Симметричная матрица

Матрица равна ее транспонированной

Симметрия матрицы 5×5

В линейной алгебре симметричная матрица — это квадратная матрица , равная своей транспонированной матрице . Формально,

${\displaystyle A{\text{ is symmetric}}\iff A=A^{\textsf {T}}.}$

Поскольку равные матрицы имеют равные размеры, симметричными могут быть только квадратные матрицы.

Элементы симметричной матрицы симметричны относительно главной диагонали . Так что если обозначает элемент в й строке и й столбце, то ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle A{\text{ is symmetric}}\iff {\text{ for every }}i,j,\quad a_{ji}=a_{ij}}$

для всех индексов и ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j.}$

Каждая квадратная диагональная матрица симметрична, так как все недиагональные элементы равны нулю. Аналогично в характеристике , отличной от 2, каждый диагональный элемент кососимметричной матрицы должен быть равен нулю, так как каждый является своим собственным отрицательным значением.

В линейной алгебре действительная симметричная матрица представляет собой самосопряженный оператор ^[1], представленный в ортонормированном базисе над действительным внутренним пространством произведения . Соответствующим объектом для комплексного внутреннего пространства произведения является эрмитова матрица с комплекснозначными элементами, которая равна ее сопряженной транспонированной матрице . Поэтому в линейной алгебре над комплексными числами часто предполагается, что симметричная матрица относится к матрице, которая имеет действительные элементы. Симметричные матрицы естественным образом появляются в различных приложениях, и типичное программное обеспечение числовой линейной алгебры делает для них специальные приспособления.

Пример

Следующая матрица является симметричной: Так как . ${\displaystyle 3\times 3}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&5\\3&5&2\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle A=A^{\textsf {T}}}$

Характеристики

Основные свойства

• Сумма и разность двух симметричных матриц симметричны.
• Это не всегда верно для произведения : если заданы симметричные матрицы и , то симметрично тогда и только тогда, когда и коммутируют , т. е. если . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB=BA}$
• Для любого целого числа симметрично , если симметрично. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A^{n}}$ ${\displaystyle A}$
• Если существует, то он симметричен тогда и только тогда, когда симметричен. ${\displaystyle A^{-1}}$ ${\displaystyle A}$
• Ранг симметричной матрицы равен числу ненулевых собственных значений матрицы . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Разложение на симметричные и кососимметричные

Любая квадратная матрица может быть однозначно записана в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц. Это разложение известно как разложение Теплица. Пусть обозначает пространство матриц. Если обозначает пространство симметричных матриц и пространство кососимметричных матриц, то и , т.е. где обозначает прямую сумму . Пусть тогда ${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\mbox{Skew}}_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\}}$ $${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n},}$$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle X\in {\mbox{Mat}}_{n}}$ $${\displaystyle X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right).}$$

Обратите внимание, что и . Это справедливо для любой квадратной матрицы с записями из любого поля, характеристика которого отлична от 2. ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)\in \mathrm {Skew} _{n}}$ ${\displaystyle X}$

Симметричная матрица определяется скалярами (количеством элементов на главной диагонали или выше ). Аналогично, кососимметричная матрица определяется скалярами (количеством элементов выше главной диагонали). ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n+1)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)}$

Матрица, конгруэнтная симметричной матрице

Любая матрица, конгруэнтная симметричной матрице, снова симметрична: если — симметричная матрица, то таковой является и любая матрица . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle AXA^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle A}$

Симметрия подразумевает нормальность

Симметричная матрица (действительная) обязательно является нормальной матрицей .

Действительные симметричные матрицы

Обозначим через стандартное скалярное произведение на . Действительная матрица симметрична тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle \quad \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$$

Поскольку это определение не зависит от выбора базиса , симметрия является свойством, зависящим только от линейного оператора A и выбора скалярного произведения . Такая характеристика симметрии полезна, например, в дифференциальной геометрии , поскольку каждое касательное пространство к многообразию может быть снабжено скалярным произведением, что приводит к тому, что называется римановым многообразием . Другая область, где используется эта формулировка, — это гильбертовы пространства .

Конечномерная спектральная теорема гласит, что любая симметричная матрица, элементы которой являются действительными, может быть диагонализирована ортогональной матрицей . Более конкретно: для каждой действительной симметричной матрицы существует действительная ортогональная матрица такая, что является диагональной матрицей . Таким образом, каждая действительная симметричная матрица является, с точностью до выбора ортонормированного базиса , диагональной матрицей. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle D=Q^{\mathrm {T} }AQ}$

Если и являются действительными симметричными матрицами, которые коммутируют, то их можно одновременно диагонализировать ортогональной матрицей: ^[2] существует базис такой, что каждый элемент базиса является собственным вектором для обеих матриц и . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Каждая действительная симметричная матрица является эрмитовой , и поэтому все ее собственные значения являются действительными. (На самом деле, собственные значения являются элементами диагональной матрицы (выше), и поэтому определяются однозначно с точностью до порядка ее элементов.) По сути, свойство быть симметричным для действительных матриц соответствует свойству быть эрмитовым для комплексных матриц. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A}$

Комплексные симметричные матрицы

Комплексная симметричная матрица может быть «диагонализирована» с помощью унитарной матрицы : таким образом, если — комплексная симметричная матрица, то существует унитарная матрица, такая что — вещественная диагональная матрица с неотрицательными элементами. Этот результат называется факторизацией Аутона–Такаги . Первоначально она была доказана Леоном Аутоном (1915) и Тейджи Такаги (1925) и переоткрыта с различными доказательствами несколькими другими математиками. ^{[3] [4]} Фактически, матрица является эрмитовой и положительно полуопределенной , поэтому существует унитарная матрица, такая что является диагональной с неотрицательными вещественными элементами. Таким образом, является комплексной симметричной с вещественной. Записывая с и вещественными симметричными матрицами, . Таким образом , . Поскольку и коммутируют, существует вещественная ортогональная матрица, такая что и являются диагональными. Задавая (унитарную матрицу), матрица является комплексной диагональной. Предварительно умножив на подходящую диагональную унитарную матрицу (сохраняющую унитарность ), диагональные элементы можно сделать действительными и неотрицательными по желанию. Чтобы построить эту матрицу, мы выражаем диагональную матрицу как . Матрица, которую мы ищем, просто задается как . Очевидно, как и хотелось бы, поэтому мы делаем модификацию . Поскольку их квадраты являются собственными значениями , они совпадают с сингулярными значениями . (Заметьте, что относительно собственного разложения комплексной симметричной матрицы нормальная форма Жордана может не быть диагональной, поэтому ее нельзя диагонализировать никаким преобразованием подобия.) ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle B=A^{\dagger }A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{\dagger }BV}$ ${\displaystyle C=V^{\mathrm {T} }AV}$ ${\displaystyle C^{\dagger }C}$ ${\displaystyle C=X+iY}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{\dagger }C=X^{2}+Y^{2}+i(XY-YX)}$ ${\displaystyle XY=YX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle WXW^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle WYW^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle U=WV^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }=\operatorname {diag} (r_{1}e^{i\theta _{1}},r_{2}e^{i\theta _{2}},\dots ,r_{n}e^{i\theta _{n}})}$ ${\displaystyle D=\operatorname {diag} (e^{-i\theta _{1}/2},e^{-i\theta _{2}/2},\dots ,e^{-i\theta _{n}/2})}$ ${\displaystyle DUAU^{\mathrm {T} }D=\operatorname {diag} (r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})}$ ${\displaystyle U'=DU}$ ${\displaystyle A^{\dagger }A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Разложение

Используя нормальную форму Жордана , можно доказать, что каждая квадратная действительная матрица может быть записана как произведение двух действительных симметричных матриц, а каждая квадратная комплексная матрица может быть записана как произведение двух комплексных симметричных матриц. ^[5]

Каждая действительная невырожденная матрица может быть однозначно факторизована как произведение ортогональной матрицы и симметричной положительно определенной матрицы , что называется полярным разложением . Вырожденные матрицы также могут быть факторизованы, но не однозначно.

Разложение Холецкого утверждает, что каждая действительная положительно определенная симметричная матрица является произведением нижнетреугольной матрицы и ее транспонированной матрицы, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle A=LL^{\textsf {T}}.}$$

Если матрица симметрична и неопределенна, ее все равно можно разложить следующим образом: где — матрица перестановок (возникающая из-за необходимости поворота ), треугольная матрица с меньшими единицами, а — прямая сумма симметричных и блоков, что называется разложением Банча–Кауфмана ^[6] ${\displaystyle PAP^{\textsf {T}}=LDL^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle 2\times 2}$

Общая (комплексная) симметричная матрица может быть дефектной и, таким образом, не быть диагонализируемой . Если диагонализируема, ее можно разложить следующим образом: где — ортогональная матрица , а — диагональная матрица собственных значений . В частном случае, когда действительная симметрична, то и также действительны. Чтобы увидеть ортогональность, предположим, что и — собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям , . Тогда ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=Q\Lambda Q^{\textsf {T}}}$$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle QQ^{\textsf {T}}=I}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ $${\displaystyle \lambda _{1}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle A\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {y} \rangle =\lambda _{2}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle .}$$

Так как и различны, то имеем . ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}$

Гессен

Симметричные матрицы действительных функций появляются как гессианы дважды дифференцируемых функций действительных переменных (непрерывность второй производной не требуется, несмотря на распространенное мнение об обратном ^[7] ). ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n}$

Каждая квадратичная форма на может быть единственным образом записана в виде с симметричной матрицей . В силу вышеприведенной спектральной теоремы можно тогда сказать, что каждая квадратичная форма, с точностью до выбора ортонормированного базиса , «выглядит как» с действительными числами . Это значительно упрощает изучение квадратичных форм, а также изучение множеств уровня , которые являются обобщениями конических сечений . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {x} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}^{2}}$$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} :q(\mathbf {x} )=1\right\}}$

Это важно отчасти потому, что поведение второго порядка каждой гладкой многомерной функции описывается квадратичной формой, принадлежащей гессиану функции; это является следствием теоремы Тейлора .

Симметризуемая матрица

Матрица называется симметризуемой, если существует обратимая диагональная матрица и симметричная матрица такие, что ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A=DS.}$

Транспонирование симметризуемой матрицы симметризуемо, так как и симметрично. Матрица симметризуема тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=(DS)^{\mathrm {T} }=SD=D^{-1}(DSD)}$ ${\displaystyle DSD}$ ${\displaystyle A=(a_{ij})}$

1. ${\displaystyle a_{ij}=0}$подразумевает для всех ${\displaystyle a_{ji}=0}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n.}$
2. ${\displaystyle a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}\dots a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}\dots a_{i_{1}i_{k}}}$для любой конечной последовательности ${\displaystyle \left(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}\right).}$

Смотрите также

Другие типы симметрии или узоров в квадратных матрицах имеют специальные названия; см., например:

• Кососимметричная матрица (также называемая антисимметричной или антиметрической )
• Центросимметричная матрица
• Циркулярная матрица
• Ковариационная матрица
• матрица Кокстера
• матрица НОД
• матрица Ганкеля
• Матрица Гильберта
• Персимметричная матрица
• Закон инерции Сильвестра
• Матрица Теплица
• Матрица транспозиций

См. также симметрия в математике .

Примечания

1. Хесус Рохо Гарсия (1986). Линейная алгебра (на испанском языке) (2-е изд.). Редакция АС. ISBN 84-7288-120-2.
2. Беллман, Ричард (1997). Введение в матричный анализ (2-е изд.). SIAM. ISBN 08-9871-399-4.
3. Хорн и Джонсон 2013, стр. 263, 278
4. См.:
   • Отонн, Л. (1915), «Sur les matriceshypohermitiennes et sur les matrices unitaires», Ann. унив. Лион , 38 : 1–77
   • Такаги, Т. (1925), «Об одной алгебраической проблеме, связанной с аналитической теоремой Каратеодори и Фейера и с родственной теоремой Ландау», Jpn. J. Math. , 1 : 83–93, doi : 10.4099/jjm1924.1.0_83
   • Siegel, Carl Ludwig (1943), «Симплектическая геометрия», American Journal of Mathematics , 65 (1): 1–86, doi :10.2307/2371774, JSTOR  2371774, Лемма 1, стр. 12
   • Хуа, Л.-К. (1944), «К теории автоморфных функций матричной переменной I–геометрический базис», Amer. J. Math. , 66 (3): 470–488, doi :10.2307/2371910, JSTOR  2371910
   • Шур, И. (1945), «Ein Satz über Squaretische Formen mit komplexen Koeffizienten», Amer. Дж. Математика. , 67 (4): 472–480, номер документа : 10.2307/2371974, JSTOR  2371974.
   • Бенедетти, Р.; Краньолини, П. (1984), «Об одновременной диагонализации одной эрмитовой и одной симметричной формы», Linear Algebra Appl. , 57 : 215–226, doi : 10.1016/0024-3795(84)90189-7
5. Bosch, AJ (1986). «Разложение квадратной матрицы на две симметричные матрицы». American Mathematical Monthly . 93 (6): 462–464. doi :10.2307/2323471. JSTOR  2323471.
6. Голуб, GH ; ван Лоан, CF (1996). Матричные вычисления . Издательство Университета Джонса Хопкинса. ISBN 0-8018-5413-X. OCLC  34515797.
7. Дьедонне, Жан А. (1969). "Теорема (8.12.2)". Основы современного анализа . Academic Press. стр. 180. ISBN 0-12-215550-5. OCLC  576465.

Ссылки

• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2013), Матричный анализ (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6

Внешние ссылки

• «Симметричная матрица», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Краткое введение и доказательство свойств собственных значений действительной симметричной матрицы
• Как реализовать симметричную матрицу в C++