точке, но которая не является аналитической в ​​этой точке (например, f ( z ) = z ⁵ /|z| ⁴ ) . Аналогично, необходимо некоторое дополнительное предположение помимо уравнений Коши–Римана (например, непрерывность), как иллюстрирует следующий пример ^[17]

$${\displaystyle f(z)={\begin{cases}\exp \left(-z^{-4}\right)&{\text{if }}z\not =0\\0&{\text{if }}z=0\end{cases}}}$$

которая удовлетворяет уравнениям Коши–Римана всюду, но не является непрерывной при z  = 0.

Тем не менее, если функция удовлетворяет уравнениям Коши–Римана в открытом множестве в слабом смысле , то функция является аналитической. Точнее: ^[18]

Если f ( z ) локально интегрируема в открытой области Ω ⊂  C и слабо удовлетворяет уравнениям Коши–Римана, то f почти всюду совпадает с аналитической функцией в Ω.

На самом деле это частный случай более общего результата о регулярности решений гипоэллиптических уравнений в частных производных.

Несколько переменных

Существуют уравнения Коши–Римана, соответствующим образом обобщенные, в теории нескольких комплексных переменных . Они образуют значительную переопределенную систему уравнений в частных производных. Это делается с помощью простого обобщения производной Виртингера , где от рассматриваемой функции требуется, чтобы (частная) производная Виртингера по каждой комплексной переменной обращалась в нуль.

Сложные дифференциальные формы

Как часто формулируется, оператор d-bar аннулирует голоморфные функции. Это наиболее прямо обобщает формулировку, где $${\displaystyle {\bar {\partial }}}$$ $${\displaystyle {\partial f \over \partial {\bar {z}}}=0,}$$ $${\displaystyle {\partial f \over \partial {\bar {z}}}={1 \over 2}\left({\partial f \over \partial x}+i{\partial f \over \partial y}\right).}$$

Преобразование Бэклунда

Рассматриваемые как сопряженные гармонические функции , уравнения Коши–Римана являются простым примером преобразования Бэклунда . Более сложные, как правило, нелинейные преобразования Бэклунда, такие как в уравнении синус-Гордона , представляют большой интерес в теории солитонов и интегрируемых систем .

Определение в алгебре Клиффорда

В алгебре Клиффорда комплексное число представляется как , ( , so ). Оператор Дирака в этой алгебре Клиффорда определяется как . Функция считается аналитической тогда и только тогда, когда , что можно вычислить следующим образом: ${\displaystyle C\ell (2)}$ ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle z\equiv x+Jy}$ ${\displaystyle J\equiv \sigma _{1}\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=1,\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{1}=0}$ ${\displaystyle J^{2}=-1}$ ${\displaystyle \nabla \equiv \sigma _{1}\partial _{x}+\sigma _{2}\partial _{y}}$ ${\displaystyle f=u+Jv}$ ${\displaystyle \nabla f=0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\nabla f=(\sigma _{1}\partial _{x}+\sigma _{2}\partial _{y})(u+\sigma _{1}\sigma _{2}v)\\[4pt]&=\sigma _{1}\partial _{x}u+\underbrace {\sigma _{1}\sigma _{1}\sigma _{2}} _{=\sigma _{2}}\partial _{x}v+\sigma _{2}\partial _{y}u+\underbrace {\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}} _{=-\sigma _{1}}\partial _{y}v=0\end{aligned}}}$$

Группировка по и : ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$

$${\displaystyle \nabla f=\sigma _{1}(\partial _{x}u-\partial _{y}v)+\sigma _{2}(\partial _{x}v+\partial _{y}u)=0\Leftrightarrow {\begin{cases}\partial _{x}u-\partial _{y}v=0\\[4pt]\partial _{x}v+\partial _{y}u=0\end{cases}}}$$

Следовательно, в традиционной записи:

$${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}={\dfrac {\partial v}{\partial y}}\\[12pt]{\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {\partial v}{\partial x}}\end{cases}}}$$

Конформные отображения в высших измерениях

Пусть Ω — открытое множество в евклидовом пространстве R ⁿ . Уравнение для отображения, сохраняющего ориентацию , чтобы быть конформным отображением (то есть сохраняющим угол), имеет вид ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle Df^{\mathsf {T}}Df=(\det(Df))^{2/n}I}$$

где Df — матрица Якоби с транспонированием , а I обозначает единичную матрицу. ^[19] При n = 2 эта система эквивалентна стандартным уравнениям Коши–Римана комплексных переменных, а решения являются голоморфными функциями. В размерности n > 2 это иногда еще называют системой Коши–Римана, и теорема Лиувилля подразумевает, при подходящих предположениях гладкости, что любое такое отображение является преобразованием Мёбиуса . ${\displaystyle Df^{\mathsf {T}}}$

Псевдогруппы Лжи

Вместо этого можно попытаться обобщить уравнения Коши-Римана, задавая более общий вопрос, когда решения системы уравнений в частных производных замкнуты относительно композиции. Теория псевдогрупп Ли рассматривает такого рода вопросы.

Смотрите также

• Список тем комплексного анализа
• Теорема Мореры
• Производные Виртингера

Ссылки

1. Даламбер, Жан (1752). Эссе новой теории сопротивления жидкостям. Париж: Давид Л'эне.Перепечатка, 2018 г., издательство Hachette Livre-BNF ISBN 978-2012542839 . 
2. Эйлер, Леонард (1797). «Последующее исследование формулы интегралибуса воображаемого». Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae . 10 :3–19.
3. Коши, Огюстен Л. (1814). Mémoire sur les Integrales Définies . Oeuvres Completes Ser. 1. Том. 1. Париж (опубликовано в 1882 г.). стр. 319–506.
4. Риман, Бернхард (1851). «Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse». В Х. Вебере (ред.). Гезаммельная математика Римана. Верке (на немецком языке). Дувр (опубликовано в 1953 г.). стр. 3–48.
5. Рудин 1966.
6. Марсден и Хоффман 1973.
7. Маркушевич, А. И. (1977) Теория функций комплексного переменного 1. Челси., стр. 110-112 (перевод с русского)
8. Титчмарш, Э. (1939). Теория функций . Oxford University Press., 2.14
9. Арфкен, Джордж Б.; Вебер, Ганс Дж.; Харрис, Фрэнк Э. (2013). "11.2 УСЛОВИЯ КОШИ-РИМАНА". Математические методы для физиков: всеобъемлющее руководство (7-е изд.). Academic Press. стр. 471–472. ISBN 978-0-12-384654-9.
10. Хассани, Садри (2013). "10.2 Аналитические функции". Математическая физика: Современное введение в ее основы (2-е изд.). Springer. стр. 300–301. ISBN 978-3-319-01195-0.
11. См. Клейн, Феликс (1893). О теории алгебраических функций Римана и их интегралах . Перевод Фрэнсис Хардкасл. Кембридж: MacMillan and Bowes.
12. Полиа, Джордж ; Сегё, Габор (1978). Проблемы и теоремы анализа I . Спрингер. ISBN 3-540-63640-4.
13. Шансон, Х. (2007). «Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution Жозефа-Луи Лагранжа» [Потенциал скорости в реальных потоках жидкости: вклад Жозефа-Луи Лагранжа]. Журнал la Houille Blanche . 93 (5): 127–131. дои : 10.1051/lhb:2007072 . ISSN  0018-6368. S2CID  110258050.
14. Кобаяси, Сёсичи ; Номидзу, Кацуми (1969). Основы дифференциальной геометрии, том 2. Wiley. Предложение IX.2.2.
15. Рудин 1966, Теорема 11.2.
16. Дьедонне, Жан Александр (1969). Основы современного анализа . Академическая пресса. §9.10, Пр. 1.
17. Луман 1923, стр. 107.
18. Грей и Моррис 1978, Теорема 9.
19. Иванец, Т.; Мартин, Г. (2001). Геометрическая теория функций и нелинейный анализ . Оксфорд. стр. 32.

Источники

• Грей, Дж. Д.; Моррис, С. А. (апрель 1978 г.). «Когда функция, удовлетворяющая уравнениям Коши–Римана, является аналитической?». The American Mathematical Monthly . 85 (4): 246–256. doi :10.2307/2321164. JSTOR  2321164.
• Луман, Х. (1923). «Über die Cauchy – Riemannschen Differentialgleichungen». Göttinger Nachrichten (на немецком языке): 97–108.
• Марсден, А.; Хоффман, М. (1973). Базовый комплексный анализ . WH Freeman.
• Рудин, Уолтер (1966). Действительный и комплексный анализ (3-е изд.). McGraw Hill (опубликовано в 1987). ISBN 0-07-054234-1.

Дальнейшее чтение

• Альфорс, Ларс (1953). Комплексный анализ (3-е изд.). McGraw Hill (опубликовано в 1979). ISBN 0-07-000657-1.
• Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], «Условия Коши–Римана», Энциклопедия математики , EMS Press
• Стюарт, Ян ; Толл, Дэвид (1983). Комплексный анализ (1-е изд.). CUP (опубликовано в 1984 г.). ISBN 0-521-28763-4.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнения Коши–Римана». MathWorld .
• Модуль уравнений Коши–Римана Джона Х. Мэтьюза