Все точки и предельные точки в подмножестве топологического пространства.
В топологии замыкание подмножества S точек топологического пространства состоит из всех точек S вместе со всеми предельными точками S. Замыкание S может быть эквивалентно определено как объединение S и его границы , а также как пересечение всех замкнутых множеств , содержащих S. Интуитивно, замыкание можно рассматривать как все точки, находящиеся либо в S , либо «очень близко» к S. Точка , находящаяся в замыкании S , является точкой замыкания S. Понятие закрытия во многом двойственно понятию внутреннего .
Определения
Точка закрытия
Ибо как подмножество евклидова пространства , является точкой замыкания, если каждый открытый шар с центром в содержит точку (этой точкой может быть она сама).
Это определение обобщается на любое подмножество метрического пространства. Полностью выражено, поскольку метрическое пространство с метрикой является точкой замыкания, если для каждого существует такое , что расстояние ( допустимо). Другой способ выразить это — сказать, что это точка закрытия расстояния, где находится нижняя грань .
Это определение обобщается на топологические пространства , заменяя «открытый шар» или «шар» на « окрестность ». Пусть - подмножество топологического пространства. Тогда - точка замыкания или точка присоединения , если каждая окрестность содержит точку (опять же, for разрешено). [1] Обратите внимание, что это определение не зависит от того, должны ли окрестности быть открытыми.
Предельная точка
Определение точки замыкания множества тесно связано с определением предельной точки множества . Разница между двумя определениями тонкая, но важная, а именно: в определении предельной точки множества каждая окрестность множества должна содержать точку, отличную от самой себя , т. е. каждая окрестность множества, очевидно, имеет , но также должна иметь точку из этого не равно для того, чтобы быть предельной точкой . Предельная точка имеет более строгое условие, чем точка замыкания в определениях. Совокупность всех предельных точек множества называется производным множеством . Предельную точку множества также называют точкой кластера или точкой накопления множества.
Таким образом, каждая предельная точка является точкой замыкания, но не каждая точка замыкания является предельной точкой . Точка замыкания, не являющаяся предельной точкой, является изолированной точкой . Другими словами, точка является изолированной точкой, если она является элементом и существует окрестность которой не содержит других точек, кроме нее самой. [2]
Для данного множества и точка является точкой замыкания тогда и только тогда, когда является элементом или является предельной точкой (или того и другого).
Закрытие набора
Замыкание подмножества топологического пространства, обозначаемого или, возможно, (если понимается), где, если оба и ясны из контекста, то оно также может обозначаться или (более того, иногда пишется с заглавной буквы .), может быть определено с использованием любого следующих эквивалентных определений:
- множество всех точек замыкания
- есть множество вместе со всеми его предельными точками . (Каждая точка является точкой замыкания , и каждая предельная точка также является точкой замыкания .) [3]
- является пересечением всех замкнутых множеств , содержащих
- — наименьшее замкнутое множество, содержащее
- это объединение и его граница
- - это множество всех , для которых существует сеть (значная) в , которая сходится к в
Замыкание множества обладает следующими свойствами. [4]
- является закрытым надмножеством .
- Множество замкнуто тогда и только тогда, когда .
- Если то является подмножеством
- Если — замкнутое множество, то оно содержит тогда и только тогда, когда содержит
Иногда второе или третье свойство, приведенное выше, принимается за определение топологического замыкания, которое по-прежнему имеет смысл при применении к другим типам замыканий (см. Ниже). [5]
В пространстве с первой счетностью (таком как метрическое пространство ) — это набор всех пределов всех сходящихся последовательностей точек в. Для общего топологического пространства это утверждение остается верным, если заменить «последовательность» на « сеть » или « фильтр ». (как описано в статье о фильтрах в топологии ).
Обратите внимание, что эти свойства также выполняются, если «замыкание», «надмножество», «пересечение», «содержит/содержащий», «наименьший» и «закрытый» заменяются на «внутренний», «подмножество», «объединение», «содержащийся». в», «крупнейший» и «открытый». Дополнительную информацию по этому вопросу см. в разделе «Оператор замыкания» ниже.
Примеры
Рассмотрим сферу в трехмерном пространстве. Неявно существует две области интересов, созданные этой сферой; сама сфера и ее внутренность (которая называется открытым трехмерным шаром ). Полезно различать внутреннюю часть и поверхность сферы, поэтому мы различаем открытый трехмерный шар (внутреннюю часть сферы) и закрытый трехмерный шар – замыкание открытого трехмерного шара, то есть открытый 3-шар плюс поверхность (поверхность в виде самой сферы).
В топологическом пространстве :
- В любом пространстве . Другими словами, замыкание пустого множества есть само по себе.
- В любом пространстве
Подача и стандартная (метрическая) топология :
- Если – евклидово пространство действительных чисел , то . Другими словами, замыкание множества как подмножества есть .
- Если — евклидово пространство , то замыканием множества рациональных чисел является всё пространство. Мы говорим, что оно плотно в
- Если – комплексная плоскость , то
- Если — конечное подмножество евклидова пространства, то (Для общего топологического пространства это свойство эквивалентно аксиоме T 1 . )
На множестве действительных чисел можно ставить и другие топологии, отличные от стандартной.
- Если наделено нижним пределом топологии , то
- Если рассматривать дискретную топологию , в которой каждое множество замкнуто (открыто), то
- Если рассмотреть тривиальную топологию , в которой единственными замкнутыми (открытыми) множествами являются пустое множество и оно само, то
Эти примеры показывают, что замыкание множества зависит от топологии лежащего в его основе пространства. Последние два примера являются частными случаями следующего.
- В любом дискретном пространстве , поскольку каждое множество замкнуто (а также открыто), каждое множество равно своему замыканию.
- В любом недискретном пространстве , поскольку единственными замкнутыми множествами являются пустое множество и оно само, мы получаем, что замыкание пустого множества является пустым множеством, и для каждого непустого подмножества. Другими словами, каждое непустое подмножество недискретного пространства пространство плотное .
Замыкание множества также зависит от того, в каком пространстве мы делаем замыкание. Например, if - набор рациональных чисел с обычной относительной топологией , индуцированной евклидовым пространством , и if then одновременно замкнут и открыт в, поскольку ни его дополнение, ни его дополнение не могут содержать , что было бы нижней границей , но не может находиться в потому что это иррационально. Таким образом, он не имеет четко определенного замыкания из-за отсутствия граничных элементов в . Однако, если вместо этого мы определим набор действительных чисел и определим интервал таким же образом, тогда замыкание этого интервала будет четко определено и будет набором всех действительных чисел, больших или равных .
Оператор закрытия
Оператор замыкания на множестве — это отображение степенного множества в себя , которое удовлетворяет аксиомам замыкания Куратовского . Учитывая топологическое пространство , топологическое замыкание вызывает функцию , которая определяется путем отправки подмножества туда , где обозначение или может использоваться вместо этого. И наоборот, если - оператор замыкания множества, то топологическое пространство получается путем определения замкнутых множеств как в точности тех подмножеств , которые удовлетворяют требованиям (поэтому дополнения в этих подмножествах образуют открытые множества топологии). [6]
Оператор замыкания двойственен внутреннему оператору , который обозначается в том смысле, что
а также
Следовательно, абстрактную теорию операторов замыкания и аксиомы замыкания Куратовского можно легко перевести на язык внутренних операторов, заменяя множества их дополнениями в
В общем случае оператор замыкания не коммутирует с пересечениями. Однако в полном метрическом пространстве справедлив следующий результат:
Факты о закрытиях
Подмножество является замкнутым тогда и только тогда, когда, в частности:
- Замыкание пустого множества — это пустое множество;
- Закрытие само по себе
- Замыкание пересечения множеств всегда является подмножеством пересечения замыканий множеств (но не обязательно равно ему).
- В объединении конечного числа множеств замыкание объединения и объединение замыканий равны; объединение нулевых множеств представляет собой пустое множество, и поэтому это утверждение содержит предыдущее утверждение о замыкании пустого множества как особого случая.
- Замыкание объединения бесконечного числа множеств не обязательно должно равняться объединению замыканий, но оно всегда является надмножеством объединения замыканий.
- Таким образом, подобно тому, как объединение двух замкнутых множеств является замкнутым, так и замыкание распространяется на бинарные объединения: т. е . : то есть возможно, когда бесконечно.
Если и если является подпространством (то есть оно наделено топологией подпространства , которая индуцирует его), то и замыкание вычисленного в равно пересечению и замыканию вычисленного в :
Отсюда следует, что является плотным подмножеством тогда и только тогда, когда является подмножеством.
Возможно, что for является правильным подмножеством, например, take и
Если но не обязательно является подмножеством, то только
[доказательство 1]Следовательно, если — любое открытое покрытие и если — любое подмножество, то:
подпространствамногообразиекоординатных картлокально замкнутооткрытое покрытиеФункции и замыкание
Непрерывность
Функция между топологическими пространствами непрерывна тогда и только тогда, когда прообраз каждого замкнутого подмножества кодобласти замкнут в этой области; явно это означает: замкнуто всякий раз, когда является замкнутым подмножеством
С точки зрения оператора замыкания, непрерывно тогда и только тогда, когда для любого подмножества
кпростое английскоеЗакрытые карты
Функция является (строго) замкнутым отображением тогда и только тогда, когда всякий раз, когда есть замкнутое подмножество then , является замкнутым подмножеством.
В терминах оператора замыкания функция является (строго) замкнутым отображением тогда и только тогда, когда для каждого подмножества
. (строго) замкнутое отображение тогда и только тогда, когда для любого замкнутого подмножества
Категорическая интерпретация
Оператор замыкания можно определить в терминах универсальных стрелок следующим образом.
Набор степеней множества может быть реализован как категория частичного порядка , в которой объекты являются подмножествами, а морфизмы являются картами включения всякий раз, когда является подмножеством. Кроме того, топология на является подкатегорией с функтором включения. Множество замкнутых подмножеств, содержащих фиксированный подмножество может быть идентифицировано с помощью категории запятой. Эта категория — также частичный порядок — тогда имеет начальный объект. Таким образом, существует универсальная стрелка от к , заданная включением
Аналогично, поскольку каждое замкнутое множество, содержащее, соответствует открытому множеству, содержащемуся в, мы можем интерпретировать категорию как набор открытых подмножеств, содержащихся в с конечным объектом внутри
Все свойства замыкания могут быть выведены из этого определения и некоторых свойств вышеуказанных категорий. Более того, это определение уточняет аналогию между топологическим замыканием и другими типами замыканий (например, алгебраическим замыканием ), поскольку все они являются примерами универсальных стрелок .
Смотрите также
Примечания
- ^ Из и следует то и что подразумевает
Рекомендации
- ^ Шуберт 1968, с. 20
- ^ Куратовский 1966, с. 75
- ^ Хокинг и Янг 1988, с. 4
- ^ Крум 1989, с. 104
- ^ Джеминьяни 1990, с. 55, Первин 1965, с. 40 и Бейкер 1991, с. 38 используют второе свойство в качестве определения.
- ^ Первин 1965, с. 41
Библиография
- Бейкер, Крамп В. (1991), Введение в топологию , Wm. Издательство К. Брауна, ISBN 0-697-05972-3
- Крум, Фред Х. (1989), Принципы топологии , издательство Saunders College Publishing, ISBN 0-03-012813-7
- Джеминьяни, Майкл К. (1990) [1967], Элементарная топология (2-е изд.), Дувр, ISBN 0-486-66522-4
- Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1988) [1961], Топология , Дувр, ISBN 0-486-65676-4
- Куратовский, К. (1966), Топология , вып. Я, Академик Пресс
- Первин, Уильям Дж. (1965), Основы общей топологии , Academic Press
- Шуберт, Хорст (1968), Топология , Аллин и Бэкон
- Залинеску, Константин (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR 1921556. OCLC 285163112 – через Интернет-архив .
Внешние ссылки